高等数学教学教案 极限存在准则 两个重要极限
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§1.6极限存在准则两个重要极限
授课次序06
§1. 6极限存在准则 两个重要极限
准则I
如果数列{x n }、{y n }及{z n }满足下列条件:
(1)y n ≤x n ≤z n (n =1, 2, 3, ⋅ ⋅ ⋅), (2)a y n n =∞
→lim , a z n n =∞
→lim ,
那么数列{x n }的极限存在, 且a x n n =∞
→lim .
证明: 因为a y n n =∞
→lim , a z n n =∞
→lim , 根据数列极限的定义, ∀ε >0, ∃N 1>0, 当n >N 1时, 有|y
n -a |<ε ; 又∃N 2>0,
当n >N 2时, 有|z n -a |<ε . 现取N =max{N 1, N 2}, 则当 n >N 时, 有 |y n -a |<ε , |z
n -a |<ε 同时成立, 即 a -ε 又因y n ≤x n ≤z n , 所以当 n >N 时, 有a -ε →lim . 简要证明: 由条件(2), ∀ε >0, ∃N >0, 当n >N 时, 有|y n -a |<ε 及|z n -a |<ε , 即有 a -ε →lim . 准则I ' 如果函数f (x )、g (x )及h (x )满足下列条件: (1) g (x )≤f (x )≤h (x ); (2) lim g (x )=A , lim h (x )=A ; 那么lim f (x )存在, 且lim f (x )=A . 注 如果上述极限过程是x →x 0, 要求函数在x 0的某一去心邻域内有定义, 上述极限过程是x →∞, 要求函数当|x |>M 时有定义, 准则I 及准则I ' 称为夹逼准则. 下面根据准则I '证明第一个重要极限: 1 sin lim 0=→x x x . 证明 首先注意到, 函数x x sin 对于一切x ≠0都有定义. 参看附图: 图中的圆为单位圆, 因为 S ∆AOB 1 tan x , 即sin x , 或1 sin cos < x x . 注意此不等式当-2 π =→x x , 根据准则I ', 1 sin lim 0=→x x x . 简要证明: 参看附图, 设圆心角∠AOB =x (2 0π< 备注栏