初中九年级数学竞赛培优讲义全套专题23 圆与圆的位置关系_答案[精品]

专题23 圆与圆的位置关系
例1 2
1a
6
提示：连接1
4
QP CP =
=必过点O ，则34O O ⊥AB ，设⊙3O ，⊙4O 的半径为cm ，在Rt △31O O O 中，有2
2
2
a a a x =x 424⎛⎫⎛⎫⎛⎫
+-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
，解得= a 6.
例2 D 提示：连接AB ，1
AA ，1
BB ，作2AB ⊥1
BB ，则2
2222AB
AB BB =+，即()()22
22a b =b a AB ++-，
得22211=A B 4ab AB =，同理，211A 4ac C =，2114bc C B =，由111111=A B AC C B +得
，故
.
例3 提示：⑴过P 点作两圆的公切线. ⑵即证PA PB PC PD •=•.
例4 1
2BO C BAC ∠=∠，1
112
BO D BAC BO C ∠=∠=∠，则1O D 为1BO C ∠的平分线，又11
O B O C =，故
1O D BC ⊥.
例5 ⑴过
D 作DQ ⊥BC 于Q ，则BQ=AD=1，AB=DQ=2，CQ= ()
2
22
2=
222=2CD DQ --，故
()1
y=
13x 2=4x 2
+-⨯-（0<<3）.
⑵分两种情况讨论：①当⊙P 与⊙D 外切时，如图1，QC=2，PC=，QP= 2x -，PD=+ 1
2
，DQ=2，在Rt △DQP 中，由()
2
2
2
12x 2=x+2⎛⎫
-+ ⎪⎝⎭
得，31x=20，3149y=4=2020-.
②当⊙P 与⊙D 内切时，如图2，PC=，QC=2，PQ=-2，PD=- 12，DQ=2，在Rt △DPQ 中，由()2
221x 22=x-2⎛⎫
-+ ⎪
⎝⎭
得，31x=
12
，3117
y=4=1212-.
例6 就图1给出解答：连接CP 并延长交AB 于点Q ，连接BP ，得∠BPC90°，又2
2QA
QP CQ QB =•=，
得AQ=QB=12AB ，在Rt △CQP 中，2214BQ QP CQ QP BC CP CQ CP •===•.过Q 作QM ∥BC 交AN 于M ，
则MQ= 1
2
BN .由△MQP ∽△NCP ，得
14MQ QP CN CP ==，故
BN
NC
＝2142MQ MQ = .
A 级1．
12或32 2.2 3．y ＝21
4
x -＋(0＜＜4) 4. 3条 5．D 6．D 7．B 8．D 9．提示：(1)连结AB ，A 1O ，并延长交⊙1O 于E ，连结CE ． (2)结论仍然成立． 10．(1)略 (2)提示：设AP ＝3t ，由BC ·BH ＝BP ·BA ，BH ＝2BC ，BC ＝5t .易证△HAP ∽△BAH ，得HA ＝15t ，故
155HA
t BC
t
=＝3. 11．连结BD ，CE ，作BM ⊥CE 于M ，作HN ⊥CE 于N ，则BM ∥HN ．∵H 是BC 的中点，故N 是CM 的中点，∴CN ＝12CM ＝12（CE －EM ）＝12(CE －BD )，而AH ＝BH －AB ＝12BC －AB ＝1
2
(AB ＋AC ) –AB ＝
1
2
(AC －AB )，因此CN ＝AH ．由CE ⊥DE ，AF ⊥DE ，得CE //AF ，故∠NCH ＝∠HAF ，又∠CNH ＝∠AHF ＝90°，得△CNH ≌△AHF ，从而BC ＝2CH ＝2AF . 12. (l )52 提示：由题意，设正方形边长为l ，则
2
2
2
12R
l l ⎛⎫
=+ ⎪⎝⎭
，
得Rl ＝52．由2ED ＝AD ×DB ，DE ＝10，得AD ×DB ＝l 00．设AC 与内切圆交点S ，CB 与内切圆交点H ，设AD ＝r ，DB ＝
100
x
．AB ＝＋
100
x
，
AS ＝AD ＝ ，BH ＝BD ＝
100
x
．又△ABC 为直角三角形。

∴
222AC CB AB +=，即()
22
2
10010044x x x x ⎛⎫⎛⎫+++=+ ⎪ ⎪
⎝⎭⎝
⎭（四边形OSCH 为正方形），解得＋100
x ＝21，故AB ＝AD ＋BD ＝21．
B 级1. 4±7 2. 6 3. 49a ＋b 提示：当圆环为3个时，链长为3a ＋
2
b-a
×2＝2a ＋b (cm )；当圆
环为50个时，链长为50a ＋
2
b-a
×2＝49a ＋b ( cm )． 4. 312提示：设O 为大圆圆心，R 为AB 与PQ
的交点，AB ＝， OQ ＝－10，AR ＝2x
，()2
2210202x x ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭
解得＝8±304 >0，则＝8＋304 5.
C 提示：1234
O O O O S =S 影正方形 －一个内切圆的面积．
6．C 7．C 提示：设另一条公切线与⊙1O 切于点C ，与⊙2O 切于点D ，过1O 作12O E O D ⊥，则由对
称性可得∠C 1O B ＝∠C 2O A ＝∠A 1O B ＝120°． 8．(1)略 (2)AD ＝12. 9．提示：(1)过A 点作两圆的内公切线，连结AC ． (2)BE ＝BF ＝BC ，2BC BA BD =g ，由△ABE ∽△EBD 得2BE ＝BA ·BD ，∠CBE ＝∠BEF ＝∠FBE ． 10．(1)BD ＝l 0 (2)连结OB ． C ，F 分别为AB ，BE 中点，BC ＝BF ，AB ＝BE ， ∠
OBD ＝∠D ，1
2
∠ABE ＋∠D ＝ 90°，故∠ABE ＋2∠D ＝180°. (3)连结BO 并延长交AE 于H ，连结OC ，
H 为AE 中点．BH ⊥AE ，AB ＝24，由△BOC ∽△BAH ，得OB OC AB AH =
∴AH ＝12013，AE ＝240
13
，又△BGD ∽△AGE ，则
13
24
BG BD AG AE ==
． 11．如图，延长AP 交⊙2O 于点Q ，连结AH ，BD ，QB ，QC ， QH ，∵AB 为⊙1O 的直径，∴∠BDA ＝∠BDQ ＝90°，故BQ 为⊙2O 的直径，于是CQ ⊥BC ，BH ⊥HQ .又∵点H 为△
ABC 的垂心，∴AH ⊥BC ，BH ⊥AC ，所以AH //CQ ，AC //HQ ，即四边形ACQH 为平行四边形，∴P 为CH 的
中点． 12．连结AC ，AD ，BC ，BD ，并且过C ，D 两点分别作CE ⊥AB 于E ，DF ⊥AB 于F ，则CE ∥DF ．∵∠ACB ＝∠ADB ＝90°，∴22PA BD BF AB ==g ，两式相减得(PA ＋ PB ) (PA －PB ) ＝AB (AE －BF ) ＝
AB (PA －PB ).于是AE －BF ＝PA －PB ，即PA －AE ＝PB － BF ，∴PE ＝PF ，也就是说点P 是线段EF 的中
点，因此MP 是直角梯形CDFE 的中位线，于是有MP ⊥AB ，从而可得MP 分别与⊙A 与⊙B 相切．。