离散数学第五章课件ppt

g(f(x))。 例1 设A＝{1，2，3}，f＝{<1，1>，<2，3>，<3，
1>}和g＝{<1，1>，<2，2>，<3，2>}是A上的函数， 求fg和gf。
解 fg＝{<1，1>，<2，3>，<3，3>}
gf＝{<1，1>，<2，2>，<3，1>}
易知，fg和gf都是A到A的函数。
＝{1，3}，T＝{a，c}，则f(S)＝{a，c}，f－1(T)＝{1， 2，3}。
定理5.2 设f是A到B的函数，A1、A2A，
B1、B2B，则：
(1)f(A1∪A2)＝f(A1)∪f(A2)
(2)f(A1∩A2)f(A1)∩f(A2)
(3)f(A1－A2)f(A1)－f(A2)
(4)f－1(B1∪B2)＝f－1(B1)∪f－1(B2)
一般情况下，一个函数是满射和单射之间没有必 然的联系，但当A和B都是有限集时，则有如下的定理。
定理5.3
设f是A到B的函数，A和B是有限集
合，且|A|＝|B|，则f是单射当且仅当f是满射。 证 明
若f是单射，则|A|＝|f(A)|。再由|A|＝|B|
得|f(A)|＝|B|。从f的定义知f(A)B，而|f(A)|
定义 5.4 设 f是 A到 B的函数， A1A， B1B，
称f(A1)＝{f(x)|x∈A1}为A1在f下的像，称f－1(B1)
＝{x|x∈A∧f(x)∈B1}为B1在f下的完全原像。
例如，设A＝{1，2，3}，B＝{a，b，c，d}，f是
A到B的函数，且f＝{<1，a>，<2，c>，<3，c>}。令S
则Df＝A f＝{<a1，f(a1)>，<a2 ，f(a2)>，…，<am，f(am)>} 因为每个f(ai)有n种可能 所以A到B的不同函数共有nm个。
例2 设A＝{1，2，3}，B＝{a，b}，求从A到B 的所有函数。
解
因为|A|＝3，|B|＝2，所以从A到B共有8个函数： f1＝{<1，a>，<2，a>，<3，a>} f2＝{<1，a>，<2，a>，<3，b>} f3 ＝{<1， a> ，<2 ，b> ， <3，a>} f4＝{<1，a>，<2，b>，<3，b>} f5＝{<1，b>，<2，a>，<3，a>} f6＝{<1，b>，<2，a>，<3，b>} f7 ＝{<1，b>， <2 ，b> ， <3 ， a>} f8＝{<1，b>，<2，b>，<3，b>}
定理5.6 设函数g：A→B，f：B→C，则：
(1)fg是A到C的函数；
(2)对任意的x∈A，有fg(x)＝f(g(x))。
证 明
(1)对任意的x∈A，因为g：A→B是函数，则存在
y∈B使<x，y>∈g。对于y∈B，因f：B→C是函数，
则存在z∈C使<y，z>∈f。
根据复合关系的定义，由<x，y>∈g和<y，z>∈f得
证 对任意的x∈A，因为f：A→B是函数，则<x， 明 f(x)>∈f，于是<f(x)，x)∈f－1。由定理5.4知，f－1
是B到A的函数，于是可写为f－1(f(x))＝x。
定理5.8 若函数g：A→B和f：B→C是双射，
则fg：A→C是双射。
证 明
对任意的z∈C，由f：B→C是双射，即f： B→C是满射，则存在y∈B使f(y)＝z。对于y∈B，
பைடு நூலகம் (2)对任意的x∈A，由g：A→B是函数，有<x，
g(x)>∈g且g(x)∈B，又由f：B→C是函数，得<g(x)， f(g(x))>∈f，于是<x，f(g(x))>∈g*f＝fg。又因fg 是A到C的函数，则可写为fg(x)＝f(g(x))。
定义5.8 设函数IX：X→X满足IX(x)＝x， 则称IX为X上的恒等函数。 定理5.7 若函数f：A→B是双射，则对任 意x∈A，有f－1(f(x))＝x，对任意的y∈B，有 f(f－1(y))＝y。(即f－1f＝IA，ff－1＝IB)
5.2.1 逆函数 5.2.2 复合函数
5.2.3 几种特殊的函数
5.2.1逆函数
任何关系都存在逆关系，一个关系的逆关系不一
定是函数，一个函数的逆关系也不一定是函数。例如，
设A＝{a，b，c}，f＝{<a，c>，<b，c>，<c，a>}，g
＝{<a，b>，<a，c>，<a，a>}，则f是函数但f的逆关
<x，z>∈g*f，即<x，z>∈fg。所以Dfg＝A。 对任意的x∈A，若存在y1、y2∈C，使得<x，y1>、
<x，y2>∈fg＝g*f，则存在t1使得<x，t1>∈g且<t1，
y1>∈f，存在t2使得<x，t2>∈g且<t2，y2>∈f。因为g： A→B是函数，则t1＝t2。又因f：B→C是函数，则y1＝ y2。所以A中的每个元素对应C中惟一的元素。 综上可知，fg是A到C的函数。
解 因为Df＝A且f具有单值性，所以f是函数。
对于g，因为<3，1>∈g且<3，2>∈g，所以g不具有 单值性，因而g不是函数。
对于关系h，Dh＝{1，2}≠A，所以h不是函数。
定义5.3 对集合A和B，从A到B的所有函 数的集合记为BA，即BA＝{f|f：A→B}。
定理5.1 若A和B是有限集合，|A|＝m，|B| ＝n，则|BA|＝nm。 证 设A＝{a1，a2 ，…，am} 明 f是A到B的任意函数
5.1 函数的概念 5.2 逆函数和复合函数 5.3 集合的基数
5.1 函数的概念
5.1.1 函数的定义 5.1.2 函数的性质
5.1.1 函数的定义
定义5.1 设A和B为集合，fA×B，若对任 意的x∈A，都存在惟一的y∈B使得xfy(或<x， y>∈f)成立，则称f为从A到B的函数或映射，记 作f：A→B。若xfy，可记作f：x→y或f(x)＝y。y 称为x在f下的像，x称为y在f下的原像。
定义5.2 设f和g是A到B的函数，若对任意 的x∈A都有f(x)＝g(x)，则称函数f和g相等，记 为f＝g。
例1 设A＝{1，2，3}，f＝{<1，1>，<2，1>，<3， 2>}，g＝{<1，2>，<2，3>，<3，1>，<3，2>}，h＝{<1， 2>，<2，3>}，判断f、g和h是否为A到A的函数。
系f－1不是函数，g不是函数但g的逆关系g－1是函数。 但当f是双射时，则可以证明f－1是函数。
定理5.4 若f：A→B是双射，则f－1是B
到A的函数。
证 对任意的y∈B，因为f：A→B是双射，即f：A→B 明 是满射，则存在x∈A使得<x，y>∈f，由逆关系的
定义有<y，x>∈f－1，所以Df-1＝B。 对任意的y∈B，若存在x1、x2∈A，使得<y， x1>∈f－1且<y，x2>∈f－1，则由逆关系的定义有<x1， y>∈f且<x2，y>∈f。而f：A→B是双射，即f：A→B是
定理5.5 若f：A→B是双射，则f－1：B→A 是双射。
证 明
因为f：A→B是双射，则由定理5.4可知f－1是B
到A的函数。下证f－1是双射。
对任意x∈A，必存在y∈B使f(x)＝y，从而f－1(y)
＝x，所以f－1是满射。 对任意的y1、y2∈B，若f－1(y1)＝f－1(y2)＝x，则 f(x)＝y1，f(x)＝y2。因为f：A→B是函数，则y1＝y2。 所以f－1是单射。
(2)f：A→B是单射对任意的x1、x2∈A，若 x1≠x2，则有f(x1)≠f(x2)对任意的x1、x2∈A，若 f(x1)＝f(x2)，则有x1＝x2。 例3 判断下列函数是否为单射、满射或双射？ (1)f：{1，2}→{0}，f(1)＝f(2)＝0。 (2)f：N→N，f(x)＝2x。 (3)f：Z→Z，f(x)＝x＋1。
解
(1)因为Rf＝{0}，所以f是满射。由于f(1)＝f(2)， 但1≠2，所以f不是单射。 (2)对任意的x1、x2∈N，若x1≠x2，则2x1≠2x2，于
是有f(x1)≠f(x2)，所以f是单射。因为1∈N没有原像， 所以f不是满射。 (3)对任意的x1、x2∈Z，若x1≠x2，则x1＋1≠x2 ＋1，于是有f(x1)≠f(x2)，所以f是单射。 对任意的y∈Z，令x＝y－1，则x∈Z，且有f(x)＝ x＋1＝y，所以f是满射。故f是双射。
(5)f－1(B1∩B2)＝f－1(B1)∩f－1(B2)
(6)f－1(B1－B2)＝f－1(B1)－f－1(B2)
(7)A1f－1(f(A1))
(8)f(f－1(B1))B1
证明 仅证(2)。
对任意的y∈f(A1∩A2)，存在x∈A1∩A2使得f(x) ＝y，则有x∈A1且f(x)＝y，x∈A2且f(x)＝y，于是 y∈f(A1)且y∈f(A2)，即有y∈f(A1)∩f(A2)，所以 f(A1∩A2)f(A1)∩f(A2)。
由g：A→B是双射，即g：A→B是满射，则存在
x∈A使g(x)＝y，于是有fg(x)＝f(g(x))＝z。所以 fg是满射。
对任意的 x1 、 x2∈A ，若 x1≠x2 ，由 g ： A→B 是双
射 ， 即 g ： A→B 是 单 射 ， 则 g(x1)≠g(x2) ， 又 由 f ：
B→C 是 双 射 ， 即 f ： B→C 是 单 射 ， 则
函数与关系的区别在于：函数的定义域为A，而关
系不一定是；函数要求A中每个元素只对应一个像，而
关系则可以一个元素对应多个像。
因而，一个关系f是函数，则f应满足：
(1)Df＝A。
(2)若f(a)＝b1且f(a)＝b2，则b1＝b2。即函数具
有单值性。 由于函数的单值性是不能倒过来的，因而，函数
的逆关系不一定是函数。
因为f：A→B，g：B→C，h：C→D，由定理 5.5知，h(gf)和(hg)f都是A到D的函数。。
＝|B|，又因为|B|是有限的，从而f(A)＝B，所
以f是满射。
若f是满射，则f(A)＝B，于是|A|＝|B|＝|f(A)|。 因为|A|＝|f(A)|和|A|是有限的，所以f是单射
需要说明的是，定理5.3在无限集合上不成立。
例如，令f：Z→Z，f(x)＝2x，则f是单射但不是满射。
5.2 逆函数和复合函数
f(g(x1))≠f(g(x2))，于是fg(x1)≠fg(x2)。所以fg是 单射。 综上可知，fg是双射。
定理 5.9 若函数 g ：A→B和 f ：B→C是双射， 则(fg)－1＝g－1f－1。
证 明
因为g：A→B和f：B→C是双射，由定理5.6、 定理5.8和定理5.5知，(fg)－1和g－1f－1都是C到A 的双射。
下面通过一个例子说明(2)中等号不一定成立。 例如，A＝{1，2}，B＝{a}，f：A→B，f(1)＝
f(2)＝a，取A1＝{1}，A2＝{2}，则A1∩A2＝，从而
f(A1∩A2)＝，但f(A1)∩f(A2)＝{a}。
5.1.2 函数的性质
定义5.5 设f是A到B的函数
(1)若Rf＝B(或f(A)＝B)，则称f是A到B的
因为<x，y>∈g－1f－1z(<x，z>∈f－1∧<z， y>∈g－1)z(<y，z>∈g∧<z，x>∈f)<y， x>∈fg<x，y>∈(fg)－1，所以(fg)－1＝g－1f－1。
证 明
定理5.10 设函数f：A→B，g：B→C，h： C→D，则h(gf)＝(hg)f
综上可得，f－1：B→A是双射。
5.2.2 函数的复合
定义5.7 设f：A→B，g：B→C，则f和g的
复合关系是A到C的函数，记为gf：A→C，称 gf为函数f和g的复合函数，简记为gf。即有 gf＝f*g。
复合函数之所以采用这样的记法，是为了便于函
数进行“复合运算”，这样的记法使得gf(x)＝
单射，所以x1＝x2。因此，f－1具有单值性。
综上可得，f－1是B到A的函数。
定义5.6
设f：A→B是双射，则称f－1：
B→A为f的逆函数(或反函数)。
例如，设A＝{1，2，3}，B＝{a，b，c}，f：
A→B为f＝{<1，a>，<2，c>，<3，b>}，则f的逆函数f
－1：B→A为f－1＝{<a，1>，<c，2>，<b，3>}。
满射(或到上的映射)；
(2)若对任意的x1、x2∈A，x1≠x2，都有
f(x1)≠f(x2)，则称f是A到B的单射(或入射)；
(3)若f既是满射又是单射，则称f是A到B
的双射。
特别地，：B是单射，：是双射。
由定义可得： (1)f：A→B是满射对任意的y∈B，存在x∈A，
使f(x)＝y。