高等数学教学教案 极限存在准则 两个重要极限

§1.6极限存在准则两个重要极限
授课次序06
§1. 6极限存在准则 两个重要极限
准则I
如果数列{x n }、{y n }及{z n }满足下列条件:
(1)y n ≤x n ≤z n (n =1, 2, 3, ⋅ ⋅ ⋅), (2)a y n n =∞
→lim , a z n n =∞
→lim ,
那么数列{x n }的极限存在, 且a x n n =∞
→lim .
证明: 因为a y n n =∞
→lim , a z n n =∞
→lim , 根据数列极限的定义, ∀ε >0, ∃N 1>0, 当n >N 1时, 有|y
n -a |<ε ; 又∃N 2>0,
当n >N 2时, 有|z n -a |<ε . 现取N =max{N 1, N 2}, 则当 n >N 时, 有 |y n -a |<ε , |z
n -a |<ε 同时成立, 即 a -ε<y n <a +ε , a -ε<z n <a +ε , 同时成立.
又因y n ≤x n ≤z n , 所以当 n >N 时, 有a -ε<y n ≤x n ≤z n <a +ε , 即 |x n -a |<ε . 这就证明了a x n n =∞
→lim .
简要证明: 由条件(2), ∀ε >0, ∃N >0, 当n >N 时, 有|y n -a |<ε 及|z n -a |<ε , 即有 a -ε<y n <a +ε , a -ε<z n <a +ε , 由条件(1), 有 a -ε<y n ≤x n ≤z n <a +ε , 即 |x n -a |<ε . 这就证明了a x n n =∞
→lim .
准则I ' 如果函数f (x )、g (x )及h (x )满足下列条件:
(1) g (x )≤f (x )≤h (x ); (2) lim g (x )=A , lim h (x )=A ; 那么lim f (x )存在, 且lim f (x )=A .
注 如果上述极限过程是x →x 0, 要求函数在x 0的某一去心邻域内有定义, 上述极限过程是x →∞, 要求函数当|x |>M 时有定义, 准则I 及准则I ' 称为夹逼准则.
下面根据准则I '证明第一个重要极限: 1
sin lim 0=→x
x x .
证明 首先注意到, 函数x x sin 对于一切x ≠0都有定义. 参看附图: 图中的圆为单位圆,
因为 S ∆AOB <S 扇形AOB <S ∆AOD , 所以21sin x <21x <2
1
tan x , 即sin x <x <tan x . 不等号各边都除以sin x , 就有x x x cos 1sin 1<<
, 或1
sin cos <<x
x x .
注意此不等式当-2 π<x <0时也成立. 而1cos lim 0
=→x x , 根据准则I ', 1
sin lim 0=→x x x .
简要证明: 参看附图, 设圆心角∠AOB =x (2
0π<<x ). 显然 BC < AB <AD , 因此 sin x < x <
备注栏。