第二讲 直方图

直方图修正
直方图变换后可使图像的灰度间距拉开或使灰度 分布均匀，从而增大对比度，使图像细节清晰， 达到增强的目的。 对于离散的图像，用频率来代替概率 。
直方图均衡化 常用的方法： 直方图规定化
7
直方图均衡化
直方图均衡化是一种典型的通过对图像的直 方图进行修正来获得图像增强效果的自动方 法。
个 pr(r ) 和 pz(z ) 间的中介，在 pr(r ) ， pz(z )间搭建 一座桥梁，建立 r 与 z 的关系。
首先对原始图像进行直方图均衡化处理，即：
s T (r ) pr ( )d pr (ri )
r 0 i 0
k
式 4-1
假定已经得到了所希望的图像，并且它的概率密度函
nsk
pr(sk)
790
1023
850
985
448
0.19
0.25
0.21
0.24
0.11
Slide 24
直方图均衡化
结果
原始直方图
变换函数
直方图均衡化结果
25
直方图均衡化
效果
原 图
均 衡 化 后 效 果 图
26
因为直方图是近似的概率密度函数，所以 用离散灰度级作变换时很少能得到完全平坦的 结果。另外，从上例中可以看出变换后的灰度 级减少了，这种现象叫做“简并”现象。由于 简并现象的存在，处理后的灰度级总是要减少 的。这是像素灰度有限的必然结果。 由于上述原因，数字图像的直方图均衡只 是近似的。
nk Pr ( rk ) 0 rk 1 n k 0, 1, 2 , , l 1
nk n
式中，nk为图像中出现rk 这种灰度的像素数，n 是 图像中像素总数，而 就是概率论中所说的频数 。在直角坐标系中作出 rk 与Pr(rk) 的关系图形，这 个图形称为直方图。
灰度级的直方图
(3)、将逆变换函数 灰度级。 （4）、z
z G (s)
1
用到步骤(1)中所得到的
G 1[T (r )] 这样，就实现了r与z的映射关系。
以上三步得到了原始图像的另一种处理方法。在这种处理方法
中得到的新图像的灰度级具有事先规定的概率密度函数。
原始直方图数据
规定的直方图数据
均衡化处理后的直方图数据
1/7
1023 0.25 0.44 3/7 3/7
2/7
850 0.21 0.65 5/7 5/7
3/7
656 0.16 0.81 6/7
4/7
329 0.08 0.89 6/7 6/7
5/7
245 0.06 0.95 1
6/7
122 0.03 0.98 1
1
81 0.02 1 1 1
S k’ Sk’’ Sk
法就是针对上述思想提出来的一种直方图修正增强
方法。
假设 pr(r ) 是原始图像灰度分布的概率密度函 数， pz(z ) 是希望得到的图像的概率密度函数。如 何建立 pr(r ) 和 pz(z ) 之间的联系是直方图规定化 处理的关键。
pr ( r )

p z ( z)
所以，直方图规定化处理的关键思路是寻找一
pt (t4 ) 448/ 4096 0.11
pt (t1 ) 1023/ 4096 0.25 pt (t3 ) 985/ 4096 0.24
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直方图均衡-示例1
图像的灰度级分布
k 0 1 2 3 4 5 6 7
rk
nk
pr(rk)
0
790 0.19 0.19 1/7 1/7
该变换函数T满足2个条件：
（1）T单值单增函数。
（2）对 应 0 r L 1 ， 有 0 T (r ) L 1
则有：
r T 1 (s)
0 s L 1
11
直方图均衡化
上面的2个条件保证了： 第1个条件保证逆变换存在，且原图像各灰 度级在变换后仍保持从黑到白的排列次序，防 止变换后的图像出现一些反转的灰度级。 第2个条件保证变换前后灰度值动态范围的 一致性，也可以说原图像和变换后图像有着同 样的灰度级范围。
数是
p z ( z) 。
z k
对这幅图像也作均衡化处理，即：
(4— 16)
式 4-2
u G( z ) pz ( )d pz ( z j )
0 j 0
因为对于两幅图同样做了均衡化处理，所以
pS ( s) 和 pu (u) 具有同样的均匀密度。
其中上式的逆过程为： z
G
1
(3)将相同值的归并起来,得:
' t0 1 ' t1 3 ' t2 5 ' t3 6
' t4 7
21
直方图均衡化
（4）变换后5个灰度级的像素数
' ' ' ' ' n0 790, n1 1023, n2 850, n3 985, n4 448
例
wenku.baidu.com
(5) 新灰度级分布
pt (t0 ) 790/ 4096 0.19, pt (t2 ) 850/ 4096 0.21,
nj n
rk T (sk )
1
0 k L 1
直方图均衡-流程

1. 统计原始图像的直方图： nk p r rk n

其中， rk 是归一化的输入图像灰度级。 2. 计算直方图累积分布曲线
sk T (rk ) pr (rj )
j 0 j 0 k k
nj n
基本思想是把原始图的直方图变换为在整个灰度 范围内均匀分布的形式，增加了像素灰度值的动 态范围，从而达到增强图像整体对比度的效果。 更一般的（归一化的）概率表达形式：（图像灰 度统计直方图）
p ( s k ) nk / n
k 0,1, L 1
直方图均衡化
把原始图的直方图变换为均匀分布的形式需要一个 变换函数即增强函数T。
简并现象，于是也就造成了一些灰度层次的损失。
减少简并现象的方法
减少简并现象的简单方法是增加像素的比特数 。比如，通常用 8bit 来代表一个像素，而现在用
12bit 来表示一个像素，这样就可减少简并现象发
生的机会，从而减少灰度层次的损失。 另外，采用灰度间隔放大理论的直方图修正法也可 以减少简并现象。这种灰度间隔放大可以按照眼睛 的对比度灵敏度特性和成像系统的动态范围进行放
大。
直方图规定化 4.1.4 直方图规定化处理
直方图均衡化处理方法是行之有效的增强方法 之一，但是由于它的变换函数采用的是累积分布 函数，因此正如前面所证明的那样，它只能产生 近似均匀的直方图这样一种结果。这样就必须会 限制它的效能。

有时需要具有特定的直方图的图像，以便能够
对图像中的某些灰度级加以增强。直方图规定化方
j 0 1
j 0
u2 G( z2 ) pz ( z j )
j 0
2
pz ( z0 ) pz ( z1 ) pz ( z2 ) 0.00
u3 G( z3 ) pz ( z j )
j 0
3
什么是灰度级的直方图呢？
简单地说，灰度级的直方图就是反映一幅图像 中的灰度级与出现这种灰度的概率之间的关系的图 形，是图像重要的统计特征。 灰度直方图是图像的一种统计表达，它反映 了该图中不同灰度级出现的统计概率。

设变量 r 代表图像中像素灰度级。在图像中， 像素的灰度级可作归一化处理，这样，r 的值将 限定在下述范围之内:
那么简并现象如何产生？如何减少呢？
产生简并现象的根源是利用变换公式 sk Pr (r j ) 求新灰度时，所得到的 s k 往往不是允许的灰度 值，这时就要采用舍入的方法求近似值，以便用与 它最接近的允许灰度来代替它。 在舍入的过程中，
j 0 k
一些相邻的
s k 值变成了相同的
s
' k
值，这就发生了
一幅图像的灰度级可视为区间 [0,L-1] 上的随机变 量，可以证明累积分布函数（CDF）满足上述2个 条件并能将 r 中的原始分布转换为 s 中的均匀分布 。事实上r的CDF就是原始图像的累计直方图。直 方图均衡化中T：
sk T (rk ) pr (rj )
j 0 j 0 k k
图像的灰度直方图是一个1-D的离散函数
h h ((ff)) n nf f ff 0, 0, 1, 1, ,, L L 1 1
灰度累积直方图也是一个1-D的离散函数
c( f ) n i
i 0 f
f 0, 1,
, L 1
直方图均衡化
直方图均衡化主要用于增强动态范围偏小的图像 的反差。
0 r 1
在灰度级中， r = 0
(4—4)
代表黑， r = 1 代表白。
对于一幅给定的图像来说，每一个像素取 得[0，1]区间内的灰度级是随机的，也就是说
r 是一个随机变量。假定对每一瞬间它们是连
续的随机变量，那么，就可以用概率密度函数
pr (rk ) 来表示原始图像的灰度分布。
为了有利于数字图像处理，必须引入离散形式。在离散形 式下，用 rk 代表离散灰度级，用 Pr(rk) 代表 pr(r) ，并 且有下式成立：
t 5 0.95
t 6 0.98
t7 1
20
直方图均衡化
例
（2）用式 t k int[(L 1)t k 0.5]将 t k 扩展到 [0, L 1] 范围内 并取整，得：
t0 1
t4 6
t1 3 t5 7
t2 5 t6 7
t3 6
t7 7
(u )
这样，如果用从原始图像中得到的均匀灰 度级 来代替逆过程中的u ，其结果灰度 (4—18) 级将是所要求的概率密度函数 的灰度 pz ( z ) 级。 z G 1 (u ) G 1 ( s )
s
根据以上思路，可以总结出直接直方图规定化增强处 理的步骤如下： (1)、用直方图均衡化方法将原始图像作均衡化处理 (2)、规定希望的灰度概率密度函数 p z ( z )，并用式 求得变换函数 G (u ) ；
直方图均衡化
原始图像各灰度级对应的概率分布
例
灰度级
0
1
2
3
4
5
6
7
像素
概率
790
1023 850
656
329
245
122
0.03
81
0.02
0.19 0.25
0.21 0.16
0.08 0.06
18
直方图均衡化
图像直方图均衡化过程如下：
（1）得到变换后的值：
例解：
t 0 T ( s0 ) t1 T (s1 )
直方图。
64×64的图像各灰度级对应的概率分布表
rk
r0 =0 r1=1/7
nk
790 1023
nk Pr (rk ) n
0.19 0.25
r2=2/7
r3=3/7 r4=4/7
850
656 329
0.21
0.16 0.08
r5=5/7
r6=6/7 r7=1
245
122 81
0.06
0.03 0.02
直方图规定化
计算步骤如下： 例 （1）对原始图像进行直方图均衡化映射处理的数 值列于表栏目内。 （2）利用下式计算变换函数。
uk G( z k )
0

j 0
k
pz ( z j )
u0 G( z0 ) pz ( z j ) pz ( z0 ) 0.00
u1 G( z1 ) pz ( z j ) pz ( z0 ) pz ( z1 ) 0.00

3. 用累积分布函数作变换函数进行图像灰度变换：根 据计算得到的累积分布函数，建立输入图像与输出图像 灰度级之间的对应关系，即重新定位累计分布函数 s k （ 与归一化灰度等级 rk 比较，寻找最接近的一个作为原 灰度级k变换后的新灰度级）。
的 pk
直方图均衡化
例题
例如：假定有一幅像素数为 64×64 ，灰度级 为 8 级的图像，其灰度级分布、其灰度级直方 图如下表、下图所示。 对其进行均衡化处理，画出均衡化处理之后的
p (s ) 0.19
s i i 0 1 s i i 0
2
0
p (s ) 0.19 0.25 0.44
p (s ) 0.19 0.25 0.21 0.65
s i i 0
t 2 T ( s2 )
依此类推，即可得到
t3 0.81
t 4 0.89
我们注意到在暗色的图像中， 直方图的组成成分集中在灰度 级低（暗）的一侧；反之，明 亮的图像的直方图的组成成分 则集中在灰度级高（亮）的一 侧；动态范围小，也就是对比 度小，这种图像直方图集中于 灰度级的中部；动态范围正常 的图像直方图的成分覆盖了灰 度级很宽的范围。 直观上，若一图像像素占有全 部可能的灰度级并且分布均匀， 则图像有高的对比度和多变的 灰度色调，即，可通过改变直 方图的形状来达到增强图像对