人教A版高中数学选修2-2课件

(1)bkf(x)dx＝
a
a
(k 为常数)．
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□14 bf(x)dx±bg(x)dx
(2)b[f(x)±g(x)]dx＝
a
a
.
a
□15 cf(x)dx＋bf(x)dx(其中 a<c<b)
(3)bf(x)dx＝ a
c
．
a
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n
Sn＝∑ i＝1
ni 2＋2ni ＋1·1n
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＝n13(12＋22＋32＋…＋n2)＋n22(1＋2＋3＋…＋n)＋1
＝n13·nn＋162n＋1＋n22·nn＋2 1＋1
＝1＋1n62＋1n＋1n＋2，
S＝limSn＝lim
n→∞
n→∞
1＋n162＋1n＋1n＋2＝73，
0
(2)4(6x2)dx； 1
(3)2(3x2－2x3)dx. 1
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[解] (1)2(3x3)dx＝32x3dx
0
0
＝301x3dx＋12x3dx＝3×14＋145＝12.
(2)14(6x2)dx＝614x2dx＝612x2dx＋24x2dx＝6×73＋536＝126.
(3)当位于 x 轴上方的曲边图形面积等于位于 x 轴下方的曲边图形面积时， 定积分的值为 0(图③)，且等于位于 x 轴上方的曲边图形面积减去位于 x 轴下 方的曲边图形面积．
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1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)
a
y＝f(x)，直线 x＝a，直线 x＝b 及 x 轴所围成的平面图形的形状．常见形状是 三角形、直角梯形、矩形、圆等可求面积的平面图形．
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解 (1)如图 1，阴影部分面积为2＋52×1＝72，从而 01(3x＋2)dx＝72.
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用定积分求曲边图形面积时，不判断曲边图形位于 x 轴上方、还是下方， 直接求解而出现错误．避免出错的措施为：
(1)当对应的曲边图形位于 x 轴上方时(图①)，定积分的值取正值，且等 于曲边图形的面积；
(2)当对应的曲边图形位于 x 轴下方时(图②)，定积分的值取负值，且等 于曲边图形面积的相反数；
52－2x，x∈[3，5]，
的定积分．
求 f(x)在区间[0,5]上
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1.求阴影部分面积可分两类： (1)规则图形：按照面积的相关公式直接计算； (2)不规则图形：转化为规则图形或曲边梯形，再求面积的和或差，曲边 梯形面积利用定积分来计算；改变积分变量，使问题简化. 2.可以利用“分割、近似代替、求和、取极限”求定积分；对于一些特 殊函数，也可以利用几何意义求定积分. 3.定积分的几何性质可以帮助简化定积分运算.
1．5.3 定积分的概念
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1．定积分的概念 一般地，设函数 f(x)在区间[a，b]上
□01 连续
，用分点 a＝
x0<x1<x2<…<xi－1<xi<…<xn＝b 将区间[a，b]等分成 n 个小区间，在每个小区间
[xi－1，xi]上任取一点 ξi(i＝1,2，…，n)，作和式
□n
n
02 ∑f(ξi)Δx＝∑
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∴13(x－2)dx＝－12×1×1＋12×1×1＝0. 13|x－2|dx＝12×1×1＋12×1×1＝1.
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所以所求的曲边梯形的面积为73.
答案
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拓展提升 利用定积分所表示的几何意义求bf(x)dx 的值的关键是确定由曲线
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【跟踪训练 1】 求由直线 x＝0，x＝1，y＝0 与曲线 f(x)＝x2＋2x＋1 围成曲边梯形的面积．
解 将区间[0,1]等分成 n 个小区间，则第 i 个小区间为i－n 1，ni ，等 i 个小区间的面积为
ΔSi＝fni ·1n＝ni 2＋2ni ＋1·1n，
(3)2(3x2－2x3)dx＝2(3x2)dx－2(2x3)dx
1
1
1
＝312x2dx－212x3dx＝3×73－2×145＝7－125＝－12.
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拓展提升
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【跟踪训练 3】
x，x∈[0，2， 已知 f(x)＝4－x，x∈[2，3，
1
[解] 令 f(x)＝3x＋2. (1)分割 在区间[1,2]上等间隔地插入 n－1 个分点，把区间[1,2]等分成 n 个小区间 n＋ni－1，n＋n i(i＝1,2，…，n)，每个小区间的长度为 Δx＝n＋n i－n＋ni－1＝1n.
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(2)近似代替、求和
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5．根据定积分的几何意义求定积分
3(x－2)dx，3|x－2|dx.
1
1
解 根据定积分的几何意义，所求定积分表示直线 x＝3，x＝1，y＝0 分 别与函数 y＝x－2，y＝|x－2|的图象所围成的图形的面积，即如图的阴影部分 的面积．
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拓展提升 利用定义求定积分的关键仍然是“分割、近似代替、求和、取极限”这 一过程．其中： (1)在近似代替时，可以选取每个小区间的左端点、右端点、区间中点、 区间端点的几何平均数等相应的函数值来代替该区间的函数值； (2)将“近似代替、求和”作为一个步骤来处理，其条理性更强．
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1．若函数 f(x)在区间[a，b]上的图象在 x 轴上方，且图象从左至右上升， 则求由曲线 y＝f(x)，直线 x＝a，x＝b(a≠b)及 x 轴围成的平面图形的面积 S 时，将区间[a，b]n 等分，用每个小区间的左端点的函数值计算出面积为 S1， 用每个小区间的右端点的函数值计算出面积为 S2，则有( )
0
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4．曲线 y＝1x与直线 y＝x，x＝2 所围成的图形面积用定积分可表示为 ________．
答案 12x－1xdx
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解析 如图所示，阴影部分的面积可表示为12xdx－121xdx ＝12x－1xdx.
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图1
图2
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探究 3 利用定积分的性质求定积分
例 3 已知01x3dx＝14，12x3dx＝145，12x2dx＝73，24x2dx＝536，求： (1)2(3x3)dx；
A．S1<S<S2 B．S1≤S<S2 C．S1≤S2≤S D．S1≤S≤S2
答案 A
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解析 由题意知，在区间i－n 1，ni 上，fi－n 1<fni ，所以 S1＝i＝n1fi－n 1·1n <i＝n1fni ·1n＝S2，则 S1<S<S2.
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答案 D
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3.6(2x－4)dx＝________. 0
答案 12
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解析 如图 A(0，－4)，B(6,8)，M(2,0)，
S△AOM＝12×2×4＝4， S△MBC＝12×4×8＝16， 所以6(2x－4)dx＝16－4＝12.
i＝1
i＝1
b－a n f(ξi)
．
当 n→∞时，上述和式无限接近某个常数，那么这个常数叫做函数 f(x)
在区间[a，b]上的定积分，记作：
□n
04 lim∑ n→∞i＝1
b－a n f(ξi)
．
□03 bfxdx a
，即bf(x)dx＝ a
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2．定积分的相关名称
(1)bf(x)dx＝bf(t)dt.( √ )
aபைடு நூலகம்
a
(2)bf(x)dx 的值一定是一个正数．( × ) a
(3)b(x2＋2x)dx＝bx2dx＋b2xdx.( √ )
a
a
a
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探究 1 利用定义计算定积分 例 1 利用定积分的定义，计算2(3x＋2)dx 的值．
取 ξi＝n＋ni－1(i＝1,2，…，n)，
则 Sn＝i∑＝n1f(n＋ni－1)·Δx
n
＝∑
i＝1
3n＋ni－1＋2·1n
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答案
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n
＝
i＝1
3in－2 1＋5n
＝n32[0＋1＋2＋…＋(n－1)]＋5 ＝32×n2n－2 n＋5＝123－23n. (3)取极限 12(3x＋2)dx＝lni→m∞Sn＝lni→m∞ 123－23n＝123.
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3．定积分的几何意义
(1)前提条件：函数 f(x)在区间[a，b]上连续，f(x)≥0.
(2)定积分bf(x)dx 的几何意义：由 y＝0，曲线 f(x)以及直线 x＝a，x＝b
a
围成的曲边梯形的
□12 面积
．
4．定积分的基本性质
□13 kbf(x)dx