建立空间直角坐标系建系的方法及技巧

建立空间直角坐标系建系的方法及技巧

立体几何（向量法）建系引入空间向量坐标运算，使解立体几何问题避免了传统方法进行繁琐的空间分析，只需建立空间直角坐标系进行向量运算，而如何建立恰当的坐标系，成为用向量解题的关键步骤之一．所谓“建立适当的坐标系”，一般应使尽量多的点在数轴上或便于计算

一、利用共顶点的互相垂直的三条棱构建直角坐标系 例1 （2020年全国卷（理科）新课标Ⅲ）

如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，点,E F 分别在棱11,DD BB 上，且12DE ED =，12BF FB =．

（1）证明：点1C 在平面AEF 内；

（2）若2AB =，1AD =，13AA =，求二面角1A EF A --的正弦值．

二、利用线面垂直关系构建直角坐标系 例2 （2016年全国数学新课标2卷）

如图,菱形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O,AB=5,AC=6,点E,F 分别在AD,CD

上,AE=CF=,EF 交BD 于点H.将△DEF 沿EF 折到△D'EF 的位置,OD'=.

（Ⅰ）证明:D'H⊥平面ABCD ． （Ⅱ）求二面角B-D'A-C 的正弦值.

三、利用面面垂直关系构建直角坐标系 例3：（2017年全国新课标2卷）

如图，四棱锥P-ABCD 中，侧面PAD 是边长为2的等边三角形且垂直于底ABCD ，

o 1

,90,2

AB BC AD BAD ABC ==

∠=∠=E 是PD 的中点． （1）证明：直线//CE 平面PAB ；

（2）点M 在棱PC 上，且直线BM 与底面ABCD 所成角为o 45，求二面角

M AB D --的余弦值．

四、利用图形中的对称关系建立坐标系

图形中虽没有明显交于一点的三条直线，但有一定对称关系（如正三棱柱、正四棱柱等），利用自身对称性可建立空间直角坐标系．

例4：（2020年全国卷（理科）新课标Ⅰ）

如图，D为圆锥的顶点，O是圆锥底面的圆心，AE为底面直径，AE AD

=．ABC

是底面的内接正三角形，P为DO上一点，

6

6

PO DO

=．

（1）证明：PA⊥平面PBC；

（2）求二面角B PC E

--的余弦值．

五、利用正棱锥的中心与高所在直线构建直角坐标系

例5：如图，在空间直角坐标系O﹣xyz中，已知正四棱锥P﹣ABCD的所有棱长均为6，底面正方形ABCD的中心在坐标原点，棱AD，BC平行于x轴，AB，CD平行于y轴，

顶点P在z轴的正半轴上，点M，N分别在线段P A，BD上，且

1

3 PM BN

PA BD

==．

（1）求直线MN与PC所成角的大小；（2）求锐二面角A﹣PN﹣D的余弦值．

:1．（1）证明见解析；（2）42

7

. 【分析】

（1）连接1C E 、1C F ，证明出四边形1AEC F 为平行四边形，进而可证得点1C 在平面AEF 内；

（2）以点1C 为坐标原点，11C D 、11C B 、1C C 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系1C xyz -，利用空间向量法可计算出二面角1A EF A --的余弦值，进而可求得二面角1A EF A --的正弦值. 【详解】

（1）在棱1CC 上取点G ，使得11

2

C G CG =

，连接DG 、FG 、1C E 、1C F ，

在长方体1111ABCD A B C D -中，//AD BC 且AD BC =，11//BB CC 且11BB CC =，

112C G CG =，12BF FB =，1122

33

CG CC BB BF ∴===且CG BF =，

所以，四边形BCGF 为平行四边形，则//AF DG 且AF DG =， 同理可证四边形1DEC G 为平行四边形，1//C E DG ∴且1C E DG =，

1//C E AF ∴且1C E AF =，则四边形1AEC F 为平行四边形，

因此，点1C 在平面AEF 内；

（2）以点1C 为坐标原点，11C D 、11C B 、1C C 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立如下图所示的空间直角坐标系1C xyz -，

则()2,1,3A 、()12,1

,0A 、()2,0,2E 、()0,1,1F ， ()0,1,1AE =--，()2,0,2AF =--，()10,1,2A E =-，()12,0,1A F =-，

设平面AEF 的法向量为()111,,m x y z =，

由0

m AE m AF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，得11110220y z x z --=⎧⎨--=⎩取11z =-，得111x y ==，则()1,1,1m =-，

设平面1A EF 的法向量为()222,,n x y z =，

由110

n A E n A F ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，得22222020y z x z -+=⎧⎨-+=⎩，取22z =，得21x =，24y =，则()1,4,2n =，

37

cos ,321

m n m n m n

⋅<>=

=

=⨯⋅ 设二面角1A EF A --的平面角为θ，则7

cos 7

θ=

，242sin 1cos 7θθ∴=-=. 因此，二面角1A EF A --的正弦值为

42

7

.