第十章强度理论(讲稿)材料力学教案(顾志荣).

第十章强度理论
同济大学航空航天与力学学院顾志荣
一、教学目标
掌握强度理论的概念。

了解材料的两种破坏形式（按破坏现象区分）。

了解常用的四个强度理论的观点、破坏条件、强度条件。

掌握常用的四个强度理论的相当应力。

了解莫尔强度理论的基本观点。

会用强度理论对一些简单的杆件结构进行强度计算。

二、教学内容
讲解强度理论的概念及材料的两种破坏形式。

讲解常用的四个强度理论的基本观点，并推导其破坏条件从而建立强度计算方法。

介绍几种强度理论的应用范围和各自的优缺点。

简单介绍莫尔强度理论。

三、重点难点
重点：强度理论的概念、常用的四个强度理论的观点、强度条件及其强度计算。

难点：常用四个强度理论的理解；危险点的确定及其强度计算。

四、教学方式
采用启发式教学，通过提问，引导学生思考，让学生回答问题。

五、计划学时 2学时 六、实施学时 七、讲课提纲
(一)为什么需要强度理论及强度理论的概念？
1、为什么需要强度理论(回顾基本变形下强度条件的建立）
2、复杂应力状态下的强度条件是什么？怎样建立？
3、强度理论的概念
4、四个强度理论及其相当应力 (二)四个强度理论
第一强度理论——最大拉应力理论 第二强度理论——最大拉应变理论 第三强度理论——最大剪应力理论
第四强度理论——⎪⎩⎪⎨⎧形状改变比能理论
均方根剪应力理论 (三)相当应力
11σσ=r
-=12σσr μ)(32σσ+ 313σσσ-=r
2132322214)()()(2
1
σσσσσσσ-+-+-=
r (四)复杂应力状态下强度条件的表达式 σr ≤[σ]
(一)为什么需要强度理论？强度理论的概念
1、回顾构件处于简单变形下的强度条件的建立 [拉、压] （单向）
图10-1
强度条件：
[]n
A F o N σσσ=≤=，b S o
σσσ由试验得
[扭转]（双向）
图10-2
强度条件：
[]n
W M o
n n τττ=
≤=max ，b S o τττ由试验得
[弯曲]（二向）
强度条件（上下边缘点）：
[]σσ≤=
z
W M max
max 中性层处：[]ττ≤⋅=
b
I S F Z z Q *
max
max max （[]σ、[]τ由试验得）
为什么可以这样来建立强度条件？ 因为：
⑴构件内的应力状态比较简单；
⑵用接近这类构件受力情况的试验装置测定极限应力值比较容易实现。

2、复杂应力状态下的强度条件是什么？怎样建立？
复杂应力状态单元体
图10-3
它的强度条件是：
σx≤[σ]、σy≤[σ] 吗？
τx≤[τ]、τy≤[τ]
不是！
实践证明：
⑴强度与σ、τ均有关，相互影响
例：
易剪断不易剪断
就象推动某物一样：
易动不易动图10-4
⑵强度与σx、σy、σz (σ1、σ2、σ3)间的比例有关
图10-5 σ1=σ2=0 σ1=σ2=σ 3 单向压缩，极易破坏三向均有受压，极难破坏
那么，复杂应力状态下的强度条件怎样建立？
模拟实际受力情况，通过实验来建立？
不行！！
因为σx
σy有无穷的比例关系，实验无穷无尽，不可能完成。

σz
怎么办？
长期以来，随着生产和实践的发展，人们在大量观察和研究了各种类型的材料在不同受力条件下的破坏情况，根据对材料破坏现象的分析，提出了各种各样的假说，认为材料某一类型的破坏是由于某种因素所引起的，并通过简单的试验来推测材料在复杂应力状态下的强度，分析其极限条件，从而建立强度条件。

3、强度理论的概念
何谓强度理论？
假说材料某一类型的破坏是由于某种因素所引起的，这种假说就称为强度理论。

(二)四个强度理论
第一强度理论——最大拉应力理论
假说：决定材料产生断裂破坏的主要因素是单元体的最大拉应力σ
1
即：不论在什么样的复杂应力状态下，只要构件内一点处的三个主应力中的最大拉应力σ1到达材料的极限值o σ时，材料就会发生脆断破坏。

破坏条件： σ1=σb +
材料在拉伸试验中发生脆断的极限应力 强度条件： σ1≤[σ]=
n
b
σ───────────（A ）
评价：
1、只考虑三个主应务中的σ1，而没有考虑较小的σ
2、σ3； 2、无法解释下列现象：
⑴塑性材料： 简单拉伸时，材料在屈服阶段沿着45°斜面发生滑移，而并不从最大拉应力σ1所在的横截面上拉断。

⑵脆性材料： 简单压缩时
图10-6
⑶三向均匀受压：σ1=σ2=σ
3 材料极不容易破坏，甚至超过极限应力
几倍、十几倍也不破坏（如海底岩石）
3、此理论只对少数脆性材料受简单拉伸的情况才是正确的（铸铁拉伸） 因此更名：最大拉应力理论
（最大正应力理论——该理论在十七世纪由伽利略提出，距今已有三百多年历史，最早提出：第一.
第二强度理论——最大拉应变理论
假说: 决定材料发生断裂破坏的主要因素是单元体的最大拉应变ε
1
即: 不论在怎么复杂的应力状态下，只要构件内一点处的最大拉应变 ε
1达到了材料的极限值ε
°，材料就会发生断裂破坏。

破坏条件：ε1=ε°=
E
b
σ b σ──脆断破坏时极限应力
为统一起见，将此条件改用σ来表示，根据虎克定律：
-=
11[1
σεE
μ)](32σσ- ── 将此式代入上式 得：-1σμb σσσ=-)(32 强度条件：-1σμn
b
σσσσ=
≤-][)(32─────────────（B ）
评价：
1、此理论与脆性材料简单拉伸试验结果相结合，也可解释脆性材料的压缩破坏。

据此理论可解释：
图10-7
2、根据此理论，二向、三向受拉应力状态比单向应力状态更安全，更容易承载，但这个结论被实验结果所否定。

图10-8
更安全吗？否!
3、三向均匀受压不易破坏这一现象，第二强度理论也无法解释。

第三强度理论——最大剪应力理论
假说：决定材料塑性屈服破坏的主要因素是单元体的最大剪应力τmax 。

破坏条件：2
max o
o
σττ=
= （o σ——拉伸时， 45=α，2
max στ=）
复杂应力状态下：2
3
1max σστ-=
带入上式
得： s σσσ=-31 强度条件：[]n
S
σσσσ=
≤-31────────────（C ）
评价：
1、此理论能满意地解释下述现象： ⑴塑性材料单向拉伸时，45°斜面有τ
max ，滑移线。

⑵脆向材料轴向压缩时大致与轴线成45°方向斜面破坏。

⑶三向均匀受压（σ1-σ3=0，即τ=0、τmax =0，应力圆上是个点圆）
材料极不容易破坏的现象。

2、这个理论没有考虑σ2的影响，显然是个缺陷。

3、这个理论不能解释： ⑴脆性材料简单拉伸，并不在τ
max 面上破坏。

⑵三向均匀受拉，也应该不易破坏（∵同样也是个点圆，τ=0）。

以上三个理论是十七世纪提出来的，因此称为古典三理论。

第四强度理论——均方根剪应力理论
假设：决定材料塑性屈服破坏的主要因素是单元体的均方根剪应力*τ。

这个均方根剪应力*τ在数量上与单元体的三对主剪应力。

2
2
112σστ-=
、2
2223σστ-=、2
1
331σστ-=
有关
可表达成下式：
][12
132132322212
312
232
12）（）（）（σσσσσσττττ-+-+-=++=*
即：不论在什么样的复杂应力状态下，只要构件内一点处的均方根剪应力达到单向拉压危险状态时的均方根剪应力*jx τ时，材料就要发生塑性屈服破坏。

则破坏条件：**
=jx ττ
而单向拉压情况下：S S S jx σσστ6
1)(1212
2=+=* 于是，强度条件：[]n
S σσσσσσσσ=≤-+-+-][212
13232221）（）（）（────（D ）
评价：
1、在二向应力状态下，试验资料表明：按这个理论计算所得的结果，基本上与试验结果相符，它比第三强度理论更接近实际情况。

2、该理论能满意解释三向均匀受压不易破坏的现象。

3、在机械制造工业中，第四强度理论和第三强度理论都得到广泛的应用。

第四强度理论——形状改变比能理论 又称： 能量理论u
均方根剪应力理论
假设：决定材料达到危险状态的主要因素是单元体的形状改变比能u d . 即：不论在什么样的复杂应力状态下，只要构件内一点处的形状改变比能u d 达到了材料在单向应力状态下进入危险状态时的形状改变比能u d ，它
就处于极限状态。

破坏条件：u d =o u ，材料在单向应力状态下进入危险状态时的形状改变比能
)(311332212
32221σσσσσσσσσ---+++=E
u u d 2
)(31o o
d
E u u σ+=,
321===σσσσo 强度条件：[]σσσσσσσ≤-+-+-][2
1213232221）（）（）（──────（D ’）
评价：
1、这个理论的本质仍然是剪应力是使材料达到危险状态的决定因素。

2、这个理论能满意地解释三向均匀受压极不容易破坏的现象。

3、这个理论不能解释：
⑴脆性材料在简单拉伸时发生脆断的情况；
⑵三向均匀受拉，按此理论材料不会发生破坏，这与事实不符。

4、试验资料表明：由这一理论计算所得的结果基本上与试验结果相符，它比第三强度理论更接近实际情况。

(三)相当应力
综合公式（A ）、（B ）、（C ）、（D ），按四个强度理论所建立的强度条件，可写成统一的形式： σr ≤[σ]
式中的σr 是根据不同的强度理论所得到的复杂应力状态下几个主应力的综合值。

这种主应力的综合值和以它作为轴向拉伸时的拉应力在安全程度
上的是相当的，通常称σr 为相当应力。

四个强度理论的相当应力表达式分别为
11σσ=r
-=12σσr μ)(32σσ+ 313σσσ-=r ][2
12132322214）（）（）（σσσσσσσ-+-+-=
r
(四)强度理论的选用 一般说来：
第一、二强度理论用于脆性材料； 第三、四强度理论用于塑性材料。

例题10-1 有一铸铁制成的构件，其危险点处的应力状态如图所示。

材料的容许拉应力[σ+]=35MPa,压应力[σ-]=120 MPa,试校核此构件的强度。

图10-10
解：1、计算主应力
MPa 4.124.324.221020)2
20
(210)2
(
2
222
2max min -=±=+±=
+±=
x x
x
τσσσ
MPa 4.321=σ，02=σ，MPa 4.123-=σ
2、强度理论选用。

∵铸铁是脆性材料 ∴采用第一强度理论校核
35MPa ][MPa ===+σσσ 4.3211r
3、结论：
根据第一强度理论的计算结果可知。

该构件强度足够。

例题10-2 在钢材Q 235制成的构件中的危险点处取应力状态如图所示。

已知钢的[σ]=170MPa,试校核强度。

图10-9
解：1、计算主应力
根据应力状态，分别求出
601=σMPa 472=σMPa 873-=σMPa
2、强度理论选用
Q 235—塑性材料，采用第三或第四强度理论校核
][MPa σσσσ 147)87(60313=--=-=r
3、分析与讨论
根据第三强度理论。

该构件安全
∵34r r σσ ∴满足第三强度则第四理论必然满足。

例题10-3 单元体如图所示，材料的泊松比μ=0.3。

图10-11
⑴求主应力，并在单元体图中表示出主应力及其作用平面；
⑵若用第二强度理论进行强度计算，试计算其相当应力，并在单元体中表示出相应的危险截面，然后再在应力圆上用一个D 点来表示这个平面；
⑶若用第三强度理论进行强度计算，试计算其相当应力并在单元体中表示出相应的危险截面，然后再在圆上用一个E 点来表示这个平面。

解：⑴求主应力及其作用平面：
图10-12
2
2max
min )2
(
2
x
y
x y
x τσσσσσ+-±+=
2220)2
40(240）
（-+-±= MPa 3
.83
.483.2820-=
±= ∴MPa 3.481=σ，02=σ，MPa 3.83-=σ
140
0)
20(222-=--⨯-=--=
y x x o tg σστα 452-=o α 5.22-=o α
⑵求2r σ 并图示相应的危险截面及其在应力圆上的相应点D
图10-13
-=12σσr μ)(32σσ+
)3.8(3.03.48-⨯-=
5.23.48+= MPa 8.50=
⑶求3r σ 并图示相应的危险截面及其在应力圆上的相应点E
313σσσ-=r
3.83.48+= MPa 6.56=
图10-14。