建立空间直角坐标系建系的方法及技巧

建立空间直角坐标系建系的方法及技巧
立体几何（向量法）建系引入空间向量坐标运算，使解立体几何问题避免了传统方法进行繁琐的空间分析，只需建立空间直角坐标系进行向量运算，而如何建立恰当的坐标系，成为用向量解题的关键步骤之一．所谓“建立适当的坐标系”，一般应使尽量多的点在数轴上或便于计算
一、利用共顶点的互相垂直的三条棱构建直角坐标系 例1 （2020年全国卷（理科）新课标Ⅲ）
如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，点,E F 分别在棱11,DD BB 上，且12DE ED =，12BF FB =．
（1）证明：点1C 在平面AEF 内；
（2）若2AB =，1AD =，13AA =，求二面角1A EF A --的正弦值．
二、利用线面垂直关系构建直角坐标系 例2 （2016年全国数学新课标2卷）
如图,菱形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O,AB=5,AC=6,点E,F 分别在AD,CD
上,AE=CF=,EF 交BD 于点H.将△DEF 沿EF 折到△D'EF 的位置,OD'=.
（Ⅰ）证明:D'H⊥平面ABCD ． （Ⅱ）求二面角B-D'A-C 的正弦值.
三、利用面面垂直关系构建直角坐标系 例3：（2017年全国新课标2卷）
如图，四棱锥P-ABCD 中，侧面PAD 是边长为2的等边三角形且垂直于底ABCD ，
o 1
,90,2
AB BC AD BAD ABC ==
∠=∠=E 是PD 的中点． （1）证明：直线//CE 平面PAB ；
（2）点M 在棱PC 上，且直线BM 与底面ABCD 所成角为o 45，求二面角
M AB D --的余弦值．
四、利用图形中的对称关系建立坐标系
图形中虽没有明显交于一点的三条直线，但有一定对称关系（如正三棱柱、正四棱柱等），利用自身对称性可建立空间直角坐标系．
例4：（2020年全国卷（理科）新课标Ⅰ）
如图，D为圆锥的顶点，O是圆锥底面的圆心，AE为底面直径，AE AD
=．ABC
是底面的内接正三角形，P为DO上一点，
6
6
PO DO
=．
（1）证明：PA⊥平面PBC；
（2）求二面角B PC E
--的余弦值．
五、利用正棱锥的中心与高所在直线构建直角坐标系
例5：如图，在空间直角坐标系O﹣xyz中，已知正四棱锥P﹣ABCD的所有棱长均为6，底面正方形ABCD的中心在坐标原点，棱AD，BC平行于x轴，AB，CD平行于y轴，
顶点P在z轴的正半轴上，点M，N分别在线段P A，BD上，且
1
3 PM BN
PA BD
==．
（1）求直线MN与PC所成角的大小；（2）求锐二面角A﹣PN﹣D的余弦值．
:1．（1）证明见解析；（2）42
7
. 【分析】
（1）连接1C E 、1C F ，证明出四边形1AEC F 为平行四边形，进而可证得点1C 在平面AEF 内；
（2）以点1C 为坐标原点，11C D 、11C B 、1C C 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系1C xyz -，利用空间向量法可计算出二面角1A EF A --的余弦值，进而可求得二面角1A EF A --的正弦值. 【详解】
（1）在棱1CC 上取点G ，使得11
2
C G CG =
，连接DG 、FG 、1C E 、1C F ，
在长方体1111ABCD A B C D -中，//AD BC 且AD BC =，11//BB CC 且11BB CC =，
112C G CG =，12BF FB =，1122
33
CG CC BB BF ∴===且CG BF =，
所以，四边形BCGF 为平行四边形，则//AF DG 且AF DG =， 同理可证四边形1DEC G 为平行四边形，1//C E DG ∴且1C E DG =，
1//C E AF ∴且1C E AF =，则四边形1AEC F 为平行四边形，
因此，点1C 在平面AEF 内；
（2）以点1C 为坐标原点，11C D 、11C B 、1C C 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立如下图所示的空间直角坐标系1C xyz -，
则()2,1,3A 、()12,1
,0A 、()2,0,2E 、()0,1,1F ， ()0,1,1AE =--，()2,0,2AF =--，()10,1,2A E =-，()12,0,1A F =-，
设平面AEF 的法向量为()111,,m x y z =，
由0
m AE m AF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，得11110220y z x z --=⎧⎨--=⎩取11z =-，得111x y ==，则()1,1,1m =-，
设平面1A EF 的法向量为()222,,n x y z =，
由110
n A E n A F ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，得22222020y z x z -+=⎧⎨-+=⎩，取22z =，得21x =，24y =，则()1,4,2n =，
37
cos ,321
m n m n m n
⋅<>=
=
=⨯⋅ 设二面角1A EF A --的平面角为θ，则7
cos 7
θ=
，242sin 1cos 7θθ∴=-=. 因此，二面角1A EF A --的正弦值为
42
7
.
【点睛】
本题考查点在平面的证明，同时也考查了利用空间向量法求解二面角角，考查推理能力与计算能力，属于中等题.
2．（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）.
【来源】
【解析】
试题分析：（Ⅰ）证，再证，最后证；（Ⅱ）用向量法求解.
试题解析：（Ⅰ）由已知得，，又由得，故.
因此，从而.由,得.
由得.所以，.
于是，
故.
又，而，
所以.
（Ⅱ）如图，以为坐标原点，的方向为轴正方向，建立空间直角坐标系，则，，，，，，，
.设是平面的法向量，则，即
，所以可取.设是平面的法向量，则
，即，所以可取.于是
，.因此二面角的正弦值是
.
【考点】线面垂直的判定、二面角.
【名师点睛】证明直线和平面垂直的常用方法有：①判定定理；②a ∥b ，a ⊥α⇒b ⊥α；③α∥β，a ⊥α⇒a ⊥β；④面面垂直的性质．线面垂直的性质，常用来证明线线垂直．求二面角最常用的方法就是分别求出二面角的两个平面的法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求角是锐角还是钝角．
3．（1）见解析；（2）10
5
【详解】
试题分析：（1） 取PA 的中点F ，连结EF ，BF ，由题意证得CE ∥BF ，利用线面平行的判断定理即可证得结论；（2）建立空间直角坐标系，求得半平面的法向量：(0,6,2)m =-，
()0,0,1n =，然后利用空间向量的相关结论可求得二面角M AB D --的余弦值为
10
5
． 试题解析：（1）取PA 中点F ，连结EF ，BF ． 因为E 为PD 的中点，所以//EF AD ,1
2
EF AD =,由90BAD ABC ∠=∠=︒得//BC AD ，又1
2
BC AD =
所以
．四边形BCEF 为平行四边形， //CE BF ．
又BF PAB ⊂平面，CE PAB ⊄平面，故//CE PAB 平面
（2）
由已知得BA AD ⊥,以A 为坐标原点，AB 的方向为x 轴正方向，AB 为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz,则
则()000A ，，
，()100B ，，，()110C ，，，(013P ，，， (103PC =，，,()100AB ，，=则
()(1,13BM x y z PM x y z =-=-，，，，
因为BM 与底面ABCD 所成的角为45°，而()001n =，，是底面ABCD 的法向量，所以 0
,cos sin45BM n =()
2
22
z
21x y z =
-++
即（x-1）²+y²-z²=0
又M 在棱PC 上,设,PM PC λ=则 x ,1,33y z λλ===
由①，②得()22x=1+x=1-22y=1y=166
z z 22⎧⎧⎪⎪
⎪⎪⎪⎪
⎨⎨⎪⎪
⎪⎪=-=⎪⎪⎩⎩舍去，
所以M 261-,1，⎛ ⎝⎭，从而26AM 1-2⎛= ⎝⎭
， 设()000x ,y ,z m =是平面ABM 的法向量，则
(
0000x 2y 0
·AM 0·AB 0x 0m m ⎧++=⎧=⎪⎨⎨
==⎩⎪⎩
即
所以可取(0,2)m =.于是·10
,5
m n cos m n m
n
=
=
因此二面角M-AB-D 的余弦值为
5
点睛:（1）求解本题要注意两点：
①两平面的法向量的夹角不一定是所求的二面角，②利用方程思想进行向量运算，要认真细心、准确计算．
（2）设m ，n 分别为平面α，β的法向量，则二面角θ与<m ，n >互补或相等，故有|cos θ|＝|cos<m ，n >|=
·m n m
n
．求解时一定要注意结合实际图形判断所求角是锐角还是钝角．
4．（1）证明见解析；（2. 【分析】
（1）要证明PA ⊥平面PBC ，只需证明PA PB ⊥，PA PC ⊥即可；
（2）以O 为坐标原点，OA 为x 轴，ON 为y 轴建立如图所示的空间直角坐标系，分别算出平面PCB 的法向量为n ，平面PCE 的法向量为m ，利用公式cos ,||||
n m
m n n m ⋅<>=计算即
可得到答案. 【详解】
（1）由题设，知DAE △为等边三角形，设1AE =， 则DO =
，11
22CO BO AE ===
，所以
4
PO DO =
=
PC PB ==
== 又
ABC 为等边三角形，则
2sin 60BA OA =，所以BA =，
2223
4
PA PB AB +=
=，则90APB ∠=，所以PA PB ⊥， 同理PA PC ⊥，又PC PB P =，所以PA ⊥平面PBC ；
（2）过O 作ON ∥BC 交AB 于点N ，因为PO ⊥平面ABC ，以O 为坐标原点，OA 为x 轴，
ON 为y 轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则121313(,0,0),(0,0,(,(,244444
E P B C ----， 132(,)444PC =---，132()444PB =--，12(,0,24
PE =--， 设平面PCB 的一个法向量为111(,,)n x y z =，
由00n PC n PB ⎧⋅=⎨⋅=⎩，得111111320320
x y z x y z ⎧---=⎪⎨-+-=⎪⎩，令12x =，得111,0z y =-=， 所以(2,0,1)n =-，
设平面PCE 的一个法向量为222(,,)m x y z =
由00m PC m PE ⎧⋅=⎨⋅=⎩，得22222320220
x z x z ⎧--=⎪⎨-=⎪⎩，令21x =，得2232,3z y ==， 所以3(1,,2)3
m = 故2225cos ,||||1033n m m n n m ⋅<>=
==⋅⨯ 设二面角B PC E --的大小为θ，则5cos 5
θ=
. 【点晴】
本题主要考查线面垂直的证明以及利用向量求二面角的大小，考查学生空间想象能力，数学运算能力，是一道容易题.
5．（1）30︒；（2
）
11
． 【分析】
（1）首先建立空间直角坐标系，然后求出M ，N ，P ，C 点坐标，根据点坐标即可求出直线MN 与PC 所成角的大小；
（2）首先求出平面APN 与平面PND 的法向量，根据二面角公式即可求出二面角A ﹣PN ﹣D 的余弦值.
【详解】
解：（1）如图，已知正四棱锥P ﹣ABCD 的所有棱长均为6， ()3,3,0A -，()3,3,0B ，()3,3,0C -，()3,3,0D --
，(P ，
设()111,,M x y z ，()222,,N x y z ， 由13PM BN PA BD ==，得13PM PA =，13
BN BD =，
即(
(1111,,3,3,3x y z -=--，所以11x =，11y =-
，1z = 由()()2213,3,06,6,03
x y --=--，得21x =，21y =故()1,1,0N ，
所(0,2,MN =-
，(3,3,PC =--，
所以
,cos 2
MN PC -⋅-===， 所以直线MN 与PC 所成的角为30；
（2）因为AC ⊥平面PBD ，设平面PBD 的法向量()1,1,0m =-，
设平面P AN 的法向量为
(),,n x y z =，(
3,3,PA =--，(1,1,PN =-， 由00n PA n PN ⎧⋅
=⎨⋅=
⎩，得3300x y x y ⎧--=⎪⎨
+-=⎪⎩，故()
22,n =，
所以
22211
,
11
211
cos m n
-+
==-
⋅
，
故锐二面角A﹣PN﹣D的余弦值为
11 11
．
【点睛】
本题主要考查了利用空间向量求解几何体中线线角与面面角，属于一般题.。