投资学(高级教程)(04)-有效投资组合

（4.1）
n
n
n
因为 ZTF = [xi (1 ) yi ] = xi (1) yi = 1
i 1
i1
i1
所以 Z 。故为凸集。证毕。
附：凹函数（定义）：
对任意X、Y∈（凸集），若恒有：
f(w1X+w2Y) ≤ w1f(X)+w2f(Y) 则称 f(X) 为凹函数。(当“<”时，为严格凹函数)
同理(令h反号)可证证券组合中期望收益率同值上 升的情况。证毕。
性质6说明，当证券组合中的证券期望收益 率同值变动时,不会改变其组合期望收益率与风 险的关系。
问题：当证券组合中的证券期望收益率同值变
动时,不会改变其组合期望收益率与风险的关系， 但是否会改变原有效证券组合？换句话说，当 证券组合中的证券期望收益率同值变动时，原 （有效）证券组合是否需要调整？
所以
z2 [x+(1)y]2
故
z x+(1)y
由X、Y的任意性, 即证明了=(WTEW)1/2为凹函数。
定义4.1：一组已知的n种证券组合的“重新包装”可 以用n ×n 阶的非奇异矩阵A表示，其中
F＝AF
（4.2）
重新包装的证券组合收益率、期望收益率分别为：
r*＝Ar
(4.8)
有效集在空间的映射称为有效边界，为
M (R, ) min 2 W T EW,W T R R,W T F 1
(4.9)
有效集中的元素为有效证券组合，有效证券组合即指一 定投资期望收益率而风险最小的证券组合。有效集为可行 集的子集。
有效边界模型表示为：
min 2 W T EW
a' b'
令 B(
b'
) c'
，
由性质5知
(4.23)
a' RT E 1R H T E 1R RT E 1H H T E 1H a hFE 1R hRT E 1F h2 F T E 1F
a 2hb h2c
(4.24)
b' RT E 1F HT E 1F b hc
R
(Ⅱ) s.t W T R R
W T F 1
0
有效边界
σ
有效边界为可行集在空间映射域的左边界(上部)， 如图中实线所示。
性质4: 证券组合有效集为凸集。
证明： 设φ为证券组合有效集，对任意的X,Y∈φ ，其组合
记为： Z X (1)Y (0 1)
由于 Z T F [X (1)Y ]T F X T F (1)Y T F 1
（4.3）
R*＝AR
（4.4）
定义4.1说明，证券组合重新包装实际是一种线 性变换， 变换后的证券组合与原证券组合不同。
性质3: 在 R-空间具映射关系的n种证券组合, 经重
新包装且满足原映射关系的证券组合仍在原可行集中。
证明：设在 R -空间具有某映射关系的n种证券组合W由模
型（I）确定，A为重新包装矩阵，经过重新包装的证券组
L W
2EW 1R 2 F
0
L W T R R 0 1
L W T F 1 0 2
且令
B (R, F )T E 1(R, F )
（4.14） （4.15）
由于 E-1 对称, B-1 必对称，有
W E1(R, F )B1(R,1)T W T (R,1)B1(R, F )T E1

0
L W T (R H) R 0 1
且令
L W T F 1 0 2
B (R H, F)T E 1(R H, F)
由于 E-1对称, B-1必对称，有
W E 1(R H, F)B1(R h,1)T
W T (R h,1)B1(R H, F)T E 1
R
A
D B
C
O
σ
性质5: 在投资组合模型(Ⅱ)中，证券投资组合有效
集表达式为
W

E 1(R, F)
R, FT
E 1R, F
1
( R,1) T
（4.11）
有效集在 R 空间的映射(有效边界)是双曲线


1

ac

b2
(cR 2
2bR
a)1/2
（4.12）
c' F T E 1F c
(4.25) (4.26)
B 1

1 a' c'b' 2
c' b'
b'
a'


(a

2hb

1 h2c)c

(b

hc) 2
(b
c
hc)
(b hc) a 2hb h2c
1 c
(b hc)
ac b2 (b hc) a 2hb h2c
的映射称为可行集映射域。例如，3种证券投资组合可 行集及其映射域如图4.1所示。
w2
R
映射
有效边界
w1
O

w3 三证券组合可行域
投资组合模型的性质
性质1：n种证券组合所组成的集合为凸集。
证明：设为n 种证券组合组成的集合，对任意的 X，Y，则X与Y的组合Z为
Z = X＋(1)Y (0 1)
=E
所以，min 2 = WTE*W = WTEW
先证证券组合中期望收益率同值下降（即H前 取负号）的情况。用拉格朗日法求解，令
L(W ,1,2 ) W T EW 1 W T (R H ) R 2 (W T F 1)
L W

2 EW
1(R
H) 2F
有效集在 R 2 空间的映射(有效边界)是抛物线
2

ac
1
b2
(cR
2

2bR

a)
（4.13）
其中，a RT E 1R, b RT E 1F ，c F T E 1F 。
证明： 用拉格朗日法求解，令
L(W , 1, 2 ) W T EW 1 W T R R 2 (W T F 1)
f(X)
OX
Z
Y
（Z=w1X+w2Y ）
性质2：n种证券组合的风险函数为凹函数。
证明：设 为n种证券组合组成的集合，证券组
合风险函数为 = (WTEW)1/2 。 由性质1知，为凸集。任取两点X、Y，对
于X与Y的凸组合Z，有
Z = X＋(1)Y (01) z2 = ZTEZ
=2XTEX+(1)2YTEY +(1)XTEY+(1)YTEX
=2x2+(1)2y2+2(1)xy
又
[x+(1)y]2=2x2+(1)2y2+2(1)xy
因为
xy＝xyxy xy (xy为相关系数，-1xy1)
将式(4.16)、(4.17)代入模型(Ⅲ)，得
（4.16） （4.17）
2 W T EW
(R ,1)B1(R, F )T E 1EE1(R, F )B1(R ,1)T (R ,1)B1BB1(R ,1)T (R,1)B1(R,1)T
令
B

a (
b )
,其中
,
a RT E 1R,
证明：证券组合中所有证券期望收益率同值变动时， 证券组合优化模型(Ⅱ)变为：
min 2 W T E W
(Ⅲ) s.t. W T (R H) R W T F 1
其中，E*= (riRih)(rjRjh),
H = hF, h为所有证券期望收益率变动值。
因为 E*= (riRih)(rjRjh) = (riRi)(rjRj)h(riRi)h(rjRj) = (riRi)(rjRj)hriRi}h{rjRj = Eh(ri}Ri)h({rj}Rj)
性质7：已知证券总体和以这一总体为基础的不 允许卖空的有效集，在不允许卖空有效集中的投 资组合将有零投资组合系数。
（证明略）
性质8：在不允许卖空有效集中，投资组合 的再组合可能不在有效集中。
(证明略)
（课后作业：任选对性质7或性质8进行证明；并 说明该性质的经济含义。一周后交作业）
思考问题：
(4.10)
Z T R [X T (1)Y T ]R X T R (1)Y T R R (1)R R
由性质2知，min

2 z

Z T EZ
确定的有效证券投资组合Z∈φ 。
所以 φ 为凸集。证毕。
性质4说明，把有效集中二个或二个以上的有效 证券投资组合结合起来，就可得到有效集中的另 一种有效证券投资组合。
合为W *。则重新包装后的证券组合协方差矩阵为：
E*=cov(r*,r*)=cov(Ar,Ar)=Acov(r,r)AT=AEAT
(4.5)
令 R =WTR=W*TR*=W*TAR
有 W*=(A-1)TW 或 W*T=WTA-1
(4.6)
重新包装后的证券组合风险为:
*2 =W*TE*W*=WTA-1(AEAT)(A-1)TW = WTEW = 2 (4.7)
由式(4.6)、(4.7)知，满足原映射关系，重新包装后的证 券组合仍在原可行集中。证毕。
性质3说明，满足投资组合模型（I）所确定的W
到 R _ 空间映射关系的证券组合不一定唯一，即这一
映射关系可能是多对一映射。这一性质还将为证券投
资组合的有效性及非有效性的研究提供支持。