高等数学第一章的总结

解
f
(x)
1 2
0 x1 1 x2
f
(x
3)
1 2
0 x31 1 x32
1 2
3 x 2 2 x 1
故 D f : [3,1]
思考题
设x 0 ，函数值 f ( 1 ) x 1 x2 ， x
求函数 y f ( x) ( x 0)的解析表达式.
思考题解答
设 1u x
则 f u 1
y
y f (x)
f (x1)
f (x2 )
o
x
I
3．函数的奇偶性:
设D关于原点对称, 对于x D, 有 f ( x) f ( x) 称 f ( x)为偶函数;
y y f (x)
f (x)
f (x)
-x o x
x
偶函数
设D关于原点对称, 对于x D, 有 f ( x) f ( x) 称 f ( x)为奇函数;
例
求
lim
x1
x2
4x 1 2x
3
.
解 lim( x 2 2x 3) 0, 商的法则不能用 x1 又lim(4x 1) 3 0, x1
lim x2 2x 3 0 0. x1 4x 1 3
u
1
1 u2
1
1 u2 ,
u
故 f ( x) 1 1 x2 . ( x 0) x
二、极限
函数极限的统一定义
lim f (n) A;
n
lim f ( x) A; lim f ( x) A; lim f ( x) A;
x
x
x
lim f ( x) A; lim f ( x) A;
3l
l
l
3l
2
2
2
2
典型例题
例 求函数y log( x1) (16 x 2 )的定义域.
解 16 x 2 0, x 1 0, x 1 1,
x 4
x
1
x 2
1 x 2及2 x 4, 即(1,2) (2,4).
例
设f
(
x)
1 2
0 x 1,求函数 f ( x 3)的定义域. 1 x2
函数
内容
极限（数列极限、函数极限） 连续（或间断）
性质（闭区间上连续函数）
一、函数：
:函数的分类
有 有理整函数(多项式函数) 理
代函
数 数 有理分函数(分式函
初 等
函 数
函
函 数
数) 无理函数
数
超越函数
非初等函数(分段函数,有无穷多项等 函数)
邻域: 设a与是两个实数 , 且 0.
数集{ x x a }称为点a的邻域 ,
y
-x o
f (x) 奇函数
y f (x)
f (x)
xx
函数的周期性:
设函数f ( x)的定义域为．D, 如果存在一个不为零的
数l, 使得对于任一x D, ( x l ) D.且 f ( x l) f ( x)
恒成立. 则称f ( x)为周 期函数, l称为f ( x)的周期.
（通常说周期函数的周期是指其最小正周期）.
x x0
x x0
lim f ( x) A.
x x0
lim f ( x) A 0,时刻,从此时刻以后,
恒有 f ( x) A . (见下表)
过 程 n
时刻
从此时刻以后 n N f (x)
x x x N
x N x N x N
f (x) A
过程 时刻
x x0
x
定理 : lim x x0
f (x)
A
f (x0
0)
f (x0
0)
A.
lim f ( x) lim (5 x2 ) 5, 左极限存在,
x0源自文库
x0
lim f ( x) lim x sin 1 0,
x0
x0
x
右极限存在,
lim f ( x) lim f ( x) lim f ( x) 不存在.
x
0
从此时刻以后 0 x x0 0 x x0
f (x)
f (x) A
x x0
x x0 0
思考题
x
sin
1 x
,
试问函数 f ( x) 10,
5
x2
,
x0 x 0 在x 0处
x0
的左、右极限是否存在？当 x 0时， f ( x) 的
极限是否存在？
思考题解答
点a叫做这邻域的中心, 叫做这邻域的半径 .
U (a) {x a x a }.
a
a
a x
点a的去心的邻域,
记作U
0
(a
).
U
0
(
a)
{x
0 x a }.
绝对值:
a
a a
a0 a0
运算性质:
ab a b;
( a 0)
a a; bb
a b a b a b.
绝对值不等式:
则称函数 f ( x)在区间 I上是单调增加的 ;
y
y f (x)
f (x2 )
f (x1)
o
x
I
设函数 f ( x)的定义域为D, 区间I D, 如果对于区间 I 上任意两点x1及 x2 , 当 x1 x2时, 恒有 (2) f ( x1 ) f ( x2 ), 则称函数 f ( x)在区间I上是单调减少的;
x0
x0
x0
补充结论： lim f (x) 0 lim f (x) 0. lim f (x) a lim f (x) a.(a 0)
小结:
1. 设 f ( x) a0 x n a1 x n1 an ,则有
lim
x x0
f (x)
a0
(
lim
x x0
x)n
a1
(
lim
x x0
x a (a 0)
a x a;
x a (a 0)
x a 或 x a;
函数的特性：
1．函数的有界性:
若X D, M 0, x X , 有 f ( x) M 成立,
则称函数f ( x)在X上有界.否则称无界.
y M
y M
y=f(x)
o
x
有界 X
x0
o
X
x 无界
-M
-M
数列的有界性：
x)n1
f (xa0n).
a0 x0n a1 x0n1 an
2. 设
f (x)
P( Q(
x x
) )
,
且Q(
x0
)
0,
则有
lim P( x)
lim
x x0
f (x)
x x0
lim Q( x)
x x0
P(x0 ) Q( x0 )
f ( x0 ).
若Q( x0 ) 0, 则商的法则不能应用.
定义: 对数列 xn, 若存在正数 M , 使得一切正 整数n, 恒有 xn M 成立, 则称数列 xn有界,
否则, 称为无界.
补充内容： 1.单调递增且有上界数列必有极限。 2.单调递减且有下界数列必有极限。
2．函数的单调性:
设函数 f ( x)的定义域为D, 区间I D, 如果对于区间 I 上任意两点x1及 x2 , 当 x1 x2时, 恒有 (1) f ( x1 ) f ( x2 ),