《降次——解一元二次方程》练习题

达标训练

基础·巩固·达标

1．将下列方程各根分别填在后面的横线上：

（1）x 2=169, x 1= ，x 2= ;

（2）45-5x 2=0, x 1= ，x 2= .

提示：利用直接开平方法解题，其中方程（2）化为x 2=9.

答案：（1）13-13 （2）3 -3

2.填空：

（1）x 2+6x +（ ）＝（x + ）2；

（2）x 2-8x +（ ）＝（x -）2；

（3）x 2+2

3x +（ ）＝（x + ）2. 提示： 本题思考的方法有两点：其一，看二次项系数是否为1，若是1，配方时，只需加上一次项系数一半的平方即可，如（1）左边加9，配成 x 与3和的完全平方；其二，若二次项系数不是1 时，为便于配方，要先提取二次项系数，使括号内首项为1.

答案：（1）9 3 （2）16 4 （3）169 43

3.方程x 2+6x -5=0的左边配成完全平方后所得方程为（ ）

A.（x +3）2=14

B.(x -3)2=14

C.(x +6)2=12

D.以上答案都不对

提示：配方法解一元二次方程时，为便于配方，要化二次项系数为1；同时两边各加上一次

项系数一半的平方，注意勿忘加上右边的项.移项，得x 2+6x=5 ，两边各加上9，得x 2+6x+9=5+9.

即（x+3）2=14.

答案：A

4.用配方法解下列方程，配方错误的是（）

A.x 2+2x -99=0，化为（x +1）2=100

B.t 2-7t -4=0，化为 (t -27)2=4

65

C.x 2+8x +9=0，化为（x +4）2=25

D.3x 2-4x -2=0，化为(x -32)2=910

提示：A ：移项，得x 2+2x=99.配方，得x 2+x+12=99+12，即（x+1）2=100.A 项正确.B ：t 2-7t=4.配方，得t 2-7t+(

27)2=4+(27)2，即(t-27)2=465.所以B .C ：移项，得x 2+9x=-9.配方，得x 2+8x+42=-9+42，即（x+4）2=7.所以C

.D ：移项，得3x 2-4x=2.二次项系数化为1，得x 2-34x=32.配方，得x 2-34x+(32)2=32+(32)2，即(x-32)2=9

10.D . 答案： C

5.方程2x 2-8x -1=0 应用配方法时，配方所得方程为 .

提示：配方前，必须先把二次项系数化为1，同时两边各加上一次项系数一半的平方，整理

即可得到所得的方程.

答案：（x+2）2=2

9

6.如果x 2-2(m +1)x +m 2+5=0是一个完全平方公式，则m .

提示：根据完全平方式的特点可知：二次项系数为1时，常数项应是一次项系数一半的平

方，因此m 2+5= (m+1)2 ，解得m=2.

答案：=2

7.当m 为 时，关于x 的方程(x -p )2+m =0有实数解.

提示：方程(x-p)2+m=0可变形为(x-p)2=-m.由平方根的定义可知，当-m ≥0，即m ≤0时原方

程有实数解.

答案：小于等于0

8.解下列方程：

（1）9x 2=8；（2）9(x +3

1)2=4；（3）4x 2+4x +1=25.

提示：根据方程的特点可以选用直接开平方法解方程. 解：（1）x 2=9

8,x=±322,x 1=322,x 2=-322.

（2） （x+3

1）2=94，1,31,323121-==±=+x x x .

（3）(2x+1)2=25，2x+1=±5，x 1=2，x 2=-3.

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9．用配方法解下列方程：

（1）x 2+x -1=0；（2）2x 2-5x +2=0；（3）2x 2-4x +1=0.

提示：用配方法解一元二次方程的一般步骤是：（1）移项：使方程左边是二次项和一次项，右边是常数项；（2）二次项系数化为1：方程两边都除以二次项系数；（3）配方：方程两边

都加上一次项系数绝对值的一半的平方，把原方程化为（mx+n ）2=p 的形式；（4）当p ≥0

时，用直接开平方法解变形后的方程.

解：（1）移项，得x 2+x=1.

配方，得x 2+x+⎪⎭

⎫ ⎝⎛212=1+41，即(x+21)2=45 .

.2

51,251.252121--=+-±=+x x x .

（2）移项，得2x 2-5x=-2. 二次项系数化为1，得x 2- 25x=-1.

配方，得x 2-25x+⎪⎭⎫ ⎝⎛452=-1+⎪⎭⎫ ⎝⎛452，即169452=⎪⎭⎫ ⎝⎛-x .

2

22,222,434521-=+=±=-x x x .

（3）移项，得2x 2-4x=-1.

二次项系数化为1，得x 2-2x=- 12.

配方，x 2-2x+12=-

21+12,即(x-1)2=21.

222,222,22121-==±=-x x x .

10．（1）用配方法证明2x 2-4x +7恒大于零；

（2）由第（1）题的启发，请你再写出三个恒大于零的二次三项式.

（1）可用配方法将2x2-4x+7配成一个完全平方式与某个正数的和的形式；（2）此题答案有很多，只要是一个完全平方式加上一个正数得到的二次三项式均符合题意.

证明：（1）2x2-4x+7=2（x2-2x）+7=2（x2-2x+1-1）+7=2（x-1）2-2+7=2（x-1）2+5.因为2（x-1）2≥0，所以2（x-1）2+5≥5，即2x2-4x+7≥5，故2x2-4x+7恒大于零.

（2）x2-2x+3；2x2-2x+5；3x2+6x+8等.

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11．山东济南模拟解一元二次方程：（x-1）2=4.

提示：据方程特点选择直接开平方法解方程比较简便.

解：x-1=±2，x-1=2或x-1=-2，所以x1=3，x2= -1.

12．北京模拟用配方法解方程：x2-4x+1=0.

提示：根据配方法的步骤先配方再解方程.

解：移项，得x2-4x= -1.

配方，x2-4x+22= -1+22，（x -2）2=3.

由此可得x -2=± 3,x1=2+3,x2=2-3.