清华大学流体力学讲义第一章 绪论

第一章绪论

§1.1 计算流体力学简介

（一）什么是计算流体力学

1．以计算机作为模拟手段，运用一定的计算技术寻求流体力学各种复杂问题的

离散化数值解。

●数值解而不是解析解；

●计算技术起关键作用；

●与计算机的发展紧密相关

2．计算流体力学、理论流体力学、实验流体力学是流体力学研究工作的三种主

要手段――既互相独立又相辅相成

⏹理论分析具有普遍性――各种影响因素清晰可见、为实验和计算研究

提供依据

⏹实验研究仍是研究工作的基石，数值研究的许多方面都密切依赖于实

验研究：实验提供数据；计算结果需由实验验证；观察实验现象分析

实验数据以建立计算模型等等。

⏹数值模拟是特殊意义下的实验，也称数值实验

（二）计算流体力学研究工作的方向

1．与现代计算技术的发展相关联的研究方向：（与计算物理，计算力学发展、图形学、网格技术等）

2．与离散数学的理论研究相关连的研究方向；

离散化理论、边界条件数值处理的稳定性分析、格式的熵条件等

3．在一些相关学科的边缘上寻求新的发展点；

4．解决众多相关学科的的科研工作和工程实际提出的与流体力学问题有关的各类复杂的问题

机械、航天航空、气象、海洋、石油、环境（包括气动噪音控制）、建筑、（三）计算流体力学研究工作的优势、存在的问题和困难

1．优势：

“数值实验”比“物理实验”具有更大的自由度和灵活性，例如“自由”地选

取各种参数等

“数值实验”可以进行“物理实验”不可能或很难进行的实验；例如：天体内

部地温度场数值模拟，可控热核反应地数值模拟

“数值实验”的经济效益极为显著，而且将越来越显著；

2．问题与不足

流动机理不明的问题，数值工作无法进行；

数值工作自身仍然有许多理论问题有待解决；

离散化不仅引起定量的误差，同时也会引起定性的误差，所以数值工作仍然离不开实验的验证；

§1.2 流体力学微分方程的数学性质

当微分方程转化为差分方程并用数值方法求解时，不同类型的微分方程，其数

值处理方法各异，其中包括提法的适定性、物理解的性质、差分格式的适用性

等；

在一些特殊的问题中，甚至通过差分格式的特殊技巧来改变方程的数学性质

（一）一阶拟线性微分方程组的分类

对于一阶拟线性微分方程组的向量形式：

F x t i

=∂∂+∂∂U A U 其中⎪⎪⎪⎪⎭

⎪

⎪⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧=n u u u U ...21 A 为n 阶矩阵

若：A 的特征值为的根即0),,...2,1(=-=I A λλn i i ,则：

⑴．当n 个特征值全部为复数时，称方程在 (t , x i )平面上为纯椭圆型； ⑵．当n 个特征值全部为互不相等的实数时，称方程在(t , x i )平面上为纯双

曲型；而当n 个特征值全部为实数，但有部分为相等的实数时，称方程在(t , x i )平面上为双曲型；

⑶．当n 个特征值全部为零时，称方程在 (t , x i )平面上为纯抛物型；

⑷．当n 个特征值部分为复数、部分为实数时，称方程在(t , x i )平面上为双曲椭圆型；

二阶拟线性方程组，可以通过降阶法进行类似的分析。(实例见后) （二） 流体力学控制方程数学分类的举例：

1． 二维定常理想流体流动的Euler 方程

ρ

γρρρρρρρp

a y

v x u a y p v x p u y p

y v v x v u x p y u v x u u y v

x u y v x u

==∂∂+∂∂-∂∂+∂∂∂∂-

=∂∂+∂∂∂∂-=∂∂+∂∂=∂∂+∂∂+∂∂+∂∂220)(110)( 写成向量形式：0=∂∂+∂∂y x U

B U A

0=∂∂+∂∂y

x U

C U

⎪⎪⎪⎪

⎪⎭⎫

⎝⎛=p v u ρU ⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎩⎪⎪⎨

⎧=u p

u u u A 0

000010000

γρρ ⎪⎪⎭

⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎩⎪⎪⎨

⎧=v p

v

v v B γρρ001

000000

⎪⎪

⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪

⎪⎬⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎩

⎪

⎪⎪⎪⎪⎨

⎧----

--

-------

==-222

22

22

2222

22

2222

222010

0)(0)(a u uv

a u u a u va u

u v a u v a u a a u uv a u u v a u u

a u v u v

γρρρρρρB A C 1

求矩阵C 的特征值得：

{}

2

22224

,32,1422222220)()]([)(a u a v u a uv u

v

a v u a a u uv u

v

--+±=

=

=++----λλλλ 如果：

双曲－椭圆型

两个实根，两个复根，）四个实根，双曲型

）10

2101222222<⇔<-+>⇔>-+M a v u M a v u 2。二维非定常理想流体流动的Euler 方程

0=∂∂+∂∂+∂∂y x t U

B U A U B A

C A

D U D U C U 11

--===∂∂+∂∂+∂∂0t

y x

求C 的特征值，结论与定常相同：得到在X-Y 平面的方程性质； 求D 的特征值，得：

a

u a u u a

u a u u -=

+===---+-11,10)1)(1()1(432,12λλλλλλ

为四个实根，即方程在Y-t 平面为双曲型；所以Euler 方程可以在时间座

标方向推进，而在定常问题中能否推进计算，必须根据流动是否为超音速（M 与1的关系）来定。

3．定常不可压缩 Navier –Stokes 方程的数学分类