圆的参数方程及应用

圆的参数方程及应用

对于圆的普通方程（x a ）2 3 （y b ）2 R 2来说，圆的方程还有另外一种表达

形式 （为参数），在解决有些问题时，合理的选择圆方程的表达 y b Rsi n 形式，能给解决问题带来方便，本文浅谈圆的参数方程再解题中的应用。

、求最值

2

【解】由 /BAC=—，得/BOC= ，设 Z ABO= 9（ 0

3 3 2 2

9），C （2cos （9+一），2sin （9+ ）），由重心坐标公式并化简，得: 3 3 ■«

例1已知点（x ， y )在圆x 2 y 2

1 上, 求 x

2 2xy 3y 2的最大值和最小值。 【解】圆x 1的参数方程为: cos

。

sin 则 x 2 2xy 3y 2 = cos' i 2 2sin cos 3sin 2

=1 cos2 =2 3 k — (k ®)时, 8

1 cos

2 sin2

3 2 sin2 cos2 2 x 2 2xy 3y 2的最大值为： =2 2sin(2 2，则

时，x2 2xy 3y2的最小值为2近。

—)，则B(2cosB,2sin

3

2

x -

3

y 2si n()

3 3

2

消去0得：(x m2 y2

【点评】用圆的几何性质，/ BOC=2ZBAC=120 °，再以A BO= B为参数，求

出轨迹的参数方程，在消参后，要注意x的范围的限定。

三、求范围

例3已知点P (x，y)是圆X2 (y 1)2 1上任意一点，欲使不等式x+y+c> 0恒成立，求c的取值范围。

0=1+、、2sin( —)，— ( x+y) =—1 —、、2sin( —)，— ( x+y)的最大值为：一1+、、2，由于x+y+c为，所以，c>—(x+y)恒成立，即c>-1^, 2。

【点评】将恒成立的问题，转化为求最值问题，利用圆的参数方程求最值简洁易算

四、求斜率

1)所连线的斜率，最值在切线处取得，容易求

得最大值为：4

4，最小值为：0。

2 cos( )

3 3,由3

5

亍§，知X V 1,

【解】圆x2 (y 1)21的参数方程为: x cos 口「亠

，贝9有：x+y=1+sin

0+cos

例4求函数f() 值。【解】函数f() 为圆心的

单位圆上的点