对数与对数函数(经典)

§2.6 对数与对数函数

1．对数的概念

如果a x ＝N (a >0且a ≠1)，那么数x 叫做以a 为底N 的对数，记作x ＝log a N ，其中__a __叫做对数的底数，__N __叫做真数． 2．对数的性质与运算法则 (1)对数的运算法则

如果a >0且a ≠1，M >0，N >0，那么

①log a (MN )＝log a M ＋log a N ；②log a M

N

＝log a M －log a N ；

③log a M n ＝n log a M (n ∈R )；④log am M n ＝n

m log a M .

(2)对数的性质

①a log a N ＝__N __；②log a a N ＝__N __(a >0且a ≠1)． (3)对数的重要公式

①换底公式：log b N ＝log a N

log a b

(a ，b 均大于零且不等于1)；

②log a b ＝1

log b a ，推广log a b ·log b c ·log c d ＝log a d .

3．对数函数的图象与性质

4.反函数

指数函数y＝a x与对数函数y＝log a x互为反函数，它们的图象关于直线__y＝x__对称．

1．判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)

(1)若log2(log3x)＝log3(log2y)＝0，则x＋y＝5. (√)

(2)2log510＋log50.25＝5. (×)

(3)已知函数f(x)＝lg x，若f(ab)＝1，则f(a2)＋f(b2)＝2. (√)

(4)log2x2＝2log2x. (×)

(5)当x>1时，log a x>0. (×)

(6)当x>1时，若log a x>log b x，则ab>a B．b>c>a

C．a>c>b D．a>b>c

答案 D

解析a＝log36＝1＋log32＝1＋1

log23

，

b＝log510＝1＋log52＝1＋1

log25

，

c＝log714＝1＋log72＝1＋1

log27

，显然a>b>c.

3．(2013·浙江)已知x，y为正实数，则() A．2lg x＋lg y＝2lg x＋2lg y B．2lg(x＋y)＝2lg x·2lg y

C ．2lg x ·lg y

＝2lg x ＋2lg y D ．2lg(xy )＝2lg x ·2lg y

答案 D

解析 2lg x ·2lg y ＝2lg x ＋lg y ＝2lg(xy )．故选D.

4．函数f (x )＝log 5(2x ＋1)的单调增区间是________．

答案 (－1

2

，＋∞)

解析 函数f (x )的定义域为(－1

2，＋∞)，

令t ＝2x ＋1(t >0)．

因为y ＝log 5t 在t ∈(0，＋∞)上为增函数，

t ＝2x ＋1在(－1

2

，＋∞)上为增函数，

所以函数y ＝log 5(2x ＋1)的单调增区间是(－1

2

，＋∞)．

5．已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且在[0，＋∞)上为增函数，f ⎝⎛⎭⎫13＝0，则不等式f (log 1

8x )>0的解集为________________．

答案 ⎝⎛⎭⎫0，1

2∪(2，＋∞) 解析 ∵f (x )是R 上的偶函数， ∴它的图象关于y 轴对称． ∵f (x )在[0，＋∞)上为增函数， ∴f (x )在(－∞，0]上为减函数， 由f ⎝⎛⎭⎫13＝0，得f ⎝⎛⎭⎫－13＝0. ∴f (log 18x )>0⇒log 18x <－13或log 18x >13

⇒x >2或0

2，

∴x ∈⎝⎛⎭

⎫0，1

2∪(2，＋∞).

题型一 对数式的运算

例1 (1)若x ＝log 43，则(2x －2－

x )2等于 ( )

A.94

B.54

C.103

D.43

(2)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧

log 2x ，x >0，3－x ＋1，x ≤0，

则f (f (1))＋f (log 31

2)的值是

( )

A ．5

B ．3

C ．－1 D.7

2

思维启迪 (1)利用对数的定义将x ＝log 43化成4x ＝3；

(2)利用分段函数的意义先求f (1)，再求f (f (1))；

f (lo

g 31

2)可利用对数恒等式进行计算．

答案 (1)D (2)A

解析 (1)由x ＝log 43，得4x ＝3，即2x ＝3， 2－x ＝

33，所以(2x －2－x )2＝(233)2＝43

. (2)因为f (1)＝log 21＝0，所以f (f (1))＝f (0)＝2. 因为log 312<0，所以f (log 312)＝3－log 31

2＋1

＝3log 32＋1＝2＋1＝3.

所以f (f (1))＋f (log 31

2

)＝2＋3＝5.

思维升华 在对数运算中，要熟练掌握对数式的定义，灵活使用对数的运算性质、换底公式和对数恒等式对式子进行恒等变形，多个对数式要尽量化成同底的形式．

已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧

(12)x ，x ≥4，

f (x ＋1)，x <4，

则f (2＋log 23)的值为________．

答案

1

24

解析 因为2＋log 23<4， 所以f (2＋log 23)＝f (3＋log 23)， 而3＋log 23>4，

所以f (3＋log 23)＝(12)3＋log 23＝18×(1

2

)log 23

＝18×13＝124. 题型二 对数函数的图象和性质

例2 (1)函数y ＝2log 4(1－x )的图象大致是

( )

(2)已知f (x )是定义在(－∞，＋∞)上的偶函数，且在(－∞，0]上是增函数，设a ＝f (log 47)，

b ＝f (log 2

13)，c ＝f (0.2－

0.6)，则a ，b ，c 的大小关系是 ( )