第4章刚体和刚体系统的平衡

三、例题
图4-10
四、小结
求解刚体系统平衡问题的要点如下： （1）恰当选择分离体是分析求解的关键。选择分离体没有统 一的方法，大体可遵循以下原则： 1）明确题意，了解已知量和待求量，从待求量考虑选择方案。 2）分离体包含的未知量越少越好，几何关系越简单越好，但 必须包含待求量（包括必须求的中间未知量）。 3）尽量少拆。避免解不需要求的中间未知量。对于由柱铰连 接的两个刚体，一般不要把销钉拆出，而将其和其中一个刚体 结合在一起。 4）选取分离体的步骤随题而定，可以先整后零，也可以先零 后整，或逐个分析，总的目的是使解题简便快捷。
二、刚体系统的平衡
（二）刚体系统平衡问题的解题步骤 求解刚体系统平衡问题的一般步骤如下： （1）判断系统是否静定。如果是静定问题则按下列步骤求解， 如果是超静定问题则还需要进行变形几何关系分析，并利用材 料的力学性能（力与变形的关系）再联合平衡方程求解。 （2）选取恰当的分离体。一般不只选一次，需分几次选取。 分离体既可选整个系统，也可选某个子系统或某个刚体。 （3）对分离体进行受力分析，画出其受力图，并列出解题所 需的平衡方程。 （4）再选下一个分离体，重复步骤（3）。 （5）解方程，求出待求量。
一、静定和超静定问题
图4-6
二、刚体系统的平衡
（一）刚体系统平衡问题的特点 几个物体通过一定的约束相互连接而组成的系统称为物体系
统。如果将物体系统中的每一物体均理想化为刚体，则称为刚 体系统。
常见工程系统一般有两种类型：结构和机构，两者用途不同： 结构用于承受给定载荷，采用几何不变体系；
机构却是几何可变体系，它把一组给定载荷（输入载荷）传 递并变更为另一组载荷（输出载荷）。
三、刚体的平衡问题
（三）平衡方程的其他形式 平面力系简化后只有三种结果：平衡、合力偶或合力。由力
矩方程可排除合力偶；两个力矩方程要求合力必须过 A、B 两 点，但∑Fix=0又要求合力作用线必须垂直于x轴，这与两力矩 式方程的限制条件矛盾，故力系必定为平衡力系。
第二节 刚体系统的平衡问题
一、静定和超静定问题 二、刚体系统的平衡 三、例题
第4章 刚体和刚体系统的平衡
第一节 质点系和刚体的平衡条件 第二节 刚体系统的平衡问题 第三节 考虑摩擦时物体的平衡问题
第一节 质点系和刚体的平衡条件
一、质点系和刚体的平衡条件 二、平衡条件的应用形式 三、刚体的平衡问题
一、质点系和刚体的平衡条件
因为在质点系中，所有质点上作用的力是由各组力组成的，由 此得到质点系平衡时其上所作用的力系应该满足的条件，即平 衡条件为 ∑Fi=0
一、静定和超静定问题
当未知量的个数少于或等于刚体上作用的力系所对应的独立 平衡方程的个数时，应用平衡方程即可求出全部未知量，这类 平衡问题称为静定问题；
如果未知量的个数多于独立平衡方程个数，则仅应用平衡方 程就无法求出全部未知量，这类平衡问题称为超静定问题。
一、静定和超静定问题
对于所建立的支架力学模型，仅用平衡条件进行分析是无法 求解的。也就是说，该问题是超静定的。
三、例题
然后取整个系统为分离体，B处为光滑铰链，C处为光滑接触面， 且为双侧约束，假设约束力沿y轴负向（滚轮上压），受力图 如图4-10c所示。列出平衡方程如下 ∑Fx=0，FBx+FT2sin 45°=0 ∑Fy=0，FBy-FNC-P1-P-FT2cos45°=0 ∑MB=0，FNC·l+P·r-FT2cos45°·r cos 45°-FT2sin45°（h+r si n45°）=0 上式中，力FT2对B点取矩时，是将作用在绳索与 滑轮A切点处的FT2沿坐标轴x轴和y轴正交分解，其铅垂分量和 水平分量对B点之矩分别如上式等号左边的第3项和第4项所示。 由上述方程可解出FBx=-141N，故FBx与所设方向相反，表明 重物把折杆向右推；FNC=-283N，表明滚轮实际上是往下压， 与直观想象相反；FBy=108N。
三、例题
例4-7滑轮、折杆、滚轮系统如图4-10a所示。滑轮为理想滑轮， 即轮轴光滑，重心位于轮心，轮半径r=80mm。折杆ABC为直 角，AB=h=400mm，BC=l=200mm，重物P=200N，绳索倾斜部 分与铅垂线的夹角为45°，折杆的BC部分处于水平位置。试证 明滑轮两边绳子拉力相等，并求销钉B和滚轮C处的约束力。已 知滑轮重P1=50N。 解：取滑轮连同绕在滑轮上的部分绳索为分离体，轮轴光滑可 简化为光滑铰链，受力图如图4-10b所示，重物为二力构件，故 FT1=P。对点A取矩得 ∑MA=0，FT1·r-FT2·r=0，FT1=FT2 上式表明，理想滑轮两边绳子的拉力相等。
∑MO（Fi）=0（4-1） 作用于质点系中每个质点的力可分为外力和内力两部分。内力 为质点系内各质点间的相互作用力。根据牛顿第三定律，内力 总是成对出现，等值、共线、反向，因此每对内力的矢量和及 其对任意点的力矩之和均等于零，故上述平衡条件又可表达为
∑Fei=0 ∑MO（Fei）=0（4-2） 式（4-2）表示质点系平衡时，作用于质点系的外力系为平衡力 系。
三、刚体的平衡问题
（一）平面问题的平衡方程 平面问题有两种常见的情形： （1）平面结构在其自身平面内受一个平面力系的作用。 （2）具有结构对称平面的空间结构受一个对称于同一个平面 的空间力系作用，可归结为对称平面内的平面问题。
三、刚体的平衡问题Fra Baidu bibliotek
（二）解题步骤 刚体平衡问题的解题步骤如下： （1）确定研究对象，即取分离体。 （2）进行受力分析，作受力图，并根据力系的类型判断独立 平衡方程的个数；建立坐标系。 （3）列出平衡方程。 （4）解方程。 （5）分析讨论所得的结果。
二、平衡条件的应用形式
平衡条件式（4-2）是矢量方程组，为便于应用，一般将其投影 到三个互相垂直的方向上，得到6个标量形式的平衡方程 ∑Fix=0，∑Fiy=0，∑Fiz=0 ∑Mx（Fi）=0，∑My（Fi）=0，∑Mz（Fi）=0 （4-3） 对于受空间汇交力系、空间力偶系或空间平行力系作用而处于 平衡状态的质点系或刚体，都有三个平衡方程自动满足，独立 的平衡方程只有三个。
现有两种解决办法：按超静定结构进行分析计算（这将在本 书第三篇中进行介绍），或者提出一个更简单的静定模型。现 重新研究C处的螺栓联接，如果螺栓没有拧紧，配合较松，则 约束力偶可能较小（C处可作微小转动），可将C处进一步简化 为光滑铰链。此时，在图4-6c中MC=0，只有3个未知量，故可 利用3个独立的平衡方程解出。具体求解请自行完成。