5现代控制理论5李雅普诺夫稳定性分析

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5.1.1 平衡状态
由于稳定性考察的是系统的自由运动，故令u = 0。 此时设系统的状态方程为
f ( x, t ), x Rn x
初始状态为x(t0) = x0。对于上述系统，若对所有的t， 0，则称该状态x为平衡状态，记为xe。 状态x满足 x 故有
f（xe，t）= 0 由平衡状态xe在状态空间中所确定的点，称为平衡点。
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5.1 李雅普诺夫稳定性定义
稳定性指的是系统在平衡状态下受到扰动后，系 统自由运动的性质。因此，系统的稳定性是相对于系 统的平衡状态而言的。对于线性定常系统，由于通常 只存在唯一的一个平衡状态，所以，只有线性定常系 统才能笼统地将平衡点的稳定性视为整个系统的稳定 性。而对于其他系统，平衡点不止一个，系统中不同 的平衡点有着不同的稳定性，我们只能讨论某一平衡 状态的稳定性。为此，首先给出关于平衡状态的定义， 然后再介绍李雅普诺夫关于稳定性的定义。
‖Φ(t, t0)‖ N(t0)
则系统是稳定的。
若‖Φ(t, t0)‖ N，则系统是一致稳定的。
若
lim Φ(t , t0 ) ， 0 则系统是渐近稳定的。
t
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若存在某常数N > 0，C > 0，对任意t0和t t0，有
Φ(t, t0 ) NeC (t t0 )
则系统是一致渐近稳定的。 3. 非线性系统 设非线性系统的状态方程为
lim x xe
t
则称平衡状态xe是渐近稳定的。
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x2

S( )
S( )

xe
x0
x1
x
经典理论中的稳定，就是这里所说的渐近稳定。
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3.大范围渐近稳定 f ( x, t )对整个状态空间中的任 定义: 如果系统 x 意初始状态x0的每一个解，当t→时，都收敛于xe， 则系统的平衡状态xe叫做大范围渐近稳定的。 显然，由于从状态空间中的所有点出发的轨迹都 要收敛于xe，因此这类系统只能有一个平衡状态，这 也是大范围渐近稳定的必Байду номын сангаас条件。对于线性定常系统， 当A为非奇异的，系统只有一个唯一的平衡状态xe = 0。 所以若线性定常系统是渐近稳定的，则一定是大范围 渐近稳定的。而对于非线性系统，由于系统通常有多 个平衡点，因此非线性系统通常只能在小范围内渐近 稳定。在实际工程问题中，人们总是希望系统是大范 围渐近稳定的。
0 xe3 1
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5.1.2 范数的概念 李雅普诺夫稳定性定义中采用了范数的概念。 范数的定义：在n维状态空间中，向量x的长度称 为向量x的范数，用‖x‖表示，则
2 2 x x12 x2 xn ( x T x)
1 2
向量（x xe）范数可写成
x xe ( x1 xe1 )2 ( xn xen )2
（2）负定：二次型函数v(x)为负定的充要条件是， P阵的各阶主子式满足
(1)k k 0, k 1, 2, , n
0, k为偶数， k k 1, 2, , n 0, k为奇数，
即
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（3）正半定：二次型函数v(x)为正半定的充要条 件是，P的各阶主子式满足
k 0, k 1, 2, , (n 1) n 0,
f1 x2 f 2 x2 f n x2

f1 xn f 2 xn f n xn
R(x) ： 包含对x的二次及二次以上的高阶导数项。
取一次近似，可得线性化方程为
Ax x
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定理5-3 （1）若线性化方程中的系数矩阵 A的特征 值均具有负实部，则系统的平衡状态 xe是渐近稳定的， 系统的稳定性与被忽略的高阶项R(x)无关。 （2）若线性化方程中的系数矩阵A的特征值中，至 少有一个具有正的实部，则不论高阶导数项R(x)情况 如何，系统的平衡状态xe总是不稳定的。 （3）若线性化方程中的系数矩阵A的特征值中，至 少有一个实部为零，则原非线性系统的稳定性，不能 用线性化方程来判断。系统的稳定性与被忽略的高次 项有关。若要研究原系统的稳定性，必须分析原非线 性方程。
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二次型函数的定号性判别准则： 对于 P 为实对称矩阵的二次型函数 v(x) 的定号性， 可以用塞尔维斯特(Sylvester)准则来判定。 （1）正定：二次型函数v(x)为正定的充要条件是 ，P阵的所有各阶主子行列式均大于零，即
p11 1 p11 0, 2 p21 p12 0, , n p22 pn1 p11 p1n 0 pnn
1 x1 x 3 x x x x 2 2 1 2 x1 0 3 x x x 2 2 0 1
解得
x1 0 x2 0,1,1
因此该系统有三个平衡状态
0 xe1 0 0 xe2 1
‖x xe‖ （t t0）
则称系统的平衡状态xe稳定的。若与t0无关，则称平 衡状态xe是一致稳定的。
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x2

S( )
S( )

xe
x0
x
x1
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2. 渐近稳定 f ( x, t )，若对任意给定的实数 定义: 对于系统 x >0，总存在 (, t0)>0，使得‖x0xe‖ ( , t0)的任意 初始状态x0所对应的解x，在所有时间内都满足 ‖x xe‖ （t t0） 且对于任意小量μ >0，总有
（4）负半定：二次型函数v(x)为负半定的充要条件 是，P的各阶主子式满足
0, k为偶数， k 0, k为奇数， k 1, 2, , (n 1) n 0,
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二次型矩阵P的定号性：二次型函数v(x)和它的 二次型矩阵P是一一对应的。这样，可以把二次型函 数的定号性扩展到二次型矩阵P的定号性。设二次型 函数v(x) = xTPx，P为实对称矩阵，则定义如下：
f ( x, t ) x
f(x, t)对状态向量x有连续的偏导数。设系统的平衡状 态为xe = 0，则在平衡状态xe = 0处可将f(x, t)展成泰勒 级数，则得
Ax R( x) x
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f1 x 1 f 2 f ( x , t ) A x1 T x f n x1
v( x) 0, x 0
称v(x)为正定的。例如，v(x)= x12 + 2 x22 > 0 。 （2）若 v( x) 0, x 0
v( x) 0, x 0
称v(x)为正半定的。例如，v(x)=(x1+ x2)2 0 。 （3）如果 v(x)是正定的，则v(x)称为负定的，即
v( x) 0, x 0 v( x) 0, x 0
例如，v(x) = (x12 +2 x22) < 0。
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（4）如果 v(x)是正半定的，则称v(x)为负半 定的，即
v( x) 0, x 0 v( x) 0, x 0
例如，v(x) = (x1 + x2)2 0。 （5）若v(x)既可正也可负，则v(x)称为不定的。 例如，v(x) = x1 x2 + x22。
通常又将‖x xe‖称为x与 xe的距离。当向量（x xe） 的范数限定在某一范围之内时，则记为 ‖x xe‖ >0 几何意义为，在状态空间中以xe为球心，以为半 径的一个球域，记为S( )。
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5.1.3 李雅普诺夫稳定性定义 1. 稳定和一致稳定 f ( x, t ) ，若对任意给定的实数 定义: 对于系统 x >0，都对应存在另一个实数(, t0)>0，使得一切满 足‖x0xe‖ ( , t0)的任意初始状态x0所对应的解x， 在所有时间内都满足
j
为二次型函数，并将P称为二次型的矩阵。该式又可 展开为
v( x )
i , j 1 2 2 p x x p x p x x p x ij i j 11 1 12 1 2 nn n n
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标量函数v(x)的定号性：设x是欧氏状态空间中的 非零量，v(x)是向量x的标量函数。 （1）若 v( x) 0, x 0
现代控制理论 第四讲
主讲：吴伟
第5章 控制系统的李雅普诺夫 稳定性分析
5.1 李雅普诺夫稳定性定义
5.2 李雅普诺夫稳定性理论
5.3 线性系统的李雅普诺夫稳定性分析
5.5 李雅普诺夫第二法在系统设计中的应用
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一个控制系统要能够正常工作首要条件是保证 系统是稳定的。因此，控制系统的稳定性分析是系 统分析的首要任务。 1892年，俄国学者李雅普诺夫（Lyapunov）在 “运动稳定性一般问题”一文中，提出了著名的李 雅普诺夫稳定性理论。该理论作为稳定性判别的通 用方法，适用于各类控制系统。李雅普诺夫稳定性 理论的核心是提出了判断系统稳定性的两种方法， 分别被称为李雅普诺夫第一法和第二法。
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5.2.2 二次型函数
定义:设x是n维列向量，称标量函数
v( x ) x Px x1
T
x2

i , j 1
p xx
ij i
n
p11 p xn 21 pn1
p12 p22 pn 2
p1n x1 x p2 n 2 pnn xn
n m 22 A aij j 1 i 1 lim Φ (t , t0 )零，即矩阵Φ(t, t0)中各元素
如果趋于 t 均趋于零，则系统在原点处是渐近稳定的。
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定理5-2 线性时变系统，其状态解为 x(t)=Φ(t, t0) x(t0) 系统稳定性的充要条件是：若存在某正常数N(t0)，对 于任意t0和t t0，有
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4. 不稳定 定义: 如果对于某个实数ε > 0和任一实数δ > 0， 不管这两个实数有多么小，在球域S(δ)内总存在一个 初始状态x0，使得从这一初始状态出发的轨迹最终将 超出球域S(ε)，则称该平衡状态是不稳定的。
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5.2 李雅普诺夫稳定性理论
5.2.1 李雅普诺夫第一法 李雅普诺夫第一法的基本思想是利用系统的特征 值或微分方程及状态方程的解的性质来判断系统的稳 定性。通常又称为间接法。它适用于线性定常系统、 线性时变系统及非线性系统可以线性化的情况。 1. 线性定常系统 定理5-1 线性定常系统，渐近稳定的充要条件是A 的特征值均具有负实部，即 Re(i) < 0（ i = 1，2，…，n） 显然，这与经典理论中判别系统稳定性的结论是完全 相同的。这里的渐近稳定就是经典理论中的稳定。
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2. 线性时变系统 对于线性时变系统，由于矩阵A(t)不再是常数阵， 故不能应用特征值来判断稳定性，需用状态解或状态 转移矩阵Φ(t, t0)来分析稳定性。若矩阵Φ(t, t0)中各元 素均趋于零，则不论初始状态x(t0)为何值，当t→时， 状态解x(t)中各项均趋于零，因此系统是渐近稳定的。 这里若采用范数的概念来分析稳定性，则将带来极大 的方便。为此，首先引出矩阵范数的定义。 定义 矩阵A的范数定义为 1
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李氏第一法是通过求解系统的微分方程，然后 根据解的性质来判断系统的稳定性。其基本思路与 分析方法和经典理论是一致的。该方法又称为间接 法。 而李氏第二法的特点是不必求解系统的微分方 程（或状态方程），而是首先构造一个类似于能量 函数的李雅普诺夫函数，然后再根据李雅普诺夫函 数的性质直接判断系统的稳定性。因此，该方法又 称为直接法。
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对于线性定常系统，其状态方程为
Ax x
系统的平衡状态应满足Axe = 0。 当A是非奇异的，则系统存在唯一的一个平衡状态 xe = 0 。 当A是奇异的，则系统有无穷多个平衡状态。 显然对线性定常系统来说，当A是非奇异的，只有 坐标原点是系统的唯一的一个平衡点。
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对于非线性系统，方程f( xe，t) = 0的解可能 有多个，即可能有多个平衡状态。如