六年级数学分数裂项求和

六年级数学分数裂项求和
考试要求
（1）通过利用通项归纳法简化计算；
（2）能运用变换方法计算复杂裂项型运算。

知识结构
一、复杂整数裂项型运算
复杂整数裂项特点：从公差一定的数列中依次取出若干个数相乘，再把所有的乘积相加。

其巧解方法是：先把算式中最后一项向后延续一个数，再把算式中最前面一项向前伸展一个数，用它们的差除以公差与因数个数加1的乘积。

整数裂项口诀：等差数列数，依次取几个。

所有积之和，裂项来求作。

后延减前伸，差数除以N。

N 取什么值，两数相乘积。

公差要乘以，因个加上一。

需要注意的是：按照公差向前伸展时，当伸展数小于0时，可以取负数，当然是积为负数，减负要加正。

对于小学生，这时候通常是把第一项甩出来，按照口诀先算出后面的结果再加上第一项的结果。

此外，有些算式可以先通过变形，使之符合要求，再利用裂项求解。

二、“裂和”型运算
常见的裂和型运算主要有以下两种形式：
（1）
11
a b a b
a b a b a b b a
+
=+=+
⨯⨯⨯
（2）
2222
a b a b a b
a b a b a b b a
+
=+=+
⨯⨯⨯
裂和型运算与裂差型运算的对比：
裂差型运算的核心环节是“两两抵消达到简化的目的”，裂和型运算的题目不仅有“两两抵消”型的，同时还有转化为“分数凑整”型的，以达到简化目的。

重难点
（1）通过利用通项归纳法简化计算；
（2）能运用变换方法计算复杂裂项型运算。

例题精讲
【例 1】计算：
22222222 12232004200520052006 12232004200520052006 ++++ ++++
⨯⨯⨯⨯
【考点】分数裂项【难度】☆☆☆【题型】解答【解析】（法1）：可先来分析一下它的通项情况，
2222(1)(1)1(1)(1)(1)1n n n n n n n a n n n n n n n n
++++==+=+⨯+⨯+⨯++
原式=2
13243542005200420062005
()()()()(
)()12233445
2004200520052006
++++++++
++++ 2005
200522006
=⨯+
2005
4010
2006
= （法2）：22222(1)22111
22(1)(1)
n n n n n a n n n n n n n n ++++===+=+⨯+++⨯+
【答案】200540102006。

【巩固】4022
20114022201184846363424221212
222222222⨯+++⨯++⨯++⨯++⨯+ 【考点】分数裂项 【难度】☆☆☆ 【题型】解答
【解析】()()1
221222222
2
2
2+=⨯+⨯=⨯+=
n n n n n n n n n n a n 原式=⎪⎭
⎫ ⎝⎛+++⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫
⎝⎛+122112211221 =220112
1
2011⨯+⨯ =2
15027 【答案】2
15027。

【例 2】 计算：22
21111112131991⎛⎫⎛⎫
⎛
⎫+
⨯+⨯⨯+ ⎪ ⎪ ⎪---⎝
⎭⎝⎭
⎝⎭
【考点】分数裂项 【难度】☆☆☆ 【题型】解答
【解析】22
22
1(1)(1)1(1)1(1)1(2)
n n n a n n n n ++=+==+-+-⨯+ 原式2233
98989999
(21)(21)(31)(31)
(981)(981)(991)(991)
⨯⨯⨯⨯=
⨯⨯
⨯
⨯+⨯-+⨯-+⨯-+⨯-
22334455
9898999929949
131425364
999710098110050
⨯⨯⨯⨯⨯⨯=
⨯⨯⨯⨯⨯
⨯=⨯=⨯⨯⨯⨯⨯⨯
【答案】49150。

【巩固】计算：1
1011
10115151313222222-+++-++-+ 【考点】分数裂项 【难度】☆☆☆ 【题型】解答
【解析】()()()()()()()()2222
11
122112112112111121121122
222222+⨯+=-++-+-+=-+++-+=-+++=n n n n n n n n n a n =2
21
211+-
+
n n 原式=102
1
100161414121501-
++-+-+⨯ =102
1
2150-
+ =51
2550 【答案】51
2550。

【例 3】 计算：111
112123122006
+
++⋯
+++++⋯ 【考点】分数裂项 【难度】☆☆☆ 【题型】解答 【解析】先找通项公式1
211
2()12(1)1
n a n
n n n n =
=
=-++
⨯++
原式11
1
12(21)3(31)
2006(20061)
22
2
=+
++
+
⨯+⨯+⨯+
2222
12233420062007
=
++++
⨯⨯⨯⨯
2006
22007
=⨯ 4012
2007
=
【答案】4012
2007。

【巩固】计算：3
33333333100
321100
32143214321321321212111+++++++++++++++++++++++++
【考点】分数裂项 【难度】☆☆☆ 【题型】解答
【解析】()
()()⎪⎭
⎫ ⎝⎛+-⨯=+⨯=+⨯+⨯=111
2124
1212
2n n n n n n n n a n 原式=⎪⎭⎫ ⎝⎛-++-+-+-
⨯101110014131312121112 =⎪⎭
⎫ ⎝
⎛-
⨯101112 =
101
200
【答案】
101
200。

【例 4】 计算：12389(1)(2)(3)(8)(9)2
3
4
910
-⨯-⨯-⨯
⨯-⨯-
【考点】分数裂项 【难度】☆☆☆ 【题型】解答
【解析】通项为：2
(1)111
n n n n n n a n n n n +-=-==+++， 原式222
22
123489346789362882345
910
=⨯⨯⨯⨯
⨯⨯=⨯⨯⨯⨯⨯= 【答案】36288。

【巩固】计算：⎪⎭
⎫ ⎝⎛-⨯⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛-
10011411311211 【考点】分数裂项 【难度】☆☆☆ 【题型】解答 【解析】1
+=
n n a n 原式=
100
99
433221⨯
⨯⨯⨯ =
100
1
【答案】
100
1。

【例 5】 计算：3
332
22333322223332223322322621262143214321321321212111+⋯+++⋯++-⋯+++++++-+++++++-
【考点】分数裂项 【难度】☆☆☆ 【题型】解答
【解析】2
2
2
22333
(1)(21)
122212116()(1)123(1)31
4
n n n n n n a n n n n n n n ⨯+⨯+++⋯++===⨯=⨯+⨯+++⋯+⨯++ 原式=
211111111[()()()(
)]3122334
2627⨯+-+++-+=2152
(1)32781
⨯-= 【巩固】计算：222222
22
2131
1001333333
312123
1210012
100123
201---⎛⎫⎛⎫+++-+++
++-+- ⎪ ⎪++++++⎝⎭⎝⎭
【考点】分数裂项 【难度】☆☆☆ 【题型】解答
【解析】()()31212136
12112+⎪⎭
⎫
⎝⎛+-+-+⨯+⨯-=n n n n n n n a n
()31212131216+⎪⎭
⎫
⎝⎛+-+-+⨯-⨯
=n n n n n n
()⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+-+-⨯⨯=1212131233316n n n n n n
()31212131232316+⎪⎭
⎫ ⎝⎛+-+-+⨯-+⨯⨯=n n n n n n n
()()()()3
121213128281121316312121312412121213163
121213123212316+⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+-⎪⎭⎫ ⎝⎛++-++⨯⨯=+⎪⎭⎫
⎝⎛+-+-⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-++++⨯⨯=+⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+-⎥⎦
⎤⎢⎣⎡+-++⨯⨯=n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n
3
12121331212132163
12121321231233316+⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⨯+-⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⨯-⨯=+⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+-⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+⨯⨯=n n n n n n
n n n n n n
=3 原式=3
【答案】3
【例 6】 计算：5717191155234345
891091011
⨯++
+
+⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯（
） 【考点】分数裂项 【难度】☆☆☆ 【题型】解答 【解析】由21
(1)(2)
n n a n n n +=
⨯+⨯+
1
(1)(2)
n n n n n ++=⨯+⨯+
1
(1)(2)(1)(2)n n n n n n n n +=+⨯+⨯+⨯+⨯+
11
(1)(2)(2)
n n n n =
++⨯+⨯+
可得： 原式=)11
101119110911081541531431421(
1155⨯+⨯+⨯+⨯++⨯+⨯+⨯+⨯⨯ =⎥⎦⎤
⎢⎣⎡⨯+⨯++⨯+⨯+⨯++⨯+⨯⨯)11911081531421()11101541431(1155 =11111111155()()3112231011⎡⎤
⨯-++--⎢⎥⎣⎦
651=
【答案】651。

【巩固】
12
111020
543643243212⨯⨯+
+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯ 【考点】分数裂项 【难度】☆☆☆ 【题型】解答 【解析】()()()()⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+⨯=+⨯+=+⨯+⨯=
2111
2212212n n n n n n n n a n
原式=⎪⎭⎫
⎝⎛-++-+-⨯12111141
3131212
=⎪⎭⎫
⎝
⎛-⨯121212 =6
5 【答案】6
5。

【例 7】 计算：
234
10
1----
1(12)(12)(123)(123)(1234)
(129)(1210)
-
⨯++⨯++++⨯+++++
⨯++
+
【考点】分数裂项 【难度】☆☆☆ 【题型】解答 【解析】（方法一）: 21
1=
1(12)3-
⨯+
231
1-=1(12)(12)(123)6
-
⨯++⨯++
2341
11(12)(12)(123)(123)(1234)10
-
--=⨯++⨯++++⨯+++
发现1+2=3，1+2+3=6，1+2+3+4=10，…，也就是说当作为最后一个减数分母的最后一个乘数
为多少，作为最终结果的单位分数的分母就是多少．
所以，原题中最后一个减数分母的最后一个乘数为1+2+3+4+…+9+10=55，所以最终计算结果
为
155
． （方法二）：
21
11(12)12
=-⨯++
311
(12)(123)12123=-+⨯+++++
411
(12)(123)1231234
=-+⨯+++++++,
10
1
1
=(1239)(123910)123912310-+++
+⨯++++++++
+++++
1111111
1112121231231234123912310⎛⎫⎛⎫⎛⎫
⎛
⎫---------
⎪ ⎪ ⎪
⎪++++++++++++
++++
⎝⎭⎝⎭⎝⎭
⎝⎭
1
=
12310
++++ 1=
55
（方法三）：先找出通项的规律为
[][]
12(1)12n
n n ++
+-⨯++
有
[][]
12(1)12n
n n ++
+-⨯++
(1)(1)
22n
n n n n =
-⨯⨯+⨯
4
(1)(1)
n n n =-⨯⨯+ 而
4112(1)(1)(1)(1)n n n n n n n ⎡⎤=⨯-⎢⎥-⨯⨯+-⨯⨯+⎣⎦。

【答案】
155。

【巩固】计算：
2
222222210
919
437325213⨯++⨯+⨯+⨯ 【考点】分数裂项 【难度】☆☆☆ 【题型】解答
【解析】()()()
()
2
222
2
2
22
11
11111
2+-=
+⨯-+=+⨯+=n n n n n n n n n a n 原式=
2
22222101
9131212111-++-+- =100
1
1- =
100
99 【答案】
100
99。

【例 8】 计算：⎪⎭
⎫ ⎝⎛+++++++-⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯++⨯+⨯⨯22222
21021121111212015
4132124 【考点】分数裂项 【难度】☆☆☆ 【题型】解答 【解析】 虽然很容易看出
321⨯＝3121-，541⨯＝5
141-……可是再仔细一看，并没有什么效果，因为这不象分数裂项那样能消去很多项．我们再来看后面的式子，每一项的分母容易让我们想到公式
)12()1(6
1
3212222+⨯+⨯⨯++++n n n n ＝ ，
于是我们又有
)
12()1(6
32112222+⨯+⨯++++n n n n ＝
． 减号前面括号里的式子有10项，减号后面括号里的式子也恰好有10项，是不是“一个对一个”呢？
⎪⎭
⎫
⎝⎛+++++++-⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯++⨯+⨯⨯22222
2102112111121201541321
24 ＝⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯⨯++⨯⨯+⨯⨯⨯-⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯++⨯+⨯⨯21111015321321162120154132124
＝⎪⎭⎫
⎝⎛⨯⨯++⨯⨯+⨯⨯⨯-⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯++⨯+⨯⨯212220156413421242120154132124 ＝⎥⎦⎤
⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯⨯-⨯++⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯⨯-⨯+⎪⎭⎫ ⎝
⎛⨯⨯-⨯⨯2122201212015641541342132124 ＝⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯++⨯+⨯⨯22201641421
24
＝⎪
⎭⎫ ⎝⎛⨯++⨯+⨯⨯111013
21211
6
＝⎪
⎭⎫ ⎝⎛
-⨯11116
＝1160 【答案】
1160。

【巩固】计算：=⎪⎭⎫ ⎝⎛+++++++⨯-⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯++⨯+⨯⨯222222102112
111122120154132148 。

【考点】公式法之综合运用 【难度】☆☆☆☆ 【题型】填空 【解析】 ()()
()()2
22
1
624
1212122122n n n n n n n =
=
++
+++++()()()11122212122n n n n ⎡⎤=⨯-⎢⎥+++⎢⎥⎣⎦
，
所以，
⎪⎭
⎫
⎝⎛+++++++⨯2222
221021121111
2 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯-⨯++⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯-⨯+⎪⎭⎫ ⎝
⎛⨯-⨯⨯=222112120165154143132124
所以原式=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯-⨯++⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯-⨯+⎪⎭⎫ ⎝
⎛⨯-⨯⨯-⎪⎭⎫
⎝⎛⨯++⨯+⨯⨯2221121201651541431321242120154132148 =⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯+⨯++⨯+⨯+⨯⨯2221121201541431321
24 =⎪⎭⎫ ⎝
⎛-⨯2212124 =11
1212- =11
1010
【答案】11
1010。

【例 9】 计算：1111
(12)(23)(34).....(78)344556910
⨯+
+⨯++⨯+++⨯+⨯⨯⨯⨯ 【考点】公式法之综合运用 【难度】☆☆☆☆ 【题型】解答
【解析】原式1111(122378)(
.....)344556910
=⨯+⨯++⨯+++++⨯⨯⨯⨯ 222211
(1237)(1237)()310
=++++++++
++-
7168
30
= 在此帮助孩子回忆公式：222
2(1)(21)
1236
n n n n ⨯+⨯++++
+=
22
3
3
3
2
(1)12(12)4
n n n n ⨯+++
+=++
+=
【答案】716830。

【巩固】
！10099
!43!32!21+
⋯⋯+++ （最后的结果可以用阶乘表示） 【考点】公式法之综合运用 【难度】☆☆☆☆ 【题型】解答 【解析】
12399
2!3!4!100!+++⋯⋯+
21311001
...2!3!100!---=
+++
11111
1...2!2!3!99!100!
=-
+-++-
1
1100!
=-
【答案】11100!
-。

【例 10】 计算：
121231234
12350
223234
2350
++++++++++⨯⨯⨯⨯
++++++
【考点】公式法之综合运用 【难度】☆☆☆☆ 【题型】解答
【解析】找通项(1)(1)2(1)(1)212
n n n
n n a n n
n n +⨯⨯+==
+⨯⨯+-- 原式23344556
23344556
410182814253647
⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯=
⨯⨯⨯⨯=
⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯，
通过试写我们又发现数列存在以上规律，这样我们就可以轻松写出全部的项，所以有： 原式2334455648494950505114253647
475048514952⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯=
⨯⨯⨯⨯⨯
⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯35023
215226
=⨯=
【答案】23226。

【巩固】计算：
50
43250
321432432132321221+++++++++
++++++++++++ 【考点】公式法之综合运用 【难度】☆☆☆☆ 【题型】解答 【解析】()()
32
12
1211+⨯+
=⨯+++
=n n n n a n 原式=53
1
5015214915114815014717141613151214111501-+-+-+-++-+-+-+-+⨯ =53
15115013121150---+++ =
67575
119936
【答案】
67575
119936。

课堂检测
1、 ⎪⎭
⎫
⎝⎛-+⨯⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛-+
110011*********
22 【考点】公式法之综合运用 【难度】☆☆☆☆ 【题型】解答
【解析】22
22
1(1)(1)1(1)1(1)1(2)
n n n a n n n n ++=+==+-+-⨯+ 原式=
101
99100
100534442333122⨯⨯⨯
⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯ =
101
200
【答案】
101
200。

2、 计算：
123492232342345
234
10
+++++
⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯
【考点】分数裂项 【难度】☆☆☆☆ 【题型】解答 【解析】原式12349
2232342345234
10
=
+++++
⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯
213141
101
223234
23410
----=
++++
⨯⨯⨯⨯⨯⨯
1111111
1222323234234
9
234
910
=-+-+-+
+
-
⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯
1
1234
910
=-
⨯⨯⨯⨯
3628799
3628800
=
【答案】
3628799
3628800。

3、 计算：
123456
121231234123451234561234567
+++++
⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯ 【考点】分数裂项 【难度】☆☆☆☆ 【题型】解答 【解析】原式131********
121231234123451234561234567-----=
+++++
⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯ 111111
121212312312341234567
=+-+-+-
⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯
111
12121234567=
+-
⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯ 115040=-
5039
5040
=
【答案】
5039
5040。

4、 计算：
2399
3!4!
100!
+++
= . 【考点】分数裂项 【难度】☆☆☆☆ 【题型】填空
【解析】原式为阶乘的形式，较难进行分析，但是如果将其写成连乘积的形式，题目就豁然开朗了．
原式23
99
1231234123100=
++
+⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯
3141
1001
1231234
123100
---=++
+
⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯
11111
1
121231231234
12399123100
=
-+-++-
⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯
⨯⨯⨯⨯
⨯
1112123100
=
-
⨯⨯⨯⨯
⨯11
2100!
=
-
【答案】11
2100!
-。

5、 计算：
11111
1
2345
98995152
99
+++
+++
+
=⨯⨯⨯ 【考点】分数裂项 【难度】☆☆☆☆☆ 【题型】填空
【解析】原式11
111111
124
9835995152
99⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++
+
-+++
++++
⎪ ⎪
⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 1111111
11224503549525498⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++-+++⨯+++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
11111111
124
5035
492627
49⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++
-++
++++
⎪ ⎪
⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
1111111
111
22424352526284850
⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++-+++⨯+++
+
⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 1111111111
2424352513142450⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++-++++++
+
⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 11111111111
2241235111416245025
⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++-+++⨯+++
+
- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 11111111111
24
1235
1178
125025
⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++
-++
+++++
- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 111111111
1224635810125025⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++-++⨯+++-
⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 1111111111246354565025
⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++-+++++- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 1115025
=+
- 4950
= 【答案】4950。

6、 计算：
24612
335357
357911
++++
=⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯
【考点】分数裂项 【难度】☆☆☆☆ 【题型】填空 【解析】原式315171
131
335357
35791113
----=
++++
⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯
1
111
111335357911335
35791113⎛⎫⎛⎫
=++
+-+
++
⎪ ⎪⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⎝⎭⎝⎭
1
135791113
=-⨯⨯⨯⨯⨯
135134
135135
=
【答案】135134
135135。

7、 计算：
2
834
11
1222222133557
1719135357171921⎛⎫++++-+++= ⎪⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⎝⎭
【考点】分数裂项 【难度】☆☆☆☆☆ 【题型】填空 【解析】因为，34
11
222135357
171921
++
+
⨯⨯⨯⨯⨯⨯ 99
2244
221335355717191921
=-+-+
+-
⨯⨯⨯⨯⨯⨯ 89
224
22133557
17191921
=+++
+-
⨯⨯⨯⨯⨯ 所以原式889122224
221335
1719133557
17191921⎛⎫=
+++-++++- ⎪⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⎝⎭
921
192113
=-
⨯⨯ 512133
399-= 379
399
=
【答案】379
399。

8、 3
3332
223333222233322233223230
321302143214321321321212111+++++++-+++++++-+++++++- 【考点】分数裂项 【难度】☆☆☆☆ 【题型】解答
【解析】2
2
2
22333
(1)(21)
122212116()(1)123(1)31
4
n n n n n n a n n n n n n n ⨯+⨯+++⋯++===⨯=⨯+⨯+++⋯+⨯++ 原式=
⎥⎦
⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+--⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎭⎫ ⎝⎛+⨯311301
41313121211132 =
⎪⎭
⎫ ⎝⎛-⨯311132 =
31
20 【答案】31
20。

9、
51
503251
50321432432132321221+++++++++⨯
⨯+++++⨯+++⨯+ 【考点】分数裂项 【难度】☆☆☆☆ 【题型】解答
【解析】(1)(1)2(1)(1)212
n n n
n n a n n
n n +⨯⨯+==
+⨯⨯+-- 原式=
2548
51
5018541043432⨯⨯
⨯⨯⨯⨯⨯⨯ =
53
5052
51524951507465635452434132⨯⨯⨯
⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯ =53
51
13⨯
=
53
153
【答案】53
153。

家庭作业
1、
224466881010
133********
⨯⨯⨯⨯⨯++++
⨯⨯⨯⨯⨯ 【考点】分数裂项 【难度】☆☆☆☆ 【题型】解答
【解析】（法1）：可先找通项22211
1111(1)(1)
n n a n n n n ==+=+---⨯+ 原式11111
(1)(1)(1)(1)(1)133********
=+
++++++++⨯⨯⨯⨯⨯ 115(1)211
=+⨯-
5511
=+
55
11
= （法2）：原式288181832325050(2)()(
)()()3
35
5779911
=-+-+-+-+- 610141850
2357911=++++-
6104
11
=- 55
11
=
2、 11
1
3199921111111(1)(1)(1)(1)(1)
223231999
++
+
++⨯++⨯+⨯⨯+ 【考点】分数裂项 【难度】☆☆☆☆ 【题型】解答
【解析】11
211112()1112(1)(2)12(1)(1)(1)2312
n n n n n n n n ++===⨯-++++++⨯+⨯⨯++
原式11111111()()()()223
3445
19992000⎡⎤=-+-+-++-⨯⎢⎥⎣⎦
1
1100
=- 99100
=
【答案】99100。

3、 ()()()()()
()()12111111
4321321432121321121++⨯++--+++⨯++-++⨯+-+⨯-
【考点】分数裂项 【难度】☆☆☆☆ 【题型】解答 【解析】=
n a [][]12(1)12n
n n +++-⨯++
=
[][]
12(1)12n
n n ++
+-⨯++
(1)(1)
22n
n n n n =
-⨯⨯+⨯
4
(1)(1)n n n =
-⨯⨯+
()()⎥⎦
⎤⎢⎣⎡+⨯-⨯-⨯=11112n n n n
原式=⎥⎦⎤⎢
⎣⎡⨯-⨯++⨯-⨯+⨯-⨯⨯-12111111014
31321321211
21 =132
111+- =
132
1
【答案】1321。

4、 计算：11111111111122339999⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛
⎫⎛⎫+
⨯-⨯+⨯-⨯⨯+⨯- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
⎝⎭⎝⎭
【考点】分数裂项 【难度】☆☆☆☆ 【题型】解答 【解析】11111111111122339999⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛
⎫⎛⎫+
⨯-⨯+⨯-⨯⨯+⨯- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
111=1112399⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛
⎫+⨯+⨯⨯+ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭
⎝⎭⎣⎦1111112399⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛
⎫⨯-⨯-⨯⨯- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭
⎝⎭⎣⎦
34100=23
99⎛⎫
⨯⨯⨯ ⎪⎝⎭
129823
99⎛⎫⨯⨯⨯⨯ ⎪⎝⎭
1001
=299⨯ 50=
90
【答案】
5090。

5、
2
222222222101121
10919437325213⨯+
⨯++⨯+⨯+⨯ 【考点】分数裂项 【难度】☆☆☆☆ 【题型】解答
【解析】()()()
()
2
22
2
2
2
2211
11111
2+-=
+⨯-+=+⨯+=n n n n n n n n n a n 原式=
2
22222101
11131212111-
++-+- =100
1
1- =
100
99 【答案】100
99。

6、 ⎪⎭
⎫ ⎝⎛⨯+⨯+⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯+⨯++⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯+⨯+⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯+⨯+⎪⎭⎫ ⎝
⎛
⨯+
⨯1110198109187651435413243121 【考点】分数裂项 【难度】☆☆☆☆ 【题型】解答
【解析】原式=()⎪⎭
⎫
⎝⎛-++++++++111318218212
2
2
=
()()()33
8
21886182188++⨯++⨯⨯+⨯
=33
8240。