连续系统振动讲解

8
连续系统的振动 / 一维波动方程
（3）杆的纵向振动
p( x, t )
讨论等截面细直杆的纵向振动
0
x
l
杆参数： 杆长 l
截面积 A
材料密度 弹性模量 E
假定振动过程中各横截面仍保持为平面 忽略由纵向振动引起的横向变形 p(x,t) 单位长度杆上分布的纵向作用力
2020年9月30日 9
《振动力学》
x
J p
2
t 2
x (GJ p
)
xLeabharlann Baidu
p( x, t )
圆截面杆的扭转振动强迫振动方程
等直杆，抗扭转刚度 GJp 为常数
p( x, t )
x dx
x
微段 dx 受力
Mt
pdx
Mt
M t x
dx
J
p
dx
2
t 2
20202t年2 9月3a0日2
2
x2
1
Jp
p( x, t )
《振动力学》
a G
剪切弹性波的 纵向传播速度
－在物理本质上，连续体系统和多自由度系统没有什么差别 ，连续体振动的基本概念与分析方法与有限多自由度系统 是完全类似的
2020年9月30日 2
《振动力学》
教学内容
• 一维波动方程 • 梁的弯曲振动
2020年9月30日 3
《振动力学》
假设条件
（1）线性弹性体，即虎克定律 （2）材料均匀连续；各向同性 （3）振动满足微振动的前提
（3）轴的扭转振动
2u t 2
a2
2u x2
1
A
p( x, t )
2 y t 2
a2
2 y x2
1
p( x, t )
2
t 2
a2
2
x2
1
Jp
p( x, t )
虽然它们在运动表现形式上并不相同，但它们的运动微分 方程是类同的，都属于一维波动方程
2020年9月30日 12
《振动力学》
连续系统的振动 / 杆的纵向振动
第六章 连续系统的振动
－实际的振动系统都是连续体，它们具有连续分布的质量与 弹性，因而又称连续系统或分布参数系统
－确定连续体上无数质点的位置需要无限多个坐标，因此连 续体是具有无限多自由度的系统
－连续体的振动要用时间和空间坐标的函数来描述，其运动 方程不再像有限多自由度系统那样是二阶常微分方程组， 它是偏微分方程
细长圆截面等直杆在分布 扭矩作用下作扭转振动
p( x, t )
0
x dx
x
杆参数：截面的极惯性矩 Jp
材料密度 切变模量 G
p(x,t) ：单位长度杆上分布的外力偶矩
假定振动过程中各横截面仍保持为平面
微段 dx 受力
pdx
Mt
Mt
M t x
dx
(x,t) 为杆上距离原点 x 处的截面在时刻 t 的角位移
t 2
x
A
2u t 2
x
(EA
u x
)
p( x, t )
杆的纵向强迫振动方程
等直杆EA 为常数
2u t 2
a2
2u x2
1
A
p( x, t )
2020年9月a30日 E / 弹性纵波沿杆的纵向传播速度 11 《振动力学》
连续系统的振动 / 一维波动方程
小结：
（1）杆的纵向振动
（2）弦的横向振动
T(t) a2 U (x)
2020年9月30日
T (t) U (x)
13
《振动力学》
连续系统的振动 / 杆的纵向振动
T(t) a2 U (x) T (t) U (x)
记： 2
T(t) 2T (t) 0
U
(
x)
(
a
)2U
(x)
0
通解： T (t) bsin(t )
x
x
U (x) B1 sin a B2 cos a
J
p
dx
2
t 2
达朗贝尔 惯性力偶
截面处的扭矩为 M t 2020年9月30日 《振动力学》
J pdx ：微段绕轴线的转动惯量
7
连续系统的振动 / 一维波动方程
达朗贝尔原理：
J
p
dx
2
t 2
(Mt
M t x
dx) M t
pdx
0
J p
2
t 2
M t x
p( x, t )
材料力学：
Mt
GJ p
2020年9月30日 4
《振动力学》
连续系统的振动 / 一维波动方程
一维波动方程 • 动力学方程 • 固有频率和模态函数 • 主振型的正交性 • 杆的纵向强迫振动
2020年9月30日 5
《振动力学》
连续系统的振动 / 一维波动方程
（1）弦的横向振动
弦的定义: 很细长 弦两端固定，以张力 T0 拉紧 在分布力作用下作横向振动
p( x, t )
6.2 杆的纵向固有振动
x
0
以等直杆的纵向振动为对象
l
方程：
2u t 2
a2
2u x2
1 A
p( x, t )
a E/
纵向自由振动方程：
2u t 2
a2
2u x2
假设杆的各点作同步运动： u(x,t) U (x)T (t)
T(t) 表示运动规律的时间函数
U (x)杆上距原点 x 处的截面的纵向振动振幅
y
T0
o x
y( x, t ) p( x, t )
dx
T0 x
振动中认为张力不变
微段受力情况
单位长度弦的质量
p(x,t) 单位长度弦上分布的作用力
建立坐标系 xoy
微振
sin
y(x,t) 弦上距原点 x 处的横截面在 t 时刻的横向位移
dx pdx
T0 dx
x
T0
dx
2 t
y
2
达朗贝尔 惯性力
达朗贝尔原理：
dx
2 y t 2
T0 (
x
dx)
T0
p( x, t )dx
令： a T0 /
并考虑到： y
x
2 y a2 2 y 1 p(x,t)
t 2
x2
2020年9月a30日弹性横波的纵向传播速度
《振动力学》
弦的横向强迫振动方程
6
连续系统的振动 / 一维波动方程
（2）轴的扭转振动
连续系统的振动 / 一维波动方程
微段分析
p( x, t ) x
0 x dx l
dx
u u dx x
u p(x,t)dx
N
N N dx x
u(x,t) 杆上距原点 x 处截面在时刻 t 的纵向位移
微段应变：
(u
u x
dx)
u
u
dx
x
Adx
2u x 2
达朗贝尔惯性力
横截面上内力： N EA EA u
x
达朗贝尔原理：
Adx
2u t 2
(N
N x
dx)
N
p( x, t )dx
2020年9月30日
10
《振动力学》
连续系统的振动 / 一维波动方程
p( x, t )
0 x dx l
x
u( x, t )
杆上距原点 x 处截面在
时刻 t 的纵向位移
横截面上的内力： N EA EA u
x
达朗贝尔原理：
Adx 2u (N N dx) N p(x,t)dx
B1, B2 , 由杆的边界条件确定 （确定杆纵向振动的形态，称为模态 ）
（杆的边界条件确定固有频率）
与有限自由度系统不同，连续系统的模态为坐标的连续函数 ，表示各坐标振幅的相对比值
由频率方程确定的固有频率 有i 无穷多个 （下面讲述）