2021届黑龙江省大庆实验中学高三上学期期初考试数学(理)试题Word版含答案

2021届黑龙江省大庆实验中学高三上学期期初考试数学（理）试题一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1．已知{}{}{}6,2,4,1,3,4,6U x N x P Q =∈<==，则()U C P Q ⋂=（ ）A. {}3,4B. {}3,6C. {}1,3D. {}1,42．已知i 为虚数单位，复数z 满足()1i 1i z -=+，则z 的共轭复数是（ ）A. 1B. 1-C. iD. i -3．命题“3,30x R x x ∀∈->”的否定为（ ）A. 330x R x x ∀∈-≤，B. 330x R x x ∀∈-<，C. 330x R x x ∃∈-≤，D. 330x R x x ∃∈->，4．《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等，问各得几何？”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分五钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列，问五人各得多少钱？”（“钱”是古代一种重量单位），这个问题中，甲所得为A.53钱 B.32钱 C.43钱 D.54钱 5.某空间几何体的三视图如图所示（图中小正方形的边长为1），则这个几何体的体积是（ ）A. 323B.643C. 16D. 32(5题图) (7题图)6．4名大学生到三家企业应聘，每名大学生至多被一家企业录用，则每家企业至少录用一名大学生的情况有（ ）A. 24种B. 36种C. 48种D. 60种7.阅读如图所示的程序框图，若输出的数据为58，则判断框中应填入的条件为（ ）A ．3k ≤B ．4k ≤C ．5k ≤D ． 6k ≤8.已知函数()cos (0)6f x x ωπωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭的最小正周期为π，则函数()f x 的图象（ ） A. 可由函数()cos2g x x =的图象向左平移3π个单位而得 B. 可由函数()cos2g x x =的图象向右平移3π个单位而得 C. 可由函数()cos2g x x =的图象向左平移6π个单位而得 D. 可由函数()cos2g x x =的图象向右平移6π个单位而得9.已知三棱锥A BCD -的四个顶点,,,A B C D 都在球O 的表面上， ,BC CD AC ⊥⊥平面BCD ，且22,2AC BC CD ===，则球O 的表面积为 （ ）A. 4πB. 8πC. 16πD. 22π10．若直线mx+ny+2=0（m ＞0，n ＞0）截得圆()()22311x y +++=的弦长为2，则13m n+ 的 最小值为（ ）A. 4B. 6C. 12D. 1611.设双曲线22221x y a b-=（0b a <<）的半焦距为c ，()(),0,0,a b 为直线l 上两点，已知原点到直线l 的距离为34c ，则双曲线的离心率为（ ） A ．B ．或2 C ．2或D ．212.设函数()f x 在R 上存在导数()f x '， x R ∀∈，有()()2f x f x x -+=，在()0,+∞上()f x x '<，若()()22220f m f m m m -+--+-≥，则实数m 的取值范围为（ ）A. []1,1-B. [)1,+∞C. [)2,+∞D. ][(),22,-∞-⋃+∞二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）13.已知向量()2,3a =， ()1,2b =-，若a b μ+与2a b -平行，则μ等于__________．14.若()5234501234521x a a x a x a x a x a x +=+++++，则012345a a a a a a -+-+-的值为___________．15. 变量x ， y 满足约束条件20201x y x y y +-≥⎧⎪--≤⎨⎪≥⎩，则目标函数3z x y =+的最小值__________．16.已知抛物线2:4C y x =焦点为F ，直线MN 过焦点F 且与抛物线C 交于M N 、两点， P 为抛物线C 准线l 上一点且PF MN ⊥，连接PM 交y 轴于Q 点，过Q 作QD MF ⊥于点D ，若2MD FN =，则MF =__________．三、解答题（本大题共70分 ）（一）必考题共60分17．（12分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且22 n S n n n N =+∈，，数列{}n b 满足24log 3 n n a b n N =+∈，.（1）求 n n a b ，； （2）求数列{}n n a b 的前n 项和n T .18．（12分）近年来空气质量逐步恶化，雾霾天气现象增多，大气污染危害加重.大气污染可引起心悸、呼吸困难等心肺疾病.为了解心肺疾病是否与性别有关，在市第一人民医院随机对入院50人进行了问卷调查，得到如下的列联表：（1）是否有99.5%的把握认为患心肺疾病与性别有关？说明你的理由；（2）已知在患心肺疾病的10位女性中，有3位又患有胃病，现在从患心肺疾病的10位女性中，选出3位进行其他方面的排查，其中患胃病的人数为ξ，求ξ的分布列、数学期望.参考公式： ()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++.下面的临界值仅供参考：19. （12分） 如图，四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是矩形， PA ⊥平面ABCD ，2PA AD ==， 22BD =.(1)求证： BD ⊥平面PAC ；(2)求二面角P CD B --余弦值的大小；20. （12分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的右焦点()3,0，且经过点31,2⎛⎫-⎪ ⎪⎝，点M 是x 轴上的一点，过点M 的直线l 与椭圆C 交于,A B 两点（点A 在x 轴的上方） （1）求椭圆C 的方程；（2）若2AM MB =，且直线l 与圆224:7O x y +=相切于点N ，求MN 的长.21. （12分）已知函数()()()2242x f x x e a x =-++（a R ∈, e 是自然对数的底数）.（1）当1a =时，求曲线()y f x =在点()()0,0P f 处的切线方程； （2）当0x ≥时，不等式()44f x a ≥-恒成立，求实数a 的取值范围.（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答。

如果多做，则按所做的第一题计分.22．（10分）已知圆()为参数θθθ⎩⎨⎧=+=sin 2cos 22:y x C ，直线l:()为参数t t y t x ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=53542 （1）求圆C 的普通方程，若以原点为极点，以x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，写出圆C 的极坐标方程.（2）判断直线l 与圆C 的位置关系，并说明理由；若相交，请求出弦长()20P K k ≥0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.0010k2.072 2.7063.841 5.024 6.635 7.879 10.82823．（10分）设函数()1(0)f x x x a a =++->（1）若2a =时，解不等式()4f x ≤；（2）若不等式()4f x ≤对一切[],2x a ∈恒成立，求实数a 的取值范围．2021届黑龙江省大庆实验中学高三上学期期初考试数学（理）试题参考答案一、选择题 CDCCA DBDCB AB二、填空题 13. -1214. -1 15．4 16.2+ 三、解答题17．（1）由22n S n n =+可得，当1n =时，113a S ==, 当2n ≥时，()()221221141n n n a S S n n n n n -=-=+----=-， 而1n =，1413a =-=适合上式， 故41n a n =-，又∵24log 341n n a b n =+=-，∴12n n b -= ………………6分 （2）由（1）知()1412n n n a b n -=-， ()013272412n n T n -=⨯+⨯++-⋅…，()()2123272452412n n n T n n -=⨯+⨯++-⋅+-⋅…，∴()()2141234222n n n T n -⎡⎤=-⋅-++++⎣⎦…()()12124123412n nn -⎡⎤-⎢⎥=-⋅-+⋅-⎢⎥⎣⎦()()()41234224525n nn n n ⎡⎤=-⋅-+-=-⋅+⎣⎦. ………………12分 18． (1)∵()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，即()2250201551025252530203K ⨯-⨯==⨯⨯⨯，∴28.333K ≈，又()27.8790.0050.5%P K ≥==，∴我们有99.5%的把握认为是否患心肺疾病是与性别有关系的.………………6分(2)现在从患心肺疾病的10位女性中选出3位，其中患胃病的人数0,1,2,3ξ=，∴()373107024C P C ξ===，()217331021140C C P C ξ⋅===， ()12733107240C C P C ξ⋅===， ()3331013120C P C ξ===， 所以ξ的分布列为ξ0 1 2 3P724 2140 740 1120则()7217101230.9244040120E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=. ………………12分 19. 证：（1）建立如图所示的直角坐标系，则A （0，0，0）、D （0，2，0）、P （0，0，2）. 在Rt △BAD 中，AD=2，BD=，∴AB=2.∴B （2，0，0）、C （2，2，0）， ∴∵，即BD ⊥AP ，BD ⊥AC ，又AP ∩AC=A ，∴BD ⊥平面PAC. …………4分（2）由（1）得.设平面PCD 的法向量为，则，即，∴故平面PCD 的法向量可取为∵PA ⊥平面ABCD ，∴为平面ABCD 的法向量. ……………………………8分设二面角P —CD —B 的大小为q ，依题意可得. ……………………………12分20.（1）由题意知()22222233{114a b c b -==⎛ -⎝⎭+=，即()()24430a a --=， 又2233a b =+>，故224,1a b ==，椭圆C 的方程为2214x y +=.. ……………………………4分（2）设(),0M m ，直线()()1122:,,,,l x ty m A x y B x y =+， 由2AM MB =，有122y y =-，由()222221{42404x y t y my m x yy m+=⇒+++-==+，由韦达定理得212122224,44tm m y y y y t t -+=-=++， 由2122122222,2y y y y y y y y =-+=-+=-，则()()221212122y y y y y y ⎡⎤=--+=-+⎣⎦，222242,244m tm t t -⎛⎫=-- ⎪++⎝⎭，化简得()()2222448m t t m -+=-，原点O 到直线的距离21m d t=+ 又直线l 与圆224:7O x y +=2471m t =+22714t m =-，()()22224222448{2116160714mt t m m m t m -+=-⇒--==-，即()()2234740m m -+=，解得243m =，此时243t =，满足0∆>，此时23M ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭， 在Rt OMN ∆中， 4442137MN =-=，所以MN 的长为421.. ……………………………12分 21.（Ⅰ）当1a =时，有()()224)2xf x x e x =-++（，则()()'22)24'0242xf x x e x f =-++⇒=-+=（．又因为()0440f =-+=， ∴曲线()y f x =在点()()0,0P f 处的切线方程为()020y x -=-，即2y x =．.. ……………………………4分（Ⅱ）因为()()'22)22xf x x e a x =-++（，令()()()'22)22xg x f x x e a x ==-++（ 有()'22xg x x e a =⋅+（0x ≥）且函数()'y g x =在[)0,x ∈+∞上单调递增当20a ≥时，有()'0g x ≥，此时函数()'y f x =在[)0,x ∈+∞上单调递增，则()()''042f x f a ≥=- （ⅰ）若420a -≥即12a ≥时，有函数()y f x =在[)0,x ∈+∞上单调递增， 则()()min 044f x f a ==-恒成立； （ⅱ）若420a -<即102a ≤<时，则在[)0,x ∈+∞存在()0'0f x =， 此时函数()y f x =在()00,x x ∈ 上单调递减， ()0,x x ∈+∞上单调递增且()044f a =-， 所以不等式不可能恒成立，故不符合题意；当20a <时，有()'020g a =<，则在[)0,x ∈+∞存在()1'0g x =，此时()10,x x ∈上单调递减，()1,x x ∈+∞上单调递增所以函数()'y f x =在[)0,x ∈+∞上先减后增．又()'0240f a =-+<，则函数()y f x =在[)0,x ∈+∞上先减后增且()044f a =-． 所以不等式不可能恒成立，故不符合题意； 综上所述，实数a 的取值范围为12a ≥．.. ……………………………12分 22． （1）()4222=+-y x θρcos 4= ………………5分 （2）0643:=--y x l ，圆心到直线的距离r d <=-+-=0)4(36622，所以直线与圆相交，由于直线l 过圆心()0,2，所以弦长为4 ………………10分（1）当2a =时， 124x x ++-≤，即1{ 124x x x ≤---+-≤或12{ 124x x x -<<++-≤或2{124x x x ≥++-≤ 312x ⇒-≤≤-或12x -<<或5352222x x ≤≤⇒-≤ 所以原不等式的解集为35,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦…………………..5分 （2）14x x a ++-≤对一切[],2x a ∈恒成立，∵[]0,,2a x a >∈ ∴14x x a ++-≤恒成立，即214x a -+≤恒成立， 当[],2x a ∈时， 2141x a a -+≤-+∴414a -+≤， ∴1a ≥，又2a <，∴12a ≤<………….10分。