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正切函数的图象和性质 （一）
1.请同学们回忆一下，我们是怎样利用单位圆中的 正弦线作出 y = sin x 的图象的？
注意 因为T=2， 先作长度为一个周期的闭区间上的简图， 然后将简图左右扩展。
一、本节课，我们主要学习利用单位圆中的正切线来 绘制y = tan x 的图象。
1.我们分析一下正切函数 y = tan x 的周期。
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然后,分别作出：
问题：如何作出正切函数的图象？ 方法：利用单位圆中正切线作正切函数的图象。
y
O1
2
3 8
ຫໍສະໝຸດ Baidu
4


8O
x
A
3
84 8 2
用光滑曲线 将这些正切
线的终端连结 起来
根据正切函数的周期性，我们可以把图象向左、右扩展，
得到正切函数 y tan x x R ，x k 且
• 注意（1）单调性：利用单调性比较大小时， 应使自变量在同一单调区间内
（2）求单调性、奇偶性、周期性时要化 简，但不要忘记对定义域的讨论。
练习：书P72 1- 6
作业：P73 1- 6
那么绘制 y = tan x 的图象时， 可以先画出一个周期内的图象，
再左右扩展得到函数定义域上的图象。
我们先来作一个周期内的图象。
想一想：先作哪个区间上的图象好呢？
作法如下：
( , )
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①作直角坐标系，并在 y 轴左侧作单位圆；
②把单位圆右半圆分成8等份,分别在单位圆中作出正切线；
（思考：为什么用右半圆？分12等份行不行？） ③把 x 轴上 到 这一段分成8等份。
的图象。
2
正切函数的图象叫做正切曲线。图象特征： 二、正切函数的性质
请同学们结合图象研究正切函数的性质：定义域、值域、
周期性、奇偶性和单调性。
图象
正切函数y=tanx的性质
正切曲线
y
3



2
2
2
O
3
2
x
定义域 值域 周期性 奇偶性
单调性
{ x | x k , k Z }
例3、比较下列每组数的大小。
① tan 1，tan 2，tan 3
② tan( 11 ) 与 tan( 13 )
4
5
例4、根据正切函数的图象，写出
使下列不等式成立的x的取值集合
(1) tan x 1
(2) tan x 3
• 课堂小结：
• 正切函数性质的研究方法跟正弦函数和余弦 函数性质研究方法一样。主要利用函数图象 观察出函数的性质，所以三角函数图象是基 础，图象是性质的形象体现。牢记以形助记， 以形助思
1.我们分析一下正切函数 y = tan x 的周期。
解： f (x ) tan(x ) tan x f ( x)
y tan x 是周期函数，
是它的一个周期。
2 、3 、 、2 、3
也是 y tan x 的周期。
显然最小正周期是：
2 R 无最值
周期函数,周期是
奇函数 图象关于原点对称。
增区间(

2

k
,

2

k
)(k

Z
)
无减区间
三、例题：
例题1，求函数 y tan(x )的定义域、周期、
4 值域、单调增区间
• 例2 （1） 正切函数在整个定义域内是增 函数吗？为什么 ？
• （2）正切函数会不会在某一区间是减函 数？