金融数学(1)

所以我们得到： 0 aS0 (U aSU )e r ,V0 V 如果将U项和D项分开，得到V0 U (
S0 Su e r e r） Su S d Su S d
S0 Su e r S 0 S d r D( e ）令q , 所以V0 e r qU (1 q) D Su S d Su S d Su S d
2.2.3套利 1、假设交易商以7.25美元价格出售（或者购买）期 权，如何获利？ 期权价格高估，买入一股股票，卖出2股期权 该头寸的成本为：100-7.25*2=85.50美元 以短期利率借债85.50一年买入1股股票，卖空2股期 权同时负债85.50美元 一年后我们对冲头寸，股票-期权组合的净值为90美 元，此时我们欠债8.50*1.05=89.775美元则此时 我们的无风险利润为90-89.775=0.225美元 绝对数值可能不多，但是如果采用大量的交易数字 ，比如买入10万股股票而卖空20万股期权，则获 利可观。
到期时的利润或损失 看跌期权的现金流收入=max{X-ST，0} 例题：保护性看跌期权 某人在医药行业从事工作， 持有大量他熟悉的医药类公司的股票，该公司的每 股股价为50美元，并且他认为该公司的股票价格未 来数月波动很大，他希望尽快开始出售该股票，以 便于套现购买一些仪器。他可以购买大约未来3个月 到期的看跌期权，执行价格为45美元，每一份看跌 期权的价格为2.8美元如果未来股价较低看跌期权就 会被执行，该策略保证了他筹集现金的能力，通过 看跌期权使得他至少每股获得45美元的价格。实际 上是他支付了每股2.8美元的保险费用。
S S u d S
比率 V 在期权和衍生品定价中起到关键的作用。 U 我们把a引入计算： 资产组合的初始成本= V0 aS0 资产组合的最终成本= U aSu 因为该资产组合投资没有风险，并且无风险回报率为 r,我们一定有 V0 aS0 ert (U aSu ) 从而解出该方程，得到衍生品的定价公式：
2、假设交易商以7.00美元的价格提供期权， 那么此期权价格是被低估了，采取逆向操 作，买入2股期权而卖出1股股票则此时的 现金头寸为100-2*7=86美元，此时以r利率 进行投资，则到年末86美元升值为 86*1.05=90.3美元，而以90美元的成本对 冲期权-股票头寸，则我们的无风险利润为 90.3-90=0.3美元 另外虽然从理论上如此，但是市场会自动的 调节从而使得无风险的套利机会丧失。
当中也没有这种行为，所以1-q大于0.
所以，假设q满足概率条件是现实的，所以可以把此公式重新表述一下为
Su e r S0 1 q Su S d
V0 er qU (1 q)D er Eq V1
2.3.4如何记忆用来定价 的概率 Su q
S0
e S0 qSu (1 q)Sd
为什么说复制和无套利的观点成立？ 市场的交易机会会使得套利的机会消 失。
1.2.2看涨期权(包括两种欧氏和美式两种） 某人可以购买一种机会，在未来以约定的价 格购买一种股票，不附带义务的未来购买权利 被称为看涨期权。 1、期权的购买者向出售者支付费用 2、到期日，合约的买方以执行价格向合约卖 方支付 3、如果合约卖方收到买方以交易价格支付， 在到期日他必须支付一股股票给买方。
r
1-q
Sd
例题：股票现在的价值为50美元，一年后， 他的价值可能是55美元或40美元，一年期 利率为4%，假设我们希望计算两种期权的 价格，一种执行价格为48美元，另外一个 执行价格为53美元，我们也希望一执行价 格为45美元的看跌期权价格？ 解：第一步从股票二叉树计算q
第二章 二叉树、资产组合复制和套利 2.1衍生产品的定价的三种方法 福特股票期权的交易报价，当前股票价格为28*5/8
执行价 27.5 27.5 30 30 30 32.5 32.5 35 3 到期时间 12 3 11 12 3 12 3 3 成交量 10 1059 84 2100 59 504 1055 看涨期权价格 1*9/16 5/16 3/4 1*5/8 1/4 11/16 5/16
例题：提前执行 假设我们持有IBM股票的美式看涨 期权，该期权从现在起15天后到期，我们假设执行 价格为105美元，如果IBM今天的市场价为107美元， 我们可以等到期权到期，希望15天之内价格会位于 107美元之上。但是下一个星期涨到每股112美元， 可以立即行权，如果不计期权成本将每股获利7美元， 如果一张看涨期权的价格为4.5美元，则净利润为 2.5美元，2.5/4=0.555。但是股票的价格是波动的， 所以风险也是显而易见的。 从欧氏和美式的看涨期权可以看出欧氏比美式估计 起来更为容易一些。
看涨期权的价格： 以后章节会介绍
1.2.3看跌期权（欧氏看跌期权、美式看跌期权） 你可以购买一种机会，在未来以确定的价格 出售一股股票。 1、期权的购买者向出售者支付费用 2、到期日，合约的买方也许给合约的卖方一股股 票，或者等量的一股股票的市场价格 3、如果合约的卖方从买方收到股票或其价格，在 到期日他必须支付执行费用给买方。
2.3.3期望价值的定价方法 我们可以讨论q的值： 如果q为负数， 那么股票将是非常划算的，所以股票的未来的最 差结果也是Sd,也超过了债券的投资，但是现实世界时不存在的，所 以，q是正数。1-q的值为负数也是同样的道理。
e r S0 S d er S0 Sd q Su S d 因为这种情形，股票的最佳回报率也还没有超过债券的收益，所以现实
到期时的利润和损失
ST表示股票在T时刻的价格，X表示要求的执行价 格 在T时刻买方的利润或亏损表示为ST-X 问题不单单如此合约也是有价值的，也可以在市 场上交易
如果当天的股票价格远高于执行价格则此合约 有一定的价值，但是也取决于时间的期限。 复制投资： 首先构造一个资产组合，包括一个远期合约 （价值f美元)和一定数量的现金Xe-r（T-t） 则现在的资产净值为f+ Xe-r(T-t)
利息理论应用 今天远期合约的价值+现金=今天股票的价格 第二章-7
f+Xe-r(T-t）=ST，从而f=ST-Xe-r(T-t) 例题：假设我们有一公司的股票远期合约，现 在起40天后到期，如果执行价格是65美元，今 天股票的价格为64.75美元，今天合约的价格为 多少？ 我们使用每年0.055的r值，时间长度为Tt=40/365=0.1096,所以e-r(Tt)=0.994,S =64.75,X=65,所以f=0.14美元。 T
金融数学
2011年9月
第一章 金融市场
1.1金融市场与数学 股票、债券、期货、期权等 基本资产：例如股票、债券等 金融衍生品：价格从其他基本资产的价格衍生出 的资产，此时就把该交易品种的资产即为金融衍 生产品。
标的：由金融衍生产品所涉及的产品叫做标的资 产。
数学是能够把衍生产品的价格和标的的资产 的价格联系起来的，并能够表达这些关系的 最好的也是最严密的方法。 本书的主要目的即为解释根据标的资产的价 格计算衍生产品的过程。 复制资产 无套利条件
2.2博弈论方法 设V=期权的价格，S=股票价格 构造如下资产组合：买入a股期权和b股股票 a,b可以为负数II0=aV+bS为t=0是资产组合的 价值 t=1资产组合的价值 1、上升状态的时候S=120美元 II1=（120-105)a+120b 2、下降状态的时候S=90美元 II1=0a+90b
合约价值+现金量=一股股票
卖空资产 无套利机会
第一套利机会：假设今天的价格和未来的价值不同
合约价格+现金量<一股股票
投资者如何获利？可以现在大量的卖空此股票 第二套利机会： 合约价格+现金量>股价 投资者如何获利？可以现在大量的卖空此资产组合 但在实际的金融市场当中不会发生此套利的情形。 无套利定价公式
1.2.1股票的远期合约
在未来的某一天，某人必须保证以一个价 格买入一股股票，另外一方必须以这个价 格卖给这个人一股股票，此为远期合约。 合约条款：1、确定日ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ（到期日）买方必 须支付规定数量的现金（执行价格）给合 约的卖方2、合约的卖方必须在到期日转让 股票

买方如何赚钱？
取决于到期日的股票的价格
2.2.4博弈论方法---一般公式 假设股票在时间t只有两个价值，如果股票处 于上涨的状态SU,那么衍生品的价格为U， 如果股票处于下跌状态Sd那么衍生品的价 格为D Su U S0 Sd V0 D
我们可以通过买入1股衍生品和卖出a股股票构造资 产组合，则此资产组合的初始价值为II0=V0-as0， 同理也是可以选择a的值使得资产组合的价值与股 票的最终状态无关。 上升时：IIt=U-aSu 下降时：IIt=D-aSd 如果令U-aSu=D-aSd，所以a= U D V
V0 aS0 (U aSu )e
rt
2.3资产组合复制 2.31背景 我们设股票在时间t=0的价格为S0，该股票在时间 有两个可能的价格
t
Su
U V
S0
Sd
D
市场上也存在时间的价格取决于S的表现，如果S上 涨，V的价值U,如果S下跌，V的价值为D，今天V 的公平价格为多少？
2.3.2资产组合匹配 引入另外一个无风险资产，假设无风险的利率为r， 可以以这个利率在市场上进行短期借贷，假设债券 的初值为1美元，那么在时间t债券的价格ert美元， 又设资产组合II，包含了a单位的股票和b单位的债 券，资产组合在时间t=0 的价值II0就是II0=aS0+b 让我们计算时间 时II的价值， 上升状态： aS ber II u 下跌状态： aS ber II
t

d
我们令aSu+bert=U, aSd+bert=D 所以，我们资产组合的价值和衍生证券的价 值一致，该资产组合复制了衍生证券V，所 以我们得出结论 V0=as0+b 所以可以用两个线性方程表示 U D
a Su S d U D S u ) e r Su S d U D U D S 0 (U Su )e er Su S d Su S d b (U
2.2.1约减随机项 选择a,b可以使得II1不取决于股价的涨跌结果 （120-105）a+120b=a*0+90b 所以15a=-30b,所以当a=-2，b=1的投资选择 ，所以卖空两股期权买入一股股票，结果 就是确定的，可以忽略现实股票的涨跌 2.2.2期权定价 II0=-2V+1*100 II1=-15*2+（+1）*120=90 即期利率为5%，所以1.05 II0=1.05（100-2V) = II1=90,所以V=7.14美元
例题：看涨期权 我们有一股股票，现价为100美元 ，在一年以后，股价可以是90美元或120美元， 概率并未给定，即期利率是5%（1美元今天投资 ，一年后价值1.05美元），一年之后的到期执行 价格为105美元的股票期权的价格是多少？ 三种方法解决此问题1、博弈论方法2、资产组合复 制的方法3、概率方法或期望价值法 必须进行一些假设：假设股票在到期日的价格只能 是两种特定价格中的一个上升状态，下跌状态， 此假设对于三种方法都适用
到期时的利润或损失： 看涨期权的现金流=max{ST-X,0} 例题：欧氏看涨期权 假设我们持有通用电气（GE） 的看涨期权，从现在起20天后到期，假设执行的价 格为88美元，如果今天的市场价格为84美元，现在 的期权是无价值的，但是20天后的市场价格完全有 可能变的更高，假设到期日的股票价格为95.5美元， 那么我们的执行期权收益为95.5-88=7.5美元，该期 权20天前的合理价格为4美元，净利润为3.5美元利 润投资比例为3.5/4=0.875，但是如果20天后股票价 格为87美元，则我们将损失全部，所以说购买看涨 期权我们将面临巨大的风险。