八年级数学-多边形难题巧解点拨

八年级数学-多边形难题巧解点拨

例1：已知：四边形ABCD中,∠A：∠B=5：7,∠B与∠A的差等于∠C,∠D与∠C的差等于80°,求四边形ABCD的四个内角的度数．（条件已给出四个内角的三个关系式,注意还有一个隐含条件,即“四个内角的和等于36°”）

思路分析：本题的实质是求关于四边形ABCD的四个内角的一个四元一次方程组的解,题目中很明显的给出了这四个量之间的三个条件关系．第四个条件关系是“四边形的四个内角之和为360°”．为了求解方便,也可只设一个未知数．（方程（方程组）的思想）

解：依题意,设∠A=5a,∠B=7a,

则∠C=∠B-∠A=2a, （用三个关系式设未知数,一个关系式列方程）

∵∠D-∠C=80°,∴∠D=∠C+80°=2a+80°,

根据四边形的内角和为360°,得：5a+7a+2a+（2a+80°）=360°,

解得a=17.5°．

∴∠A=5a=87.5°,∠B=7a=122.5°,

∠C=2a=35°,∠D=2a+80°=115°．

例2：已知：四边形ABCD中,∠ABC=70°,∠C=90°,BC=CD,AB=AD．求∠A的度数．

思路分析：认真分析条件,很容易想到构造等腰三角形或全等三角形．

解法一：如图4-64,连结BD．

∵Rt△BCD中,∠C=90°,BC=CD,

∴∠DBC=45°,∠ABC=70°,

∴∠ABD=∠ABC-∠DBC=70°-45°=25°,

∵△ABD中,AB=AD,

∴∠ABD=∠ADB=25°,

∴∠A=180°-∠ABD-ADB=130°．（三角形内角和为180°）

解法二：如图4-65,连结AC ．

在△ABC 和△ADC 中,

⎪⎩⎪⎨⎧===AC AC CD

BC AD AB

∴△ABC ≌△ADC （SSS ）

∴∠BAD=360°-∠B-∠D-∠BCD=360°-70°-70°-90°=130°．

（四边形的四个内角中,已经知道了∠B 和∠C 的度数,所以只需求出∠D 的度数即可） （你还有其他的方法吗？）

例3：已知一个多边形的内角和与外角和的和为2160°,求多边形的对角线的条数．

思路分析：要求多边形的对角线的条数,只需求出多边形的边数．

解：设多边形的边数为n,则

（n-2）×180°+360°=2160°, （方程的思想） 解得：n=12,

∴多边形的对角线的条数为

54)3n (n 21=-=．（计算多边形对角线条数的公式你知道吗？） 答：多边形的对角线的条数为54条．

点评：n 边形的对角线的条数的推导过程：

从n 边形的任何一个顶点出发,可以和与它不相邻的（n-3）个顶点相连,得到（n-3）条对角线,因此共可以连得对角线n （n-3）条,又因为每一条对角线都被计算了2次,因此n 边形的对角

线的条数为)3n (n 21-条．

例4：如图4-66,四边形ABCD中,∠A=∠C=90°,BE平分∠B,DF平分∠D．求证：BE∥DF．

思路分析：怎样证明BE∥DF呢？可考虑证明∠AEB=∠ADF．由四边形的内角和为360°,转化为∠ADC+∠ABC=180°,再转化为∠ADF+∠ABE=90°,而∠AEB+∠ABE=90°,从而∠ADF=∠AEB．证明：在四边形ABCD中,

∠A+∠ABC+∠C+∠ADC=360°,

又∵∠A=∠C=90°,

∴∠ABC+∠ADC=180°,

,（角平分线的性质）

∴∠ABE+∠ADF=90°．

又∵∠AEB+∠ABE=90°,（因为∠A=90°）

∴∠ADF=∠AEB,

∴BE∥DF．（同位角相等,两直线平行）