2019年高中数学人教A版选修2-2课件：2.2.2反证法(共18张PPT)
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什么是公理？那就是不证自明非常显然的事实，公理是我们证 明的原点或起点，从原点或起点出发到达我们要到的地方。证明先 从公理开始。证明的起点是显而易见的事实，这事实就是公理。公 理是去证别人而自己是不能证明的。公理是自己不能被证明的，只 能证别人。它是证明的起点。
一、复习回顾 1.直接证明的两种基本证法： 综合法和分析法
证明：若x，y中至少有一个不为0，不妨设x≠0，则x2＞0， 所以 x2+y2 ＞0， 也就是说x2+y2 ≠0. 矛盾，矛盾说明原命题成立。
注意：x=0且y=0的反面是什么。
即反证证原法命：题 若：若q，p，则则qp为即真若命题q。，则 p是真命题。即逆否
命题是真命题，而原命题与逆否命题同真同假，所以原命题 也是真命题
有5个球是同色的，你能证明这个结论吗？
假设有某种染法使同色的球数都不超过4个，则 球的总数不超过4+4=8，这与球的总数是9矛盾。
因此，假设不成立， 无论怎样染，至少有5个球是同色的
同学们这很显然但不是公理而是可以证明出来的原理。同学们记得公理系统 吗？公理系统只需那几条公理，其他的性质、推论、定理都可以从这几条公理推 出来，就算性质、推论、定理比公理还显然那也不算公理。这些性质、推论、定 理的证明每一步都有论据，这论据就是要么是公理要么是已经证明出来的定理、 性质、推论。
反证法的思维方法：正难则反
反证法的证明步骤：
①假设——假设命题的结论不成立，即假设命题结论的否定面成立；
②找矛盾——从假设出发，经过一系列正确的逻辑推理，推出矛
盾（与已知矛盾，与已知定义，公理，定理事实等矛
盾，与出现的临时假设矛盾，在证Hale Waihona Puke Baidu过程中出现自相矛
盾等等），从而否定假设； ③下结论——由矛盾结果，断定假设不成立，从而肯定原命题的
----要善待每一位同学
引入
我们从初中就开始学习反证法，到了高中继续学习。所以对反 证法的要求比起初中是有提高的。
这节课三个问题。 一、通俗讲反证法是什么东西？说的专业学术点就是反证法的 本质是什么。 二、反证法有什么用？ 三、什么时候用反证法？
同学们，反正发其实很难的，一些同学觉得挺简单，如果这样 我高兴。为什么反证法难？因为你们已经习惯了正面思考问题，对 于反面思考问题感觉不太适应。这是第一个原因，第二个原因是有 些事物的反面是很难知道的。我会举例子说明，这些例子如果是我 教的学生我已经举过了。
同学们，我为什么一心一意的对你们？
学校调进一年轻教师，校长语重心长地对他说： 考100分的学生你要对他好，以后他会成为科学家； 考80分的学生你要对他好，以后他可能和你做同事； 考试不及格的学生你要对他好，以后他会捐钱给学校的； 考试作弊的学生你也要对他好，他将来会当官的； 中途退学的同学，你也要对他好，他会成为比尔盖茨或乔 布斯； 爱打架的同学你要对他好，将来他会成为警察官； 早恋的同学你要对他好，将来他会成为文学家； 爱撒谎的同学你要对他好，将来他会成为名记者； 胡搅蛮缠的同学你要对他好，将来他会成为优秀城管； 考试弄虚作假的同学你要对他好，将来他要进发改委； 说话不着边际的同学你也要对她好 将来会成为政府发言人。
那好同学们仔细观察分析知道反证法是什么东西吗？即反证法 的本质是什么？
原命题：若p，则q，即证原命题为真命题。
反证法：若 q，则p，即若 q，则p为真即逆 否命题：若q，则 p为真，因为原命题与逆否命题同真
同假，所以原命题也是真。
反证法的本质就是原命题与逆否命题同真同假。而原命题与逆 否命题同真同假却是个公理。
2.2 直接证明与间接证明
2.2.2 反 证 法
复习选修1-1第一章与反证法有关的内容
下面学习反证法，同学们知道不知道反证法到底是个什么东西？ 即反证法的本质是什么。
反证法
反证法的步骤： (1)假设命题的结论不成立，即假设结论的反面成立； (2)从这个假设出发，通过推理论证，得出矛盾； (3)由矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确
则有∠A+∠B+∠C ＜180°，
这与三角形内角和等于180°相矛盾。
所以假设不成立，
所以原结论成立，即在个三角形中，至少有一个内角不 小于60°
注：结论中含“至多、至少”形式出现；直接证明难以下
手的命题，改变其思维方向，从进行反面思考。
四、例题选讲
例2.已知a≠0，证明x的方程ax=b有且只有一个根。
2.这两种基本证法的推证过程和特点：
综合法 已知条件 结论 由因导果
分析法 结论 已知条件 执果索因
3、在实际解题时，两种方法如何运用？ 通常用分析法寻求思路，再由综合法书写过程
二、引入思考？
正难则反!
（1）如果有5只鸽子飞进两只鸽笼，至少有3只鸽子在
同一只鸽笼，对吗？ （2）将9个球分别染成红色或白色，无论怎样染，至少
三、基本概念
把这种不是直接从原命题的条件逐步推得 命题成立的证明方法称为间接证明
注：反证法是最常见的间接证法
同一法也是一种间接证法 一般地，假设原命题不成立（即假设在原命题的条 件下，结论不成立）， 经过正确的推理，最后得出 矛盾。因此说明假设错误，从而证明了原命题成立， 这种证明方法叫做反证法。
换个角度说法就是，欲证“若p则q”，从否定其结论即“非q” 出发，经过正确的逻辑推理导出矛盾，一般推出非p,从而“非q” 为假，于是若p，则q为真。这样的证明方法称为反证法。
例2 证明：若x2+y2=0，则x=y=0.
分析：你觉得正面法即直接法无话可说，你可以采用反证法。 什么是正面法即直接法换个角度理解那就是证明原命题：若p，则q 为真命题。
结论成立。
同学们，反
即分三个步骤：假设—归谬—存真
正法的严格 定义及一般
简单记为：否定结论——推出矛盾——肯定结论，
理论是数学 家干干的，
（其中推出矛盾是反证法证明的关键。） 我们只需理
反证法是制造矛盾的专家。
解具体的例 子。
四、例题选讲
例1.求证：在个三角形中，至少有一个内角不小于60°
分析：从条件出发很难入手去证，可以考虑从反面入手 证明：假设三角开有三个内角∠A 、∠B 、∠C都小于60°
证：由于a ≠0，因此方程至少有一个根x=b/a，
```如果方程不只一个根，不妨设x1,x2 （x1 ≠x2 )是 方程的两个根.
一、复习回顾 1.直接证明的两种基本证法： 综合法和分析法
证明：若x，y中至少有一个不为0，不妨设x≠0，则x2＞0， 所以 x2+y2 ＞0， 也就是说x2+y2 ≠0. 矛盾，矛盾说明原命题成立。
注意：x=0且y=0的反面是什么。
即反证证原法命：题 若：若q，p，则则qp为即真若命题q。，则 p是真命题。即逆否
命题是真命题，而原命题与逆否命题同真同假，所以原命题 也是真命题
有5个球是同色的，你能证明这个结论吗？
假设有某种染法使同色的球数都不超过4个，则 球的总数不超过4+4=8，这与球的总数是9矛盾。
因此，假设不成立， 无论怎样染，至少有5个球是同色的
同学们这很显然但不是公理而是可以证明出来的原理。同学们记得公理系统 吗？公理系统只需那几条公理，其他的性质、推论、定理都可以从这几条公理推 出来，就算性质、推论、定理比公理还显然那也不算公理。这些性质、推论、定 理的证明每一步都有论据，这论据就是要么是公理要么是已经证明出来的定理、 性质、推论。
反证法的思维方法：正难则反
反证法的证明步骤：
①假设——假设命题的结论不成立，即假设命题结论的否定面成立；
②找矛盾——从假设出发，经过一系列正确的逻辑推理，推出矛
盾（与已知矛盾，与已知定义，公理，定理事实等矛
盾，与出现的临时假设矛盾，在证Hale Waihona Puke Baidu过程中出现自相矛
盾等等），从而否定假设； ③下结论——由矛盾结果，断定假设不成立，从而肯定原命题的
----要善待每一位同学
引入
我们从初中就开始学习反证法，到了高中继续学习。所以对反 证法的要求比起初中是有提高的。
这节课三个问题。 一、通俗讲反证法是什么东西？说的专业学术点就是反证法的 本质是什么。 二、反证法有什么用？ 三、什么时候用反证法？
同学们，反正发其实很难的，一些同学觉得挺简单，如果这样 我高兴。为什么反证法难？因为你们已经习惯了正面思考问题，对 于反面思考问题感觉不太适应。这是第一个原因，第二个原因是有 些事物的反面是很难知道的。我会举例子说明，这些例子如果是我 教的学生我已经举过了。
同学们，我为什么一心一意的对你们？
学校调进一年轻教师，校长语重心长地对他说： 考100分的学生你要对他好，以后他会成为科学家； 考80分的学生你要对他好，以后他可能和你做同事； 考试不及格的学生你要对他好，以后他会捐钱给学校的； 考试作弊的学生你也要对他好，他将来会当官的； 中途退学的同学，你也要对他好，他会成为比尔盖茨或乔 布斯； 爱打架的同学你要对他好，将来他会成为警察官； 早恋的同学你要对他好，将来他会成为文学家； 爱撒谎的同学你要对他好，将来他会成为名记者； 胡搅蛮缠的同学你要对他好，将来他会成为优秀城管； 考试弄虚作假的同学你要对他好，将来他要进发改委； 说话不着边际的同学你也要对她好 将来会成为政府发言人。
那好同学们仔细观察分析知道反证法是什么东西吗？即反证法 的本质是什么？
原命题：若p，则q，即证原命题为真命题。
反证法：若 q，则p，即若 q，则p为真即逆 否命题：若q，则 p为真，因为原命题与逆否命题同真
同假，所以原命题也是真。
反证法的本质就是原命题与逆否命题同真同假。而原命题与逆 否命题同真同假却是个公理。
2.2 直接证明与间接证明
2.2.2 反 证 法
复习选修1-1第一章与反证法有关的内容
下面学习反证法，同学们知道不知道反证法到底是个什么东西？ 即反证法的本质是什么。
反证法
反证法的步骤： (1)假设命题的结论不成立，即假设结论的反面成立； (2)从这个假设出发，通过推理论证，得出矛盾； (3)由矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确
则有∠A+∠B+∠C ＜180°，
这与三角形内角和等于180°相矛盾。
所以假设不成立，
所以原结论成立，即在个三角形中，至少有一个内角不 小于60°
注：结论中含“至多、至少”形式出现；直接证明难以下
手的命题，改变其思维方向，从进行反面思考。
四、例题选讲
例2.已知a≠0，证明x的方程ax=b有且只有一个根。
2.这两种基本证法的推证过程和特点：
综合法 已知条件 结论 由因导果
分析法 结论 已知条件 执果索因
3、在实际解题时，两种方法如何运用？ 通常用分析法寻求思路，再由综合法书写过程
二、引入思考？
正难则反!
（1）如果有5只鸽子飞进两只鸽笼，至少有3只鸽子在
同一只鸽笼，对吗？ （2）将9个球分别染成红色或白色，无论怎样染，至少
三、基本概念
把这种不是直接从原命题的条件逐步推得 命题成立的证明方法称为间接证明
注：反证法是最常见的间接证法
同一法也是一种间接证法 一般地，假设原命题不成立（即假设在原命题的条 件下，结论不成立）， 经过正确的推理，最后得出 矛盾。因此说明假设错误，从而证明了原命题成立， 这种证明方法叫做反证法。
换个角度说法就是，欲证“若p则q”，从否定其结论即“非q” 出发，经过正确的逻辑推理导出矛盾，一般推出非p,从而“非q” 为假，于是若p，则q为真。这样的证明方法称为反证法。
例2 证明：若x2+y2=0，则x=y=0.
分析：你觉得正面法即直接法无话可说，你可以采用反证法。 什么是正面法即直接法换个角度理解那就是证明原命题：若p，则q 为真命题。
结论成立。
同学们，反
即分三个步骤：假设—归谬—存真
正法的严格 定义及一般
简单记为：否定结论——推出矛盾——肯定结论，
理论是数学 家干干的，
（其中推出矛盾是反证法证明的关键。） 我们只需理
反证法是制造矛盾的专家。
解具体的例 子。
四、例题选讲
例1.求证：在个三角形中，至少有一个内角不小于60°
分析：从条件出发很难入手去证，可以考虑从反面入手 证明：假设三角开有三个内角∠A 、∠B 、∠C都小于60°
证：由于a ≠0，因此方程至少有一个根x=b/a，
```如果方程不只一个根，不妨设x1,x2 （x1 ≠x2 )是 方程的两个根.