高中数学空间向量和立体几何典型例题
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（1）求DP与CC1所成角的大小；（2）求DP与平面AA1D1D所成角的大小。
7．解：如图，以 为原点， 为单位长建立空间直角坐标系 ．
则 ， ．
连结 ， ．
在平面 中，延长 交 于 ．
设 ，
由已知 ，
由
可得 ．
解得 ，所以 ．
（Ⅰ）因为 ，
所以 ．
即 与 所成的角为 ．
（Ⅱ）平面 的一个法向量是 ．
空间向量与立体几何典型例题
一、选择题：
1．(2008全国Ⅰ卷理)已知三棱柱 的侧棱与底面边长都相等， 在底面 内的射影为 的中心，则 与底面 所成角的正弦值等于（C）
A． B． C． D．
1.解：C．由题意知三棱锥 为正四面体，设棱长为 ，则 ，棱柱的高 （即点 到底面 的距离），故 与底面 所成角的正弦值为 .
另解：设 为空间向量的一组基底， 的两两间的夹角为
长度均为 ，平面 的法向量为 ,
则 与底面 所成角的正弦值为 .
二、填空题：
1．(2008全国Ⅰ卷理)等边三角形 与正方形 有一公共边 ，二面角 的余弦值为 ， 分别是 的中点，则 所成角的余弦值等于 ．
1.答案： .设 ，作
，则 ， 为二面角 的平面角
（2）求异面直线PB与CD所成角的余弦值；（3）求点A到平面PCD的距离
5.解：如图，A(0,-1,0),B(1,-1,0),C(1,0,0),D(0,1,0),P(0,0,1)
所以
所以异面直线所成的角的余弦值为：
(2)设平面PCD的法向量为 ，
，所以 ；
令x=1,则y=z=1,所以 又
则，点A到平面PCD的距离为：
(Ⅱ)证法1：连接CD,则由(Ⅰ)知∠ACD就是直线AC与平面A1BC所成的角，∠ABA1就是二面角A1－BC－A的颊角，即∠ACD＝θ，∠ABA1=.
于是在RtΔADC中，sinθ= ,在RtΔADA1中，sin∠AA1D＝ ,
∴sinθ=sin∠AA1D,由于θ与∠AA1D都是锐角，所以θ＝∠AA1D.
在Rt△POA中，因为AP＝ ，AO＝1，所以OP＝1，
在Rt△PBO中，tan∠PBO＝
所以异面直线PB与CD所成的角是 .
（Ⅲ）假设存在点Q，使得它到平面PCD的距离为 .
设QD＝x，则 ，由（Ⅱ）得CD=OB= ，
在Rt△POC中，
所以PC=CD=DP,
由Vp-DQC=VQ-PCD,得 2，所以存在点Q满足题意，此时 .
由平面A1BC⊥侧面A1ABB1,且平面A1BC∩侧面A1ABB1＝A1B，
得AD⊥平面
A1BC.又BC 平面A1BC
所以AD⊥BC.
因为三棱柱ABC－A1B1C1是直三棱柱,
则AA1⊥底面ABC,所以AA1⊥BC.
又AA1∩AD=A,从而BC⊥侧面A1ABB1,
又AB 侧面A1ABB1，
故AB⊥BC.
平面 平面 ．
过 作 ，垂足为 ．
平面 平面 ，
平面 ．
的长即为点 到平面 的距离．
由（Ⅰ）知 ，又 ，且 ，
平面 ．
平面 ，
．
在 中， ， ，
． ．
点 到平面 的距离为 ．
解法二：
（Ⅰ） ， ，
．
又 ，
．
，
平面 ．
平面 ，
．
（Ⅱ）如图，以 为原点建立空间直角坐标系 ．
则 ．
设 ．
，
， ．
取 中点 ，连结 ．
由平面A1BC⊥侧面A1ABB1,且平面A1BC 侧面A1ABB1=A1B,得
AD⊥平面A1BC,又BC 平面A1BC，
所以AD⊥BC.
因为三棱柱ABC—A1B1C1是直三棱柱，
则AA1⊥底面ABC，
所以AA1⊥BC.
又AA1 AD=A,从而BC⊥侧面A1ABB1，
又AB 侧面A1ABB1，故AB⊥BC.
（Ⅰ）证明：直线 ；
（Ⅱ）求异面直线AB与MD所成角的大小；
（Ⅲ）求点B到平面OCD的距离。
2．方法一（综合法）
（1）取OB中点E，连接ME，NE
又
（2）
为异面直线 与 所成的角（或其补角）
作 连接
，
所以 与 所成角的大小为
（3） 点A和点B到平面OCD的距离相等，连接OP,过点A作
于点Q，
又 ,线段AQ的长就是点A到平面OCD的距离
（Ⅰ）求证： ；
（Ⅱ）求二面角 的大小；
（Ⅲ）求点 到平面 的距离．
4．解法一：
（Ⅰ）取 中点 ，连结 ．
，
．
，
．
，
平面 ．
平面 ，
．
（Ⅱ） ， ，
．
又 ，
．
又 ，即 ，且 ，
平面 ．
取 中点 ．连结 ．
， ．
是 在平面 内的射影，
．
是二面角 的平面角．
在 中， ， ， ，
．
二面角 的大小为 ．
（Ⅲ）由（Ⅰ）知 平面 ，
由(Ⅱ)知
设平面PCD的法向量为n=(x0,y0,z0).
则 所以 即 ，
取x0=1,得平面PCD的一个法向量为n=(1,1,1).
设 由 ，得 解y=- 或y= (舍去)，
此时 ，所以存在点Q满足题意，此时 .
7、(2008海南、宁夏理)如图，已知点P在正方体ABCD－A1B1C1D1的对角线BD1上，∠PDA=60°。
因为 ，
所以 ．
可得 与平面 所成的角为 ．
8. (2008湖北文)如图，在直三棱柱 中，平面 侧面
（Ⅰ）求证：
（Ⅱ）若 ，直线AC与平面 所成的角为 ，
二面角
8.本小题主要考查线面关系、直线与平面所成角、二面角等有关知识，考查空间想象能力和推理论证能力.（满分12分）
(Ⅰ)证明：如右图，过点A在平面A1ABB1内作AD⊥A1B于D，则
（Ⅱ）连结BO，在直角梯形ABCD中、BC∥AD，AD=2AB=2BC,
有OD∥BC且OD=BC,所以四边形OBCD是平行四边形，
所以OB∥DC.
由（Ⅰ）知，PO⊥OB,∠PBO为锐角，
所以∠PBO是异面直线PB与CD所成的角.
因为AD=2AB=2BC=2,在Rt△AOB中，AB=1,AO=1,
所以OB＝ ，
AB=c,则B(0,0,0),A(0,c,0), 于是
设平面A1BC的一个法向量为n=(x,y,z)，则
由 得
可取n=(0,-a,c)，于是 与n的夹角 为锐角，则 与 互为余角.
所以
于是由c＜b，得
即 又 所以
10. (2008湖南理)如图所示，四棱锥P-ABCD的底面ABCD是边长为1的菱形，∠BCD＝60°，
设P（0，0，t）,
∵｜PB｜=｜AB｜＝2 ，
∴t=2,P(0,0,2).
取AP中点E，连结BE，CE.
∵｜AC｜=｜PC｜,｜AB｜=｜BP｜,
∴CE⊥AP,BE⊥AP.
∴∠BEC是二面角B-AP-C的平面角.
∵E(0,1,1),
∴cos∠BEC=
∴二面角B-AP-C的大小为arccos
4．（2008北京理）如图，在三棱锥 中， ， ， ， ．
,
(1)设 与 所成的角为 ,
,
与 所成角的大小为
(2)
设平面OCD的法向量为 ,则
即
取 ,解得
设点B到平面OCD的距离为 ,则 为 在向量 上的投影的绝对值,
, .
所以点B到平面OCD的距离为
2．（2008安徽理）如图，在四棱锥 中，底面 四边长为1的菱形， , , , 为 的中点， 为 的中点。
（Ⅱ）解法1：连接CD，则由（Ⅰ）知 是直线AC与平面A1BC所成的角，
是二面角A1—BC—A的平面角，即
于是在Rt△ADC中， 在Rt△ADB中，
由AB＜AC，得 又 所以
解法2：由（Ⅰ）知，以点B为坐标原点，以BC、BA、BB1所在的直线分
别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设AA1=a,AC=b,
解法二：
(Ⅰ)同解法一.
(Ⅱ)以O为坐标原点， 的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向，建立空间直角坐标系O-xyz,依题意，易得A(0,-1,0),B(1,-1,0),C(1,0,0),D(0,1,0),
P(0,0,1),
所以
所以异面直线PB与CD所成的角是arccos ，
(Ⅲ)假设存在点Q，使得它到平面PCD的距离为 ，
6．本小题主要考查直线与平面的位置关系、异面直线所成角、点到平面的距离等基本知识，考查空间想象能力、逻辑思维能力和运算能力.满分12分.
解法一：
（Ⅰ）证明：在△PAD中PA=PD,O为AD中点，所以PO⊥AD,
又侧面PAD⊥底面ABCD,平面 平面ABCD=AD, 平面PAD，
所以PO⊥平面ABCD.
c,a
设平面A1BC的一个法向量为n=(x,y,z),
则由
可取n＝（0，－a，c），于是
n· =ac＞0， 与n的夹角为锐角,则与互为余角
sin=cos= ,
cos=
所以sin=cos=sin( ),又0＜，＜ ，所以+= .
9. (2008湖北理)如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，平面ABC⊥侧面A1ABB1.
， ，
， ．
是二面角 的平面角．
， ， ，
．
二面角 的大小为 ．
（Ⅲ） ，
在平面 内的射影为正 的中心 ，且 的长为点 到平面 的距离．
如（Ⅱ）建立空间直角坐标系 ．
，
点 的坐标为 ． ．
点 到平面 的距离为 ．
5．(2008福建文)如图，在四棱锥中，侧面PAD⊥底面ABCD,侧棱PA=PD= ,底面ABCD为直角梯形，其中BC∥AD,AB⊥CD,AD=2AB=2BC=2,O为AD中点。（1）求证：PO⊥平面ABCD;
，结合等边三角形
与正方形 可知此四棱锥为正四棱锥，则
,
故 所成角的余弦值
另解：以 为坐标原点，建立如图所示的直角坐标系，
则点 ,
,
则 ,
故 所成角的余弦值 .
三、解答题：
1．（2008安徽文）如图，在四棱锥 中，底面 四边长为1的菱形， , , , 为 的中点。
（Ⅰ）求异面直线AB与MD所成角的大小 ；
（Ⅰ）求证：AB⊥BC；
（Ⅱ）若直线AC与平面A1BC所成的角为θ,二面角A1-BC-A的大小为φ的大小关系，并予以证明.
9.本小题主要考查直棱柱、直线与平面所成角、二面角和线面关系等有关知识，同时考查空间想象能力和推理能力.（满分12分）
（Ⅰ）证明：如右图，过点A在平面A1ABB1内作
AD⊥A1B于D，则
∴sin∠BEC=
∴二面角B-AP-C的大小为aresin
解法二：
（Ⅰ）∵AC=BC,AP=BP,
∴△APC≌△BPC.
又PC⊥AC.
∴PC⊥BC.
∵AC∩BC=C,
∴PC⊥平面ABC.
∵AB 平面ABC，
∴PC⊥AB.Fra Baidu bibliotek
(Ⅱ)如图，以C为原点建立空间直角坐标系C-xyz.
则C（0，0，0），A（0，2，0），B（2，0，0）.
又由RtΔA1AB知，∠AA1D＋＝∠AA1B＋＝ ，故θ＋＝ .
证法2：由(Ⅰ)知，以点B为坐标原点，以BC、BA、BB1所在的直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系.
设AB=c（c＜a＝，则B(0,0,0)，A(0,c,0)，C( ),
A1(0,c,a)，于是 ， ＝（0，c,a）,
6．(2008福建理)如图，在四棱锥P-ABCD中，则面PAD⊥底面ABCD，侧棱PA=PD＝ ，底面ABCD为直角梯形，其中BC∥AD,AB⊥AD,AD=2AB=2BC=2,O为AD中点.
（Ⅰ）求证：PO⊥平面ABCD；
（Ⅱ）求异面直线PD与CD所成角的大小；
（Ⅲ）线段AD上是否存在点Q，使得它到平面PCD的距离为 ？若存在，求出 的值；若不存在，请说明理由.
3．（2008北京文）如图，在三棱锥P-ABC中，AC=BC=2，∠ACB=90°，AP=BP=AB，PC⊥AC.
（Ⅰ）求证：PC⊥AB；
（Ⅱ）求二面角B-AP-C的大小.
3．解法一：（Ⅰ）取AB中点D，连结PD，CD.
∵AP=BP，
∴PD⊥AB.
∵AC=BC.
∴CD⊥AB.
∵PD∩CD＝D.
∴AB⊥平面PCD.
（Ⅱ）求点B到平面OCD的距离。
1．方法一（综合法）
（1）
为异面直线 与 所成的角（或其补角）
作 连接
，
所以 与 所成角的大小为
（２） 点A和点B到平面OCD的距离相等，
连接OP,过点A作 于点Q，
又 ,
线段AQ的长就是点A到平面OCD的距离
，
，所以点B到平面OCD的距离为
方法二(向量法)作 于点P,如图,分别以AB,AP,AO所在直线为 轴建立坐标系
∵PC 平面PCD，
∴PC⊥AB.
（Ⅱ）∵AC=BC,AP=BP,
∴△APC≌△BPC.
又PC⊥AC，
∴PC⊥BC.
又∠ACB＝90°，即AC⊥BC，
且AC∩PC=C，
∴AB＝BP，
∴BE⊥AP.
∵EC是BE在平面PAC内的射影，
∴CE⊥AP.
∴∠BEC是二面角B-AP-C的平面角.
在△BCE中，∠BCE=90°,BC=2,BE= ，
，
，所以点B到平面OCD的距离为
方法二(向量法)
作 于点P,如图,分别以AB,AP,AO所在直线为 轴建立坐标系
,
(1)
设平面OCD的法向量为 ,则
即
取 ,解得
(2)设 与 所成的角为 ,
, 与 所成角的大小为
(3)设点B到平面OCD的交流为 ,则 为 在向量 上的投影的绝对值,
由 ,得 .所以点B到平面OCD的距离为
7．解：如图，以 为原点， 为单位长建立空间直角坐标系 ．
则 ， ．
连结 ， ．
在平面 中，延长 交 于 ．
设 ，
由已知 ，
由
可得 ．
解得 ，所以 ．
（Ⅰ）因为 ，
所以 ．
即 与 所成的角为 ．
（Ⅱ）平面 的一个法向量是 ．
空间向量与立体几何典型例题
一、选择题：
1．(2008全国Ⅰ卷理)已知三棱柱 的侧棱与底面边长都相等， 在底面 内的射影为 的中心，则 与底面 所成角的正弦值等于（C）
A． B． C． D．
1.解：C．由题意知三棱锥 为正四面体，设棱长为 ，则 ，棱柱的高 （即点 到底面 的距离），故 与底面 所成角的正弦值为 .
另解：设 为空间向量的一组基底， 的两两间的夹角为
长度均为 ，平面 的法向量为 ,
则 与底面 所成角的正弦值为 .
二、填空题：
1．(2008全国Ⅰ卷理)等边三角形 与正方形 有一公共边 ，二面角 的余弦值为 ， 分别是 的中点，则 所成角的余弦值等于 ．
1.答案： .设 ，作
，则 ， 为二面角 的平面角
（2）求异面直线PB与CD所成角的余弦值；（3）求点A到平面PCD的距离
5.解：如图，A(0,-1,0),B(1,-1,0),C(1,0,0),D(0,1,0),P(0,0,1)
所以
所以异面直线所成的角的余弦值为：
(2)设平面PCD的法向量为 ，
，所以 ；
令x=1,则y=z=1,所以 又
则，点A到平面PCD的距离为：
(Ⅱ)证法1：连接CD,则由(Ⅰ)知∠ACD就是直线AC与平面A1BC所成的角，∠ABA1就是二面角A1－BC－A的颊角，即∠ACD＝θ，∠ABA1=.
于是在RtΔADC中，sinθ= ,在RtΔADA1中，sin∠AA1D＝ ,
∴sinθ=sin∠AA1D,由于θ与∠AA1D都是锐角，所以θ＝∠AA1D.
在Rt△POA中，因为AP＝ ，AO＝1，所以OP＝1，
在Rt△PBO中，tan∠PBO＝
所以异面直线PB与CD所成的角是 .
（Ⅲ）假设存在点Q，使得它到平面PCD的距离为 .
设QD＝x，则 ，由（Ⅱ）得CD=OB= ，
在Rt△POC中，
所以PC=CD=DP,
由Vp-DQC=VQ-PCD,得 2，所以存在点Q满足题意，此时 .
由平面A1BC⊥侧面A1ABB1,且平面A1BC∩侧面A1ABB1＝A1B，
得AD⊥平面
A1BC.又BC 平面A1BC
所以AD⊥BC.
因为三棱柱ABC－A1B1C1是直三棱柱,
则AA1⊥底面ABC,所以AA1⊥BC.
又AA1∩AD=A,从而BC⊥侧面A1ABB1,
又AB 侧面A1ABB1，
故AB⊥BC.
平面 平面 ．
过 作 ，垂足为 ．
平面 平面 ，
平面 ．
的长即为点 到平面 的距离．
由（Ⅰ）知 ，又 ，且 ，
平面 ．
平面 ，
．
在 中， ， ，
． ．
点 到平面 的距离为 ．
解法二：
（Ⅰ） ， ，
．
又 ，
．
，
平面 ．
平面 ，
．
（Ⅱ）如图，以 为原点建立空间直角坐标系 ．
则 ．
设 ．
，
， ．
取 中点 ，连结 ．
由平面A1BC⊥侧面A1ABB1,且平面A1BC 侧面A1ABB1=A1B,得
AD⊥平面A1BC,又BC 平面A1BC，
所以AD⊥BC.
因为三棱柱ABC—A1B1C1是直三棱柱，
则AA1⊥底面ABC，
所以AA1⊥BC.
又AA1 AD=A,从而BC⊥侧面A1ABB1，
又AB 侧面A1ABB1，故AB⊥BC.
（Ⅰ）证明：直线 ；
（Ⅱ）求异面直线AB与MD所成角的大小；
（Ⅲ）求点B到平面OCD的距离。
2．方法一（综合法）
（1）取OB中点E，连接ME，NE
又
（2）
为异面直线 与 所成的角（或其补角）
作 连接
，
所以 与 所成角的大小为
（3） 点A和点B到平面OCD的距离相等，连接OP,过点A作
于点Q，
又 ,线段AQ的长就是点A到平面OCD的距离
（Ⅰ）求证： ；
（Ⅱ）求二面角 的大小；
（Ⅲ）求点 到平面 的距离．
4．解法一：
（Ⅰ）取 中点 ，连结 ．
，
．
，
．
，
平面 ．
平面 ，
．
（Ⅱ） ， ，
．
又 ，
．
又 ，即 ，且 ，
平面 ．
取 中点 ．连结 ．
， ．
是 在平面 内的射影，
．
是二面角 的平面角．
在 中， ， ， ，
．
二面角 的大小为 ．
（Ⅲ）由（Ⅰ）知 平面 ，
由(Ⅱ)知
设平面PCD的法向量为n=(x0,y0,z0).
则 所以 即 ，
取x0=1,得平面PCD的一个法向量为n=(1,1,1).
设 由 ，得 解y=- 或y= (舍去)，
此时 ，所以存在点Q满足题意，此时 .
7、(2008海南、宁夏理)如图，已知点P在正方体ABCD－A1B1C1D1的对角线BD1上，∠PDA=60°。
因为 ，
所以 ．
可得 与平面 所成的角为 ．
8. (2008湖北文)如图，在直三棱柱 中，平面 侧面
（Ⅰ）求证：
（Ⅱ）若 ，直线AC与平面 所成的角为 ，
二面角
8.本小题主要考查线面关系、直线与平面所成角、二面角等有关知识，考查空间想象能力和推理论证能力.（满分12分）
(Ⅰ)证明：如右图，过点A在平面A1ABB1内作AD⊥A1B于D，则
（Ⅱ）连结BO，在直角梯形ABCD中、BC∥AD，AD=2AB=2BC,
有OD∥BC且OD=BC,所以四边形OBCD是平行四边形，
所以OB∥DC.
由（Ⅰ）知，PO⊥OB,∠PBO为锐角，
所以∠PBO是异面直线PB与CD所成的角.
因为AD=2AB=2BC=2,在Rt△AOB中，AB=1,AO=1,
所以OB＝ ，
AB=c,则B(0,0,0),A(0,c,0), 于是
设平面A1BC的一个法向量为n=(x,y,z)，则
由 得
可取n=(0,-a,c)，于是 与n的夹角 为锐角，则 与 互为余角.
所以
于是由c＜b，得
即 又 所以
10. (2008湖南理)如图所示，四棱锥P-ABCD的底面ABCD是边长为1的菱形，∠BCD＝60°，
设P（0，0，t）,
∵｜PB｜=｜AB｜＝2 ，
∴t=2,P(0,0,2).
取AP中点E，连结BE，CE.
∵｜AC｜=｜PC｜,｜AB｜=｜BP｜,
∴CE⊥AP,BE⊥AP.
∴∠BEC是二面角B-AP-C的平面角.
∵E(0,1,1),
∴cos∠BEC=
∴二面角B-AP-C的大小为arccos
4．（2008北京理）如图，在三棱锥 中， ， ， ， ．
,
(1)设 与 所成的角为 ,
,
与 所成角的大小为
(2)
设平面OCD的法向量为 ,则
即
取 ,解得
设点B到平面OCD的距离为 ,则 为 在向量 上的投影的绝对值,
, .
所以点B到平面OCD的距离为
2．（2008安徽理）如图，在四棱锥 中，底面 四边长为1的菱形， , , , 为 的中点， 为 的中点。
（Ⅱ）解法1：连接CD，则由（Ⅰ）知 是直线AC与平面A1BC所成的角，
是二面角A1—BC—A的平面角，即
于是在Rt△ADC中， 在Rt△ADB中，
由AB＜AC，得 又 所以
解法2：由（Ⅰ）知，以点B为坐标原点，以BC、BA、BB1所在的直线分
别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设AA1=a,AC=b,
解法二：
(Ⅰ)同解法一.
(Ⅱ)以O为坐标原点， 的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向，建立空间直角坐标系O-xyz,依题意，易得A(0,-1,0),B(1,-1,0),C(1,0,0),D(0,1,0),
P(0,0,1),
所以
所以异面直线PB与CD所成的角是arccos ，
(Ⅲ)假设存在点Q，使得它到平面PCD的距离为 ，
6．本小题主要考查直线与平面的位置关系、异面直线所成角、点到平面的距离等基本知识，考查空间想象能力、逻辑思维能力和运算能力.满分12分.
解法一：
（Ⅰ）证明：在△PAD中PA=PD,O为AD中点，所以PO⊥AD,
又侧面PAD⊥底面ABCD,平面 平面ABCD=AD, 平面PAD，
所以PO⊥平面ABCD.
c,a
设平面A1BC的一个法向量为n=(x,y,z),
则由
可取n＝（0，－a，c），于是
n· =ac＞0， 与n的夹角为锐角,则与互为余角
sin=cos= ,
cos=
所以sin=cos=sin( ),又0＜，＜ ，所以+= .
9. (2008湖北理)如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，平面ABC⊥侧面A1ABB1.
， ，
， ．
是二面角 的平面角．
， ， ，
．
二面角 的大小为 ．
（Ⅲ） ，
在平面 内的射影为正 的中心 ，且 的长为点 到平面 的距离．
如（Ⅱ）建立空间直角坐标系 ．
，
点 的坐标为 ． ．
点 到平面 的距离为 ．
5．(2008福建文)如图，在四棱锥中，侧面PAD⊥底面ABCD,侧棱PA=PD= ,底面ABCD为直角梯形，其中BC∥AD,AB⊥CD,AD=2AB=2BC=2,O为AD中点。（1）求证：PO⊥平面ABCD;
，结合等边三角形
与正方形 可知此四棱锥为正四棱锥，则
,
故 所成角的余弦值
另解：以 为坐标原点，建立如图所示的直角坐标系，
则点 ,
,
则 ,
故 所成角的余弦值 .
三、解答题：
1．（2008安徽文）如图，在四棱锥 中，底面 四边长为1的菱形， , , , 为 的中点。
（Ⅰ）求异面直线AB与MD所成角的大小 ；
（Ⅰ）求证：AB⊥BC；
（Ⅱ）若直线AC与平面A1BC所成的角为θ,二面角A1-BC-A的大小为φ的大小关系，并予以证明.
9.本小题主要考查直棱柱、直线与平面所成角、二面角和线面关系等有关知识，同时考查空间想象能力和推理能力.（满分12分）
（Ⅰ）证明：如右图，过点A在平面A1ABB1内作
AD⊥A1B于D，则
∴sin∠BEC=
∴二面角B-AP-C的大小为aresin
解法二：
（Ⅰ）∵AC=BC,AP=BP,
∴△APC≌△BPC.
又PC⊥AC.
∴PC⊥BC.
∵AC∩BC=C,
∴PC⊥平面ABC.
∵AB 平面ABC，
∴PC⊥AB.Fra Baidu bibliotek
(Ⅱ)如图，以C为原点建立空间直角坐标系C-xyz.
则C（0，0，0），A（0，2，0），B（2，0，0）.
又由RtΔA1AB知，∠AA1D＋＝∠AA1B＋＝ ，故θ＋＝ .
证法2：由(Ⅰ)知，以点B为坐标原点，以BC、BA、BB1所在的直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系.
设AB=c（c＜a＝，则B(0,0,0)，A(0,c,0)，C( ),
A1(0,c,a)，于是 ， ＝（0，c,a）,
6．(2008福建理)如图，在四棱锥P-ABCD中，则面PAD⊥底面ABCD，侧棱PA=PD＝ ，底面ABCD为直角梯形，其中BC∥AD,AB⊥AD,AD=2AB=2BC=2,O为AD中点.
（Ⅰ）求证：PO⊥平面ABCD；
（Ⅱ）求异面直线PD与CD所成角的大小；
（Ⅲ）线段AD上是否存在点Q，使得它到平面PCD的距离为 ？若存在，求出 的值；若不存在，请说明理由.
3．（2008北京文）如图，在三棱锥P-ABC中，AC=BC=2，∠ACB=90°，AP=BP=AB，PC⊥AC.
（Ⅰ）求证：PC⊥AB；
（Ⅱ）求二面角B-AP-C的大小.
3．解法一：（Ⅰ）取AB中点D，连结PD，CD.
∵AP=BP，
∴PD⊥AB.
∵AC=BC.
∴CD⊥AB.
∵PD∩CD＝D.
∴AB⊥平面PCD.
（Ⅱ）求点B到平面OCD的距离。
1．方法一（综合法）
（1）
为异面直线 与 所成的角（或其补角）
作 连接
，
所以 与 所成角的大小为
（２） 点A和点B到平面OCD的距离相等，
连接OP,过点A作 于点Q，
又 ,
线段AQ的长就是点A到平面OCD的距离
，
，所以点B到平面OCD的距离为
方法二(向量法)作 于点P,如图,分别以AB,AP,AO所在直线为 轴建立坐标系
∵PC 平面PCD，
∴PC⊥AB.
（Ⅱ）∵AC=BC,AP=BP,
∴△APC≌△BPC.
又PC⊥AC，
∴PC⊥BC.
又∠ACB＝90°，即AC⊥BC，
且AC∩PC=C，
∴AB＝BP，
∴BE⊥AP.
∵EC是BE在平面PAC内的射影，
∴CE⊥AP.
∴∠BEC是二面角B-AP-C的平面角.
在△BCE中，∠BCE=90°,BC=2,BE= ，
，
，所以点B到平面OCD的距离为
方法二(向量法)
作 于点P,如图,分别以AB,AP,AO所在直线为 轴建立坐标系
,
(1)
设平面OCD的法向量为 ,则
即
取 ,解得
(2)设 与 所成的角为 ,
, 与 所成角的大小为
(3)设点B到平面OCD的交流为 ,则 为 在向量 上的投影的绝对值,
由 ,得 .所以点B到平面OCD的距离为