大学物理课本答案习题 第四章习题解答

习题四
4-1 一宇航员要到离地球为5光年的星球去旅行，如果宇航员希望把这路程缩短为3光年，则他所乘的火箭相对于地球的速度应是多少？
解 5光年是在地球上测得的原长，由于此长度相对宇航员也是高速运动的，所以他测得收缩了的长度为3光年. 即
3=火箭相对于地球的速度应为
45
u c =
4-2 一飞船以0.99c 的速率平行于地面飞行，宇航员测得此飞船的长度为400 m.. （1）地面上的观察者测得飞船长度是多少？
（2）为了测得飞船的长度，地面上需要有两位观察者携带着两只同步钟同时站在飞船首尾两端处.那么这两位观察者相距多远？ （3）宇航员测得两位观察者相距多远？
解（1
）56.4(m)l l ===
（2）这两位观察者需同时测量飞船首、尾的坐标，相减得到飞船长度，所以两位观察者相距是56.4 m.
（3）地面上的两位观察者相距56.4 m ，这一距离在地面参考系中是原长，宇航员看地面是运动的，他测得地面上两位观察者相距为
7.96(m)l l ===
所以宇航员测得两位观察者相距7.96 m.
4-3 已知π介子在其静止系中的半衰期为8
1.810s -⨯。

今有一束π介子以0.8u c =的速度离开加速器，试问，从实验室参考系看来，当π介子衰变一半时飞越了多长的距离？
解：在π介子的静止系中，半衰期8
0 1.810s t -∆=⨯是本征时间。

由时间膨胀效应，实验室
参考系中的观察者测得的同一过程所经历的时间为
8310s t -∆=
=⨯
因而飞行距离为
7.2m d u t =∆=
4-4 在某惯性系K 中，两事件发生在同一地点而时间相隔为4s 。

已知在另一惯性系'K 中，
该两事件的时间间隔为6s，试问它们的空间间隔是多少？
解：在K系中，
04s
t∆=为本征时间，在'K系中的时间间隔为6s
t∆=两者的关系为
t∆==
所以
2
5
9
β=
故两惯性系的相对速度为
81
10m s
u c
β-
==⋅
由洛伦兹变换，'
K系中两事件的空间间隔为
)
k k
x x u t
'
∆=∆+∆
两件事在K系中发生在同一地点，因此有0
k
x∆=，故
8
10m
k
x
'
∆==
4-5 惯性系'K相对另一惯性系K沿x轴作匀速运动，取两坐标原点重合的时刻作为计时
起点。

在K系中测得两事件的时空坐标分别为44
11
610m,210s
x t-
=⨯=⨯以及
44
22
1210m,110s
x t-
=⨯=⨯，已知在'K系中测得该两事件同时发生。

试问：
（1）'
K系相对K系的速度是多少？
（2）'
K系中测得的两事件的空间间隔是多少？
解：（1）设'
K系相对K系的速度为u，由洛伦兹变换，'
K系中测得两事件的时间为
111
2
222
2
'
'
u
t t x
c
u
t t x
c
⎫
=-⎪
⎭
⎫
=-⎪
⎭
由题意
12
''0
t t-=
所以
2121
2
()
u
t t x x
c
-=-
因此有
281
21
21
1.510(m s)
2
t t c
u c
x x
-
-
==-=-⨯⋅
-
其中负号表示'K 系沿K 系的x -方向运动。

（2）由洛伦兹变换，'K 系中测得的两事件的空间位置为
111222')
')
x x ut x x ut =
-=
-
故空间间隔为
]4212121''()() 5.210m x x x x u t t -=
---=⨯ 4-6 两个宇宙飞船相对于恒星参考系以c 8.0的速度沿相反方向飞行，求两飞船的相对速度.
解 飞船A 相对于飞船B 的速度为 2
2()0.80.80.976()10.81u c c
c u c c
--+'=
==-+-v v v
4-7 静止在K 系中的观察者测得一光子沿与x 轴成60°角的方向飞行，另一观察者静止于
'K 系中，'K 系相对K 系以0.6c 的速度沿x 轴方向运动，试问'K 系中的观察者测得的光
子运动方向是怎样的？
解：已知'K 系相对K 系的速度为0.6u c =，光子速度为c ，在K 系中的运动方向为与x 轴成60°角，因此该光子在K
系中的速度为0.5,/2,0x y z c ===v v v 。

所以在'K 系中光子的运动速度为
2221
'71'1'01x x x y x z x
u c u c
c c
-=
=--=
=-=
=-v v v v v v v
令该光子在'K 系中的运动方向与x 轴成θ角，则有
'tg 'y x
θ=
=-v v
98.2θ∴≈︒
4-8
μ子的静止质量是电子静止质量的207倍，静止时的平均寿命80210s τ-=⨯，若它在
实验室参考系中的平均寿命8
710s τ-=⨯，试问其质量是电子静止质量的多少倍？
解：设μ子在实验室参考系中的速度为u 、质量为m ，依题意有
τ=
将ττ0和的值代入得
027
ττ==
当μ子速度为u 时其质量为
077
207724.52
2e e m m m m =
==⨯=
4-9 一物体的速度使其质量增加了10%，试问此物体在运动方向上缩短了百分之几？
解：设物体速度为u 、质量为m 、长度为L ，静止质量和长度分别为0m 和0L ，依题意有
01.1m m =
=
所以
01
1.1
m m ==
因此，根据长度收缩效应有
00190.9%1.1
L L L L ===
所以在运动方向上缩短了
09.1%L L ∆=
4-10 一电子在电场中从静止开始加速，试问它应通过多大的电势差才能使其质量增加0.4%？此时电子速度是多少（电子的静能为0.511MeV .）？
解：设电子速度为u 、质量为m ，静止质量为0m ，所加的电位差为U 。

依题意有
01.04m m =
=
所以此时电子的速度为
0.275u c =
根据能量守恒，有
220m c eU mc +=
所以
42.04410V U =⨯
4-11 已知一粒子的动能等于其静止能量的n 倍，试求该粒子的速率。

解：依题意有
0k E nE =
所以其质量与静止质量之比为
20
2000
1k E E m mc n m m c E +===+ 根据相对论质量与速度的关系有
m =
所以该粒子的速度为
u =
4-12．一个电子的运动速度c 99.0=v ，它的动能是多少？（电子的静止能量为0.51Mev ）
解 由相对论质速关系
m =
相对论动能为
2
22
2k 00E mc m c m c =-=
-
已知静止能量2
0c m 为0.51Mev ，电子运动速度0.99u c =，代入上式得
Mev 1.3k =E
4-13 一立方体的质量和体积分别为0m 和0V ，求立方体沿其一棱方向以速度u 运动时的体积和密度．
解 以观察者为K 系，运动的立方体为'K 系。

设立方体沿x 方向运动，一条棱边平行于x 轴。

设在'K 系中立方体的长、宽、高均为a ，在K 系看立方体在x 方向上的边长为
a '=
因此物体的体积为
V a V ==
在K 系测得立方体的质量为
m =
所以在K 系中测得物体的密度为
21020(1)m m u V V c ρ-===- 4-14 在原子核聚变中，两个21H 原子结合而产生4
2He 原子。

试求： （1）该反应中的质量亏损为多少？ （2）在这一反应中释放的能量是多少？
（3）这种反应每秒必须发生多少次才能产生1W 的功率？已知2
1H 原子的静止质量为
273.3436510kg,-⨯42He 原子的静止质量为27
6.642510
kg -⨯。

解：反应的质量亏损为
27272722 3.3436510 6.6425100.044810(kg)H He m m m ---∆=-=⨯⨯-⨯=⨯
该反应所释放的能量为
22716120.044810910 4.0310(J)E mc --∆=∆=⨯⨯⨯=⨯
要达到1W 的功率需要每秒钟反应的次数为
12111/4.0310 2.4810n -=⨯=⨯
4-15 当一个粒子所具有的动能恰好等于它的静能时，试问这个粒子的速度有多大？当动能为其静能的400倍时，速度有多大？
解：根据粒子的质量和速度之间的关系可得
()m =
v
所以粒子的总能与静能之比为
00
E m E m ==
又该粒子的总能量等于动能与静能之和，所以该粒子的动能与静能之比为
0000
11k E E E m E E m -==-=
所以当动能等于静能时，有
11-=
所以
2
c =
v 当动能等于静能的400倍时，有
1400-=
所以
0.9999969c =v
4-16同位素
32
He 核由两个质子和一个中子组成，它的静质量为
273.01440u(1u 1.660510kg)-=⨯。

（1）以MeV 为单位，3
2He 的静能为多少？
（2）取出一个质子使3
2He 成为2
1H （静质量为2.0135u ）加一个质子（静质量为1.0073u ），试问需要多少能量？
解：静能为
2271610300 3.01440 1.660510910 4.5010(J) 2.8110(MeV)E m c --==⨯⨯⨯⨯=⨯=⨯
当从同位素氦核中取出一个质子时，此时质量亏损为
29D H He 2.0135 1.0073 3.01440.0064(u) 1.06310(kg)m m m m -∆=+-=+-==⨯
所以反应需要能量为
22916131.063109109.56410(J)E mc --=∆=⨯⨯⨯=⨯
4-17 把一个静止质量为0m 的粒子由静止加速到0.1c 所需的功是多少？由速率0.89c 加速到0.99c 所需的功又是多少？
分析：此题涉及到的是粒子的总能量与速度之间的关系。

根据能量守恒定律，通过计算任一速度下的总能量即可求出从该速度下再增加0.1c 的速度所需要做的功。

解：粒子的静能量为
200E m c =
速度为0.1c 时，该粒子的总能量为
22
21101.005E m c m c ==
=
因此将粒子由静止加速到0.1c 所需要做的功为
21000.005E E E m c ∆=-=
同理粒子在速度为0.89c 和0.99c 时的总能量分别为
22
2
2202
22
3302.1937.089E m c m c E m c m c =====
=
所以将粒子由0.89c 加速到0.99c 时所需做的功为
23204.896E E E m c '∆=-=
4-18 两个静止质量都是0m 的小球，其中，一个静止，另一个以0.8c =v 运动，在它们做对心碰撞后粘在一起，求碰撞后合成小球的静止质量。

解：设碰撞前运动小球的质量为1m ，碰撞后合成小球的质量和速度分别为M 和u ，根据题意，显然有
105
3
m m =
=
= （1）
由能量守恒，有
22201m c m c Mc +=
所以
083
M m =
（2）
碰撞前后动量守恒，
1m Mu =v （3）
由（1）、（2）和（3）式可得
5
0.58
u c ==v
所以合成小球的静质量为
00833
M m m ===。