平行线与三角形内角和的综合应用(习题及答案)

平行线与三角形内角和的综合应用（习题）例题示范

例1：如图，在△ ABC中，AD平分∠ BAC，P为线段AD 上一点，PE⊥AD 交BC 的延长线于点E．若∠

BAC=60°，∠ACB=85°，则∠ E 的度数为．

解：如图，

∴∠EDP=180°- ∠1- ∠ ACB

25 （等式的性质）

① 读题标注

② 梳理思路

要求∠ E 的度数，可以将∠ E 放在 Rt △PDE 中，利用直角三 角形两锐角互余求解， 由 PE ⊥AD ，则∠ EPD=90°，所以需要 求出∠ ADC 的度数．结合已知条件，把∠ ADC 放在△ ADC 中利用三角形的内角和等于 180°求解．

在△ACD 中，∠ 1=30°，∠ ACB=85°

∴∠EDP=180°- ∠1- ∠ ACB

=180°- 30°- 85

=65°

∵PE ⊥AD

∴∠EPD=90° （三角形的内角和等于 180°） （已知） ∴ E EDP 90 （直角三角形两锐角互余）

∴ E 90 EDP

90 65

25 （等式的性质）

③ 过程书写

解：如图，

∵AD 平分∠

BAC 1 ∴ 1 BAC

2

BAC=60已知） 角平分线的定义） 已知）

等式的性质）

巩固练习

1.在△ABC中，∠A: ∠B: ∠C 1: 2:3，则∠A ___，∠B

___．

2.将一副直角三角板如图放置，使含30°角的三角板的短

直角边和含45°角的三角板的一条直角边重合，则图中∠ 1 的度数为

3.如图，直线m∥n，在△ ABC 中，∠C=90°．若∠

1=25°，∠2=70°，则∠B= ．

4.已知：如图，AD与BC交于点O，∠ C=35°，∠

A=∠B=90°，求∠ D 的度数．

C

解：如图，∵∠A=∠B=90°（已知）

_________________ （直角三角形两锐角互余）

∵∠AOC=∠BOD（对顶角相等）

∴___________ （__________________ ）

∵∠C=35°（已知）

∴___________ （等量代换）

5.已知：如图，在△ ABC中，CD 平分∠ ACB，∠ B=34°，

∠ACD=50°，求∠ A 的度数．

6.已知：如图，AB∥CD，∠ BAE=∠DCE=45°．求证：∠

E=90°．

7.已知：如图，EF⊥BC，DE⊥AB，∠ B=∠ADE．求证：

AD∥EF．

思考小结

1.在证明过程中：

（1）由平行可以想____ 相等、_________ 相等、______ 互补；

（2）要证平行，找____ 角、_____ 角、______ 角；

（3）要求一个角的度数，如果看成三角形的内角，可以考虑

2.阅读材料

等量代换与等式的性质在欧几里得公理体系中提到过5 条公理．这5 条公理是我们公认为正确的不证自明的“基本事实”，可以当做已知的大前提来进行使用．而其中的三条，是我们在几何证明中不经意间多次用

到的，下面对它们来进行简单的解释．

当我们证明时，会遇到如下的推理：

∵a=b，b=c

∴a=c 在这个推理过程中，我们很容易就理解它的正确性，但往往不知道它的依据是什么．其实，它的依据就是欧几里得公理体系中5 条公理中的第一条：“（1）跟同一件东西相等的一些东西，它们彼此也是相等的．”这句话比较的生涩难懂，我们不妨来翻译一下，直观的意思就是“与同一个量相等的所有量都相等”，这就是我们在几何推理中经常用到的“等量代换” ．例如，我们经常这么写：①∵a=b，b=5（已知）

∴a=5（等量代换）

②∵∠ A+∠B=90°，∠B=∠C

∴∠ A+∠ C=90°（等量代换）这里推理的依据就是第一条公理，我们把它简记为“等量代换”．“等量代换”还可以解释为把相等的量换掉．与“等量代换”一样，经常用到的还有“等式的性质” ．公理中第（2）（3）条的内容如下：2）等量加等量，总量仍相等．3）等量减等量，余量仍相等．

它们组合起来使用，就叫做“等式的性质” ，我们可以找一些例子来看一下．

例如：

∵a+b=10，c=5

∴a+b- c=10- 5=5（等式性质）再如：

∵∠A+∠B+∠C=180°，∠ A+2∠1=90°

∴∠B+∠C=90°+2∠1（等式的性质）上述过程中的推理依据都是“等式的性质” ．一般地，我们利用代数运算进行推理时，其依据基本都是“等式的性质” ．

参考答案】

巩固练习

1. 30°，60°

2. 105°

3.45°

4.解：如图，

∵∠A=∠B=90°（已知）

∴∠ C+ ∠AOC=90°，

∠D+∠BOD =90°（直角三角形两锐角互余）

∵∠AOC=∠BOD（对顶角相等）∴∠C=∠D（等角的余角相等）∵∠C=35°（已知）

∴∠D=35°（等量代换）

5.解：如图，

CD 平分∠ ACB（已知）

∴∠ACB=2∠ACD（角平分线的定义）

∵∠ACD=50°（已知）∴∠ACB=2×50°=100°（等量代换）在△ABC中，∠ B=34°，∠ ACB=100°

（已知）∴∠A=180°- ∠B- ∠ACB

=180°- 34°- 100°

=46°（三角形的内角和等于180°）

6.证明：如图，

∵AB∥CD（已知）

∴∠BAC+∠ACD =180°（两直线平行，同旁内角互

补）∵∠ BAE=∠ DCE=45° （已知）

∴∠1+∠2=180°-∠BAE- ∠DCE

=180°- 45°- 45° =90°（等式的性质）∴∠E=180°-（∠1+∠2）

=180°- 90° =90°（三角形的内角和等于

180°）

7.证明：如图，∵EF⊥BC（已知）∴∠EFB=90°（垂

直的定义）

∴∠BEF+∠B=90°（直角三角形两锐角互余）

∵DE⊥AB（已知）

∴∠AED=90°（垂直的定义）

∴∠BAD+∠ADE=90°（直角三角形两锐角互余）

∵∠B=∠ADE（已知）

∴∠BEF=∠BAD（等角的余角相等）

∴AD∥EF（同位角相等，两直线平行）

思考小结

1. （1）同位角，内错角，同旁内角；

（2）同位，内错，同旁内；

（3）三角形的内角和等于180°．