上学期拓扑学考试试卷及答案
拓扑学测试题

拓扑学测试题一一、选择题(每小题2分,共10分)下列拓扑性质中,不满足连续不变性的是( ) A. 列紧 B. 序列紧 C. 可数紧 D. 紧致 下列拓扑性质中,没有遗传性的是( ) A.1T 空间 B. 2T 空间 C. 3T 空间 D. 4T 空间下列拓扑性质中,有限积性不成立的是( ) A.1T 空间 B. 2T 空间 C. 3T 空间 D. 4T 空间设X 多于两点, 21,ττ是X 的两个拓扑,则下列命题不成立的是( ) (A) 21ττ⋃是X 的某个拓扑的基; (B) 21ττ⋂是X 的一个拓扑; (C) 21ττ⋃是X 的一个拓扑; (D) 21ττ⋂是X 的某个拓扑的基。
设A 为度量空间 ),(d X 的任一非空子集,则下列命题不成立的是( ) (A) x 为A 的边界点当且仅当 (,)(,)0d x A d x X A =-= (B) x 为A 的聚点当且仅当 (,)0d x A = (C) x 为A 的内点当且仅当 (,)0d x X A ->; (D) A x ∈当且仅当 0),(=A x d .二、 二、判断题(每小题5分,共25分) 三、 仿紧空间是度量空间.()四、 商映射一定是闭映射或开映射. ()五、 局部道路连通空间不一定是道路连通空间. () 六、 连通空间一定是局部连通空间. ()七、 若11:f S →连续,则 1t ∃∈,使1()f t -不可数. () 八、 三、解答题(第1小题10分,第2小题15分,共25分) 九、 举例说明拓扑空间中的有限子集可以有聚点. 十、 设{}0,1,2X =,试写出 X 上的所有拓扑.十一、 四、证明题(每小题10分,共40分) 十二、 若 X 满足1T 公理,则X 中任一子集的导集都是闭集.十三、 证明欧氏平面除去可数个点后仍是道路连通的.十四、 证明至少有两个点的T 4空间的连通子集一定是不可数集.十五、 证明 X 为Hausdorff 空间当且仅当 {(,)|}x x x X ∆=∈是 X X ⨯的闭集.答案一 、 选择题 1、A 2、D 3、D 4、C 5、B二 、 是非题 1、ⅹ 2、ⅹ 3、√ 4、ⅹ 5、√三 、 解答题 1. 举例说明拓扑空间中的有限子集可以有聚点.解 例如 {}0,1X =,{},0,X τ=∅,{}{}01'=.2. 设 {}0,1,2X =,试写出X 上的所有拓扑. 解 2个开集的共有1个:{Φ,{0,1,2}}, 3个开集的共有6个: {Φ,{0},{0,1,2}},{Φ,{1},{0,1,2}},{Φ,{2},{0,1,2}},{Φ,{1,2},{0,1,2}},{Φ,{0,1},{0,1,2}},{Φ,{0,2},{0,1,2}} 4个开集的共有9个:{Φ,{0},{0,1},{0,1,2}},{Φ,{0},{0,2},{0,1,2}},{Φ,{1},{1,2},{0,1,2}},{Φ,{1},{0,1},{0,1,2}},{Φ,{2},{0,2},{0,1,2}},{Φ,{2},{1,2},{0,1,2}},{Φ,{0},{1},{0,1},{0,1,2}},{Φ,{0},{2},{0,2},{0,1,2}} {Φ,{1},{2},{1,2},{0,1,2}} 5个开集的共有6个:{Φ,{0},{0,2},{0,1},{0,1,2}},{Φ,{1},{1,2},{0,1},{0,1,2}},{Φ,{2},{1,2},{0,2},{0,1,2}} {Φ,{1},{2},{1,2},{0,1,2}}{Φ,{0},{1},{0,1},{0,1,2}} {Φ,{0},{2},{0,2},{0,1,2}} 6个开集的有6个:{Φ,{0},{1},{0,2},{0,1},{0,1,2}},{Φ,{0},{1},{1,2},{0,1},{0,1,2}},{Φ,{1},{2},{1,2},{0,2},{0,1,2}}, {Φ,{1},{2},{1,2},{0,1},{0,1,2}},{Φ,{0},{2},{0,1},{0,2},{0,1,2}},{Φ,{0},{2},{1,2},{0,2},{0,1,2}} … 8个开集的有1个:{Φ,{0},{1},{2},{1,2},{0,2},{0,1},{0,1,2}} 因此共有1+6+9+6+6+1=29个拓扑四 、证明题 1. 若X 满足 1T 公理,则X 中任一子集的导集都是闭集. 证明 设 A X ⊂,只要验证 ()cA '是开集. ()cx A '∀∈,则x 有开邻域U ,使得{}()\U x A =∅,由 1T 公理知, {}\U x 是开集,从而 {}()\cU x A '⊂,于是()cU A '⊂;所以x 是()cA '的内点.2. 证明欧氏平面除去可数个点后仍是道路连通的.证明 设X 是从 2R 除去可数个点后所得到的空间, ,x y X ∀∈,若 x y ≠,设L 是线段xy 的中垂线,设 z L ∈,用(,,)x y z 表示连接 ,,x y z 的折线, 由于这样的折线有不可数多条, 而 X 的余集 Y 是可数集, 所以至少有一条折线 (,,)x y z 不含 Y 中的点, 这表明X 是道路连通的.3. 证明至少有两个点的4T 空间的连通子集一定是不可数集.证明 设X 是至少有两个点的连通的4T 空间 Y 的子集,设 ,x y 是 X 中的两个不同点,令 {},{}A x B y ==,则 A 和B 是子空间 X 中的两个非空不相交的闭集,故由乌里松引理知,存在连续函数 :[0,1]f X →使得, ()0,()1f x f y ==,又因 X 是连通的,故 ()f X 是 [0,1]中的连通集,而 0,1()f X ∈,因此 ()[0,1]f X =,于是 X一定是不可数集.4.证明 X 为Hausdorff 空间当且仅当 {(,)|}x x x X ∆=∈是 X X ⨯的闭集.证明 (必要性)要证 ∆为闭集,只要证它的余集是开集。
大学数学拓扑真题试卷

大学数学拓扑真题试卷# 大学数学拓扑真题试卷一、选择题(每题2分,共20分)1. 拓扑空间中的开集,其任意并集还是开集。
这个性质称为:A. 并集公理B. 有限覆盖性质C. 邻域系统D. 闭集性质2. 在度量空间中,下列哪一项不是完备性的定义?A. 任何柯西序列都收敛B. 空间中的每个闭子集都是完备的C. 空间中的每个有界序列都有收敛子序列D. 空间是完备的3. 以下哪个概念不是拓扑空间的基本元素?A. 点B. 开集C. 距离D. 邻域4. 连续映射的定义是:A. 映射的逆像包含开集B. 映射的逆像是闭集C. 映射的逆像包含闭集D. 映射的逆像是邻域5. 以下哪个命题是正确的?A. 任何有限个开集的并集是开集B. 任何无限个开集的交集是开集C. 任何有限个闭集的并集是闭集D. 任何无限个闭集的交集是闭集6. 拓扑空间中的紧性是指:A. 空间是局部紧的B. 空间中任意开覆盖都有有限子覆盖C. 空间是度量空间D. 空间是可分的7. 以下哪个命题是闭区间套定理?A. 闭区间套的交集可能是空集B. 闭区间套的交集至少包含一个点C. 闭区间套的交集是开集D. 闭区间套的交集是闭集8. 度量空间中的完备性与紧性的关系是:A. 完备性蕴含紧性B. 紧性蕴含完备性C. 完备性与紧性无关D. 完备性与紧性总是等价的9. 以下哪个命题是正确的?A. 任何紧空间都是可分的B. 任何可分空间都是紧的C. 任何紧空间都是度量空间D. 任何度量空间都是紧的10. 同胚空间具有相同的:A. 维数B. 体积C. 面积D. 长度二、简答题(每题10分,共20分)1. 简述什么是同胚,并给出一个例子说明两个空间如何是同胚的。
2. 解释什么是紧空间,并给出一个例子说明一个空间是紧的。
三、证明题(每题15分,共30分)1. 证明:在度量空间中,如果一个序列的每个元素都包含在某个紧子集中,那么这个序列有一个收敛子序列。
2. 证明:在欧几里得空间中,闭区间是紧的。
拓扑学考试题及答案

拓扑学考试题及答案一、选择题(每题2分,共10分)1. 拓扑空间中,开集的补集是:A. 闭集B. 既开又闭集C. 非开集D. 非闭集答案:A2. 以下哪个概念不是拓扑学中的基本元素?A. 开集B. 连续函数C. 极限点D. 线性方程答案:D3. 拓扑空间中,两个开集的交集仍然是:A. 开集B. 闭集C. 既开又闭集D. 非开集答案:A4. 拓扑空间中,一个集合是连通的,当且仅当它不能表示为两个非空不相交开集的并集。
以下哪个集合不是连通的?A. 一个区间B. 两个不相交的区间的并集C. 一个单点集D. 一个空集答案:B5. 拓扑空间中的紧致性意味着:A. 每个开覆盖都有有限子覆盖B. 每个闭覆盖都有有限子覆盖C. 每个开覆盖都有有限子覆盖或闭覆盖D. 每个闭覆盖都有有限子覆盖或开覆盖答案:B二、填空题(每题3分,共15分)1. 如果拓扑空间X中的每个点都有一个邻域,该邻域与X同胚,则称X是________。
答案:局部连通的2. 拓扑空间X中的点x称为________,如果X中包含x的每个开集也包含该序列的某个项。
答案:序列极限点3. 拓扑空间X中的点x称为________,如果对于x的每个邻域U,都存在一个点y≠x,使得y也在U中。
答案:凝聚点4. 如果拓扑空间X中的每个序列都有一个收敛的子序列,则称X是________。
答案:序列紧致的5. 拓扑空间X中的点x称为________,如果对于x的每个邻域U,都存在一个不包含x的开集V,使得V⊆U。
答案:孤立点三、简答题(每题10分,共20分)1. 描述拓扑空间中的紧性与序列紧致性之间的关系。
答案:在Hausdorff空间中,紧性等价于序列紧致性。
这意味着如果一个Hausdorff空间中的每个序列都有一个收敛的子序列,则该空间是紧的,反之亦然。
2. 解释什么是同胚映射,并给出一个例子。
答案:同胚映射是两个拓扑空间之间的双射函数,它既是连续的,其逆映射也是连续的。
拓扑试题及答案

拓扑试题及答案一、选择题(每题2分,共10分)1. 拓扑空间中,任意两个开集的并集还是开集,这是拓扑空间的哪个公理?A. 任意并集公理B. 有限并集公理C. 有限交公理D. 任意交公理答案:A2. 连续映射的定义是?A. 映射的逆映射是连续的B. 映射的原像与像的连续性一致C. 映射的像与原像的连续性一致D. 映射的原像与像的连续性不一致答案:B3. 在拓扑学中,一个空间的基是什么?A. 空间中所有开集的集合B. 空间中所有闭集的集合C. 空间中所有单点集的集合D. 空间中所有有限集的集合答案:A4. 拓扑空间中,一个集合的闭包是指什么?A. 集合本身B. 集合的内部C. 包含集合的所有极限点D. 集合的外部答案:C5. 什么是紧致性?A. 空间中任意开覆盖都有有限子覆盖B. 空间中任意闭覆盖都有有限子覆盖C. 空间中任意开覆盖都有无限子覆盖D. 空间中任意闭覆盖都有无限子覆盖答案:B二、填空题(每题2分,共10分)1. 如果拓扑空间X的任意开覆盖都有一个有限子覆盖,则称X是________。
答案:紧致的2. 拓扑空间中,如果一个映射是连续的,那么它的逆映射也是________。
答案:连续的3. 在拓扑空间X中,如果存在一个开集U包含点x,使得x是U的极限点,则称x是X的________。
答案:累积点4. 拓扑空间X的基B,如果X中任意开集都可以表示为B中开集的并集,则称B是X的一个________。
答案:基5. 如果拓扑空间X的任意子集的闭包都是闭集,则称X是________。
答案:T1空间三、简答题(每题5分,共20分)1. 请简述什么是拓扑空间?答案:拓扑空间是一个集合X,配合一个定义在其上的拓扑结构,这个结构由X的子集构成,满足任意并集公理、有限交公理和空集与全集为开集的条件。
2. 什么是连续映射?答案:连续映射是指在拓扑空间X和Y之间定义的映射f,对于Y中的任意开集V,其原像f^(-1)(V)在X中也是开集。
上学期拓扑学考试试卷答案(B)

中南大学拓扑学考试试卷参考答案(B )2009--2010学年 二 学期 拓扑学 课程 48 学时,3.0学分,闭卷,总分100分,占总评成绩 70 %时间:100分钟, 专业年级:数学与应用数学2008级一、选择题 (将正确答案填入题后的括号内 ,每题3分,共15分)1、B2、C3、A4、D5、C二、简答题(每题4分,共20分)1、1 A 空间答案:一个拓扑空间如果在它的每一点处有一个可数邻域基,则称这个拓扑空间是一个满足第一可数性公理的空间,简称为1 A 空间.2、0T 空间答案:设X 是一个拓扑空间,如果X 中的任意两个不相同的点中必有一个点有一个开邻域不包含另一点,则称拓扑空间X 是0T 空间.3、列紧空间答案:设X 是一个拓扑空间. 如果X 的每一个无限子集都有凝聚点,则称拓扑空间X 是一个列紧空间.4、同胚映射答案:设X 和Y 是两个拓扑空间.如果:f X Y →是一个一一映射,并且f 和1:f Y X -→ 都是连续映射,则称f 是一个同胚映射或同胚.5、正则空间答案:设X 是一个拓扑空间,如果X 中的任何一个点和任何一个不包含这个点的闭集都各自有一个开邻域,它们互不相交,则称X 是正则空间.三、判断,并给出理由(20分,每题5分,判断2分,理由3分)1、设 1 2,T T 是集合X 的两个拓扑,则 1 2⋂T T 不一定是集合X 的拓扑( )答案:×理由:因为(1) 1 2,T T 是X 的拓扑,故 1,X φ∈T , 2,X φ∈T ,从而1 2,X φ∈⋂T T ;(2)对任意的 1 2,A B ∈⋂T T ,则有 1,A B ∈T 且 2,A B ∈T ,由于 1 2,T T是X 的拓扑,故 1A B ⋂∈T 且 2A B ⋂∈T ,从而 1 2A B ⋂∈⋂T T ;(3)对任意的 1 2'⊂⋂T T T ,则 1 2,''⊂⊂T T T T ,由于 1 2,T T 是X 的拓扑,从而A A '∈∈U T 1T , A A '∈∈U T 2T ,故A A '∈∈⋂U T 12T T ;综上有 1 2⋂T T 也是X 的拓扑.2、从离散空间到拓扑空间的任何映射都是连续映射( )答案:√ 理由:设X 是离散空间,Y 是拓扑空间,:f X Y →是连续映射,因为对任意A Y ⊂,都有1)f A X -⊂(,由于X 中的任何一个子集都是开集,从而1()f A -是X 中的开集,所以:f X Y →是连续的.3、设A 为离散拓扑空间X 的任意子集,则d A φ= ( )答案:√ 理由:设p 为X 中的任何一点,因为离散空间中每个子集都是开集,所以{}p 是X 的开子集,且有{}{}()p A p φ-= ,即()p d A ∉,从而 ()d A φ=.4、若拓扑空间X 中存在一个既开又闭的非空真子集,则X 是一个不连通空间( )答案:√ 理由:这是因为若设A 是X 中的一个既开又闭的非空真子集,令c B A =,则,A B 都是X 中的非空闭子集,它们满足A B X ⋃=,易见,A B 是隔离子集,所以拓扑空间X 是一个不连通空间.四、证明题(共40分)1、设{}i x 是2T 空间X 的一个收敛序列,证明:{}i x 的极限点唯一. (10分)证明:若极限点不唯一,不妨设1lim i i x y →∞=,2lim i i x y →∞=,其中12y y ≠,由于X 是2T 空间,故1y 和2y 各自的开邻域,U V ,使得U V φ⋂=.因1lim i i x y →∞=,故存在10N >,使得当1i N >时,i x U ∈;同理存在20N >,使得当2i N >时,i x V ∈.令12max{,}N N N =,则当i N >时,i x U V ∈⋂,从而U V φ⋂≠,矛盾,故{}i x 的极限点唯一.2、设(,)X T 为拓扑空间,证明X 是1T 空间的充分必要条件是X 的每一独点集都为闭集.(10分)证明:(必要性)设x X ∈,{}c y x ∀∈,由(,)X T 为1T 空间,故有y 的开领域V ,..s t x V ∉,所以{}c V x ⊂,所以{}c x 为开集,从而{}x 为闭集。
拓扑学期末考试题及答案

拓扑学期末考试题及答案一、单项选择题(每题3分,共30分)1. 拓扑空间中,以下哪个选项不是开集的性质?A. 空集和整个空间都是开集B. 有限个开集的交集仍然是开集C. 任意个开集的并集仍然是开集D. 任意个开集的交集仍然是开集答案:B2. 连续映射的定义是:A. 映射的逆是连续的B. 映射的逆是开映射C. 映射的逆是闭映射D. 映射的逆是同胚映射答案:A3. 同胚映射是指:A. 两个拓扑空间之间的双射且连续的映射B. 两个拓扑空间之间的同构映射C. 两个拓扑空间之间的同构映射且连续D. 两个拓扑空间之间的双射且连续的映射,且其逆映射也是连续的答案:D4. 紧致性的定义是:A. 空间中的任意开覆盖都有有限子覆盖B. 空间中的任意闭覆盖都有有限子覆盖C. 空间中的任意开覆盖都有有限子覆盖或闭覆盖D. 空间中的任意闭覆盖都有有限子覆盖或开覆盖答案:A5. 以下哪个空间不是连通空间?A. 欧几里得空间中的闭区间B. 欧几里得空间中的开区间C. 欧几里得空间中的单点集D. 欧几里得空间中的两个不相交的开区间的并集答案:D6. 拓扑空间中的序列收敛的定义是:A. 序列的极限是唯一的B. 序列的极限是唯一的且在空间中C. 序列的极限是唯一的且在空间中,且序列的每个项都在空间中D. 序列的极限是唯一的且在空间中,且序列的每个项都在空间中,且序列是柯西序列答案:C7. 拓扑空间中的紧性与序列紧性的关系是:A. 紧空间一定是序列紧的B. 序列紧空间一定是紧的C. 紧空间不一定是序列紧的D. 序列紧空间不一定是紧的答案:A8. 拓扑空间中的连通性与路径连通性的关系是:A. 连通空间一定是路径连通的B. 路径连通空间一定是连通的C. 连通空间不一定是路径连通的D. 路径连通空间不一定是连通的答案:B9. 拓扑空间中的同胚不变性质包括:A. 紧性B. 连通性C. 可数性D. 所有以上性质答案:D10. 拓扑空间中的基的定义是:A. 空间中所有开集的集合B. 空间中所有闭集的集合C. 空间中所有开集的子集的集合D. 空间中所有开集的子集的集合,使得空间中的每个开集都可以由这些子集的并集来表示答案:D二、填空题(每题4分,共20分)1. 拓扑空间中的闭集是______的补集。
拓扑期末试题及答案

拓扑期末试题及答案一、选择题1. 下面哪个选项不是拓扑的基本概念?A. 连通性B. 邻域C. 紧致性D. 可分性答案:B. 邻域2. 拓扑空间的定义中包括以下哪些要素?A. 集合B. 拓扑C. 运算D. 距离答案:A. 集合,B. 拓扑3. 以下哪个定理用于判断一个集合是否为紧致集?A. Heine-Borel定理B. Bolzano-Weierstrass定理C. 单调有界定理D. Cantor定理答案:A. Heine-Borel定理4. 一个空间若每个点都有至少一个可数邻域,则称该空间满足:A. 可分性B. 连通性C. 紧致性D. 完备性答案:A. 可分性5. 以下哪个不是拓扑空间上的基本拓扑?A. 离散拓扑B. 序拓扑C. 紧致拓扑D. Hausdorff拓扑答案:C. 紧致拓扑二、填空题1. 在连通空间中,_________只有一个子集,即空集和整个集合本身。
答案:极大连通子集2. 设X是一个度量空间,如果序列{an}在X中收敛到点x,则它的任意一个子列也在X中收敛到点x,这个定理称为_________定理。
答案:Bolzano-Weierstrass定理3. 设X、Y是两个度量空间,f:X→Y是一个映射,若对X中任意一致收敛的序列{an}都有序列{f(an)}一致收敛于f(a),则称f是一个_________映射。
答案:连续映射4. 在一个度量空间中,若集合E能被包含在一列开集内,即E⊆∪(n=1)∞O(n),则E称为_________集。
答案:可分集5. 在度量空间中,_________是指个别的点被聚集成簇,而某个区域内不能含有过多的点。
答案:Hausdorff性三、计算题1. 已知拓扑空间X为实数集R上的子集,其基本拓扑为以区间(a,b)为开集的集合族T,计算X中元素x=1的极限点。
解答:首先,极限点是指一个点周围存在无穷多的序列点。
对于x=1来说,我们可以构造一个序列{a_n},其中a_n = 1+1/n。
点集拓扑学试题(含答案)

点集拓扑学练习题一、单项选择题(每题1分)1、已知{,,,,}X a b c d e =,下列集族中,( )是X 上的拓扑.① {,,{},{,},{,,}}X a a b a c e φ=T ② {,,{,,},{,,},{,,,}}X a b c a b d a b c e φ=T③ {,,{},{,}}X a a b φ=T ④ {,,{},{},{},{},{}}X a b c d e φ=T 答案:③2、设{,,}X a b c =,下列集族中,( )是X 上的拓扑.① {,,{},{,},{}}X a a b c φ=T ② {,,{},{,},{,}}X a a b a c φ=T③ {,,{},{},{,}}X a b a c φ=T ④ {,,{},{},{}}X a b c φ=T答案:② 3、已知{,,,}X a b c d =,下列集族中,( )是X 上的拓扑.① {,,{},{,},{,,}}X a a b a c d φ=T ② {,,{,,},{,,}}X a b c a b d φ=T③ {,,{},{},{,,}}X a b a c d φ=T ④ {,,{},{}}X a b φ=T答案:① 4、设{,,}X a b c =,下列集族中,( )是X 上的拓扑.① {,,{},{},{,}}X b c a b φ=T ② {,,{},{},{,},{,}}X a b a b a c φ=T③ {,,{},{},{,}}X a b a c φ=T ④ {,,{},{},{}}X a b c φ=T答案:② 5、已知{,,,}X a b c d =,下列集族中,( )是X 上的拓扑.① {,,{,},{,,}}X a b a c d φ=T ② {,,{,},{,,}}X a b a c d φ=T③ {,,{},{},{,,}}X a b a c d φ=T ④ {,,{},{},{,}}X a c a c φ=T答案:④ 6、设{,,}X a b c =,下列集族中,( )是X 上的拓扑.① {,,{},{},{,}}X a b b c φ=T ② {,,{,},{,}}X a b b c φ=T③ {,,{},{,}}X a a c φ=T ④ {,,{},{},{}}X a b c φ=T答案:③ 7、已知{,,,}X a b c d =,拓扑{,,{}}X a φ=T ,则}{b =( )①φ ② X ③ {}b ④ {,,}b c d答案:④8、 已知{,,,}X a b c d =,拓扑{,,{}}X a φ=T ,则{,,}b c d =( )①φ ② X ③ {}b ④ {,,}b c d 答案:④9、 已知{,}X a b =,拓扑{,,{}}X a φ=T ,则{}a =( )①φ ② X ③ {}a ④ {}b 答案:②10、已知{,}X a b =,拓扑{,,{}}X a φ=T ,则{}b =( )①φ ② X ③ {}a ④ {}b 答案:④11、已知{,,,}X a b c d =,拓扑{,,{}}X a φ=T ,则{}a =( )①φ ② X ③ {,}a b ④ {,,}b c d 答案:②12、已知{,,,}X a b c d =,拓扑{,,{}}X a φ=T ,则{}c =( )①φ ② X ③ {,}a c ④ {,,}b c d 答案:④13、设{,,,}X a b c d =,拓扑{,,{},{,,}}X a b c d φ=T ,则X 的既开又闭的非空真子集个数( ) ① 1 ② 2 ③ 3 ④ 4 答案:②14、设{,,}X a b c =,拓扑{,,{},{,}}X a b c φ=T ,则X 的既开又闭的非空真子集的个数为( ) ① 1 ② 2 ③ 3 ④ 4 答案:②15、设{,,}X a b c =,拓扑{,,{},{,}}X b b c φ=T ,则X 的既开又闭的非空真子集的个数为( ) ① 0 ② 1 ③ 2 ④ 3 答案:①16、设{,}X a b =,拓扑{,,{}}X b φ=T ,则X 的既开又闭的子集的个数为( )① 0 ② 1 ③ 2 ④ 3 答案:③17、设{,}X a b =,拓扑{,,{},{}}X a b φ=T ,则X 的既开又闭的子集的个数为( ) ① 1 ② 2 ③ 3 ④ 4 答案:④18、设{,,}X a b c =,拓扑{,,{},{},{,},{,}}X a b a b b c φ=T ,X 的既开又闭的非空真子集个数( ) ① 1 ② 2 ③ 3 ④ 4 答案:②19、在实数空间中,有理数集Q 的内部Q 是( )① φ ② Q ③ R -Q ④ R 答案:①20、在实数空间中,有理数集Q 的边界()Q ∂是( )① φ ② Q ③ R -Q ④ R 答案:④21、在实数空间中,整数集Z 的内部Z 是( )① φ ② Z ③ R -Z ④ R 答案:①22、在实数空间中,整数集Z 的边界()Z ∂是( )① φ ② Z ③ R -Z ④ R 答案:②23、在实数空间中,区间[0,1)的边界是( )① φ ② [0,1] ③ {0,1} ④ (0,1) 答案:③24、在实数空间中,区间[2,3)的边界是( )① φ ② [2,3] ③ {2,3} ④ (2,3) 答案:③25、在实数空间中,区间[0,1)的内部是( )① φ ② [0,1] ③ {0,1} ④ (0,1) 答案:④26、设X 是一个拓扑空间,A ,B 是X 的子集,则下列关系中错误的是( )① ()()()d A B d A d B ⋃=⋃ ② A B A B ⋃=⋃③ ()()()d A B d A d B ⋂=⋂ ④ A A = 答案: ③27、设X 是一个拓扑空间,A ,B 是X 的子集,则下列关系中正确的是( )① ()()()d A B d A d B ⋃=⋃ ② A B A B -=-③ ()()()d A B d A d B ⋂=⋂ ④ A A = 答案: ①28、设X 是一个拓扑空间,A ,B 是X 的子集,则下列关系中正确的是( )① ()d A B A B ⋃=⋃ ② A B A B -=-③ ()()()d A B d A d B ⋂=⋂ ④ (())()d d A A d A ⊂⋃ 答案: ④29、已知X 是一个离散拓扑空间,A 是X 的子集,则下列结论中正确的是() ① ()d A φ= ② ()d A X A =-③ ()d A A = ④ ()d A X = 答案:①30、已知X 是一个平庸拓扑空间,A 是X 的子集,则下列结论中不正确的是()① 若A φ=,则()d A φ= ② 若0{}A x =,则()d A X A =-③ 若A={12,x x },则()d A X = ④ 若A X ≠, 则()d A X ≠ 答案:④31、已知X 是一个平庸拓扑空间,A 是X 的子集,则下列结论中正确的是( )① 若A φ=,则()d A φ= ② 若0{}A x =,则()d A X =③ 若A={12,x x },则()d A X A =- ④ 若12{,}A x x =,则()d A A = 答案:①32、设{,,,}X a b c d =,令{{,,},{},{}}a b c c d =B ,则由B 产生的X 上的拓扑是( ) ① { X ,φ,{c },{d },{c ,d },{a ,b ,c }} ② {X ,φ,{c },{d },{c ,d }}③ { X ,φ,{c },{a ,b ,c }} ④ { X ,φ,{d },{b ,c },{b ,d },{b ,c ,d }} 答案:①33、设X 是至少含有两个元素的集合,p X ∈,{|}{}G X p G φ=⊂∈⋃T 是X 的拓扑,则( )是T 的基.① {{,}|{}}B p x x X p =∈- ② {{}|}B x x X =∈③ {{,}|}B p x x X =∈ ④ {{}|{}}B x x X p =∈- 答案:③34、 设{,,}X a b c =,则下列X 的拓扑中( )以{,,{}}S X a φ=为子基.① { X , φ,{a },{a ,c }} ② {X , φ,{a }}③ { X , φ,{a },{b },{a ,b }} ④ {X ,φ }答案:②35、离散空间的任一子集为( )① 开集 ② 闭集 ③ 即开又闭 ④ 非开非闭 答案:③36、平庸空间的任一非空真子集为( )① 开集 ② 闭集 ③ 即开又闭 ④ 非开非闭 答案:④37、实数空间R 中的任一单点集是 ( )① 开集 ② 闭集 ③ 既开又闭 ④ 非开非闭 答案:②38、实数空间R 的子集A ={1,21,31 ,41,……},则A =( )①φ ② R ③ A ∪{0} ④ A 答案:③39、在实数空间R 中,下列集合是闭集的是( )① 整数集 ② [)b a , ③ 有理数集 ④ 无理数集 答案:①40、在实数空间R 中,下列集合是开集的是( )① 整数集Z ② 有理数集③ 无理数集 ④ 整数集Z 的补集Z '答案:④41、已知{1,2,3}X =上的拓扑{,,{1}}T X φ=,则点1的邻域个数是( )① 1 ② 2 ③ 3 ④ 4 答案:④42、已知{,}X a b =,则X 上的所有可能的拓扑有( )① 1个 ② 2个 ③ 3个 ④ 4个 答案:④43、已知X ={a ,b ,c },则X 上的含有4个元素的拓扑有( )个① 3 ② 5 ③ 7 ④ 9 答案:④44、设(,)T X 为拓扑空间,则下列叙述正确的为 ( )①T , T X φ∈∉ ② T ,T X φ∉∈③当T T '⊂时,T T U U '∈∈ ④ 当T T '⊂时,T T U U '∈∈ 答案:③45、在实数下限拓扑空间R 中,区间[,)a b 是( )① 开集 ② 闭集 ③ 既是开集又是闭集 ④ 非开非闭 答案:③46、设X 是一个拓扑空间,,A B X ⊂,且满足()d A B A ⊂⊂,则B 是( )① 开集 ② 闭集 ③ 既是开集又是闭集 ④ 非开非闭 答案:②47、设{1,2,3}X =,{,,{1,2},{1,3},{1},{2}}T=X φ是X 的拓扑,{1,2}A =,则X 的子空间A 的拓扑为( ) ① {,{2},{1,2}}φ=T ② {,,{1},{2},{1,2}}T X φ=③ {,,{1},{2}}T A φ= ④ {,,{1},{2}}T X φ= 答案:③48、设{1,2,3}X =,{,,{1,2},{1,3},{1},{2}}T=X φ是X 的拓扑,{1,3}A =,则X 的子空间A 的拓扑为( ) ① {,{1},{3},{1,3}}T φ= ② {,,{1}}T A φ=③ {,,{1},{3},{1,3}}T X φ= ④ {,,{1}}T X φ= 答案:②49、设{1,2,3}X =,{,,{1,2},{1,3},{1},{2}}T=X φ是X 的拓扑,{2,3}A =,则X 的子空间A 的拓扑为( ) ① {,{3},{2,3}}φ=T ② {,,{2},{3}}T A φ=③ {,,{2},{3},{2,3}}T X φ= ④ {,,{3}}T X φ= 答案:②50、设{1,2,3}X =,{,,{1,2},{1,3},{1},{2}}T=X φ是X 的拓扑,{1}A =,则X 的子空间A 的拓扑为( ) ① {,{1}}T φ= ② {,,{1,2}}T A φ=③ {,,{1},{3},{1,3}}T X φ= ④ {,,{1}}T X φ= 答案:①51、设{1,2,3}X =,{,,{1,2},{1,3},{1},{2}}T=X φ是X 的拓扑,{2}A =,则X 的子空间A 的拓扑为( )① {,{2},{1,2}}T φ= ② {,}T A φ=③ {,,{2}}T X φ= ④ {,,{1,2}}T X φ= 答案:②52、设{1,2,3}X =,{,,{1,2},{1,3},{1},{2}}T=X φ是X 的拓扑,{3}A =,则X 的子空间A 的拓扑为( ) ① {,{2},{1,2}}T φ= ② {,{},{1,3}}T X φ=③ {,,{3}}T X φ= ④ {,{3}}T φ= 答案:④53、设R 是实数空间,Z 是整数集,则R 的子空间Z 的拓扑为( )① {,}T Z φ= ② ()T P Z = ③ T Z = ④ {}T Z = 答案:②54、设126X X X X =⨯⨯⨯是拓扑空间126,,,X X X 的积空间.1P 是X 到1X 的投射,则1P 是( )① 单射 ② 连续的单射③ 满的连续闭映射 ④ 满的连续开映射 答案:④55、设126X X X X =⨯⨯⨯是拓扑空间126,,,X X X 的积空间.2P 是X 到2X 的投射,则2P 是( ) ① 单射 ② 连续的单射③ 满的连续闭映射 ④ 满的连续开映射 答案:④56、设126X X X X =⨯⨯⨯是拓扑空间126,,,X X X 的积空间.3P 是X 到3X 的投射,则3P 是( )① 单射 ② 连续的单射③ 满的连续闭映射 ④ 满的连续开映射 答案:④57、设126X X X X =⨯⨯⨯是拓扑空间126,,,X X X 的积空间.4P 是X 到4X 的投射,则4P 是( ) ① 单射 ② 连续的单射③ 满的连续闭映射 ④ 满的连续开映射 答案:④58、设126X X X X =⨯⨯⨯是拓扑空间126,,,X X X 的积空间.5P 是X 到5X 的投射,则5P 是( )① 单射 ② 连续的单射③ 满的连续闭映射 ④ 满的连续开映射 答案:④59、设126X X X X =⨯⨯⨯是拓扑空间126,,,X X X 的积空间.6P 是X 到6X 的投射,则6P 是( )① 单射 ② 连续的单射③ 满的连续闭映射 ④ 满的连续开映射 答案:④60、设1X 和2X 是两个拓扑空间,12X X ⨯是它们的积空间,1A X ⊂,2B X ⊂,则有( ) ① A B A B ⨯≠⨯ ② A B A B ⨯=⨯ ③()A B A B ⨯≠⨯ ④ ()()()A B A B ∂⨯=∂⨯∂答案:②61、有理数集Q 是实数空间R 的一个( )① 不连通子集 ② 连通子集③ 开集 ④ 以上都不对 答案:①62、整数集Z 是实数空间R 的一个( )① 不连通子集 ② 连通子集③ 开集 ④ 以上都不对答案:①63、无理数集是实数空间R 的一个( )① 不连通子集 ② 连通子集③ 开集 ④ 以上都不对答案:①64、设Y 为拓扑空间X 的连通子集,Z 为X 的子集,若Y Z Y ⊂⊂, 则Z 为( )①不连通子集 ② 连通子集 ③ 闭集 ④ 开集答案:②65、设12,X X 是平庸空间,则积空间12X X ⨯是( )① 离散空间 ② 不一定是平庸空间③ 平庸空间 ④ 不连通空间答案:③66、设12,X X 是离散空间,则积空间12X X ⨯是( )① 离散空间 ② 不一定是离散空间③ 平庸空间 ④ 连通空间答案:①67、设12,X X 是连通空间,则积空间12X X ⨯是( )① 离散空间 ② 不一定是连通空间③ 平庸空间 ④ 连通空间答案:④68、实数空间R 中的连通子集E 为( )① 开区间 ② 闭区间 ③区间 ④ 以上都不对答案:④69、实数空间R 中的不少于两点的连通子集E 为( )① 开区间 ② 闭区间 ③ 区间 ④ 以上都不对答案:③70、实数空间R 中的连通子集E 为( )① 开区间 ② 闭区间 ③ 区间 ④ 区间或一点答案:④71、下列叙述中正确的个数为( )(Ⅰ)单位圆周1S 是连通的; (Ⅱ){0}R -是连通的(Ⅲ)2{(0,0)}R -是连通的 (Ⅳ)2R 和R 同胚① 1 ② 2 ③ 3 ④ 4答案:②二、填空题(每题1分)1、设{,}X a b =,则X 的平庸拓扑为 ;答案:{,}T X φ=2、设{,}X a b =,则X 的离散拓扑为 ;答案:{,,{},{}}T X a b φ= 3、同胚的拓扑空间所共有的性质叫 ; 答案:拓扑不变性质4、在实数空间R 中,有理数集Q 的导集是___________. 答案: R5、)(A d x ∈当且仅当对于x 的每一邻域U 有 答案: ({})U A x φ⋂-≠6、设A 是有限补空间X 中的一个无限子集,则()d A = ;答案:X7、设A 是有限补空间X 中的一个无限子集,则A = ;答案:X8、设A 是可数补空间X 中的一个不可数子集,则()d A = ;答案:X9、设A 是可数补空间X 中的一个不可数子集,则A = ;答案:X10、设{1,2,3}X =,X 的拓扑{,,{2},{2,3}}T X φ=,则X 的子集{1,2}A = 的内部为 ;答案:{2}11、设{1,2,3}X =,X 的拓扑{,,{1},{2,3}}T X φ=,则X 的子集{1,3}A = 的内部为 ;答案:{1}12、设{1,2,3}X =,X 的拓扑{,,{1},{2,3}}T X φ=,则X 的子集{1,2}A = 的内部为 答案:{1}13、设{1,2,3}X =,X 的拓扑{,,{2},{2,3}}T X φ=,则X 的子集{1,3}A = 的内部为 ;答案:φ14、设{,,}X a b c =,则X 的平庸拓扑为 ;答案:{,}T X φ=15、设{,,}X a b c =,则X 的离散拓扑为 答案:{,,{},{},{},{,},{,},{,}}T X a b c a b a c b c φ=16、设{1,2,3}X =,X 的拓扑{,,{2},{3},{2,3}}T X φ=,则X 的子集{1,3}A = 的内部为 ;答案:{3}17、设{1,2,3}X =,X 的拓扑{,,{1},{3},{1,3}}T X φ=,则X 的子集{1,2}A = 的内部为 ;答案:{1}18、:f X Y →是拓扑空间X 到Y 的一个映射,若它是一个单射,并且是从X 到它的象集()f X 的一个同胚,则称映射f 是一个 .答案:嵌入19、:f X Y →是拓扑空间X 到Y 的一个映射,如果它是一个满射,并且Y 的拓扑是对于映射f 而言的商拓扑,则称f 是一个 ;答案:商映射20、设,X Y 是两个拓扑空间,:f X Y →是一个映射,若X 中任何一个开集U 的象集()f U 是Y 中的一个开集,则称映射f 是一个 答案:开映射21、设,X Y 是两个拓扑空间,:f X Y →是一个映射,若X 中任何一个闭集U 的象集()f U 是Y 中的一个闭集,则称映射f 是一个 答案:闭映射22、若拓扑空间X 存在两个非空的闭子集,A B ,使得,A B A B X φ⋂=⋃=,则X 是一个 ;答案:不连通空间23、若拓扑空间X 存在两个非空的开子集,A B ,使得,A B A B X φ⋂=⋃=,则X 是一个 ;答案:不连通空间24、若拓扑空间X 存在着一个既开又闭的非空真子集,则X 是一个 答案:不连通空间25、设Y 是拓扑空间X 的一个连通子集,Z X ⊂满足Y Z Y ⊂⊂,则Z 也是X 的一个 ; 答案:连通子集26、拓扑空间的某种性质,如果为一个拓扑空间所具有也必然为它在任何一个连续映射下的象所具有,则称这个性质是一个 ;答案:在连续映射下保持不变的性质27、拓扑空间的某种性质,如果为一个拓扑空间所具有也必然为它的任何一个商空间所具有,则称这个性质是一个 ;答案:可商性质28、若任意1n ≥个拓扑空间12,,,n X X X ,都具有性质P ,则积空间12n X X X ⨯⨯⨯也具有性质P ,则性质P 称为 ;答案:有限可积性质29、设X 是一个拓扑空间,如果X 中有两个非空的隔离子集,A B ,使得A B X ⋃=,则称X 是一个 ;答案:不连通空间.三.判断(每题4分,判断1分,理由3分)1、.从离散空间到拓扑空间的任何映射都是连续映射( ) 答案:√理由:设X 是离散空间,Y 是拓扑空间,:f X Y →是连续映射,因为对任意A Y ⊂,都有1)f A X -⊂(,由于X 中的任何一个子集都是开集,从而1()f A -是X 中的开集,所以:f X Y →是连续的.2、设12, T T 是集合X 的两个拓扑,则12 T T ⋂不一定是集合X 的拓扑( )答案:× 理由:因为(1)12, T T 是X 的拓扑,故∈φ,X T 1,∈φ,X T 2,从而∈φ,X 12 T T ⋂; (2)对任意的∈B A ,T 1⋂T 2,则有∈B A ,T 1且∈B A ,T 2,由于T 1, T 2是X 的拓扑,故∈⋂B A T 1且∈⋂B A T 2,从而∈⋂B A T 1⋂T 2;(3)对任意的21T T T ⋂⊂',则21,T T T T ⊂'⊂',由于T 1, T 2是X 的拓扑,从而 U ∈T ’U ∈T 1, U ∈T ’U ∈T 2,故 U ∈T ’U ∈ T 1⋂T 2;综上有T 1⋂T 2也是X 的拓扑.3、从拓扑空间X 到平庸空间Y 的任何映射都是连续映射( )答案:√ 理由:设:f X Y →是任一满足条件的映射,由于Y 是平庸空间,它中的开集只有,Y φ,易知它们在f 下的原象分别是,X φ,均为X 中的开集,从而:f X Y →连续.4、设A 为离散拓扑空间X 的任意子集,则()d A φ= ( )答案:√ 理由:设p 为X 中的任何一点,因为离散空间中每个子集都是开集, 所以{}p 是X 的开子集,且有{}{}()p A p φ-=,即()p d A ∉,从而 ()d A φ=.5、设A 为平庸空间X (X 多于一点)的一个单点集,则()d A φ= ( )答案:× 理由:设{}A y =,则对于任意,x X x y ∈≠,x 有唯一的一个邻域X ,且有()y X A x ∈⋂-,从而()X A x φ⋂-≠,因此x 是A 的一个凝聚点,但对于y 的唯一的邻域X ,有()X A y φ⋂-=,所以有()d A X A φ=-≠.6、设A 为平庸空间X 的任何一个多于两点的子集,则()d A X = ( )答案:√ 理由:对于任意,x X ∈因为A 包含多于一点,从而对于x 的唯一的邻域X ,且有()X A x φ⋂-≠,因此x 是A 的一个凝聚点,即()x d A ∈,所以有()d A X =.7、设X 是一个不连通空间,则X 中存在两个非空的闭子集,A B ,使得,A B A B X φ⋂=⋃=( )答案:√理由:设X 是一个不连通空间,设,A B 是X 的两个非空的隔离子集使得A B X ⋃=,显然A B φ=,并且这时有:()()B B X B A B B B =⋂=⋂⋃⋂=从而B 是X 的一个闭子集,同理可证A 是X 的一个闭子集,这就证明了,A B 满足,A B A B X φ⋂=⋃=.8、若拓扑空间X 中存在一个既开又闭的非空真子集,则X 是一个不连通空间( )√ 理由:这是因为若设A 是X 中的一个既开又闭的非空真子集,令B A '=,则,A B 都是X 中的非空闭子集,它们满足A B X ⋃=,易见,A B 是隔离子集,所以拓扑空间X 是一个不连通空.五.简答题(每题4分)1、设X 是一个拓扑空间,,A B 是X 的子集,且A B ⊂.试说明()()d A d B ⊂. 答案:对于任意()x d A ∈,设U 是x 的任何一个邻域,则有({})U A x φ⋂-≠,由于A B ⊂,从而({})({})U B x U A x φ⋂-⊃⋂-≠,因此()x d B ∈,故()()d A d B ⊂.2、设,,X Y Z 都是拓扑空间.:f X Y →, :g Y Z →都是连续映射,试说明:g f X Z →也是连续映射.答案:设W 是Z 的任意一个开集,由于:g Y Z →是一个连续映射,从而1()g W -是Y 的一个开集,由:f X Y →是连续映射,故11(())f g W --是X 的一开集,因此 111()()(())g f W f g W ---=是X 的开集,所以:g f X Z →是连续映射.3、设X 是一个拓扑空间,A X ⊂.试说明:若A 是一个闭集,则A 的补集A '是一个开集. 答案:对于x A '∀∈,则x A ∉,由于A 是一个闭集,从而x 有一个邻域U 使得({})U A x φ⋂-=,因此U A φ⋂=,即U A '⊂,所以对任何x A '∈,A '是x 的一个邻域,这说明A '是一个开集.4、设X 是一个拓扑空间,A X ⊂.试说明:若A 的补集A '是一个开集,则A 是一个闭集. 答案:设x A ∉,则x A '∈,由于A '是一个开集,所以A '是x 的一个邻域,且满足A A φ'⋂=,因此x A ∉,从而A A ⊃,即有A A =,这说明A 是一个闭集.5、在实数空间R 中给定如下等价关系:~x y ⇔)1,(,-∞∈y x 或者)2,1[,∈y x 或者),2[,+∞∈y x设在这个等价关系下得到的商集]}2[],1[],0{[=Y ,试写出Y 的商拓扑T .答案:]}}1[],0{[]},0{[,,{Y φ= T6、在实数空间R 中给定如下等价关系:~x y ⇔]1,(,-∞∈y x 或者]2,1(,∈y x 或者),2(,+∞∈y x设在这个等价关系下得到的商集]}3[],2[],1{[=Y ,试写出Y 的商拓扑T . 答案:{,,{[3]},{[2],[3]}}T Y φ=7、在实数空间R 中给定如下等价关系:~x y ⇔)1,(,-∞∈y x 或者)2,1[,∈y x 或者),2[,+∞∈y x设在这个等价关系下得到的商集{[1],[1],[2]}Y =-,试写出Y 的商拓扑T . 答案:{,,{[1]},{[1],[1]}}T Y φ=--8、在实数空间R 中给定如下等价关系:~x y ⇔)1,(,-∞∈y x 或者)2,1[,∈y x 或者),2[,+∞∈y x设在这个等价关系下得到的商集{[2],[1],[2]}Y =-,试写出Y 的商拓扑T . 答案:{,,{[2]},{[2],[1]}}T Y φ=--9、在实数空间R 中给定如下等价关系:~x y ⇔]1,(,-∞∈y x 或者]2,1(,∈y x 或者),2(,+∞∈y x设在这个等价关系下得到的商集{[0],[2],[3]}Y =,试写出Y 的商拓扑T . 答案:{,,{[3]},{[2],[3]}}T Y φ=10、在实数空间R 中给定如下等价关系:~x y ⇔]1,(,-∞∈y x 或者]2,1(,∈y x 或者),2(,+∞∈y x设在这个等价关系下得到的商集{[0],[2],[4]}Y =,试写出Y 的商拓扑T . 答案:{,,{[4]},{[2],[4]}}T Y φ=11、在实数空间R 中给定如下等价关系:~x y ⇔]1,(,-∞∈y x 或者]2,1(,∈y x 或者),2(,+∞∈y x设在这个等价关系下得到的商集{[1],[2],[4]}Y =-,试写出Y 的商拓扑T . 答案:{,,{[4]},{[2],[4]}}T Y φ=六、证明题(每题8分)1、设:f X Y →是从连通空间X 到拓扑空间Y 的一个连续映射.则()f X 是Y 的一个连通子集. 证明:如果()f X 是Y 的一个不连通子集,则存在Y 的非空隔离子集,A B 使得()f X A B =⋃ …………………………………………… 3分于是11(),()f A f B --是X 的非空子集,并且:111111111(()())(()())(()())(()())(()())f A f B f B f A f A f B f B f A f A B A B φ---------⋂⋃⋂⊂⋂⋃⋂=⋂⋃⋂=所以11(),()f A f B --是X 的非空隔离子集 此外,1111()()()(())f A f B f A B f f X X ----⋃=⋃==,这说明X 不连通,矛盾.从而()f X 是Y 的一个连通子集. ………………………… 8分2、设Y 是拓扑空间X 的一个连通子集, 证明: 如果A 和B 是X 的两个无交的开集使得B A Y ⋃⊂,则或者A Y ⊂,或者B Y ⊂.证明:因为B A ,是X 的开集,从而Y B Y A ⋂⋂,是子空间Y 的开集.又因B A Y ⋃⊂中,故)()(Y B Y A Y ⋂⋃⋂= ………………… 4分由于Y 是X 的连通子集,则Y B Y A ⋂⋂,中必有一个是空集. 若Φ=⋂Y B ,则A Y ⊂;若Φ=⋂Y A ,则B Y ⊂………………… 8分3、设Y 是拓扑空间X 的一个连通子集, 证明: 如果A 和B 是X 的两个无交的闭集使得B A Y ⋃⊂,则或者A Y ⊂,或者B Y ⊂.证明:因为B A ,是X 的闭集,从而Y B Y A ⋂⋂,是子空间Y 的闭集.又因B A Y ⋃⊂中,故)()(Y B Y A Y ⋂⋃⋂= ………………… 4分由于Y 是X 的连通子集,则Y B Y A ⋂⋂,中必有一个是空集. 若Φ=⋂Y B ,则A Y ⊂;若Φ=⋂Y A ,则B Y ⊂………………… 8分4、设Y 是拓扑空间X 的一个连通子集,Z X ⊂满足Y Z Y ⊂⊂,则Z 也是X 的一个连通子集. 证明:若Z 是X 的一个不连通子集,则在X 中有非空的隔离子集,A B 使得Z A B =⋃.因此Y A B ⊂⋃ ………………………………… 3分由于Y 是连通的,所以Y A ⊂或者Y B ⊂,如果Y A ⊂,由于Z Y A ⊂⊂,所以Z B A B φ⋂⊂⋂=,因此 B Z B φ=⋂=,同理可证如果Y B ⊂,则A φ=,均与假设矛盾.故Z 也 是X 的一个连通子集. …………………………………………………………………… 8分5、设{}Y γγ∈Γ是拓扑空间X 的连通子集构成的一个子集族.如果Y γγφ∈Γ≠,则Y γγ∈Γ是X 的一个连通子集.证明:若Y γγ∈Γ是X 的一个不连通子集.则X 有非空的隔离子集,A B 使得Y A B γγ∈Γ=⋃………………………………………… 4分任意选取x Y γγ∈Γ∈,不失一般性,设x A ∈,对于每一个γ∈Γ,由于Y γ连通,从而Y Aγγ∈Γ⊂及B φ=,矛盾,所以Y γγ∈Γ是连通的. ………………………………………… 8分6、设A 是拓扑空间X 的一个连通子集,B 是X 的一个既开又闭的集合.证明:如果A B φ⋂≠,则A B ⊂.证明:若B X =,则结论显然成立.下设B X ≠,由于B 是X 的一个既开又闭的集合,从而A B ⋂是X 的子空间A 的一个既开又闭的子集………………………………… 4分由于A B φ⋂≠及A 连通,所以A B A ⋂=,故A B ⊂.………… 8分7、设A 是连通空间X 的非空真子集. 证明:A 的边界()A φ∂≠.证明:若()A φ∂=,由于()A A A --'∂=⋂,从而()()()()A A A A A A A A A A φ------'''''=⋂=⋂⋂⋃=⋂⋃⋂,故, A A '是X 的隔离子集 ………………………………………… 4分 因为A 是X 的非空真子集,所以A 和A '均非空,于是X 不连通,与题设矛盾.所以()A φ∂≠. ……………………………………………… 8分。
拓扑学基础试题及答案

拓扑学基础试题及答案一、选择题(每题2分,共10分)1. 拓扑空间中,以下哪个概念不是基本的?A. 开集B. 闭集C. 连续函数D. 距离函数答案:D2. 以下哪个选项不是拓扑空间的性质?A. 空集和整个空间是开集B. 任意开集的并集是开集C. 有限个开集的交集是开集D. 任意集合的补集是闭集答案:D3. 在拓扑学中,两个拓扑空间之间的映射被称为?A. 同胚B. 连续映射C. 同伦D. 同调答案:B4. 拓扑空间中的邻域系统是指?A. 包含某点的所有开集的集合B. 包含某点的任意集合的集合C. 包含某点的有限个开集的交集D. 包含某点的任意开集答案:A5. 拓扑空间中的连通性是指?A. 空间不能被分割成两个不相交的非空开集B. 空间中的任意两点都可以通过连续路径相连C. 空间中的任意两点都可以通过直线相连D. 空间中的任意两点都可以通过曲线相连答案:A二、填空题(每题3分,共15分)1. 如果拓扑空间中任意两个不同的点都存在不相交的邻域,则称该空间为________。
答案:豪斯多夫空间2. 拓扑空间中的紧致性是指该空间的任意开覆盖都有________。
答案:有限子覆盖3. 拓扑空间中的连通空间是指不能表示为两个不相交的非空开集的并集的空间,这种性质也称为________。
答案:不可分割性4. 拓扑空间中的基是指由开集构成的集合,使得空间中的每一个开集都可以表示为基中集合的________。
答案:并集5. 拓扑空间中的同胚是指两个拓扑空间之间存在一个双射的连续映射,并且其逆映射也是连续的,这种映射也称为________。
答案:同胚映射三、简答题(每题10分,共20分)1. 请简述拓扑空间中闭集的定义。
答案:在拓扑空间中,如果一个集合的补集是开集,则称该集合为闭集。
2. 请解释什么是拓扑空间中的同伦等价。
答案:如果存在两个拓扑空间之间的连续映射,使得这两个映射的复合与各自空间上的恒等映射是同伦的,则称这两个空间是同伦等价的。
上学期拓扑学考试试卷答案(B)

中南大学拓扑学考试试卷参考答案〔B 〕2021--2021学年 二 学期 拓扑学 课程48 学时,3.0学分,闭卷,总分100分,占总评成绩 70 %时间:100分钟, 专业年级:数学与应用数学2021级5分)1、B2、C3、A4、D5、C 二、简答题〔每题4分,共20分〕 1、1 A 空间答案:一个拓扑空间如果在它的每一点处有一个可数邻域基,那么称这个拓扑空间是一个满足第一可数性公理的空间,简称为1 A 空间. 2、0T 空间答案:设X 是一个拓扑空间,如果X 中的任意两个不相同的点中必有一个点有一个开邻域不包含另一点,那么称拓扑空间X 是0T 空间.3、列紧空间答案:设X 是一个拓扑空间. 如果X 的每一个无限子集都有凝聚点,那么称拓扑空间X 是一个列紧空间. 4、同胚映射答案:设X 和Y 是两个拓扑空间.如果:f X Y →是一个一一映射,并且f 和1:f Y X -→ 都是连续映射,那么称f 是一个同胚映射或同胚.5、正那么空间答案:设X 是一个拓扑空间,如果X 中的任何一个点和任何一个不包含这个点的闭集都各自有一个开邻域,它们互不相交,那么称X 是正那么空间.三、判断,并给出理由〔20分,每题5分,判断2分,理由3分〕 1、设1 2,是集合X 的两个拓扑,那么12⋂不一定是集合X 的拓扑( ) 答案:×理由:因为(1)1 2,是X 的拓扑,故 1,X φ∈, 2,X φ∈,从而 12,X φ∈⋂;(2)对任意的 12,A B ∈⋂,那么有 1,A B ∈且 2,A B ∈,由于1 2,是X 的拓扑,故 1A B ⋂∈且 2A B ⋂∈,从而 12A B ⋂∈⋂;(3)对任意的12'⊂⋂,那么 12,''⊂⊂,由于1 2,是X 的拓扑,从而A A '∈∈,A A '∈∈,故A A '∈∈⋂;综上有12⋂也是X 的拓扑.2、从离散空间到拓扑空间的任何映射都是连续映射( )答案:√ 理由:设X 是离散空间,Y 是拓扑空间,:f X Y →是连续映射,因为对任意A Y ⊂,都有1)f A X -⊂(,由于X 中的任何一个子集都是开集,从而1()f A -是X 中的开集,所以:f X Y →是连续的.3、设A 为离散拓扑空间X 的任意子集,那么d A φ= 〔 〕答案:√ 理由:设p 为X 中的任何一点,因为离散空间中每个子集都是开集, 所以{}p 是X 的开子集,且有{}{}()p A p φ-=,即()p d A ∉,从而 ()d A φ=.4、假设拓扑空间X 中存在一个既开又闭的非空真子集,那么X 是一个不连通空间( ) 答案:√ 理由:这是因为假设设A 是X c B A =,那么,A B 都是X 中的非空闭子集,它们满足A B X ⋃=,易见,A B 是隔离子集,所以拓扑空间X 是一个不连通空间.四、证明题〔共40分〕1、设{}i x 是2T 空间X 的一个收敛序列,证明:{}i x 的极限点唯一. (10分) 证明:假设极限点不唯一,不妨设1lim i i x y →∞=,2lim i i x y →∞=,其中12y y ≠,由于X 是2T 空间,故1y 和2y 各自的开邻域,U V ,使得U V φ⋂=.因1lim i i x y →∞=,故存在10N >,使得当1i N >时,i x U ∈;同理存在20N >,使得当2i N >时,i x V ∈12max{,}N N N =,那么当i N >时,i x U V ∈⋂,从而U V φ⋂≠,矛盾,故{}i x 的极限点唯一.2、设(,)X 为拓扑空间,证明X 是1T 空间的充分必要条件是X 的每一独点集都为闭集.(10分)证明:〔必要性〕设x X ∈,{}c y x ∀∈,由(,)X 为1T 空间,故有y 的开领域V ,..s t x V ∉,所以{}c V x ⊂,所以{}c x 为开集,从而{}x 为闭集。
拓扑考试题及答案

拓扑考试题及答案一、选择题(每题5分,共20分)1. 拓扑空间中,以下哪个概念描述的是任意两个点之间都存在连续路径相连?A. 连通性B. 紧致性C. 完备性D. 可分性答案:A2. 在拓扑学中,闭集的定义是什么?A. 包含其所有极限点的集合B. 其补集是开集的集合C. 仅包含其自身点的集合D. 不包含任何极限点的集合答案:B3. 拓扑空间中的紧性与序列紧性之间有何关系?A. 紧性意味着序列紧性B. 序列紧性意味着紧性C. 两者之间没有必然联系D. 紧性等价于序列紧性答案:A4. 以下哪个性质不是拓扑空间的Hausdorff性质?A. 任意两个不同的点,都存在不相交的开集包含它们B. 任意两个不同的点,都存在包含它们的开集C. 任意两个不同的点,都存在不相交的邻域D. 任意两个不同的点,都存在不相交的开集包含它们答案:B二、填空题(每题5分,共20分)1. 拓扑空间中,如果任意两个开集的交集都是开集,则称该拓扑空间满足__________公理。
答案:任意交集2. 拓扑空间中,如果任意有限个开集的并集都是开集,则称该拓扑空间满足__________公理。
答案:有限并集3. 拓扑空间中,如果空集和整个空间都是开集,则称该拓扑空间满足__________公理。
答案:空集和全集4. 在拓扑空间中,如果一个集合的补集是开集,则称该集合为__________。
答案:闭集三、简答题(每题10分,共30分)1. 请简述拓扑空间中连续函数的定义。
答案:拓扑空间中连续函数是指,对于任意一个开集的原像也是开集的函数。
2. 描述拓扑空间中紧致性的定义。
答案:拓扑空间中紧致性的定义是,该空间的每一个开覆盖都有有限子覆盖。
3. 什么是拓扑空间中的分离公理,它有哪些级别?答案:分离公理是拓扑空间中描述点与点之间、点与集合之间、集合与集合之间分离程度的公理。
它包括T0、T1、T2(Hausdorff)、T3、T4(Normal)、T5(完全正则)和T6(完全正规)等级别。
拓扑期末考试题及答案

拓扑期末考试题及答案一、选择题(每题2分,共20分)1. 拓扑空间中的开集具有以下哪些性质?A. 空集和整个空间是开集B. 有限个开集的并集是开集C. 任意个开集的并集是开集D. 所有选项都正确答案:D2. 在度量空间中,若集合A是闭集,则其补集是:A. 闭集B. 开集C. 有限集D. 无限集答案:B3. 以下哪个是连续映射的定义?A. 映射的逆像包含所有开集B. 映射的逆像是闭集C. 映射的逆像包含所有闭集D. 映射的逆像包含所有有限集答案:A4. 拓扑空间中的紧性意味着:A. 空间中任意开覆盖都有有限子覆盖B. 空间中任意闭覆盖都有有限子覆盖C. 空间是有限维的D. 空间是局部紧的答案:A5. 什么是紧空间?A. 空间中任意开覆盖都有有限子覆盖B. 空间中任意闭覆盖都有有限子覆盖C. 空间是有限维的D. 空间是局部紧的答案:A6. 在拓扑空间中,连续函数的原像是:A. 开集B. 闭集C. 紧集D. 可数集答案:B7. 什么是连通空间?A. 空间不能被两个非空开集分开B. 空间中任意两点都可以通过一条连续曲线连接C. 空间中任意两点都可以通过一条直线段连接D. 空间中任意两点都可以通过一条曲线连接答案:A8. 什么是局部连通空间?A. 空间中任意点都有一个邻域,该邻域是连通的B. 空间中任意点都有一个邻域,该邻域是紧的C. 空间中任意点都有一个邻域,该邻域是开的D. 空间中任意点都有一个邻域,该邻域是闭的答案:A9. 什么是分离空间?A. 空间中任意两点都可以通过不同的开集分开B. 空间中任意两点都可以通过相同的开集分开C. 空间中任意两点都可以通过不同的闭集分开D. 空间中任意两点都可以通过相同的闭集分开答案:A10. 什么是完备空间?A. 空间中任意序列都有收敛子序列B. 空间中任意序列都是柯西序列C. 空间中任意开覆盖都有有限子覆盖D. 空间中任意闭覆盖都有有限子覆盖答案:A二、简答题(每题10分,共30分)1. 简述什么是邻域系统,并给出邻域系统的基本性质。
拓扑学期末考试题及答案

拓扑学期末考试题及答案一、选择题(共20题,每题2分,共40分)1. 拓扑学的基本研究对象是:A. 点B. 线C. 面D. 拓扑空间答案:D2. 拓扑学中的同胚关系是指:A. 相似但不完全相同的两个拓扑空间B. 可由连续映射建立起来的两个拓扑空间C. 有相同的拓扑结构的两个拓扑空间D. 具有同样的几何性质的两个拓扑空间答案:C3. 拓扑学中的紧集是指:A. 有界闭合集B. 无限集合C. 有限集合D. 开集答案:A4. 拓扑空间中的度量是用来衡量:A. 点的位置关系B. 集合的大小C. 集合的连接性D. 集合中元素之间的距离答案:D5. 拓扑学中的连通性是指:A. 一个集合内部的连接性B. 一个集合外部的连接性C. 一个集合与其他集合的连接性D. 一个集合内部和外部的连接性答案:A6. 拓扑空间中的完备性是指:A. 所有点都能找到相邻点B. 所有点都能找到非相邻点C. 不存在孤立点D. 所有柯西序列都有极限点答案:D7. 拓扑学中的邻域是指:A. 包含某点的开集B. 包含某点的闭集C. 与某点连通的集合D. 与某点不相交的集合答案:A8. 拓扑学中的连续映射是指:A. 映射后保持拓扑结构不变B. 映射后改变拓扑结构C. 映射前后的关系D. 映射的性质答案:A9. 拓扑学中的嵌入是指:A. 一种映射关系B. 一种集合运算C. 一种连通性D. 一种对应关系答案:A10. 拓扑学中的同伦是指:A. 具有相同基本形状的两个拓扑空间B. 可以通过连续变形相互转换的两个拓扑空间C. 有相同拓扑结构但不是同胚的两个拓扑空间D. 具有完全相同性质的两个拓扑空间答案:B11. 拓扑学中的欧拉示性数是指:A. 拓扑空间内部与外部连接性的关系B. 拓扑空间的维数C. 拓扑空间的曲率D. 拓扑空间的性质答案:A12. 拓扑学中的同调是指:A. 研究拓扑空间对某个场的影响B. 研究拓扑空间的连通性C. 研究拓扑空间的变形性质D. 研究拓扑空间的代数性质答案:D13. 拓扑学中的拓扑原则是:A. 基于几何形状的研究方法B. 基于其他学科的交叉研究方法C. 基于代数方程的研究方法D. 基于集合论的研究方法答案:D14. 拓扑学中的Hausdorff空间是指:A. 没有孤立点的拓扑空间B. 具有一定连通性的拓扑空间C. 任意两点都能分离的拓扑空间D. 具有完备性的拓扑空间答案:C15. 拓扑学中的同调群是指:A. 拓扑空间中某类映射的代数群B. 拓扑空间某类覆盖的代数群C. 拓扑空间中某类空间的代数表示D. 拓扑空间中某类链的代数群答案:A16. 拓扑学中的拓扑分类是指:A. 将拓扑空间按照某个特定的分类标准进行归类B. 利用拓扑变换将拓扑空间分类C. 将拓扑空间按照其代数性质进行分类D. 利用大数定律对拓扑空间进行分类答案:A17. 拓扑学中的拓扑基是指:A. 由拓扑空间的子集生成的拓扑结构B. 由拓扑变换生成的拓扑结构C. 由闭集生成的拓扑结构D. 由开集生成的拓扑结构答案:D18. 拓扑学中的拓扑核是指:A. 一种拓扑映射的特殊性质B. 一种拓扑空间的代数性质C. 一种连通性的性质D. 一种闭集的性质答案:A19. 拓扑学中的四色定理是指:A. 任何地图都可以用四种颜色进行染色B. 任何地图都可以用四种颜色进行染色,但可能会有重叠部分C. 任何地图都可以用四种颜色进行染色,且相邻区域颜色不同D. 任何地图都可以用四种颜色进行染色,且相邻区域颜色不同且不重叠答案:D20. 拓扑学在实际应用中的一个重要领域是:A. 计算机科学B. 物理学C. 生物学D. 全部都是答案:D二、填空题(共10题,每题2分,共20分)1. 拓扑学最早由________ 提出。
拓朴学基础试题

拓朴学基础试题(总4页)--本页仅作为文档封面,使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--四川理工学院宜宾教学点 《拓朴学》考试A 卷(满分:100分 考试时间:120分钟)学号 姓名 专业 工作单位一、单项选择题(本题共5个小题,每小题2分,共10分)1、设{,,}X a b c =,那么( )是X 的一个拓扑.A.{,,{},{}}X a b φB.{,,{},{}}X a c φC.{,}X φD.{,,{,},{,}}X a b a c φ 2、下列实数空间中的区间同胚的一组是 ( )A.[,]a b ,(,]a bB.(,),(0,1)-∞+∞C.(,)a b ,[,]a bD.(,),(,]a b a b 3、下列说法正确的是 ( ) A.Lindeloff 空间一定是2A 空间 B.度量空间一定是2A 空间 C.可分空间一定是2A 空间 D.2A 空间一定是可分空间 4、在拓扑空间(,)X τ中,A X ⊂,若( ),则称x 是集合A 的一个边界点. A.对于x 的任何一个邻域U ,既有U A φ≠,又有UA φ'≠;B.x 有一个邻域U ,使得U A φ≠,而U A φ'=;C.x 有一个邻域U ,既有UA φ≠,又有UA φ'≠;D.对于x 的任何一个邻域U ,使得U A φ≠,而UA φ'=. 5、( )不一定是隔离的.A.离散空间中任何两个无交的子集B.两个不同的连通分支C.两个无交的闭子集D.两个无交的开子集二、填空题(本题共10个小题,每小题2分,共20分)1、设X 为由n 个互不相同的元素构成的集合,X 的幂集()X P 中有( )个 互不相同的元素.2、设X 和Y 是两个集合,:f X Y →,则对于任意B Y ⊂,B ( )1(())f f B -.3、如果存在一个从集合X 到正整数集+的( ),则称集合X 是一个可数集.4、拓扑学的中心任务便是研究( )性质.5、拓扑空间中的每一个开集都能表为( )中若干成员之并.6、如果拓扑空间X 是一个道路连通空间,则X 必然是一个( ).7、拓扑空间X 是一个( )空间当且仅当X 中任意两个不同的单点集有不同 的闭包.8、设X 是一个拓扑空间,如果X 的每一个开覆盖有一个有限子覆盖,则称X 是一个( )空间.9、Hausdorff 空间中的任何一个收敛序列只有一个( ). ( )是一个满的连续开映射.三、简述题(本题共4个小题,每个小题5分,共20分)2、简述拓朴学中的介值定理与不动点定理。
拓扑学基础试卷1

拓扑学基础试卷1拓扑学基础(数学教育本科)试卷一、单项选择题(每小题2分,共20分)1、设X 是拓扑空间,A 、B ?X ,则下列等式成立的是A 、)()()(B A d B d A d = B、)())((A d A d d = C、B A B A = D、B A BA =2、设R是实数空间,A=(0,1)是开区间,则A 、]1,0[=AB 、)1,0(=AC 、)1,0[=AD 、]1,0(=A3、如果拓扑空间X 中每一个单点集都是闭集,那么A 、X 是T 0空间,非T 1空间B 、X 是T 1空间C 、X 是正则空间D 、X 是正规空间4、下列哪个条件成立时,拓扑空间X 是连通空间A 、X 中不存在两个非空的开子集A 、B ,使得:φ=B A ,且X B A = 成立B 、X 中存在两个非空的闭子集A 、B ,使得:φ=B A 且X B A = 成立C 、X 中存在着一个既开又闭的非空真子集D 、存在X 的子集A 、B ,使得X=B A5、设R 是实数空间,X 是含多于一点的离散空间,则A 、R 是道路连通空间B 、X 是道路连通空间C 、R 是不连通空间D 、X 是连通空间6、下列拓扑空间中,哪个空间不是可分空间A 、实数空间B 、平庸空间C 、包含着不可数多个点的离散空间D 、满足第二可数性公理的空间7、下列有关满足诸分离性公理的拓扑空间类之间的蕴含关系中,能成立的是A 、正规?正则B 、正则?正规C 、正则?T 2D 、完全正则?正则8、下列拓扑性质中,哪一个是可遗传性质A 、第一可数性B 、连通性C 、紧致性D 、可分性9、关于几种紧致性,下列蕴含关系哪一个成立A 、可数紧致?紧致B 、紧致?可数紧致C 、列紧?紧致D 、局部紧致?紧致10、下列命题错误的是A 、A 是闭集?A A =B 、A 是闭集A A d ??)(C 、A 是闭集?A '是开集D 、A 是闭集?A A =二、填空题(每空2分,共20分)11、集合X 是一个可数集当且仅当存在从正整数集Z +到集合X 的一个。
《拓朴学》题库及答案

《拓扑学》题库及答案一、单项选择1.关于笛卡儿积,下面等式成立的是(A ))()()()(D B C A D C B A ⨯-⨯=-⨯- (B ))()()()(D C B A D B C A I I I ⨯=⨯⨯ (C ))()()()(D B C A D C B A ⨯⨯=⨯Y Y Y (D )D B C A ⨯⊆⨯当且仅当D C B A ⊆⊆,2.设Y X f →:是映射,)(,,X B A P ∈,)(,Y D C P ∈,则下面结论不成立的是: (A ))()()(111D f C f D C f ---=Y Y (B ))()()(111D f C f D C f---=I I(C ))()()(B f A f B A f Y Y = (D ))()()(B f A f B A f I I =3.在字典序拓扑空间++⨯Z Z 中,子集+⨯Z }2{是:(A )开集,非闭集 (B )闭集,非开集 (C )即开,且闭集 (D )即非开集,也非闭集4.设R R →2:d 为映射,(R 表示实数集合),R ∈∀y x ,,下面关于d 的定义中是R 的度量的是:(A )2(,)()d x y x y '=- (B )22),(y x y x d -=(C )||||),(y x y x d += (D )⎩⎨⎧=≠=yx yx y x d 01),(5.设)T ,(X 是平庸拓扑空间,b a X b a ≠∈,,,则交错序列Λb a b a ,,,在拓扑空间)T ,(X 中的收敛点集合是: (A )∅ (B )}{a (C )},{b a (D )X6.设}},{},{,,{},3,2,1{},,,{1b a a X Y c b a X ∅===T ,}}2{},3,2{},2,1{,,{2Y ∅=T ,}{b A =,}1{=B ,则在积空间Y X ⨯中B A ⨯等于(A ))}1,{(b (B ))}1,(),1,{(c b(C ))}2,(),1,{(b b (D ))}2,(),1,(),2,(),1,{(c c b b7.设},,,{d c b a X =,{,,{,,},{,,},{,}}x a b c b c d b c =∅T ,},,{d c a Y =,},{c a A =,则在子空间Y 中A 的内部等于:(A )∅ (B )}{a (C )}{c (D )},{c a8.拓扑空间的Lindel öff 性,可分性,紧致性,完全正则性中是有限可积性质的有: (A )1个 (B )2个 (C )3个 (D )4个 9.下列拓扑空间的蕴涵关系中,成立的有完全正则空间⇒正则空间,完全正则空间⇒正规空间,连通空间⇒局部连通空间, 度量空间⇒可分空间,度量空间⇒Lindel öff 空间(A )1个 (B )2个 (C )3个 (D )4个10.拓扑空间的可分性,紧致性,Lindel öff 性,连通性中在连续射下保持不变的性质有: (A )1个 (B )2个 (C )3个 (D )4个 11.设X X R ⨯⊆是一个等价关系,则R 不满足的条件是(A )R X ⊆∆)( (B )R ∩R -1=∅ (C )R R R ⊆ο (D )1-=R R12.设Y X f →:是映射,)(}|{X J A P ⊆∈αα,)(}|{Y r B r P ⊆Γ∈则下面等式中不成立的是 (A ))()(ααααA f A f JJ∈∈=Y Y (B ))()(ααααA f A f JJ∈∈=II(C ))()(11r r r r B f B f-Γ∈Γ∈-=Y Y (D ))()(11r r r r B f B f -Γ∈Γ∈-I I13.在字典序拓扑空间++⨯Z Z 中,子集+⨯Z }1{是:(A )开集,非闭集 (B )闭集,非开集 (C )即开,且闭集 (D )即非开集,亦非闭集14.设},,{c b a X =,}},{},{,,{b a a X ∅=T ,则在拓扑空间)T ,(X 中常值序列Λ,,a a 的 收敛点集合是 (A )}{a (B )},{c a (C )},{b a (D ) X15.设},,{c b a X =,}3,2,1{=Y ,}{},{},{,,{c b a X ∅=1T ,}}3,2{},2{},2,1{,,{Y ∅=2T ,}2,1{},,{==B b a A ,则在积空间Y X ⨯中,0)(B A ⨯等于:(A )∅ (B )}{)2,(),1,(a a (C )}{)2,(),1,(b b (D )}{)2,(),1,(),2,(),1,(b b a a16.设},,,{d c b a X =,}},{},,,{},,,{,,{d c d c a d c b X ∅=T ,}{},,,{c A d c a Y ==,则在子空间Y 中,A 的闭包等于(A )}{c (B )},{a c (C )},{b c (D )},,{c d a17.设)T ,(X 是拓扑空间,)T ,(X 是可度量空间是指存在X 的度量R →2:X d 使得由d 诱导的拓扑d T 满足: (A)T T ⊆d (B)d T T ⊆ (C)d T T = (D))(X P T d = 18.拓扑空间的可分性,Lindel öff 性, 正规性、完全正则性中是遗传性质的有 (A )1个 (B) 2个 (C) 3个 (D) 4个 19.下列拓扑空间的蕴涵关系中成立的有满足第二可数理空间⇒可分空间 度量空间⇒Lindel öff 空间 正规空间⇒完全正则空间 度量空间⇒满足第一可数公理空间 正规空间⇒正则空间 完全正则空间⇒正则空间 (A )1个 (B )2个 (C )3个 (D )4个20.设),(T X 是拓扑空间,则对X 中任意两个不相交闭集B A ,存在连续映射]1,0[:→X f 使得}0{)(⊆A f ,}1{)(⊆B f 当且仅当),(T X 是:(A )正则空间 (B )完全正则空间 (C )正规空间 (D )4T 空间 21.设X 是全集,,()A B X ∈P ,A B ⊆则当且仅当(A )∅='B A I (B )∅='B A I (C )A B A =Y (D )B B A =I 22.设Y X f →:是映射,,()A B y ∈P ,则下面结论不成立的是(A ))()()(111B f A f B A f ---=Y Y (B )111()()()f A B f A f B ---=I I (C ))()()(111B f A fB A f----=- (D )()B B f f =-)(123.在字典序拓扑空间+⨯Z }2,1{中,子集+⨯Z }2{是(A )开集,非闭集 (B )闭集,非开集 (C )即开,且闭集 (D )即非开集,亦非闭集 24.定义度量R R R →⨯22:d ,),(21x x x =∀,221),(R ∈=y y y ,}{|||,|m ax ),(2211y x y x y x d --=,则度量空间(d ,2R )中的单位球是(A (B )(C (D )25.设)T ,(X 是离散拓扑空间,b a X b a ≠∈,,, 则在)T ,(X 中交错序列Λb a b a ,,,的收敛点集合是 (A )∅ (B) }{a (C) },{b a (D)X26.设},,,,{d c b a X =}},{},,,{},,,{,,{c b d c b c b a X T ∅=,},,{c b a Y =,}{b A =,则在子空间Y 中A 的闭包等于(A )}{b (B )},{b a (C )},{c b (D )},,{c b a27.设}3,2,1{},,,{==Y c b a X ,}{,,{,},{},{,}X a b b b c =∅1T ,}{}2,1{},1{,,2Y ∅=T ,},{c b A =,}3,1{=B 则在积空间Y X ⨯中()o A B ⨯等于(A )∅ (B )}{)2,(),1,(b b (C )}{)1,(),1,(c b (D )}{(,1),(,2),(,1),(,2)b b c c28.拓扑空间的连通性、紧致性、可分性、完全正则性,Lindel öff 性,满足第二可数公理性中是可遗传性质的有(A )1个 (B )2个 (C )3个 (D )4个 29.下列拓扑空间之间的蕴涵关系中成立的有:满足第二可数合理空间⇒可分空间, 度量空间⇒满足第一可数公理空间 完全正则空间⇒正则空间, 紧致空间⇒Lindel öff 空间 (A )1个 (B )2个 (C )3个 (D )4个}0{)(⊆A f ,}1{)(⊆B f 当且仅当),(T X 是:(A )正则空间 (B )完全正则空间 (C )正规空间 (D )4T 空间 31.设f Y X f ,⨯⊆是映射,则f 满足的条件是 (A )X Y f =-)(1;如果f y x y x ∈),(),,(21,则21y y =(B )X Y f=-)(1;如果f y x y x ∈),(),,(21,则21x x =(C )Y X f =)(;如果f y x y x ∈),(),,(21,则21y y = (D )Y X f =)(;如果f y x y x ∈),(),,(21,则21x x =32.设,,(),,(),R X Y A B Y C D X ⊆⨯∈∈P P 则下面等式成立的是 (A ))()()(111B R A R B A R---=Y Y (B ))()()(111B R A R B A R ---=I I(C ))()()(D R C R D C R I I = (D ))()()(D R C R D C R -=- 33.在字典序拓扑空间+⨯Z }2,1{中,子集+⨯Z }2{是(A )开集,非闭集 (B )闭集,非开集 (C )即开,且闭集 (D )即非开集,亦非闭集 34.设),(d X 是度量空间,d T 是X 的由d 诱导的拓扑,dU ∈T ,则下列关于U 的结论不正确的是(A )存在0,>∈εX x 使得),(εx B U =(B )+∈∃∈∀Z n U x ,使得U nx B ⊆)1,((C )0,>∃∈∀εU x 使得U x B ⊆),(ε(D )存在}0,|),({>∈⊆εεX x x B U B 使得U U =U B35.设},,,{c b a X =}{},{},{,,{b a a X ∅=T ,则在拓扑空间),(T X 中常值序列,,,a a a …的收敛点集合是 (A )}{a (B )},{c a (C )},{b a (D )X36.设},,,{c b a X =}},{},,,{},,,{,,{c b d c b c b a X ∅=T ,},,,{d c a Y =},{c a A =,则在子空间Y 中A 的内部是(A )∅ (B )}{a (C )}{c (D )},{c a37.设},,,{c b a X =},3,2,1{=Y }},{},{,,{b a a X ∅=1T ,}}3,2{},2{},2,1{,,{2Y ∅=T ,}1{},{==B b A ,则在积空间Y X ⨯中,B A ⨯等于(A ))}1,{(b (B ))}1,(),1,{(c b(C ))}2,(),1,{(b b (D ))}2,(),1,(),2,(),1,{(c c b b38.拓扑空间的可分性,Lindel öff 性,紧致性,正规性,连通性中是有限可积的性质有: (A )1个 (B )2个 (C )3个 (D )4个 39.下列拓扑空间之间的蕴涵关系中成立的有正规空间⇒正则空间 完全正则空间⇒正则空间 局部连通空间⇒连通空间 满足第二可数公理空间⇒可分空间 度量空间⇒满足第一可数公理空间 度量空间⇒可分空间}1{)(,0)(⊆=A f x f 当且仅当),(T X 是(A )1T 空间 (B )正规空间 (C )完全正则空间 (D )4T 空间二.证明题1.设Y X ,是两个拓扑空间,Y X f →:是映射,证明若f 是连续映射,则)(Y B Ρ∈∀,11()(())o o fB f B --⊆。
《拓扑学》课程考试试题

《拓扑学》课程考试试题学年第学期班级
时量:100分钟总分100分考试形式开卷一、判断题:(每
题3分,共30分)
1.两个连通子集的并仍是连通子集.().包含不可数多个点的离散空间是4空间.()
2.乂为42空间,那么X必为可分空间.().每一个满足第二可数性公理的正那么空间都是完
全正那么的.()
3. 7;空间的收敛序列有惟一的极限.(). R中的开区间是实数集合的开集.()
4.紧致的右空间是正规空间.().拓扑空间中的子集不是开集就是闭集.()
5.紧致空间中,任一子集均有凝聚点.(). X'X2均为Lindeldf空间,A x人分别为X1,X2中的闭子集,那么A x &也是LindelGf
的()二、填空题(每题5分,共10分)
1.当X为时,X的子集A的凝聚点的每一个邻域中都含有无穷多个点.
2.当X为且为正那么时X为正规的.
三、证明题(每题12分,共60分).证明:拓扑空间的可分性是开遗传的.
空间中任一个连通子集如果包含着多于一个的点,那么它一定是一个不可数集.
1. 1
4
3•设X是一个正那么空间,A是X的一个紧致子集,丫 UX,证明:如果Az)Y =)工,那么丫是
一个紧致子集.
4.假设X为紧致的T2空间,那么X可度量当且仅当X是4空间.
5.假设X是拓扑空间,Y是连通空间,映射f: X-Y是开且闭映射,那么映射f是满射.。
最新上学期拓扑学考试试卷答案(B)资料

中南大学拓扑学考试试卷参考答案(B )2009--2010学年 二 学期 拓扑学 课程48 学时,3.0学分,闭卷,总分100分,占总评成绩 70 %时间:100分钟, 专业年级:数学与应用数学2008级一、选择题 (将正确答案填入题后的括号内 ,每题3分,共15分) 1、B 2、C 3、A 4、D 5、C 二、简答题(每题4分,共20分) 1、1 A 空间答案:一个拓扑空间如果在它的每一点处有一个可数邻域基,则称这个拓扑空间是一个满足第一可数性公理的空间,简称为1 A 空间. 2、0T 空间答案:设X 是一个拓扑空间,如果X 中的任意两个不相同的点中必有一个点有一个开邻域不包含另一点,则称拓扑空间X 是0T 空间.3、列紧空间答案:设X 是一个拓扑空间. 如果X 的每一个无限子集都有凝聚点,则称拓扑空间X 是一个列紧空间. 4、同胚映射答案:设X 和Y 是两个拓扑空间.如果:f X Y →是一个一一映射,并且f 和1:f Y X -→ 都是连续映射,则称f 是一个同胚映射或同胚.5、正则空间答案:设X 是一个拓扑空间,如果X 中的任何一个点和任何一个不包含这个点的闭集都各自有一个开邻域,它们互不相交,则称X 是正则空间.三、判断,并给出理由(20分,每题5分,判断2分,理由3分)1、设 1 2,T T 是集合X 的两个拓扑,则 1 2⋂T T 不一定是集合X 的拓扑( ) 答案:×理由:因为(1) 1 2,T T 是X 的拓扑,故 1,X φ∈T , 2,X φ∈T ,从而1 2,X φ∈⋂T T ;(2)对任意的 1 2,A B ∈⋂T T ,则有 1,A B ∈T 且 2,A B ∈T ,由于 1 2,T T是X 的拓扑,故 1A B ⋂∈T 且 2A B ⋂∈T ,从而 1 2A B ⋂∈⋂T T ;(3)对任意的 1 2'⊂⋂T T T ,则 1 2,''⊂⊂T T T T ,由于 1 2,T T 是X 的拓扑,从而A A '∈∈U T 1T , A A '∈∈U T 2T ,故A A '∈∈⋂U T 12T T ;综上有 1 2⋂T T 也是X 的拓扑.2、从离散空间到拓扑空间的任何映射都是连续映射( )答案:√ 理由:设X 是离散空间,Y 是拓扑空间,:f X Y →是连续映射,因为对任意A Y ⊂,都有1)f A X -⊂(,由于X 中的任何一个子集都是开集,从而1()f A -是X 中的开集,所以:f X Y →是连续的.3、设A 为离散拓扑空间X 的任意子集,则d A φ= ( )答案:√ 理由:设p 为X 中的任何一点,因为离散空间中每个子集都是开集, 所以{}p 是X 的开子集,且有{}{}()p A p φ-=,即()p d A ∉,从而 ()d A φ=.4、若拓扑空间X 中存在一个既开又闭的非空真子集,则X 是一个不连通空间( )答案:√ 理由:这是因为若设A 是X 中的一个既开又闭的非空真子集,令c B A =,则,A B 都是X 中的非空闭子集,它们满足A B X ⋃=,易见,A B 是隔离子集,所以拓扑空间X 是一个不连通空间. 四、证明题(共40分)1、设{}i x 是2T 空间X 的一个收敛序列,证明:{}i x 的极限点唯一. (10分) 证明:若极限点不唯一,不妨设1lim i i x y →∞=,2lim i i x y →∞=,其中12y y ≠,由于X 是2T 空间,故1y 和2y 各自的开邻域,U V ,使得U V φ⋂=.因1lim i i x y →∞=,故存在10N >,使得当1i N >时,i x U ∈;同理存在20N >,使得当2i N >时,i x V ∈.令12max{,}N N N =,则当i N >时,i x U V ∈⋂,从而U V φ⋂≠,矛盾,故{}i x 的极限点唯一.2、设(,)X T 为拓扑空间,证明X 是1T 空间的充分必要条件是X 的每一独点集都为闭集.(10分)证明:(必要性)设x X ∈,{}c y x ∀∈,由(,)X T 为1T 空间,故有y 的开领域V ,..s t x V ∉,所以{}c V x ⊂,所以{}c x 为开集,从而{}x 为闭集。
拓扑考试题及答案

拓扑考试题及答案一、选择题(每题3分,共15分)1. 在拓扑空间中,若集合A的闭包包含集合B,则以下哪个选项是正确的?A. A⊆BB. B⊆AC. A∪B=AD. A∩B=B答案:D2. 拓扑空间X中的点x,若对于任意包含x的开集U,都存在一个包含x的开集V⊆U,则称x为X的内点。
以下哪个选项是错误的?A. 每个点都是其闭包的内点B. 每个点都是其自身的内点C. 每个开集的点都是内点D. 每个闭集的点都是边界点答案:D3. 在度量空间中,若集合A是开集,则A的补集一定是闭集。
这个说法是:A. 总是正确的B. 有时正确C. 从不正确的D. 无法确定答案:C4. 拓扑空间X中的集合A是紧致的,当且仅当A的每一个开覆盖都有有限子覆盖。
以下哪个选项与这个定义无关?A. 开覆盖B. 有限子覆盖C. 集合A的闭包D. 集合A的内部答案:C5. 以下哪个选项不是连续映射的性质?A. 连续映射的复合是连续的B. 连续映射的逆映射是连续的C. 连续映射下开集的像是开集D. 连续映射下闭集的像是闭集答案:B二、填空题(每题4分,共20分)6. 拓扑空间中,集合A的边界定义为闭包A与闭包(X-A)的交集,即∂A=________。
答案:\(\overline{A} \cap \overline{X-A}\)7. 在度量空间中,若集合A是完备的,则A中的每一个柯西序列都收敛于A中的某一点。
柯西序列是指对于任意的ε>0,存在正整数N,使得对于所有m,n>N,都有d(x_m, x_n)<ε。
这里的d(x_m, x_n)表示________。
答案:\(x_m\)和\(x_n\)之间的距离8. 拓扑空间X中的集合A是连通的,当且仅当A中不存在两个非空的不相交开集U和V,使得A⊆U∪V且A∩U和A∩V都非空。
这个性质也被称为________。
答案:连通性9. 拓扑空间X中的点x是A的极限点,如果x的每一个邻域都至少包含一个不同于x的A中的点。
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大学拓扑学考试试卷参考答案(A )
一、选择题 (将正确答案填入题后的括号内 ,每题3分,共15分) 1、1、已知{,,,,}X a b c d e =,下列集族中,( )是X 上的拓扑.
A. {,,{},{,},{,,}}X a a b a c e φ=T
B. {,,{,,},{,,},{,,,}}X a b c a b d a b c e φ=T
C. {,,{},{,}}X a a b φ=T
D. {,,{},{},{},{},{}}X a b c d e φ=T
2、设{,,,}X a b c d =,拓扑{,,{},{,,}}X a b c d φ=T ,则X 的既开又闭的非空真子集的个数为( )
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
3、在实数空间中,整数集Z 的内部Z o 是( )
A. φ
B. Z
C. R -Z
D. R
4、已知X 是一个平庸拓扑空间,A 是X 的子集,则下列结论中正确的是( )
A. 若A φ=,则d A φ=
B. 若0{}A x =,则d A X =
C. 若A={12,x x },则d A X A =-
D. 若12{,}A x x =,则d A A =
5、平庸空间的任一非空真子集为( )
A. 开集
B. 闭集
C. 既开又闭
D. 非开非闭
二、简答题(每题3分,共15分)
1、2 A 空间
2、1T 空间:
3、不连通空间
4、序列紧致空间
5、正规空间
三、判断,并给出理由(20分,每题5分,判断2分,理由3分)
1、从拓扑空间X 到平庸空间Y 的任何映射都是连续映射( )
2、设拓扑空间X 满足第二可数性公理,则X 满足第一可数性公理( )
3、设A 为平庸空间X (X 多于一点)的一个单点集,则d A φ=( )
4、Hausdorff 空间中的每一个紧致子集都是闭集 ( )
四、证明题(共50分)
1、设,,X Y Z 都是拓扑空间.:f X Y →, :g Y Z →都是连续映射,试证明:g f X Z →o 也是连续映射。
(10分)
2、设:f X Y →是从连通空间X 到拓扑空间Y 的一个连续映射.则()f X 是Y 的一个连通子集. (10分)
3、设X 是Hausdorff 空间,:f X X →是连续映射.证明{|()}A x X f x x =∈=是X 的闭子集. (10分)
4、设X 为非空集合,令
{}{}|,C A A X C ==-⋃∅余可数其中为至多可数集T
试证:(1) (),X 余可数T 是一个拓扑空间;(5分)
(2) 若X 不可数,(),X 余可数T 是连通空间;(5分)
(3) ()X,余可数T 为1T 但非2T 空间;(5分)
(4) (),X 余可数T 是Lindelӧff 空间(提示:
即证X 的任一个开覆盖有至多可数覆盖)。
(5分)
大学拓扑学考试试卷参考答案(A)
注:此页不作答题纸,请将答案写在答题纸上
一、选择题(将正确答案填入题后的括号内,每题3分,共15分)
1、C
2、B
3、A
4、A
5、D
二、简答题(每题3分,共15分)
1、2A空间
答案:一个拓扑空间如果有一个可数基,则称这个拓扑空间是一个满足第二
A空间.
可数性公理的空间,简称为
2
T空间:
2、
1
答案:设X是一个拓扑空间,如果X中的任意两个不相同的点中每一个点都
T空间.
有一个开邻域不包含另一点,则称拓扑空间X是
1
3、不连通空间
答案:设X是一个拓扑空间,如果X中有两个非空的隔离子集,A B,使得⋃=,则称X是一个不连通空间.
A B X
4、序列紧致空间
答案:设X是一个拓扑空间. 如果X中的每一个序列都有一个收敛的子序列,则称拓扑空间X是一个序列紧致空间.
5、正规空间:
答案:设X是一个拓扑空间,如果X中的任何两个无交的闭集都各自有一个开邻域,它们互不相交,则称X是正规空间.
三、判断,并给出理由(20分,每题5分,判断2分,理由3分)
1、从拓扑空间X 到平庸空间Y 的任何映射都是连续映射( ) 答案:√
理由:设:f X Y →是任一满足条件的映射,由于Y 是平庸空间,它中的开集只有,Y φ,易知它们在f 下的原象分别是,X φ,均为X 中的开集,从而:f X Y →连续.
2、设拓扑空间X 满足第二可数性公理,则X 满足第一可数性公理( ) 答案:√
理由:设拓扑空间X 满足第二可数性公理,B 是它的一个可数基,对于每一个x X ∈,易知{} B B|x B x B =∈∈是点x 处的一个邻域基,它是B 的一个子族所以是可数族,从而X 在点x 处有可数邻域基,故X 满 足第一可数性公理.
3、设A 为平庸空间X (X 多于一点)的一个单点集,则d A φ= ( ) 答案:×
理由:设{}A y =,则对于任意,x X x y ∈≠,x 有唯一的一个邻域X ,且有()y X A x ∈⋂-,从而()X A x φ⋂-≠,因此x 是A 的一个凝聚点,但对于y 的唯一的邻域X ,有()X A y φ⋂-=,所以有d A X A φ=-≠.
4、Hausdorff 空间中的每一个紧致子集都是闭集.( )
答案:√
理由:设A 是Hausdorff 空间X 的一个紧致子集,则对于任何x X ∈,若x A ∉,则易知x 不是A 的凝聚点,因此A A =,从而A 是一个闭集.
四、证明题(共50分)
1、 证:设W 是Z 的任意一个开集,由于:g Y Z →是一个连续映射,从而1()g W -是Y 的一个开集,由:f X Y →是连续映射,故11(())f g W --是X 的一开集,因
此 111()()(())g f W f g W ---=o 是X 的开集,所以:g f X Z →o 是连续映射.
2、证明:如果()f X 是Y 的一个不连通子集,则存在Y 的非空隔离子集,A B 使得
()f X A B =⋃,于是11(),()f A f B --是X 的非空子集,并且:
111111111(()())(()())(()())(()())(()())f A f B f B f A f A f B f B f A f A B A B φ
---------⋂⋃⋂⊂⋂⋃⋂=⋂⋃⋂= 所以11(),()f A f B --是X 的非空隔离子集 此外,1111()()()(())f A f B f A B f f X X ----⋃=⋃==,这说明X 不连通,矛盾.从而()f X 是Y 的一个连通子集.
3、 证明:对于c x A ∀∈,则()f x x ≠,从而(),f x x 有互不相交的开邻域U 和V ,
设1()W f U V -=⋂,则W 是x 的开邻域,且c x W A ∈⊂,故c A 是开集,从而A 是闭集.
4、证明:(1)
()()()()()()()00121212121122121212120
1.
212,,3,,,X X A A A A A A A A A X C A X C C C de Morgan A A X C X C X C C A A X C C αααααα∅∈=-∅∈∈=∅=∅⋂=∅∈≠∅≠∅=-=--⋂=-⋂-=-⋃∈∈∀∈Γ=-⋃余可数余可数余可数余可数余可数余可数余可数由的定义,.此外,设,,或,则,,则其中,为至多可数集.根据公式,有
设不失一般性,令
其中为至多可数集,则T T
T T T T T ()()()()000123A X C X C X ααααα∈Γ∈Γ∈Γ=⋃-=-⋂∈余可数
余可数由可知,为上的一个拓扑。
T T (2) 注意()()()1212X C X C X C C -⋂-=-⋃≠∅;
(3) 对任意,,p q X p q ∈≠,则{}X p U q =-与{}q U X p =-分别为p 与q 的开邻域,
且p q U ∉,q p U ∉,因此,(),X 余可数T 为1T 空间。
设p U 为p 的任何开邻域,q U 为q 的任何开邻域,则12X ,p q U C U X C =-=-,其中1C ,2C 均为X 的至多可数子集,并且()()1212p q U U X C X C X C C =--=-≠∅I I U 所以,(),X 余可数T 非2T 空间。
(4) 设A 是X 的任一个开覆盖,任取0A ∈A ,0A ≠∅,则0A X C =-(C 为X 的至多可数集), 记1{,...,,...}n C c c =,因A 是X 的开覆盖,故,i A ∃∈A ..s t ,i i c A ∈i N ∈于是,1{|0,1,...,,...}i A i n ==A A 是X 的至多可数开覆盖,从而(),X 余可数T 是Lindelӧff 空间.。