上学期拓扑学考试试卷及答案
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大学拓扑学考试试卷参考答案(A )
一、选择题 (将正确答案填入题后的括号内 ,每题3分,共15分) 1、1、已知{,,,,}X a b c d e =,下列集族中,( )是X 上的拓扑.
A. {,,{},{,},{,,}}X a a b a c e φ=T
B. {,,{,,},{,,},{,,,}}X a b c a b d a b c e φ=T
C. {,,{},{,}}X a a b φ=T
D. {,,{},{},{},{},{}}X a b c d e φ=T
2、设{,,,}X a b c d =,拓扑{,,{},{,,}}X a b c d φ=T ,则X 的既开又闭的非空真子集的个数为( )
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
3、在实数空间中,整数集Z 的内部Z o 是( )
A. φ
B. Z
C. R -Z
D. R
4、已知X 是一个平庸拓扑空间,A 是X 的子集,则下列结论中正确的是( )
A. 若A φ=,则d A φ=
B. 若0{}A x =,则d A X =
C. 若A={12,x x },则d A X A =-
D. 若12{,}A x x =,则d A A =
5、平庸空间的任一非空真子集为( )
A. 开集
B. 闭集
C. 既开又闭
D. 非开非闭
二、简答题(每题3分,共15分)
1、2 A 空间
2、1T 空间:
3、不连通空间
4、序列紧致空间
5、正规空间
三、判断,并给出理由(20分,每题5分,判断2分,理由3分)
1、从拓扑空间X 到平庸空间Y 的任何映射都是连续映射( )
2、设拓扑空间X 满足第二可数性公理,则X 满足第一可数性公理( )
3、设A 为平庸空间X (X 多于一点)的一个单点集,则d A φ=( )
4、Hausdorff 空间中的每一个紧致子集都是闭集 ( )
四、证明题(共50分)
1、设,,X Y Z 都是拓扑空间.:f X Y →, :g Y Z →都是连续映射,试证明:g f X Z →o 也是连续映射。(10分)
2、设:f X Y →是从连通空间X 到拓扑空间Y 的一个连续映射.则()f X 是Y 的一个连通子集. (10分)
3、设X 是Hausdorff 空间,:f X X →是连续映射.证明{|()}A x X f x x =∈=是X 的闭子集. (10分)
4、设X 为非空集合,令
{}{}|,C A A X C ==-⋃∅余可数其中为至多可数集T
试证:(1) (),X 余可数T 是一个拓扑空间;(5分)
(2) 若X 不可数,(),X 余可数T 是连通空间;(5分)
(3) ()X,余可数T 为1T 但非2T 空间;(5分)
(4) (),X 余可数T 是Lindelӧff 空间(提示:
即证X 的任一个开覆盖有至多可数覆盖)。(5分)
大学拓扑学考试试卷参考答案(A)
注:此页不作答题纸,请将答案写在答题纸上
一、选择题(将正确答案填入题后的括号内,每题3分,共15分)
1、C
2、B
3、A
4、A
5、D
二、简答题(每题3分,共15分)
1、2A空间
答案:一个拓扑空间如果有一个可数基,则称这个拓扑空间是一个满足第二
A空间.
可数性公理的空间,简称为
2
T空间:
2、
1
答案:设X是一个拓扑空间,如果X中的任意两个不相同的点中每一个点都
T空间.
有一个开邻域不包含另一点,则称拓扑空间X是
1
3、不连通空间
答案:设X是一个拓扑空间,如果X中有两个非空的隔离子集,A B,使得⋃=,则称X是一个不连通空间.
A B X
4、序列紧致空间
答案:设X是一个拓扑空间. 如果X中的每一个序列都有一个收敛的子序列,则称拓扑空间X是一个序列紧致空间.
5、正规空间:
答案:设X是一个拓扑空间,如果X中的任何两个无交的闭集都各自有一个开邻域,它们互不相交,则称X是正规空间.
三、判断,并给出理由(20分,每题5分,判断2分,理由3分)
1、从拓扑空间X 到平庸空间Y 的任何映射都是连续映射( ) 答案:√
理由:设:f X Y →是任一满足条件的映射,由于Y 是平庸空间,它中的开集只有,Y φ,易知它们在f 下的原象分别是,X φ,均为X 中的开集,从而:f X Y →连续.
2、设拓扑空间X 满足第二可数性公理,则X 满足第一可数性公理( ) 答案:√
理由:设拓扑空间X 满足第二可数性公理,B 是它的一个可数基,对于每一个x X ∈,易知{} B B|x B x B =∈∈是点x 处的一个邻域基,它是B 的一个子族所以是可数族,从而X 在点x 处有可数邻域基,故X 满 足第一可数性公理.
3、设A 为平庸空间X (X 多于一点)的一个单点集,则d A φ= ( ) 答案:×
理由:设{}A y =,则对于任意,x X x y ∈≠,x 有唯一的一个邻域X ,且有()y X A x ∈⋂-,从而()X A x φ⋂-≠,因此x 是A 的一个凝聚点,但对于y 的唯一的邻域X ,有()X A y φ⋂-=,所以有d A X A φ=-≠.
4、Hausdorff 空间中的每一个紧致子集都是闭集.( )
答案:√
理由:设A 是Hausdorff 空间X 的一个紧致子集,则对于任何x X ∈,若x A ∉,则易知x 不是A 的凝聚点,因此A A =,从而A 是一个闭集.
四、证明题(共50分)
1、 证:设W 是Z 的任意一个开集,由于:g Y Z →是一个连续映射,从而1()g W -是Y 的一个开集,由:f X Y →是连续映射,故11(())f g W --是X 的一开集,因