连续系统振动讲解
振动理论-连续系统与非线性系统的振动
第六章 连续线性振动系统离散线性振动系统具有两个鲜明的特征：其一是描述系统在任一时刻的位形只需有限个自由度；其二是描述系统的状态用的是二阶常微分方程组，而在数学上对此类常微分方程组的处理可以很容易地转化为对一组线性代数方程组的处理，因此研究此类系统所需的数学工具自然而然地就是矩阵代数[1]。
工程实际中的许多结构均是可变形的弹性体，当这些弹性体的弹性恢复力和变形服从胡克定律时，通常将其当作线性连续媒质来处理，这里的连续指的是系统的质量、刚度、阻尼等在空间上的连续不间断的分布，因此是宏观意义上的，如果在物质的分子、原子等微观尺度上来考虑问题，则任何媒质均是不连续的。
任何物体均可以看作是由无限多个无穷小的微元体所组成的，为描述物体未变形时这些微元体在空间中的确切位置。
一般需事先在空间中建立一个参考坐标系。
参考坐标系的维数视情况而定，可能是一维的，也可能是二维的或三维的每个微元体在空间中的位置，就由该微元体所占空间位置在参考坐标系中的坐标来确定。
物体在变形过程中各微元体在t时刻的位置，由其位移矢量来描述。
因此位移矢量是各微元体在参考坐标系中的坐标和时间t的函数，位移矢量在参考坐标系中各坐标轴上投影的个数就称为该微元体的自由度数由于组成物体的微元体的个数是无限的，因此整个系统的自由度数是无限的为了保证不引入几何非线性。
一般要求物体的变形为小变形，即各微元体离开静止位置的位移为小位移。
且要求各微元体的位移函数对参考坐标和时间t具有足够阶数的连续偏导数。
由以上分析可知，连续线性振动系统是一个具有无限多个自由度的系统。
描述该系统运动过程的是偏微分方程。
典型的连续线性振动系统有作横向振动的弦、作纵向振动的杆、作扭转振动的轴、作弯曲振动的梁和板等。
本章主要讨论连续线性振动系统的运动微分方程、边界值问题、在初始条件下的自由振动响应、强迫振动响应、波在结构中的传播特性、连续线性系统的近似解法等。
§6.1 二阶系统的振动这里所讲的二阶系统是指其运动微分方程归结为二阶偏微分方程的系统，典型的有弦的横向振动、杆的纵向振动和轴的扭转振动等。
复习-连续系统的振动
t
0 F ( ) sin[i (t )]d
u(x,t) Φi (x)Φi (x1)
i 1
i
t
0 F( )sin[i (t )]d
10
二、 梁的弯曲振动
1. 运动微分方程
2 x2
EI (x)
2u(x,t)
x2
A(x)
2u( x, t ) t 2
f
( x, t )
2. 均匀梁自由振动方程
的解耦方程
qi i2qi
l
0 f (x, y)Φidx
1
qi i
l
t
0 Φi 0 f (x, ) sin[i (t )]d dx
u(x,t) Φi
i1 i
l
0 Φi
t
0 f (x, )sin[i (t )]d dx
9
（2）集中荷载 设在x＝x1处受集中力F(t)
q(t) Φi (x1)
dFi
dx
dx
0
l
0Fi AFidx Mi
l
0Fi
d dx
EA
dFi
dx
dx
i2 M i
6
8.初始条件的响应求解步骤 （1）根据边界条件求解固有频率和固有振型。 （2）对振型函数标准化（正则化）
l
0Fi AFidx Mi 1
（3）将初始条件变换到标准坐标
l
q0i 0 AΦiu(x, 0)dx
12
（3）自由端：弯矩和剪力为0，即
2u( x, t ) x2
0,
3u( x, t ) x3
0
（x=0或l）
（4）集中质量
（5）弹簧
利用截面法研究微单元体的平衡。
连续系统的振动课件
连续系统振动仿真实例
弦振动仿真
建立弦的有限元模型，通过求解特征值和特征向量，得到弦的自振频率和振型，分析弦的振动特性。
梁弯曲振动仿真
建立梁的有限元模型，考虑剪切变形和转动惯量的影响，计算梁的自振频率和振型，揭示梁的弯曲振动规律。
拓扑优化
通过改变结构拓扑形态来优化振动特性，如减少 质量、提高刚度等。
形状优化
优化结构件的形状以降低振动幅度，例如改变梁 截面形状、板厚度分布等。
参数优化
针对特定连续系统，通过调整参数（如阻尼系数、 刚度分布等）实现振动性能的优化。
06
实验与测量技术
振动测量原理及设备
01
振动测量原理
02
振动测量设备
基于牛顿第二定律与连续系统的振 动特性，推导连续系统的偏微分方 程。
偏微分方程的形式
详细解释偏微分方程中各项的物理 意义，如惯性项、阻尼项和弹性项。
波动方程的推导与解析
01
02
03
波动方程的推导
从偏微分方程出发，通过 引入波动假设，推导连续 系统的波动方程。
波动方程的解析解
利用数学方法求解波动方 程，得到通解，并分析通 解的物理意义。
03
连续系统振动的应用实例
弦的振动与音乐乐器
振动弦上的波传播
当弦受到激励振动时，振动以波 的形式在弦上传播，形成驻波或 行波。这种波传播的现象是音乐
乐器发音的基础。
乐器中的弦振动
许多乐器如吉他、小提琴、钢琴 等都利用弦的振动发声。不同乐 器的音色和音调可以通过调整弦 的张力、长度、直径等参数来实
连续系统振动(a)-杆的纵向振动
2015年1月24 日 并考虑到： 《振动力学》
2 y 达朗贝尔 Adx 2 t 惯性力
y x
2 2 y 1 2 y a p ( x, t ) 弦的横向强迫振动方程 0 2 2 t x
a0 弹性横波的纵向传播速度
9
连续系统的振动 / 一维波动方程
( l ) 0 l cos 0 a0
u (l , t ) 0 x
频率方程
零固有频率对应的常值模态为杆的纵向刚性位移 x x 2015年1月24日 u ( x , t ) ( x ) q (t ) ( x ) c1 sin c2 cos 《振动力学》 a0 a0
2015年1月24日 《振动力学》
( x) (t ) q 2 a0 （常数） q(t ) ( x)
13
连续系统的振动 / 杆的纵向振动 记： 2
(t ) q 2 ( x) a0 q(t ) ( x)
''
q (t ) 2 q (t ) 0 2 ( x) ( a ) ( x) 0 0
i 1
2015年1月24日 《振动力学》 15
连续系统的振动 / 杆的纵向振动
几种常见边界条件下的固有频率和模态函数
（1）两端固定 特征：两端位移为零 边界条件： u(0, t ) (0)q(t ) 0
0 l
x
u(l , t ) (l )q(t ) 0
q(t )
不能恒为零
u ( x , t ) ( x ) q (t ) 19
连续系统的振动 / 杆的纵向振动
0 l
x
0 l
x
连续系统振动
连续系统的振动/ 杆的纵向振动
连续系统的振动/ 杆的纵向振动
连续系统的振动/ 杆的纵向振动
连续系统的振动/ 杆的纵向振动
连续系统的振动/ 杆的纵向振动
0x
f
(
x)
0
(
l 2
x)
0 (l x)
0x l
4
l x 3l
4
4
3l x l
连续系统的振动/ 梁的弯曲振动
连续系统的振动/ 梁的弯曲振动
连续系统的振动/ 梁的弯曲振动
连续系统的振动/ 梁的弯曲振动
连续系统的振动/ 梁的弯曲振动
连续系统的振动/ 梁的弯曲振动
连续系统的振动/ 梁的弯曲振动
连续系统的振动/ 梁的弯曲振动
连续系统的振动/ 梁的弯曲振动
连续系统的振动/ 梁的弯曲振动
连续系统的振动/ 假设模态法
连续系统的振动/ 一维波动方程
一维波动方程 动力学方程 固有频率和模态函数 主振型的正交性 杆的纵向强迫振动
连续系统的振动/ 一维波动方程
• 动力学方程
（1）杆的纵向振动
讨论等截面细直杆的纵向振动
杆参数: 杆长l ,截面积S 材料密度ρ 弹性模量E
假定振动过程中各横截面仍保持为平面
p(x,t) ：单位长度杆上分布的外力偶矩
假定振动过程中各横截面仍保持为平面
θ (x,t) 为杆上距离原点x 处的截面在时 刻t 的角位移
截面处的扭矩为T
：微段绕轴线的转动惯量
连续系统的振动/ 一维波动方程
连续系统的振动/ 一维波动方程
连续系统的振动/ 杆的纵向振动
•固有频率和模态函数
第七章 连续体振动讲诉
五、超声波的特点（2）
• 容易衰减（在液体和固体中衰减较小） • 传播速度受温度影响 • 在两种不同介质的界面处反射强烈，在 许多场合必须使用耦合剂或匹配材料。 • 超声波可以聚焦。
六、超声波的产生机制
• • • • • 电磁振动 磁致伸缩效应 压电效应 静电引力 其它形式的机械振动
超声波效应
梁的弯曲振动方程为：
梁弯曲振动方程的解的一般形式就可以表示成：
对于两端固定的梁，其固定边界处位移为零，同 时位移曲 线在边界处的斜率也为零，因此 ：
其特征值方程为：
其解αl不能解析表达出来，但当n＞3时，可近似表达为：
梁弯曲振动的固有频率为 n
两端自由梁，弯曲振动的边界条件为：
超声波的类型
• • • • 纵波 横波 表面波 板波
纵波 横波 超声波分 类 表面波 板波 超声波在均匀介质中传播
纵波：质点振动方向 和波的传播方向在同 一条直线上的传播的 波称为纵波。也称压 缩波或疏密波。
一、超声波分类
横波：质点振动方向和波的传播方向相垂直的波称为横纵波。也 称切变波。横波只能在固体材料中传播。
由于液体和气体介质没有刚性，不能承受切应力，横波和表面波不能在 液体和气体中传播，只有纵波可以在液体气体中传播。
三、超声波声速
纵波在液体气体 中声速
C K
结论： 1、介质弹性性能愈强（E越大），密度愈小，则超声波在该介质中传 播声速愈高； 2、在同一种介质中，纵波声速约为横波的2倍，横波声速约为表面波0,9 倍； 3、在液体和气体介质中只能传播纵波。
四、超声波传播时相遇
4、惠更斯原理 在连续介质中传播波的波前所有各点， 都可以看作是发射子波的波源，经过 一段时间后，这些子波波前新位置的 包络线决定新的波阵面。这就是惠更 斯原理。
连续系统的振动 振动力学课件
(l )q(t )
C1
sin
l
a
2 q(t )
q(t) A cos(t )
q(t) A2 sin(t ) 2q(t)
2u t 2
(l)q(t)
C1 sin
l
a
2 q(t )
代入
EA u(l,t) W x g
2u(l, t 2
t
)
ku(l
,
t
)
0
2
EA cos l q t W 2 sin l q t k sin l q t 0
u(x, 0) u(x) u(x, 0) u(x) 确定
2.两端自由
特征：两自由端轴向力为零
即 FN (0,t) 0 FN (l,t) 0
EA u(0,t) 0, x
EA u(l,t) 0, x
'(0)qt 0
'(l)qt 0
' (0) 0
' (l) 0
2.两端自由
' (x)
W gkl 2
Eg
EA kl
W
lA
tan
a
l
EA
a
W 2 k
g
EA ( l)
lk a
Wa2 gkl 2
a
l
2
1
l
a
( l)2
a
1
讨论：（1）
W 0 右端只有弹簧k，
频率方程
tan l (l )
a
a
tanu u作图法得出
（2） W 0 k 0 即自由端情形
频率方程 cos l 0
2. 弹性弦横向振动
微段分析
以变形前弦的方向为 x轴，
机械振动第4章连续系统2-2.ppt
以梁的横向振动为例，对两个不同特征值问题的解为：
d2 dx2
EI
(x)
d
2 Yi dx
(
2
x)
i2 m
(
x)
Y
i
(x)
0 x L
d2 dx2
EI
(x)
d
2
Yj
(x)
d x 2
2j m ( x) Y
j
(x)
0 x L
对第一个式子两边分别乘以Yj(x)
L
0
Yj
(x)
d2 dx2
EI
W2 (M n w Qn w M n s w d s
n
s
第4章 连续系统 4. 6 薄板的横向振动 振动微分方程
利用哈密尔顿原理
t（2 V t1
U）d t
t2 t1
W
d
t
0
得
：
t2 t1
h 2
w t
2
d
x
d
y
1 2
D
2 w x 2
2
2 w y 2
第4章 连续系统 4. 6 薄板的横向振动 圆板振动
方程的通解为
Rn (r) An J n ( r) Bn Yn ( r) C n I n ( r) Dn K n ( r)
由r = 0处的位移和转角为有限值，得B = 0， D= 0, 则有：
Rn (r) An J n ( r) C n I n ( r)
u T M u I
当质量矩阵为对角矩阵时，可写成：
n
u s i m su s j 0
i j
s 1
其中，m s为x= x s 处的质量，而u s i和u s j 分别为第i阶和第j阶主振型中 质量m s的位移。
振动理论10连续体系统
连续体系●系统具有连续分布的质量和弹性●物体内材料均匀，各向同性，弹性极限内服从胡克定律●弹性体具有无限多的自由度⏹需要无限多的坐标指定弹性体中任一点的位置●弹性体自由振动可以看成主振型或者正则振型的叠加●对于正则振型的振动，每个颗粒都做简谐振动⏹其频率是相应频率方程的根⏹各颗粒同时经过各自的平衡位置⏹如果物体的运动起始时的弹性曲线精确与每个主振型一致，物体将仅作主振动⏹爆炸或者外力的突然移除导致的弹性曲线，通常与主振动不一致，因而会激起所有振型的振动●在很多情况下，可以通过适当的初始条件激起某个特定的主振型●对于连续质量分布的系统的受迫振动，通过振型叠加法，可以使其转变为有限自由度的系统进行分析●常常把约束作为结构的附加支承来处理⏹会改变系统的主振型●用于表征系统变形的振型不需要一定是正交的●存在使用非正交函数的系统合成⏹例如在进行颤振计算时，为了避免质量变化引起正交振型改变时导致气动力的重新计算，可采用非正交振型，在每次计算中，保持振型不变，而重新计算非对角形式的广义质量矩阵弦的振动●一个柔软的弦，单位长度的质量为，在拉力作用下被张紧●假定其横向挠度很小，挠度引起的张力变化也很小，可以忽略不计●考虑单元长度为的一段弦的受力●挠度和斜率均很小●向的运动方程为●弦的斜率⏹波的扩展速度●一般解可以表示成如下的形式⏹和为任意函数●不管函数的类型如何，对变量微分将得到●如果做变量代换●注意到●简化后●积分两次⏹分量波以速度沿着轴方向移动⏹分量表示波以速度沿着轴方向移动⏹看成是波扩展的速度.●这一方法称为行波法10分离变量法●假定解具有分离变量的形式●代入微分方程后可得●方程左边各项与无关，方程右边各项与无关，因此两边必须是常数●令这个常数为, 得到两个常微分方程●其通解为⏹其中的待定常数, , , 由边界条件和初始条件确定●例题两端固定的张紧的弦，长度为 边界条件为●由●由为波长; 为振动频率的每个值代表一个主振动模态 固有频率为●振型为如下的正弦函数●由任意方式激起的更一般情况的自由振动, 解包括多个振动模态, 位移方程可以写为●应用初始条件and, 可以计算出和●如果把弦拉成任意形状后释放，初始条件可以表示为●每个方程都乘以并从到积分, 方程右边各项除外均为零。
第4章：连续体的振动
因为
C1 0
( i 1, 2, ) ( i 1, 2, )
2i 1 x 模态函数 i ( x ) Ci sin 2 l
亦可令这个常数为1,有
2i 1 x i ( x ) sin l 2
( i 0,1, 2,
)
STDU
DYNAMICS OF STRUCTURES
Dynamics of Structures
• Prof. Lanhe Wu • Shijiazhuang Tiedao Univ.
STDU
DYNAMICS OF STRUCTURES
第四章 连续系统的振动
具有连续分布的质量和弹簧系统称作连续系统或分布 质量系统。连续系统具有无限多个自由度，其动力学 方程为偏微分方程，只对一些简单情形才能求得精确 解。对于复杂的连续系统则必须利用各种近似方法简 化为离散系统求解。
EIy Sy 0
仍采用分离变量法，令 代入动力学方程,整理得到
y( x , t ) ( x ) q(t )
EI ( x ) ( x ) q q S ( x ) ( x )
DYNAMICS OF STRUCTURES
a 因为数学模型相同，以上在各种边界条件下导出的固有 频率和模态函数也完全适用于弦的横向振动、杆的扭转 振动和梁的剪切振动。关于这类系统的受迫振动本节不 作讨论，因为与下节梁的弯曲受迫振动的分析和计算方 法基本相同
相应的模态函数为 i ( x ) sin
将边界条件代入 ( x ) C1 sin a C 2 cos a 得到 C2 0 及频率方程
l
a
x
化作
tan
l
连续系统振动(b)-梁的弯曲振动
m( x, t )
x
讨论梁的自由振动
2 x2
[EI
2
y(x, x2
t)
]
S
2
y( x, t ) t 2
0
根据对杆纵向振动的分析，梁的主振动可假设为：
y(x,t) (x)q(t) (x)a sin( t )
代入自由振动方程： (EI) 2S 0
f (x,t)
m( x, t )
x
等截面梁的动力学方程：
EI
4y x4
S
2y t 2
f (x,t)
m(x,t) x
5
连续系统的振动 / 梁的弯曲振动
固有频率和模态函数
变截面梁：
2 x2 [EI
2
y(x, x2
t
)
]
S
2 y(x,t) t 2
f (x,t)
7
连续系统的振动 / 梁的弯曲振动
常见的约束状况与边界条件
（1）固定端
y(x,t) 0
(x) 0 （2）简支端
y(x,t) 0
(x) 0
挠度和截面转角为零
y(x,t) 0 x
(x) 0
x0 或 l
挠度和弯矩为零
M EI 2 y(x,t) 0 x 0 或 l x2
《振动力学》
3
连续系统的振动 / 梁的弯曲振动
力平衡方程 ：
Sdx
2 y t 2
(Fs
Fs x
dx)
Fs
f
( x, t )dx
0
连续系统振动分析
杆的纵向强迫振动方程 等直杆EA 为常数
2018年9月a 21日
《振动力学》
2 2u 1 2 u a p ( x, t ) 2 2 t x A
E/
弹性纵波沿杆的纵向传播速度
11
连续系统的振动 / 一维波动方程
小结：
（1）杆的纵向振动
（2）弦的横向振动 （3）轴的扭转振动
令： a T0 /
2018年9月21日 《振动力学》
达朗贝尔 惯性力
y 并考虑到： x
2 2 y 1 2 y a p ( x, t ) 2 2 t x
a 弹性横波的纵向传播速度
弦的横向强迫振动方程
6
连续系统的振动 / 一维波动方程
（2）轴的扭转振动
细长圆截面等直杆在分布 扭矩作用下作扭转振动 杆参数：截面的极惯性矩 Jp 材料密度 切变模量 G
U ( x) B1 sin
x
a
B2 cos
x
a
16
连续系统的振动 / 杆的纵向振动
（2）两端自由 特征：自由端的轴向力为零
u (0, t ) 边界条件 ： EA 0 x U ' ( 0) 0
B1 0
0 l
x
u (l , t ) EA 0 x
固有频率：
模态函数： U i ( x ) Bi cos
（确定杆纵向振动的形态，称为模态 ）
与有限自由度系统不同，连续系统的模态为坐标的连续函数 ，表示各坐标振幅的相对比值
由频率方程确定的固有频率 有无穷多个 i
2018年9月21日 《振动力学》
（下面讲述）
14
连续系统的振动 / 杆的纵向振动
2 2u 2 u a 2 t x 2
第7章：连续系统的振动
兰州理工大学李有堂编著机械系统动力学第7章连续系统的振动7.1 引言实际的物理系统都是由弹性体组成的系统，通常为连续系统。
离散系统是连续系统的近似模型，当其近似程度不能满足实际要求时，必须增加模型的自由度，或者采用连续模型。
连续模型是离散模型自由度无限增加时的极限。
连续系统是具有无限多个自由度的系统。
主要讨论可以获得精确解的问题。
弦的横向振动、杆的纵向振动和扭转振动、梁的弯曲振动7.2 弦的横向振动⏹弦：只能承受拉力，而抵抗弯曲及压缩的能力很弱。
⏹钢索、电线、电缆和皮带等柔性体构件⏹假设：材料是均匀连续和各向同性的；材料变形在弹性范围，服从虎克定律；运动是微幅的如图所示为一段长度为l 、两端固定的弦的横向振动的模型，f （x ，t ）是作用在弦上的载荷密度，弦的线密度为ρ。
T ——弦上的张力，近似为常量；——时刻t 张力T 与x 轴的夹角 ——时刻t 弦上x 处的横向位移量(,)x t (,)y x t沿y 方向的运动微分方程为22(,)sin (,)sin (,)y x t T x dx t T x t dx t θθρ∂+-=∂对于微幅振动sin tan yxθθθ∂≈≈≈∂(,)(,)x dx t x t dxxθθθ∂+=+∂2222(,)(,)y x t y x t T x tρ∂∂=∂∂T αρ=22222(,)(,)y x t y x t x tα∂∂=∂∂弦的振动微分方程◆ 是一个偏微分方程◆ 对离散系统，运动是一种“同步运动”◆ 弹性体系统即连续系统也应为同步运动，同时达到极大值，同时过零点，因而整个弦的形状在振动中保持不变◆ 弦上各点随时间变化的位移可以分解为两部分的乘积22222(,)(,)y x t y x t x tα∂∂=∂∂(,)()()y x t Y x t Φ=分离变量确定整条弦线在空间的形状，与时间无关，弦的振型函数确定弦上各点位移随时间的变化规律，与空间坐标无关，弦的振动方式✓当 达到极值时，弦上各点位移同时达到极值 ✓当 为零时，弦上各点同时回到平衡位置()t Φ()t Φ(,)()()y x t Y x t Φ=x x Y t Φx t x y ∂∂=∂∂)()(),(2222)()(),(xx Y t Φx t x y ∂∂=∂∂t t Φx Y t t x y ∂∂=∂∂)()(),(2222)()(),(tt Φx Y t t x y ∂∂=∂∂方程左边仅为空间坐标的函数，右边仅为时间的函数，左右两边要保持相等，只有一种可能，就是两边均等于一个常数22222()1()()()Y x t Y x x t tαΦΦ∂∂=∂∂22222(,)(,)y x t y x t x tα∂∂=∂∂222222)()(1)()(n tt Φt Φx x Y x Y ωα-=∂∂=∂∂222()()0n t t tΦωΦ∂+=∂2222()()0n Y x Y x x ωα∂+=∂()sin()n t C t Φωϕ=+()sin cos n nY x A x B xωωαα=+弦的主振型是谐波曲线 (,)()()y x t Y x t Φ=()sin()n t C t Φωϕ=+()sin cos n nY x A x B xωωαα=+12(,)(sin cos )sin()n n n y x t C x C x t ωωωϕαα=++弦的运动规律是正弦曲线C 1、C 2、ωn 、为待定系数 ωn 、C 2——两个端点的边界条件确定、C 1——振动的初始条件确定 )sin(cos sin ),(ϕωαωαω+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=t x B x A C t x y n n n ϕϕ弦的两端固定，其边界条件为(0,)(,)0y t y l t ==弦的两端固定，其边界条件为12(,)(sin cos )sin()n nn y x t C x C x t ωωωϕαα=++210, sin 0n lC C ωα==sin 0n l ωα=n lk ωπα=弦振动的特征方程，即频率方程nk k k Tl lαππωρ==第k 阶固有频率✓连续系统固有频率的取值和离散系统固有频率的取值一样，只取某几个特定的数值。
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p( x, t )
6.2 杆的纵向固有振动
x
0
以等直杆的纵向振动为对象
l
方程：
2u t 2
a2
2u x2
1 A
p( x, t )
a E/
纵向自由振动方程：
2u t 2
a2
2u x2
假设杆的各点作同步运动： u(x,t) U (x)T (t)
T(t) 表示运动规律的时间函数
U (x)杆上距原点 x 处的截面的纵向振动振幅
（3）轴的扭转振动
2u t 2
a2
2u x2
1
A
p( x, t )
2 y t 2
a22 y x2源自1p( x, t )
2
t 2
a2
2
x2
1
Jp
p( x, t )
虽然它们在运动表现形式上并不相同，但它们的运动微分 方程是类同的，都属于一维波动方程
2020年9月30日 12
《振动力学》
连续系统的振动 / 杆的纵向振动
T(t) a2 U (x)
2020年9月30日
T (t) U (x)
13
《振动力学》
连续系统的振动 / 杆的纵向振动
T(t) a2 U (x) T (t) U (x)
记： 2
T(t) 2T (t) 0
U
(
x)
(
a
)2U
(x)
0
通解： T (t) bsin(t )
x
x
U (x) B1 sin a B2 cos a
达朗贝尔原理：
dx
2 y t 2
T0 (
x
dx)
T0
p( x, t )dx
令： a T0 /
并考虑到： y
x
2 y a2 2 y 1 p(x,t)
t 2
x2
2020年9月a30日弹性横波的纵向传播速度
《振动力学》
弦的横向强迫振动方程
6
连续系统的振动 / 一维波动方程
（2）轴的扭转振动
细长圆截面等直杆在分布 扭矩作用下作扭转振动
p( x, t )
0
x dx
x
杆参数：截面的极惯性矩 Jp
材料密度 切变模量 G
p(x,t) ：单位长度杆上分布的外力偶矩
假定振动过程中各横截面仍保持为平面
微段 dx 受力
pdx
Mt
Mt
M t x
dx
(x,t) 为杆上距离原点 x 处的截面在时刻 t 的角位移
第六章 连续系统的振动
－实际的振动系统都是连续体，它们具有连续分布的质量与 弹性，因而又称连续系统或分布参数系统
－确定连续体上无数质点的位置需要无限多个坐标，因此连 续体是具有无限多自由度的系统
－连续体的振动要用时间和空间坐标的函数来描述，其运动 方程不再像有限多自由度系统那样是二阶常微分方程组， 它是偏微分方程
－在物理本质上，连续体系统和多自由度系统没有什么差别 ，连续体振动的基本概念与分析方法与有限多自由度系统 是完全类似的
2020年9月30日 2
《振动力学》
教学内容
• 一维波动方程 • 梁的弯曲振动
2020年9月30日 3
《振动力学》
假设条件
（1）线性弹性体，即虎克定律 （2）材料均匀连续；各向同性 （3）振动满足微振动的前提
x
J p
2
t 2
x (GJ p
)
x
p( x, t )
圆截面杆的扭转振动强迫振动方程
等直杆，抗扭转刚度 GJp 为常数
p( x, t )
x dx
x
微段 dx 受力
Mt
pdx
Mt
M t x
dx
J
p
dx
2
t 2
20202t年2 9月3a0日2
2
x2
1
Jp
p( x, t )
《振动力学》
a G
剪切弹性波的 纵向传播速度
2020年9月30日 4
《振动力学》
连续系统的振动 / 一维波动方程
一维波动方程 • 动力学方程 • 固有频率和模态函数 • 主振型的正交性 • 杆的纵向强迫振动
2020年9月30日 5
《振动力学》
连续系统的振动 / 一维波动方程
（1）弦的横向振动
弦的定义: 很细长 弦两端固定，以张力 T0 拉紧 在分布力作用下作横向振动
t 2
x
A
2u t 2
x
(EA
u x
)
p( x, t )
杆的纵向强迫振动方程
等直杆EA 为常数
2u t 2
a2
2u x2
1
A
p( x, t )
2020年9月a30日 E / 弹性纵波沿杆的纵向传播速度 11 《振动力学》
连续系统的振动 / 一维波动方程
小结：
（1）杆的纵向振动
（2）弦的横向振动
x
达朗贝尔原理：
Adx
2u t 2
(N
N x
dx)
N
p( x, t )dx
2020年9月30日
10
《振动力学》
连续系统的振动 / 一维波动方程
p( x, t )
0 x dx l
x
u( x, t )
杆上距原点 x 处截面在
时刻 t 的纵向位移
横截面上的内力： N EA EA u
x
达朗贝尔原理：
Adx 2u (N N dx) N p(x,t)dx
B1, B2 , 由杆的边界条件确定 （确定杆纵向振动的形态，称为模态 ）
（杆的边界条件确定固有频率）
与有限自由度系统不同，连续系统的模态为坐标的连续函数 ，表示各坐标振幅的相对比值
由频率方程确定的固有频率 有i 无穷多个 （下面讲述）
y
T0
o x
y( x, t ) p( x, t )
dx
T0 x
振动中认为张力不变
微段受力情况
单位长度弦的质量
p(x,t) 单位长度弦上分布的作用力
建立坐标系 xoy
微振
sin
y(x,t) 弦上距原点 x 处的横截面在 t 时刻的横向位移
dx pdx
T0 dx
x
T0
dx
2 t
y
2
达朗贝尔 惯性力
8
连续系统的振动 / 一维波动方程
（3）杆的纵向振动
p( x, t )
讨论等截面细直杆的纵向振动
0
x
l
杆参数： 杆长 l
截面积 A
材料密度 弹性模量 E
假定振动过程中各横截面仍保持为平面 忽略由纵向振动引起的横向变形 p(x,t) 单位长度杆上分布的纵向作用力
2020年9月30日 9
《振动力学》
J
p
dx
2
t 2
达朗贝尔 惯性力偶
截面处的扭矩为 M t 2020年9月30日 《振动力学》
J pdx ：微段绕轴线的转动惯量
7
连续系统的振动 / 一维波动方程
达朗贝尔原理：
J
p
dx
2
t 2
(Mt
M t x
dx) M t
pdx
0
J p
2
t 2
M t x
p( x, t )
材料力学：
Mt
GJ p
连续系统的振动 / 一维波动方程
微段分析
p( x, t ) x
0 x dx l
dx
u u dx x
u p(x,t)dx
N
N N dx x
u(x,t) 杆上距原点 x 处截面在时刻 t 的纵向位移
微段应变：
(u
u x
dx)
u
u
dx
x
Adx
2u x 2
达朗贝尔惯性力
横截面上内力： N EA EA u