最新常微分课后答案解析第二章

第一章 绪论

§1.1 微分方程：某些物理过程的数学模型

§1.2 基本概念

习题1.2

1．指出下面微分方程的阶数，并回答方程是否线性的：

（1）

y x dx

dy

-=24； （2）0122

2

2=+⎪⎭⎫ ⎝⎛-xy dx dy dx y d ； （3）0322

=-+⎪

⎭

⎫ ⎝⎛y dx dy x dx dy ； （4）x xy dx dy dx y d x

sin 352

2=+-； （5）

02cos =++x y dx

dy

； （6）x e dx y d y

=+⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛22sin ． 解 （1）一阶线性微分方程；

（2）二阶非线性微分方程； （3）一阶非线性微分方程； （4）二阶线性微分方程； （5）一阶非线性微分方程； （6）二阶非线性微分方程．

2．试验证下面函数均为方程02

2

2=+y dx

y d ω的解，这里0>ω是常数． （1）x y ωcos =；

（2）11(cos C x C y ω=是任意常数)； （3）x y ωsin =；

（4）22(sin C x C y ω=是任意常数)；

（5）2121,(sin cos C C x C x C y ωω+=是任意常数)； （6）B A B x A y ,()sin(+=ω是任意常数)．

解 （1）y x dx y d x dx

dy

2222cos ,sin ωωωωω-=-=-=，所以02

2

2=+y dx

y d ω，故x y ωcos =为方程的解．

（2）y x C y x C y 2

2

11cos ,

sin ωωωωω-=-=''-='，所以0222=+y dx

y

d ω，故

x C y ωcos 1=为方程的解．

（3）y x dx y d x dx

dy

2

222sin ,cos ωωωωω-=-==，所以022

2=+y dx

y d ω，故x y ωsin =为方程的解．

（4）y x C y x C y 2

2

22sin ,

cos ωωωωω-=-=''='，所以022

2=+y dx

y d ω，故x C y ωsin 2=为方程的解．

（5）y x C x C y x C x C y 2222121sin cos ,

cos sin ωωωωωωωωω-=--=''+-='，

所以022

2=+y dx

y

d ω，故x C x C y ωωsin cos 21+=为方程的解． （6）y B x A y B x A y 2

2

)sin(,

)cos(ωωωωω-=+-=''+='，故02

2

2=+y dx

y d ω，因此)sin(B x A y +=ω为方程的解．

3．验证下列各函数是相应微分方程的解： （1）x

x

y sin =

，x y y x cos =+'； （2）212x C y -+=，x xy y x 2)1(2

=+'-（C 是任意常数）； （3）x

Ce y =，02=+'-''y y y （C 是任意常数）； （4）x

e y =，x x x

e ye y e

y 2212-=-+'-；

（5）x y sin =，0cos sin sin 22

2

=-+-+'x x x y y y ； （6）x

y 1-

=，12

22++='xy y x y x ； （7）12

+=x y ，x y x y y 2)1(2

2

++-='；

（8）)()(x f x g y =

，)

()

()()(2x f x g y x g x f y '-'='．

证明 （1）因为2

sin cos x

x x x y -='，所以x x x

x x x x y y x cos sin sin cos =+-=+'． （2）由于2

1x

Cx y --

='，故

x x C x x Cx x xy y x 2)12(1)1()1(22

22=-++--⋅

-=+'-．

（3）由于x

Ce y ='，x

Ce y =''，于是022=+-=+'-''x

x

x

Ce Ce Ce y y y ．

（4）由x e y ='，因此x x x x x x x x

e e e e e e ye y e

y 22212)(2-=⋅-+⋅=-+'--．

（5）因为x y cos ='，所以

0cos sin sin sin 2sin cos cos sin sin 22222=-+⋅-+=-+-+'x x x x x x x x x y y y ．

（6）从21x y ='，得11111222

22++=+⎪⎭

⎫

⎝⎛-⋅+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅=='xy y x x x x x y x ．

（7）由x y 2='，得到

x y x y x x x x x y 2)1(2)1)(1()1(2222222++-=+++-+=='．

（8）)()

()()()()()()()()()

()()()()(22

2x f x g y x g x f x f x g x f x g x g x f x f x g x f x g x f y '-'='-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅'='-'='． 4．给定一阶微分方程

x dx

dy

2=， （1）求出它的通解； （2）求通过点)4,1(的特解；

（3）求出与直线32+=x y 相切的解； （4）求出满足条件

21

=⎰

ydx 的解；

（5）绘出（2），（3），(4)中的解的图形． 解 （1）通解 C x xdx y +==⎰

2

2．

（2）由41==x y ，得到3=C ，所以过点)4,1(的特解为32

+=x y ．

（3）这时122=⇒=x x ，切点坐标为)5,1(，由51==x y ，得到4=C ，所以与直