第二章 几何光学成像2

例3：一玻璃半球曲率半径r=R，置于空气中（n=1 ），其折射率为1.5，它的平面的一边镀银，如图所 示，一物高为h，放于曲面顶点前－s=2R处，求： （1）曲面所成的第一个像的位置；（2）光具组所 成的像的最后位置。
解(1) 由
n n n n ' s s r
' '
得 1.5 1 1.5 1 '
s
C
y

Q'
P
s'
物高和像高的符号法则： 若P或 P '点在光轴上方，则 y 0 或 y ' 0 若P或 P '点在光轴下方，则 y 0 或 y ' 0

y' 定义： V y
横向放大率公式的推导：
y i ， s
y' i' ， s'
n(i) n' (i' )
nr1 f1 n n L 1 f ' nL r 1 nL n
可得：
n f n n n'n L L r1 r2 n' f ' n L n n'n L r1 r2
nL r2 f2 n' nL ； n' r2 f' 2 n' nL
h h ， u AQ ' s '
'
， ……
ynu y ' n ' u '
同理
ynu y n u y n u
' ' ' '' '' ''
即
ynu 常量
例1：如图所示的折射球面，在什么条件下起会 聚作用？在什么条件下起发散作用？
解：当
n n
'
时 会聚
发散
n' （a)中 f ' ' r 0 (r>0) n n n' f' ' r 0 (r<0) （b)中 n n
n1 n1 n1 n1 s1 s1 r1 nk nk nk nk sk s k rk
' n ' 1 ' 2 ' 1 ' 3 ' 2 ' n ' 1 ' 2
ns1' V1 ' n s1 ' n ' s2 V 2 '' n s2
y y y y y y y y y V ' V1 V2 Vn y1 y1 y y y n1 y1 y 2 y3 yn
2）若 Q、F 和 C点在A点的左方， 则 s ' F 若Q、 和 C点在A点的右方， 则
r 0 ，f ' 0 ， 0
s' 0 ，f ' 0 ， 0 r
3）若球心C在定点A左侧，则r<0;反之，则r>0.
4）若入射光由右向左传播时，符号法则与上述规定相反 5）角度的规定：从光轴（或法线）转到光线的方向为 逆时针角度为正，反之为负。
P 0 为会聚系统，P 0 为发散系统，P = 0 为无焦系统.
例如 : 正透镜为会聚系统, 负透镜为发散系统, 折射平面为无焦系统.
2.2 单球面折射系统的焦点
（1）物方焦点：
将S 代入成像公式得物方焦距
n f r, n n
或
n f , p
物距为 f 的点为物方焦点 F , 它与无穷远处的像点关于系统 共轭. 过 F 点垂直于光轴的平面, 叫作物方焦平面.
1）焦距公式的推导
s2 d s'1 s'1
s s1 ，s' s' 2
f '2 f 2 f '1 f1 1 1 ， s' 2 s 2 s'1 s1 消去 s 2和s'1 ， 可得：f '1 f ' 2 f1 f 2 f ' f 1 2 s' s
f '1 f ' 2 f1 f 2 f ' 有： f f '1 f 2 f '1 f 2 ，
在近轴条件下 5 ，单球面折射系统 可视为理想光学系统，同心光束经其变换后，可 认为仍具有单心性．
n(i)n n(ii) M
y iu u h • O S i u

i
C
n n
（2—1）
u
S
s r n sin(i) n sin(i )
（2） 像方焦点
将 代入成像公式得像方焦距 s
n f r, n n
f
n

,
f 0 为会聚系统，
对单球面折射系统, 有
0 为发散系统. f
f n f n
物距为 f 的点为像方焦点 F , 它与无穷远处的物点关于系 统共轭. 过 F 点垂直于光轴的平面, 叫作像方焦平面.
6）各个量在绘图中均用绝对值标示
注意：
物距和像距的取值规律：实物（像）距均大于零,虚物（像） 距均小于零 ； 焦距也可看作是特殊的物像距。
（6） 单球反射面成像的符号法则
入射光从左向右传播时
1）若 Q 和 F 点在A点的左方，则 s 0，f 0 若 Q 和 F 点在A点的右方，则 s 0， f 0 2）其余规定与单球折射面成像的符号法则相同
s
2R
R
s
'
即入射光经球面折射后成平行光线
(2)平行光线经反射镜发射后仍为平行光线，再次经 球面折射，则有： s , r R 代入得 s ' 2 R 与物体的位置重合，单成倒像倒像
h
h'
例4
C Q Q’ A
如图所示，玻璃球的曲率半径为100mm， 折射率为 n 1.53， 观看此玻璃球时发现球内有一个气泡位于球心C和顶点A 连线的中点，求气泡距顶点A的距离？ 解：入射光线从左向右传播，计算起点为顶点A 已知： 1.53，r 100mm ，s' 50mm n 求: s ?
2.4 逐次成像方法
具有多个折射 (反射)球面，所有球面的中心都在一条直线 上——共轴球面系统
主光轴
y
u
u'
y
'
u'
u ''
u ''
u ' ''
y '''
d12
d12
d 23
逐次成像的步骤：
1）绘图，并确定第一次成像的入射光线 方向及计算起点； 2）确定第一次成像的各个已知量的正负和大小； 3）代入相应成像公式计算； 4）检查结果是否合理； 5）利用过渡关系求出下次成像的物距， 重复上述步骤逐次成像。
y
•
s
自S发出的光线S M 是一条近轴光线，M为入射 点，入射角和折射角都很小，由折射定律
n sin( i) n sin( i),
由近轴条件得
由几何关系
i u , i u,
n(i) n(i)
则： n(u ) n ( u )
' '
即 在近轴条件下
（7） 单球反射面成像公式
i i ni ni 得 n n
1 1 2 s' s r
n
P
C

i i
M
h O
r f f ' 2
此时 F 和
s
P s ' r
d
F 两个焦点重合
2.3 傍轴物点成像与横向放大率公式
P y

n
Q
n
A
i
i
3） 薄透镜成像的牛顿公式
如图：s
x f
n
P
x s
F
O
n
F
f
s' x' f '
代入高斯公式可得：
P
x
f
f f' 1 x f x' f '
s
薄透镜成像的物像关系图
f x' x f' x f x' f ' ， f x'
xx ff .
n
·
n
·
x F S
s
0
f
·
F
f
C

·
S
s
x

（5）单球折射面成像的符号法则
入射光从左向右传播时
nБайду номын сангаас
p
i M n
i
u
Q
h
A H
r
p
C
u
Q'
s

s'
1）若 Q 和 F 点在顶点A的左方，s 0 ， f 0 则 若 Q 和 F 点在顶点A的右方， s 0 ， f 0 则
凸即为正（会聚），凹即为负（发散） （2）n, n' nL 时：
n, n' nL 时则相反
3.2 薄透镜成像公式
1)高斯公式
由焦距公式可得：
f' f 1 s' s
1 1 1 s' s f
f ' f
时，
2） 薄透镜成像的符号法则
1）计算起点是光心O时，符号法则与单球折射面的相同 2）计算起点分别是 F、F ' ，且当入射光从左向右传播时， 物点 Q 在 F之左，则 x 0； Q 在 F之右，则 x 0； 物点 Q在 F 之左，则 x 0； Q在 F 之右，则 x 0； 3）其它方面与单球折射面的符号法则相同
代入公式
1.53 1 1 1.53 , 得 s 60.47mm s 50 100
是实物成虚像， 实物位于顶点A左方 60.47mm处
§2-3 薄透镜
3.1 薄透镜的焦距公式
1 2
nL
n
P
s1
n
s2
O1 O2
P
s '1
P1 P2
d
s2
1）薄透镜定义：
2）光心： O
（3）高斯公式
将成像公式两边除以p ，得高斯公式
f f 1 s s
（4）牛顿公式
若物距和像距的计算分别以物方焦点F和像方焦点 F为原点，并以x 、x表式物距和像距. 则x 、 x与 s、s的关系：
x s ( f ),
x s f ,
将上两式代入高斯公式，得牛顿公式
当
n n
'
时 (r>0) 发散 会聚
n' f' ' r0 （a)中 n n
n' （b)中 f ' ' r 0 (r<0) n n
例2：一个曲率半径为8cm的球面将空气和中性 树胶液分开，如图所示，右侧为中性树胶液，若 在光轴上左侧距第一焦点F＝32cm处有一小物体 问：能否在树胶液中成像？（n＝1.00, n ' 1.50)
即：总的垂轴放大率是各球面垂轴放大率的乘积 图中
d12 A1 A2
' 3
' n
，
d 23 A2 A3
…..
代入上面的公式中不能把中间像消去
2.5 拉格朗日－亥姆霍兹定理
y
u
u'
y
'
u'
u ''
u ''
u ' ''
y '''
d12
d 23
h h u QA s
u s ' ' u s
y' ns' V y n' s
用类似方法可以得到反射 球面的横向放大率公式：
s' V s
讨论：
（1） 若 V 1 ，则为放大像。 若 V 1 ，则为缩小像。 （2） 若 V 0 ，则为正立像。 若 V 0 ，则为倒立像。 （3） 若 s' 0 ，则为实像。 若 s' 0 ，则为虚像。
h u , s
nu n(u ) (n n)

h r,
h u , s
代入上式得
n n n n s s r
n n p , r
上式为单球面折射系统的成像公式． 令
p定义为 折射球面的光焦度, 对光线的曲折本领.
它表征系统
光焦度的单位为屈光度，1屈光度=1米 -1.例 如，对于n=1.0,n'=1.5, r =0.1m的球面，其光焦度 等于５屈光度，记以５D. 由于球面的曲率半径可正、可负也可以为无 穷大，物方折射率可以大于也可以小于像方折射 率，因此光焦度可正、可负, 也可以为零.
r
解：已知 －r=8cm，n=1.00， n ' 1.50
n n r 16cm 则： f ' r 24cm f ' n n n n
' '
s 32 16 16cm
由
n' n n' n ' s r s s ' 12cm
得
即像成在空气中距球面顶点左侧12cm处， 不能在树胶中成像
f n f ' n'
若
n n'
1
则： f f '
nL 1 1 ( 1)( ) r1 r2 若 n n' 1 n
则： f f '
1 1 1 (n L 1)( ) r1 r2
2）正（会聚）透镜和负（发散）透镜由 f、f '的正负确定 3）凸透镜和凹透镜由中央和边缘的厚薄比较确定 4）注意： （1）应根据入射光的传播方向正确选择 r1、r2 的取值
一. 单球面折射系统近轴成像
1. 单球面折射系统的成像公式
2. 单球面折射系统的焦点 3. 高斯公式 4. 成像规律图 5. 单球面折射系统的放大率
2.1 单球面折射系统的成像公式
许多光学系统并不能保持光束的单心性，单 球面折射系统也是如此，除了几对个别的共轭点 外，一般说来，由同一点发出的光线，经球面折 射后，不再相交于一点．这就是说，点物不能成 点像．