上学期拓扑学考试试卷及答案

大学拓扑学考试试卷参考答案（A ）
一、选择题 (将正确答案填入题后的括号内 ,每题3分，共15分) 1、1、已知{,,,,}X a b c d e =,下列集族中，（ ）是X 上的拓扑.
A. {,,{},{,},{,,}}X a a b a c e φ=T
B. {,,{,,},{,,},{,,,}}X a b c a b d a b c e φ=T
C. {,,{},{,}}X a a b φ=T
D. {,,{},{},{},{},{}}X a b c d e φ=T
2、设{,,,}X a b c d =，拓扑{,,{},{,,}}X a b c d φ=T ,则X 的既开又闭的非空真子集的个数为（ ）
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
3、在实数空间中，整数集Z 的内部Z o 是（ ）
A. φ
B. Z
C. R -Z
D. R
4、已知X 是一个平庸拓扑空间，A 是X 的子集,则下列结论中正确的是（ ）
A. 若A φ=,则d A φ=
B. 若0{}A x =,则d A X =
C. 若A={12,x x },则d A X A =-
D. 若12{,}A x x =,则d A A =
5、平庸空间的任一非空真子集为( )
A. 开集
B. 闭集
C. 既开又闭
D. 非开非闭
二、简答题（每题3分，共15分）
1、2 A 空间
2、1T 空间：
3、不连通空间
4、序列紧致空间
5、正规空间
三、判断，并给出理由（20分，每题5分，判断2分，理由3分）
1、从拓扑空间X 到平庸空间Y 的任何映射都是连续映射（ ）
2、设拓扑空间X 满足第二可数性公理，则X 满足第一可数性公理（ ）
3、设A 为平庸空间X （X 多于一点）的一个单点集，则d A φ=（ ）
4、Hausdorff 空间中的每一个紧致子集都是闭集 ( )
四、证明题（共50分）
1、设,,X Y Z 都是拓扑空间.:f X Y →, :g Y Z →都是连续映射，试证明:g f X Z →o 也是连续映射。

(10分)
2、设:f X Y →是从连通空间X 到拓扑空间Y 的一个连续映射.则()f X 是Y 的一个连通子集. (10分)
3、设X 是Hausdorff 空间，:f X X →是连续映射.证明{|()}A x X f x x =∈=是X 的闭子集. (10分)
4、设X 为非空集合，令
{}{}|,C A A X C ==-⋃∅余可数其中为至多可数集T
试证：(1) (),X 余可数T 是一个拓扑空间；(5分)
(2) 若X 不可数，(),X 余可数T 是连通空间；(5分)
(3) ()X,余可数T 为1T 但非2T 空间；(5分)
(4) (),X 余可数T 是Lindelӧff 空间(提示：
即证X 的任一个开覆盖有至多可数覆盖)。

(5分)
大学拓扑学考试试卷参考答案（A）
注：此页不作答题纸，请将答案写在答题纸上
一、选择题(将正确答案填入题后的括号内,每题3分，共15分)
1、C
2、B
3、A
4、A
5、D
二、简答题（每题3分，共15分）
1、2A空间
答案：一个拓扑空间如果有一个可数基，则称这个拓扑空间是一个满足第二
A空间.
可数性公理的空间，简称为
2
T空间：
2、
1
答案：设X是一个拓扑空间，如果X中的任意两个不相同的点中每一个点都
T空间.
有一个开邻域不包含另一点，则称拓扑空间X是
1
3、不连通空间
答案：设X是一个拓扑空间，如果X中有两个非空的隔离子集,A B,使得⋃=,则称X是一个不连通空间.
A B X
4、序列紧致空间
答案：设X是一个拓扑空间. 如果X中的每一个序列都有一个收敛的子序列，则称拓扑空间X是一个序列紧致空间.
5、正规空间：
答案：设X是一个拓扑空间，如果X中的任何两个无交的闭集都各自有一个开邻域，它们互不相交，则称X是正规空间.
三、判断，并给出理由（20分，每题5分，判断2分，理由3分）
1、从拓扑空间X 到平庸空间Y 的任何映射都是连续映射（ ） 答案:√
理由：设:f X Y →是任一满足条件的映射，由于Y 是平庸空间，它中的开集只有,Y φ,易知它们在f 下的原象分别是,X φ,均为X 中的开集，从而:f X Y →连续.
2、设拓扑空间X 满足第二可数性公理，则X 满足第一可数性公理（ ） 答案：√
理由:设拓扑空间X 满足第二可数性公理，B 是它的一个可数基，对于每一个x X ∈,易知{} B B|x B x B =∈∈是点x 处的一个邻域基，它是B 的一个子族所以是可数族，从而X 在点x 处有可数邻域基，故X 满 足第一可数性公理.
3、设A 为平庸空间X （X 多于一点）的一个单点集，则d A φ= （ ） 答案：×
理由：设{}A y =,则对于任意,x X x y ∈≠,x 有唯一的一个邻域X ，且有()y X A x ∈⋂-,从而()X A x φ⋂-≠，因此x 是A 的一个凝聚点，但对于y 的唯一的邻域X ，有()X A y φ⋂-=,所以有d A X A φ=-≠.
4、Hausdorff 空间中的每一个紧致子集都是闭集.( )
答案：√
理由：设A 是Hausdorff 空间X 的一个紧致子集，则对于任何x X ∈，若x A ∉，则易知x 不是A 的凝聚点，因此A A =，从而A 是一个闭集.
四、证明题（共50分）
1、 证：设W 是Z 的任意一个开集，由于:g Y Z →是一个连续映射，从而1()g W -是Y 的一个开集，由:f X Y →是连续映射，故11(())f g W --是X 的一开集，因
此 111()()(())g f W f g W ---=o 是X 的开集，所以:g f X Z →o 是连续映射.
2、证明：如果()f X 是Y 的一个不连通子集，则存在Y 的非空隔离子集,A B 使得
()f X A B =⋃,于是11(),()f A f B --是X 的非空子集，并且：
111111111(()())(()())(()())(()())(()())f A f B f B f A f A f B f B f A f A B A B φ
---------⋂⋃⋂⊂⋂⋃⋂=⋂⋃⋂= 所以11(),()f A f B --是X 的非空隔离子集 此外，1111()()()(())f A f B f A B f f X X ----⋃=⋃==，这说明X 不连通，矛盾.从而()f X 是Y 的一个连通子集.
3、 证明：对于c x A ∀∈，则()f x x ≠，从而(),f x x 有互不相交的开邻域U 和V ，
设1()W f U V -=⋂，则W 是x 的开邻域，且c x W A ∈⊂,故c A 是开集，从而A 是闭集.
4、证明：(1)
()()()()()()()00121212121122121212120
1.
212,,3,,,X X A A A A A A A A A X C A X C C C de Morgan A A X C X C X C C A A X C C αααααα∅∈=-∅∈∈=∅=∅⋂=∅∈≠∅≠∅=-=--⋂=-⋂-=-⋃∈∈∀∈Γ=-⋃余可数余可数余可数余可数余可数余可数余可数由的定义，.此外，设，，或，则，，则其中，为至多可数集.根据公式，有
设不失一般性，令
其中为至多可数集，则T T
T T T T T ()()()()000123A X C X C X ααααα∈Γ∈Γ∈Γ=⋃-=-⋂∈余可数
余可数由可知，为上的一个拓扑。

T T (2) 注意()()()1212X C X C X C C -⋂-=-⋃≠∅；
(3) 对任意,,p q X p q ∈≠，则{}X p U q ＝－与{}q U X p =-分别为p 与q 的开邻域，
且p q U ∉，q p U ∉，因此，(),X 余可数T 为1T 空间。

设p U 为p 的任何开邻域，q U 为q 的任何开邻域，则12X ,p q U C U X C =-＝－，其中1C ，2C 均为X 的至多可数子集，并且()()1212p q U U X C X C X C C =--=-≠∅I I U 所以，(),X 余可数T 非2T 空间。

(4) 设A 是X 的任一个开覆盖，任取0A ∈A ，0A ≠∅，则0A X C =-(C 为X 的至多可数集), 记1{,...,,...}n C c c =，因A 是X 的开覆盖，故,i A ∃∈A ..s t ,i i c A ∈i N ∈于是，1{|0,1,...,,...}i A i n ==A A 是X 的至多可数开覆盖，从而(),X 余可数T 是Lindelӧff 空间.。