不等式恒成立问题中的参数求解技巧
求解不等式恒成立中参数问题的五大策略
ｆ ａ ＜ ０ ，
【 △＝ ６ — ４ ∞＜ ０ ．
．
策 略一 ：利 用一 次 函数 的性 质
若 已 ） 一 ＋ ６ ＞ ０ 对 叵成 ’
例２ ． 已知关于 的二次不等式 （ Ｊ ｝ － ５ ） （ １ ） ｘ ＋ ３ ＞ ０的解集为 Ｒ． 则实数 ｋ的取值范围为 解 析 ：当 ． ＿ ５ ＝ ０时 ．要使原不等式 的解 集为
解析 ：如果将两边分别设成两个 函数 ｙ ｌ ＝ （ Ｘ 一 １ ） 和
因为 当 ≥ｅ时 ， （ — ｌ ｎ ｘ 一 １ ） ＝ １ 一 ＞ ０ ， 所 以 — ｌ 眦一
１ ≥ｅ — ｌ ｎ ｅ －ｌ ＝ ｅ 一 ２ ＞ ０ ．
所 以 （ ） ＞ ０ ， 所以＾ （ ） （ ｅ ） ＝ ＿， 所 以 ｎ≤一 旦 ＿ ＿ ．
ｅ－ｌ ｅ－Ｉ
若已
）
删
’
＞ 乱 一
Ｒ， 则必有一次项系数也为零 ，且常数项大于零．
ｆ － ５ ＝ Ｏ．
例１ ． 对 于满 足 Ｏ ≤ｐ ≤４的实数 Ｐ， 使
３恒成立 的 的取值范 围是 ．
即｛ ４ （ １ － ｋ ） ＝ ０ ， 解得ｋ ＝ １ ．
１ ３ ＞ ０ ，
） ＝ Ｉ
一 １ 厂
．
Ｄ ／ ２
然后观察两个 图像 （ 尤其要注意交点处和临界处 ）的 位 置关 系 ，进而列 出含参数 的不等式． 例５ ． 不 等式 （ 一 １ ） ＜ 】 ｏ 在 ∈（ １ ， ２ ） 上恒 成立 ，
则 ａ的取值 范围为 ．
ｘ ＞ ３ 或 １ ， 所以 的取值范围是（ 一 ， 一 １ ） Ｕ（ ３ ， ＋ ） ．
高考数学解决不等式恒成立问题常用5种方法！最后一种很重要！
开篇语：不等式恒成立问题在高中数学是一类重点题型，高考也是必考内容。
由于不等式问题题型众多，题目也比较灵活。
所以在学习过程中，同学们要学会总结各种解题方法！方法一：分离参数法解析：分离参数法适用的题型特征：当不等式的参数能够与其他变量完全分离出来，并且分离后不等式其中一边的函数的最值或范围可求时，则将参数式放在不等式的一边，分离后的变量式放在另一边，将变量式看成一个新的函数，问题即转化为求新函数的最值或范围，若a≥f(x)恒成立，则a≥f(x)max,若a≤f(x)恒成立，则a≤f(x)min方法二：变换主元法(也可称一次函数型)解析：学生通常习惯把x当成主元(未知数)，把另一个变量p看成参数，在有些问题中这样的解题过程繁琐，如果把已知取值范围的变量当成主元，把要求取值范围的变量看成参数，则可简便解题。
适用于变换主元法的题型特征是：题目有两个变量，且已知取值范围的变量只有一次项，这时就可以将不等式转化为一次函数求解。
方法三：二次函数法解析：二次函数型在区间的恒成立问题：解决这类问题主要是分析 1，判断二次函数的开口方向2，二次函数的判别式是大于0还是小于03，判断二次函数的对称轴位置和区间两端值的大小，即判断函数在区间的单调性 方法四：判别式法解析：不等式一边是分式，且分式的分子和分母的最高次项都是二次项时，利用判别式法可以快速的解题，分离参数将会使解题变得复杂。
方法五：最值法解析：不等式两边是两个函数，且含有参数时，我们可以分出出参数，构造新函数，求函数的导数来求得新函数的最值。
总结：在解不等式恒成立的问题时，应根据不等式的特点，选择适合的方式快速准确的解题。
平时练习过程中，应注意观察，总结！。
不等式中恒成立问题的参数范围求解策略
解 使。ｌ ｌ／ｍ， Ｘ［，】 析要 ｌ｝ ｏ￣＋ 当 Ｊ ｇ ≤ｇ－生 Ｅ０二 ｘ１ 一 Ｌ１ １
时恒成立， 只要、 ／
时 ｍ 必 须 大 于 ０ ．
Ｖ ｌ ～
例 ５ 设 函数
） ｎ ＋ ＝Ｉ ． 若 ∈ｆ ， ］ 厂 ）≤ １ ２ 时＿ （
．
只要 ＿ 一 ） 厂 ２ ＜０与 ｌ ２ ＜０同 时 成 立 即 可 ． 得 的 取 （ 厂 ） （ 可
的极 限值 就 可 以 了． 种 方 法 就 是 构 造 函 数 求 最 值 法 ． 谓 这 所
构 造 的 函数 可 以是 ｇ（ ） ｘ．
￣
（＋ｆＴ Ｔ． －Ｎ－＋ ） ｌ ，Ｖ ２一 ｆＩ
【 键 词 巨成 立 ； 数 范 围； 略 关 参 策
在含有两个变量 的不等式恒成立 的问题 中． 往会 出 往 现 已知 其 中一 个 变 量 的 范 围 ， 确 定 另 一 个 变 量 的 范 围 要 的问 题 ． 么如 何 考 虑 解 答此 类 问题 呢 ？ 那 一方 面解 答 要 看 题 目的特 点 ， 一 方 面 还 要 注 重 解 答 策 略． 面 就 数 学 中常 见 另 下 的恒 成 立 问 题 中 参数 范 围 的求 解 策 略 作 一 归 纳 ． １ 如 果 参 数 为 ｍ，能 把 ｍ 表 示 成 关 于 的 不 等 式 ． ． 即 形 如 ｍ￣ｇ ｘ （ ｍ≤ｇ ） （ ）或 （ ） 的形式 ， 么 只要 ｍ 不 小 于 ｇ ｘ 那 （） 的 最大 值 （ ｍ 不 大 于 ｇ ｘ 的 最 小 值 ） 可 求 得 参 数 的 范 或 （） 即 围． 时 如果 ｇ ｘ 在 特定 的范 围 内取 不 到 最 值 ， 有 （） 只要 考 虑 它
如何求不等式恒成立的参数的取值范围
一
次函数 ｆ ） ａ （ ＝ ｘ＋ｂ在 ∈［ ｎ 上恒 大 ｍ， ］
于零 的充要 条件 是 ：
｛
或 ＇或 ＞ 。 ，
） ａ ＋ｂ恒小于零 的条件亦可类似给 出。 ＝ ｘ 例 １ 对任意的 ａ 一１ １ ， ∈［ ，］ 函数 ｆ ） ＋ （ ＝ （ ４ ＋ ａ一 ） ４—２ ｎ的值总大于零 ， 求 的取值 范围。 解 ： （ 可变形为 ｇ 口 ＝（ 一２ ａ＋ 一４ 厂 ） （） ｚ ） ｘ＋
、
利 用 一 次 函数 的 性 质
０ ① 在区间 ， ） 上恒 成立 ， 要求实参数 ｋ的范 围。
如果能将不等式①化 为 Ｆ ｋ ≥Ｇ ）或 Ｆ ｋ （） （ （ （） ≤Ｇ ） （ ）的形 式 ， 且可求 出 Ｇ ） 区间 ，上 的最 （ 在 大（ 最小 ） ， 么不等式 ①在 区间 ， 恒成立 的充 值 那 上
时 ， 有 ＋ ｋ ｋ一 １ 恒 ｘ＞ ，
ｚ
‘
任何一个一元二次不等 式总可 以化 为 ａ ｘ ｘ ＋ｂ
＋ｃ ＞０（ ０ ａ＞ ）的形 式 ， 由二 次 函数 Ｙ＝
论：
＋ ＋ｃ
求实数 ｋ的取值范 围。
解 ： 等 式 可 化 为 不
（ ａ＜０ 的 图 象 和 性 质 ， 们 不 难 得 出 以 下 两 个 结 ） 我
｛ ｝ 。
， ｆ ２ ａ 则 —ｔ＞ｍ ｘ
①
于是该 题 就 变成 ： ａ∈［一１ １ 内任 意取 值 当 ，］ 时，（） ｇ ａ 恒大于零 ， 求 的取 值范围。 因为 ｇ ｎ 是一次 函数 ， 以 ｇ ａ 在 ［ ， ］ （） 所 （ ） 一１１ 上
恒 为 正 ， 要 只
ｒ （ ） 一 ｘ＋６ ， ｇ 一１ ： ５ ＞０ Ｌ （ ） —３ ｇ１＝ ｘ＋２ 。 ＞０
求解含参不等式恒成立问题的几个“妙招”
乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸思路探寻含参不等式恒成立问题的常见命题形式有：（1）证明含参不等式恒成立；（2）在确保某个含参不等式恒成立的情况下，求参数的取值范围；（3）在已知变量的约束条件的情况下，求含参不等式中参数的取值范围.含参不等式恒成立问题具有较强的综合性，其解法灵活多变，常常令考生头疼不已.对此，笔者将结合实例，介绍求解含参不等式恒成立问题的几个“妙招”.一、分离参数分离参数法是求解含参不等式恒成立问题的常用方法，该方法适用于求参数和变量可分离的情形.运用分离参数法解题的一般步骤为：1.根据不等式的性质将参数分离出来，得到一个一端含有参数、另一端含有变量的不等式；2.将含有变量一侧的式子当成一个函数，判断出函数的单调性，并根据函数的单调性求出函数在定义域内的最值；3.将问题进行等价转化，建立新的不等式，如将a ≥f (x )恒成立转化为a ≥f (x )max ；将a ≤f (x )恒成立转化为a ≤f (x )min .例1.已知函数f (x )=1+ln xx，当x ≥1时，不等式f (x )≥k x +1恒成立，求实数k 的取值范围.解：由f (x )≥k x +1，得1+ln x x ≥k x +1,将其变形可得(x +1)(1+ln x )x≥k ，设g (x )=(x +1)(1+ln x )x，则g ′(x )=[(x +1)(1+ln x )]′·x -(x +1)(1+ln x )x 2=x -ln xx 2,令h (x )=x -ln x ，则h ′(x )=1-1x,当x ≥1时，h ′(x )≥0，所以函数h (x )在[)1,+∞上单调递增，所以h (x )min =h (1)=1>0，从而可得g ′(x )>0，故函数g (x )在[)1,+∞上单调递增，所以g (x )min =g (1)=2，因此k 的取值范围为k ≤2.观察不等式1+ln x x ≥k x +1，发现参数k 可以从中分离出来，于是采用分离参数法，先将参数、变量分离，使不等式变形为(x +1)(1+ln x )x≥k ；再构造函数g (x )，对其求导，根据导函数与函数的单调性判断出函数的单调性，即可求出g (x )在x ∈[)1,+∞上的最小值，使k ≤g (x )min ，即可得到实数的取值范围.通过分离参数，便将含参不等式恒成立问题转化为函数最值问题来求解，这样便可直接利用函数的单调性来解题.二、数形结合数形结合法是解答数学问题的重要方法.在解答含参不等式问题时，将数形结合起来，可有效地提升解题的效率.有些含参不等式中的代数式为简单基本函数式、曲线的方程、直线的方程，此时可根据代数式的几何意义，画出相应的几何图形，通过研究函数图象、曲线、直线、点之间的位置关系，确定临界的情形，据此建立新不等式，从而求得参数的取值范围.例2.已知f (x )=ìíî3x +6,x ≥-2,-6-3x ,x <-2,若不等式f (x )≥2x -m 恒成立，求实数m 的取值范围.解：由题意可设g (x )=2x -m ，则函数g (x )、f (x )的图象如图所示.要使对任意x ,f (x )≥g (x )恒成立，则需使函数f (x )的图象恒在g (x )图象的上方，由图可知，当x =-2时，f (x )的图象与g (x )的图象有交点，而此时函数f (x )取最小值，即f (-2)=0，因此，只需使g (-2)=-4-m ≤0，解得m ≥-4.故实数m 的取值范围为m ≥-4.函数f (x )与g (x )都是常见的函数，容易画出其图象，于是采用数形结合法，画出两个函数的图象，将问题转化为函数f (x )的图象恒在g (x )图象的上方时，求参数的取值范围.运用数形结合法求解含参不等式恒成立问题，需将数形结合起来，将问题进行合理的转化，如若对∀x ∈D ,f (x )<g (x )恒成立，则需确保函数f (x )的图象始终在g (x )的下方；若对∀x ∈D ,f (x )>g (x )恒成47立，则确保函数f(x)的图象始终在的上方即可.三、变更主元我们常常习惯性地将x看成是主元，把参数看成辅元.受定式思维的影响，在解题的过程中，我们有时会陷入解题的困境，此时不妨换一个角度，将参数视为主元，将x看作辅元，通过变更主元，将问题转化为关于新主元的不等式问题，这样往往能够取得意想不到的效果.例3.对任意p∈[-2,2]，不等式(log2x)2+p log2x+1> 2log2x+p恒成立，求实数x的取值范围.解：将不等式(log2x)2+p log2x+1>2log2x+p变形，得：p(log2x-1)+(log2x)2-2log2x+1>0，设f(p)=p(log2x-1)+(log2x)2-2log2x+1，则问题等价于对任意p∈[-2,2]，f(p)>0恒成立，由于f(p)是关于p的一次函数，所以要使不等式恒成立，只需使ìíîf(-2)=-2(log2x-1)+(log2x)2-2log2x+1>0, f(2)=2(log2x-1)+(log2x)2-2log2x+1>0,解得：x>8或0<x<12，故实数x的取值范围为x>8或0<x<12.若将x当成主元进行求解，那么解题的过程将会非常繁琐.由于已知p的取值范围，要求满足不等式条件的实数x的取值范围，所以考虑采用变更主元法，将p看成是主元，构造关于p的一次函数，根据函数的图象建立使不等式恒成立的不等式组，即可求出实数x的取值范围.通过变更主元，便可从新的角度找到解题的思路，从而化难为易.四、分类讨论当不等式左右两边的式子较为复杂，且含有较多的不确定因素时，就需采用分类讨论法来解题.用分类讨论法求解含参不等式恒成立问题，需先确定哪些不确定因素会对参数的取值有影响；然后将其作为分类的对象，并确定分类的标准，对每一种情形进行分类讨论；最后综合所有的结果，就可以得到完整的答案.例4.已知f(x)=x|x-a|-2，若当x∈[0,1]时，恒有f(x)<0成立，求实数a的取值范围.解：①当x=0时，f(x)=-2<0，不等式显然成立，此时，a∈R；②当x∈(0,1]时，由f(x)<0，可得x-2x<a<x+2x，令g(x)=x-2x,h(x)=x+2x，则g′(x)=1+2x2>0，可知g(x)为单调递增函数，因此g(x)max=g(1)=-1；则h′(x)=1-2x2<0，可知h(x)为单调递减函数，因此h(x)min=h(1)=3，此时-1<a<3.综上可得，实数a的取值范围为-1<a<3.本题的函数式中含有绝对值，需对x的取值进行分类讨论，即分为x=0和x∈(0,1]这两种情况进行讨论，建立使不等式恒成立的关系，如当x∈(0,1]时，需使æèöøx-2x max<a<æèöøx+2x min，即可解题.五、利用判别式法判别式法通常只适用于求解二次含参数不等式恒成立问题.运用该方法解题的一般步骤为：首先根据不等式的特点构造一元二次方程；然后运用一元二次方程的判别式对不等式恒成立的情形进行讨论、研究；最后得出结论.一般地，对于二次函数f(x)=ax2+bx+c (a≠0,x∈R)，有：（1）若对任意x∈R,f(x)>0恒成立，则ìíîa>0,Δ=b2-4ac<0;（2）对任意x∈R,f(x)<0恒成立，则{a<0,Δ=b2-4ac<0.例5.设f(x)=x2-2mx+2，当x∈[-1,+∞)时，f(x)≥m 恒成立，求实数m的取值范围.解：设F(x)=x2-2mx+2-m，令x2-2mx+2-m=0，则Δ=4m2-4(2-m)，当Δ≤0，即-2≤m≤1时，F(x)≥0显然恒成立；当Δ=4m2-4(2-m)>0时，F(x)≥0恒成立的充要条件为：ìíîïïïïΔ>0,F(-1)≥0,--2m2<-1,解得：-3≤m<-2，所以实数m的取值范围为-3≤m≤1.运用判别式法求解含参二次不等式恒成立问题，关键是确保在定义域范围内，二次函数F(x)的图象恒在x轴的上方或下方，根据方程F(x)=0无解，建立关于判别式的关系式.本文介绍了几种求解含参不等式恒成立问题的方法，这些方法的适用情形各不相同.但不论采用何种方法，都要对问题进行具体的分析，针对实际情况，选用最恰当的方法，才能达到事半功倍的效果.（作者单位：广东省东莞市第一中学）思路探寻48。
含参不等式恒成立问题中-求参数取值范围一般方法
含参不等式恒成立问题中，求参数取值范围一般方法温州中学 叶昭蓉恒成立问题是数学中常见问题，也是历年高考的一个热点。
大多是在不等式中，一个变量的取值范围，求另一个变量的取值范围的形式出现。
下面介绍几种常用的处理方法。
一、别离参数在给出的不等式中，如果能通过恒等变形别离出参数，即：假设()a f x ≥恒成立，只须求出()max f x ，那么()max a f x ≥；假设()a f x ≤恒成立，只须求出()min f x ，那么()min a f x ≤，转化为函数求最值。
例1、函数()lg 2a f x x x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，假设对任意[)2,x ∈+∞恒有()0f x >，试确定a 的取值范围。
解：根据题意得：21ax x+->在[)2,x ∈+∞上恒成立， 即：23a x x >-+在[)2,x ∈+∞上恒成立，设()23f x x x =-+，那么()23924f x x ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭当2x =时，()max 2f x = 所以2a >在给出的不等式中，如果通过恒等变形不能直接解出参数，那么可将两变量分别置于不等式的两边，即：假设()()f a g x ≥恒成立，只须求出()max g x ，那么()()max f a g x ≥，然后解不等式求出参数a 的取值范围；假设()()f a g x ≤恒成立，只须求出()min g x ，那么()()min f a g x ≤，然后解不等式求出参数a 的取值范围，问题还是转化为函数求最值。
例2、(],1x ∈-∞时，不等式()21240x x a a ++-⋅>恒成立，求a 的取值范围。
解：令2xt =，(],1x ∈-∞ (]0,2t ∴∈ 所以原不等式可化为：221t a a t +-<， 要使上式在(]0,2t ∈上恒成立，只须求出()21t f t t+=在(]0,2t ∈上的最小值即可。
不等式恒成立问题中参数范围的求解策略
条件
A1#2@
4&= <
( 1#2&>
条件 B1#2&= #2< 4&+C
其中 可以 判断 函 数 1#2&是 周 期为 ,4的周 期
函数 的条 件是
C
D0设函 数 1#2&的 定义 域 为 E3任 取 2(F
2,F28 G3且 2(5 2,31#2&5H (3给出 下列 I
个关 系式 :
#(&1#2(@ 2,&= 1#2(&J1#2,&> #,&1#2(J2,&= 1#2(&@ 1#2,&> #’&1#2(< 2,&= (1@ #2(1&#< 2(&11##22,,&&>
每 一个 2都成 立3其 中#45 +365 +3437368
9&: #(&条件 ; 1#2&< 1#< 2&= +> 条件 ?1#4@ 2&= 1#4< 2&> 条件 A1#62@ 7&= 1#< 62< 7&> 条件 B1#2&= #2< 4&+C
其 中 判 断 函 数 1#2&是 偶 函 数 的 条 件 是
又 设 25 4 1)%则 它是 过原 点%斜 率为 1的直 线 9& 在同 一 直角 坐 标 系 下作 出
它们 的图 像-如 图 3/&依题 意%半 圆 8恒 在直 线 9上方 时%只 有 1: #时成 立%故 1
图3
不等式恒成立问题解题方法汇总(含答案)
不等式恒成立问题解题方法汇总（含答案）不等式恒成立问题一般设计独特，涉及到函数、不等式、方程、导数、数列等知识，渗透着函数与方程、等价转换、分类讨论、换元等思想方法，成为历年高考的一个热点．考生对于这类问题感到难以寻求问题解决的切入点和突破口．这里对这一类问题的求解策略作一些探讨．1最值法例1．已知函数在处取得极值，其中为常数．（I）试确定的值；（II）讨论函数的单调区间；（III）若对于任意，不等式恒成立，求的取值范围．分析：不等式恒成立，可以转化为2分离参数法例2．已知函数（I）求函数的单调区间；（II）若不等式对于任意都成立（其中是自然对数的底数），求的最大值．分析：对于（II）不等式中只有指数含有，故可以将函数进行分离考虑．3 数形结合法例3．已知当时，不等式恒成立，则实数的取值范围是＿＿＿．分析：本题若直接求解则比较繁难，但若在同一平面直角坐标系内作出函数与函数在上的图象，借助图形可以直观、简捷求解．4 变更主元法例4．对于满足不等式的一切实数，函数的值恒大于，则实数的取值范围是＿＿＿．分析：若审题不清，按习惯以为主元，则求解将非常烦琐．应该注意到：函数值大于对一定取值范围的谁恒成立，则谁就是主元．5 特殊化法例5．设是常数，且（）．（I）证明：对于任意，．（II）假设对于任意有，求的取值范围．分析：常规思路：由已知的递推关系式求出通项公式，再根据对于任意有求出的取值范围，思路很自然，但计算量大．可以用特殊值探路，确定目标，再作相应的证明．6分段讨论法例6．已知，若当时，恒有＜0，求实数a的取值范围．例7．若不等式对于恒成立，求的取值范围．7单调性法例8．若定义在的函数满足，且时不等式成立，若不等式对于任意恒成立，则实数的取值范围是＿＿＿．8判别式法例9．若不等式对于任意恒成立．则实数的取值范围是＿＿＿．分析：此不等式是否为一元二次不等式，应该先进行分类讨论；一元二次不等式任意恒成立，可以选择判别式法．例10．关于的不等式在上恒成立，求实数的取值范围．答案部分1最值法例1．已知函数在处取得极值，其中为常数．（I）试确定的值；（II）讨论函数的单调区间；（III）若对于任意，不等式恒成立，求的取值范围．分析：不等式恒成立，可以转化为解：（I）（过程略）．（II）（过程略）函数的单调减区间为，函数的单调增区间为．（III）由（II）可知，函数在处取得极小值，此极小值也是最小值．要使（）恒成立，只需，解得或．所以的取值范围为．评注：最值法是我们这里最常用的方法．恒成立；恒成立．2分离参数法例2．已知函数（I）求函数的单调区间；（II）若不等式对于任意都成立（其中是自然对数的底数），求的最大值．分析：对于（II）不等式中只有指数含有，故可以将函数进行分离考虑．解：（I）（过程略）函数的单调增区间为，的单调减区间为（II）不等式等价于不等式，由于，知；设，则．由（I）知，，即；于是，，即在区间上为减函数．故在上的最小值为．所以的最大值为．评注：不等式恒成立问题中，常常先将所求参数从不等式中分离出来，即：使参数和主元分别位于不等式的左右两边，然后再巧妙构造函数，最后化归为最值法求解．3 数形结合法例3．已知当时，不等式恒成立，则实数的取值范围是＿＿＿．分析：本题若直接求解则比较繁难，但若在同一平面直角坐标系内作出函数与函数在上的图象，借助图形可以直观、简捷求解．解：在同一平面直角坐标系内作出函数与函数在上的图象（如右），从图象中容易知道：当且时，函数的图象恒在函数上方，不合题意；当且时，欲使函数的图象恒在函数下方或部分点重合，就必须满足，即．故所求的的取值范围为．评注：对不等式两边巧妙构造函数，数形结合，直观形象，是解决不等式恒成立问题的一种快捷方法．4 变更主元法例4．对于满足不等式的一切实数，函数的值恒大于，则实数的取值范围是＿＿＿．分析：若审题不清，按习惯以为主元，则求解将非常烦琐．应该注意到：函数值大于对一定取值范围的谁恒成立，则谁就是主元．解：设，，则原问题转化为恒成立的问题．故应该有，解得或．所以实数的取值范围是．评注：在某些特定的条件下，若能变更主元，转换思考问题的角度，不仅可以避免分类讨论，而且可以轻松解决恒成立问题．5 特殊化法例5．设是常数，且（）．（I）证明：对于任意，．（II）假设对于任意有，求的取值范围．分析：常规思路：由已知的递推关系式求出通项公式，再根据对于任意有求出的取值范围，思路很自然，但计算量大．可以用特殊值探路，确定目标，再作相应的证明．解：（I）递推式可以化归为，，所以数列是等比数列，可以求得对于任意，．（II）假设对于任意有，取就有解得；下面只要证明当时，就有对任意有由通项公式得当（）时，当（）时，，可见总有．故的取值范围是评注：特殊化思想不仅可以有效解答选择题，而且是解决恒成立问题的一种重要方法．6分段讨论法例6．已知，若当时，恒有＜0，求实数a的取值范围．解：（i）当时，显然＜0成立，此时，（ii）当时，由＜0，可得＜＜，令则＞0，∴是单调递增，可知＜0，∴是单调递减，可知此时的范围是（—1，3）综合i、ii得：的范围是（—1，3）．例7．若不等式对于恒成立，求的取值范围．解：（只考虑与本案有关的一种方法）解：对进行分段讨论，当时，不等式恒成立，所以，此时；当时，不等式就化为，此时的最小值为，所以；当时，不等式就化为，此时的最大值为，所以；由于对上面的三个范围要求同时满足，则所求的的范围应该是上三个的范围的交集即区间说明：这里对变量进行分段来处理，那么所求的对三段的要同时成立，所以，用求交集的结果就是所求的结果．评注：当不等式中左右两边的函数具有某些不确定的因素时，应该用分类或分段讨论方法来处理，分类（分段）讨论可使原问题中的不确定因素变化成为确定因素，为问题解决提供新的条件；但是最后综合时要注意搞清楚各段的结果应该是并集还是别的关系．7单调性法例8．若定义在的函数满足，且时不等式成立，若不等式对于任意恒成立，则实数的取值范围是＿＿＿．解：设，则，有．这样，，则，函数在为减函数．因此；而（当且仅当时取等号），又，所以的取值范围是．评注：当不等式两边为同一函数在相同区间内的两个函数值时，可以巧妙利用此函数的单调性，把函数值大小关系化归为自变量的大小关系，则问题可以迎刃而解．8判别式法例9．若不等式对于任意恒成立．则实数的取值范围是＿＿＿．分析：此不等式是否为一元二次不等式，应该先进行分类讨论；一元二次不等式任意恒成立，可以选择判别式法．解：当时，不等式化为，显然对一切实数恒成立；当时，要使不等式一切实数恒成立，须有，解得．综上可知，所求的实数的取值范围是．不等式恒成立问题求解策略一般做法就是上面几种，这些做法是通法，对于具体问题要具体分析，要因题而异，如下例．例10．关于的不等式在上恒成立，求实数的取值范围．通法解：用变量与参数分离的方法，然后对变量进行分段处理；∵，∴不等式可以化为；下面只要求在时的最小值即可，分段处理如下．当时，，，再令，，它的根为；所以在区间上有，递增，在区间上有，递减，则就有在的最大值是，这样就有，即在区间是递减．同理可以证明在区间是递增；所以，在时的最小值为，即．技巧解：由于，所以，，两个等号成立都是在时；从而有（时取等号），即．评注：技巧解远比通法解来得简单、省力、省时但需要扎实的数学基本功．。
怎样求不等式恒成立问题中参数的取值
求不等式恒成立问题中参数的取值问题是高考试题中的常见题型.此类问题综合性较强，不仅考查了不等式，还考查了函数、方程、导数、求最值的方法.求不等式恒成立问题中参数的取值的方法有很多，本文主要介绍参变分离法、数形结合法、基本不等式法.一、参变分离法参变分离法是求不等式恒成立问题中参数的取值的常规方法，是指将不等式中的参数a 与变量f (x )分离在不等式的两侧，将问题转化为a ≤f (x )min 或a ≥f (x )max ，求得f (x )的最值，便能确定a 的取值范围.例1.当x ≥2时，不等式x ln x ≥kx -2(k +1)恒成立，求k 的最大整数值.解：将原不等式变形可得k ≤x ln 2+2x -2(x >2)，令g (x )=x ln x +2x -2，对g (x )函数求导g ′(x )=x -2ln x -4(x -2)2，设h (x )=x -2ln x -4，对函数h (x )求导h ′(x )=1-2x，∴函数h (x )在（2,+∞）上单调递增，而h (8)=6ln 2-4>0，h (9)=4ln 3-5<0，∴g ′(x )零点x 0∈(8,9)，即h (x 0)=0，x 0-2ln x 0-4=0，∴当2<x <x 0时，g ′(x )<0,函数g (x )单调递减，当x >x 0时，g ′(x )>0，函数g (x )单调递增，∴g (x )≥g (x 0)=x 0ln x 0+2x 0-2=x 0-22，k ≤g (x 0)，而3<x 0-22<72，∴k 最大整数值为3.在本题中，首先通过变形分离出参数，构造出新的函数，然后通过二次求导确定函数的的单调性以及最值，进而求得参数k 的取值.二、数形结合法在解答不等式恒成立问题时，我们可以首先将不等式进行变形，然后构造出适当的函数，绘制出相应的函数图象，借助图形来讨论曲线的临界位置，建立新的不等式，进而确定参数的取值.例2.已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )=12(|x -a 2|+|x -2a 2|-3a 2)，若∀x ∈R ，f (x -1)≤f (x )，则实数a 的取值范围为______．解：当x ≥0时，f (x )=ìíîïï-x ,0≤x <a 2,-a 2,a 2≤x <2a 2,x -3a 2,x ≥2a2作出函数的图象，再根据函数为奇函数画出x <0时的图象，如图所示，由题意，要使∀x ∈R ，f (x -1)≤f (x )恒成立，应满足2a 2－(－4a 2)≤1，解得a ∈éëêû.这里主要运用了数形结合法.借助函数的图象来分析问题，能帮助我们快速打开解题的思路，提升解题的效率.三、基本不等式法基本不等式法是求最值问题的常用方法.在求不等式恒成立问题中参数的取值时，我们可以结合题意，将问题转化为求最值问题，构造满足基本不等式应用的条件，运用基本不等式来求得最值，进而得到参数的取值范围.例3.设a 为实常数，y ＝f (x )是定义在R 上的奇函数，当x <0时，f (x )=9x +a 2x+7，若f (x )≥a +1对一切x ≥0成立，则a 的取值范围为______．解：因为y =f (x )是定义在R 上的奇函数，所以当x =0时，f (0)=0，则0≥a +1，所以a ≤-1，设x >0，则－x <0，所以f (x )=-f (-x )=-éëêùûú9(-x )+(a 2-x )+7=9x +a 2x -7.由基本不等式得9x +a 2x -7≥-7=-6a -7,由f (x )≥a ＋1对一切x ≥0成立，只需使-6a -7≥a +1，即使a ≤-87，结合a ≤-1，可得所求a 的取值范围是æèùû-∞,-87.在解答本题时，首先根据函数的奇偶性求得函数的解析式，然后运用基本不等式求得函数f (x )的最值，再结合题目条件建立使不等式恒成立的新的不等式，即可求出参数的取值范围.以上三种方法均有各自的特征，无论运用哪种方法来求不等式恒成立问题中参数的取值，都要首先将不等式进行变形，再构造函数，灵活运用函数的图象、性质或基本不等式来求得最值，再建立关于参数的不等式，解不等式求得参数的取值.（作者单位：江苏省包场高级中学）江望杰46。
01一元二次不等式恒成立问题中的参数求解技巧
不等式恒成立问题中的参数求解技巧一、用一元二次方程根的判别式二、利用函数的最值（或值域）（1）对任意x都成立（2）对任意x都成立。
简单记作：大的大于最大的，小的小于最小的。
三、变更主元法对于一次函数有：四、分离参数法恒成立，则；恒成立，则.五、数形结合法如果不等式中涉及的函数、代数式对应的图象、图形较易画出时，可通过图象、图形的位置关系建立不等式求得参数范围.例1对于x∈R，不等式恒成立，求实数m的取值范围。
变形1：已知不等式2220-+>对x∈R恒成立，求实数a的取值范x ax围。
变式2：已知不等式mx2-x+1＜0对x∈R恒成立，求实数m的取值范围。
变形3：若对于x∈R，不等式恒成立，求实数m的取值范围。
变形4已知函数])1(lg[22a x a x y +-+=的定义域为R ，求实数a 的取值范围。
例2 已知函数，在时恒有，求实数k 的取值范围。
变形1已知1ax x )x (f 2+-=，求使不等式0)x (f <对任意]2,1[x ∈恒成立的a 的取值范围。
变形2已知：1ax x )x (f 2+-=求使]1,1[x 0)x (f -∈>对任意恒成立的a 的取值范围。
例3已知函数),1[,2)(2+∞∈++=x xax x x f ，若对任意),1[+∞∈x ，0)(>x f 恒成立，求实数a 的取值范围。
变式：已知二次函数，如果x ∈［0，1］时，求实数a 的取值范围。
例4已知不等式(1)21x m x -<-对()0,3m ∈恒成立，求实数x 的取值范围。
变形1对任意]1,1[-∈a ，不等式024)4(2>-+-+a x a x 恒成立，求x 的取值范围。
例5已知函数若不等式恒成立，则实数的取值范围是 . 解：在同一个平面直角坐标系中分别作出函数及的图象，由于不等式恒成立，所以函数的图象应总在函数的图象下方，因此，当时，所以故的取值范围是变形1当x ∈(1,2)时，不等式(x-1)2<log a x 恒成立，求a 的取值范围。
高中数学不等式恒成立问题中的参数求解技巧
高中数学不等式恒成立问题中的参数求解技巧一、用一元二次方程根的判别式有关含有参数的一元二次不等式问题，若能把不等式转化成二次函数或二次方程，通过根的判别式或数形结合思想，可使问题得到顺利解决。
2例1对于某∈R，不等式某2某3m0恒成立，求实数m的取值范围。
2解：不妨设f(某)某2某3m，其函数图象是开口向上的抛物线，为了使f(某)0(某R)，只需0，即(2)24(3m)0，解得m2m(，2]。
2变形：若对于某∈R，不等式m某2m某30恒成立，求实数m的取值范围。
此题需要对m的取值进行讨论，设f(某)m某2m某3。
①当m=0时，3>0，显然成立。
②当m>0时，则△<00m3。
③当m<0时，显然不等式不恒成立。
由①②③23)。
知m[0，2关键点拨：对于有关二次不等式a某b某c0（或<0）的问题，可设函数f(某)a某2b某c，由a的符号确定其抛物线的开口方向，再根据图象与某轴的交点问题，由判别式进行解决。
2例2已知函数f(某)某2k某2，在某1时恒有f(某)k，求实数k的取值范围。
2解：令F(某)f(某)k某2k某2k，则F(某)0对一切某1恒成立，而F(某)是开口向上的抛物线。
24k4(2k)0，解得－2<k<1。
①当图象与某轴无交点满足△<0，即)时F(某)0，只需②当图象与某轴有交点，且在某[1，0k2或k13k2F(1)012k2k0，2kk112由①②知3k1)恒成立，关键点拨：为了使f(某)k在某[1，构造一个新函数F(某)f(某)k是解题的关键，再利用二次函数的图象性质进行分类讨论，使问题得到圆满解决。
二、参数大于最大值或小于最小值如果能够将参数分离出来，建立起明确的参数和变量某的关系，则可以利用函数的单调性求解。
af(某)恒成立af(某)ma某，即大于时大于函数f(某)值域的上界。
af(某)恒成立af(某)min，即小于时小于函数f(某)值域的下界。
不等式恒成立求解参数范围问题的常用策略
不等式恒成立问题的求参策略山东省莱西一中北校 赵贞才 （266600）含有参数的不等式恒成立问题是同学们常见的一类题，这类题涵盖范围广。
不少同学面对此类题，不知从何下手 。
其实这类题，规律性较强，有法可循。
本文结合实例探讨一下解题策略。
1. 分离参数法如果能把不等式中的参数与主元分离开来，则可以通过求函数最值来简化问题。
如：max )()(x f t x f t >⇔>恒成立，min )()(x f t x f t <⇔<恒成立例1：已知 3421lg )(ax f x x ∙++= 若x ∈(-∞,1］时，f (x )有意义，求a的范围.分析：原题等价于不等式03421>∙++ax x 对x ∈(-∞,1］恒成立，分离参数，得()()xxa 2141-->，令 ()()xxx g 2141)(--= ，x ∈(-∞,1］，显然g(x)为增函数，故只须43)1()(max -==>g x g a 即可。
例2：已知函数x x x f 2cos 34sin 2)(2-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=π⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2,4ππx① 求)(x f 的最大值和最小值；② 若不等式 2|)(|<-m x f ，在⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2,4ππx 上恒成立，求实数m 的取值范围.分析：（1）2)(,3)(min max ==x f x f2)(2)(2|)(|)2(+<<-⇔<-x f m x f m x f41<<∴m2. 分类讨论法：按所给不等式中参数的本质属性划分不同种类进行讨论，特别应注意分类要“不重不漏”。
例3：已知3)(2++=ax x x f 当[]2,2-∈x 时a x f ≥)(恒成立，求a 的取值范围？2)(2)(min max +<<-∴x f m x f解：法一 原不等式恒成立，即]2,2[3)1(2-∈--≥-x x a x 在时恒成立，为了分离常数，必须对1-x 的符号进行分类讨论。
五种策略巧解不等式中恒成立问题的参数范围
二 、 量 分 离 策 略 变 变 量 分 离 策 略 即将 参 数 与 未 知 量 分 离 于 表 达 式 的 两 边 ．
时 【 Ｊ・ ＇
由于 原 不 等 式 在Ｘ∈［ ｌ １ 一 ，］恒 成立 ，故 以上 各 情 形取 交 集 ， 以ａ ４ 所 ＝． 五 、 造 函数 策 略 构 此 种 策 略 在 综 合题 中 很是 常见 ． 据 题 意设 出所
周 宇
（ 睢宁 县 王 集 中 学 ， 苏 睢 宁 江 ２ １０ ） ２ ２ ０
五 种 策 略 巧 解 不 等 式 中 恒 成 立 问 题 的 参 数 范 围
摘 要 ： 观 近 几 年 全 国 高 考 试 题 ， 解 不 等 式 中恒 成 纵 求 立 问题 的参 数 范 围 的题 型 经 常 出现 。本 文详 细介 绍 了五 种 行 之有 效 的 解此 类题 的 策 略 。 关 键 词 ： 等 式 恒 成 立 问题 解 题 策 略 不 不 等 式 中恒 成 立 问 题 涉 及 一 次 函数 、 次 函 数 的 性 质 、 二 图 像 ， 透着换元 、 渗 化归 、 形 结 合 、 数 函数 与 方 程 等 思 想 方 法 ． 此 类 问 题 综 合 性 强 。 辑 能 力 要 求 高 ， 法 灵 活 ， 点 考 查 学 生 逻 解 重 的 分 析 问题 、 决 问 题 能 力 ． 握 以 下 几 种 常 规 策 略 ， 实 战 解 掌 在 中定 能 收 到很 好 的效 果 ， 面一 一 介 绍 ． 下
一
进 行研 究 的方 法 ． 种 方 法 让 我 们有 “ 重 水 复 疑 无路 ， 暗 花 此 山 柳 明又 一 村 ” 的感 觉 ． 使 我们 的 思路 清 晰 化 、 捷 化 ， 效 地 提 可 简 有 高 解题 效 率 ．
求不等式恒成立问题中参数的取值范围的“妙招”
思路探寻思路探寻式恒成立问题中参数的取值范围时，可将“数”与“形”结合起来，根据代数式的几何意义画出几何图形，借助图形来讨论不等式成立的条件，从而达到解题的目的.在研究图形时，要关注一些极端情形，以及临界的情形，如相交、相切等.例4.设x ∈[-4,0]，若不等式x (-4-x )<43x +1-a 恒成立，求a 的取值范围.解：设y 1=x (-4-x )，则(x +2)2+y 21=4(y 1≥0)，该式可表示是如图所示的上半圆.设y 2=43x +1-a ，其图象为直线.由图可知，要使不等式恒成立，需使半圆始终在直线的下方，即使圆心(-2,0)到直线4x -3y +3-3a =0的距离d =|-8+3-3a|5>2，且1-a >0，可得a <-5，即a 的取值范围为()-∞,-5.我们将y 1=x (-4-x )看作上半圆，将y 2=43x +1-a 看作一条直线，将问题转化为求使半圆恒在直线下方时的a 的取值范围.根据图形找出临界情形：圆与直线相切，求得此时a 的取值范围，即可解题.借助图象分析问题，不仅可以使解题变得更加简单，还会使解题思路更加明朗.四、分类讨论在求不等式恒成立问题中参数的取值范围时，经常要用到分类讨论法对参数进行分类讨论.在解题时，要首先明确参数对不等式的影响，确定分类的标准；然后分几类情况对问题进行讨论，求得每种情况下的结果；最后汇总所得的结果.例5.当x ∈[2,8]时，不等式log 2a -1x >-1恒成立，求a 的取值范围.解：（1）当2a 2-1>1时，由题意知12a 2-1<x 恒成立，即12a 2-1<x min ；因为x ∈[2,8]，所以12a 2-1<2，解得a ∈(-∞,-1)⋃(1,+∞)；（2）当0<2a 2-1<1时，由题意知12a 2-1>x 恒成立，即12a 2-1>x max ；因为x ∈[2,8]，所以12a 2-1>8，解得a ∈(-34,-)⋃(34)；故a∈(-∞,-1)⋃(-34,-)⋃(34)⋃(1,+∞).根据对数函数的性质，可知需分2a 2-1>1和0<2a 2-1<1两种情况进行讨论，才能求得参数a 的取值范围.在进行分类讨论时，要有明确的讨论思路，逐层逐级进行讨论，避免出现遗漏或重复讨论某种情况.五、利用判别式在求二次不等式恒成立问题中参数的取值范围时，可把问题化为一元二次不等式在实数集上恒成立的问题，用判别式法求解.一般地，二次函数f (x )=ax 2+bx +c 恒大于0⇔ìíîa >0,Δ<0,f (x )=ax 2+bx +c 恒小于0⇔{a <0,Δ<0.据此建立关于参数的不等式，解该不等式即可求得参数的取值范围.例6.若不等式2x 2+2mx +m4x 2+6x +3<1对一切x ∈R 恒成立，求实数m 的取值范围.解：因为4x 2+6x +3=(2x +32)2+34>0在R 上恒成立，所以2x 2+2mx +m4x 2+6x +3<1⇔2x 2+2mx +m <4x 2+6x +3⇔f (x )=2x 2+(6-2m )x +3-m >0；要使得f (x )恒大于0，需使Δ=(6-2m )2-8(3-m )<0，解得1<m <3，故实数m 的取值范围为m ∈(1,3).由于4x 2+6x +3>0在R 上恒成立，于是原问题可转化为一元二次函数f (x )=2x 2+(6-2m )x +3-m 在R 恒大于0的问题，由二次函数的图象可知当a >0时，Δ<0，用判别式法即可解题.虽然由恒成立的不等式求参数的取值范围问题较为复杂，但是同学们只要熟练掌握上述五种求解思路，明确其适用条件，根据解题需求选用合适的方法、思路进行求解，就能有效地提升解题的效率.本文系2021年度云南省教育科学规划单位资助课题“基于深度学习的高中数学课堂教学策略研究”（课题批准号:BE21028）阶段性研究成果.（作者单位：云南省曲靖市民族中学）53。
不等式恒成立求参数问题的一题多解
★ 李林
方法一、等价转化法（分类讨论） 遇到 f（x）≥g（x）型的不等式恒成立问题时，一般采用作 差法，构造“左减右”的函数 h（x）＝f（x）－g（x）或“右减左” 的函数 u（x）＝g（x）－f（x），进而只需满足 h（x）min≥0 或 u （x）max≤0，将比较法的思想融入函数中，转化为求解函数最值 的问题，适用范围较广，但是往往需要对参数进行分类讨论． 方法二、根据导数的几何意义求参数的范围 利用函数图像切点的坐标、切线的斜率、切线的方程等得到 关于参数满足的不等式，进而得到参数的值或者取值范围。 方法三、利用分离参数法求不等式恒成立问题，必要时需借 助洛必达法则。 根据不等式的性质将参数分离出来，研究变量表达式的最值 就可以解决问题. 例 已知 f（x）=（x+1）ln（x+1） 讨论 f（x）的单调性 若对所有的 x≥0，f（x）≥ax 恒成立，求 a 的取值范围 解：（1）略 （2）方法一（分类讨论） f（x）≥ax 恒成立等价于 f（x）-ax≥0，令 g（x）=f（x）-ax， 即需满足 g（x）min ≥0 即可，g’（x）=ln（x+1）+1-a，①当 1-a
k=ln（0+1）+1=1，由（1）可得 f（x）在 (0,) 上单调递增，故 要使得（f x）≤ax 恒成立，需满足 a≤1，所以 a 的取值范围为 (,1]
方法三（分离参量）
当 x=0 时，0≥0 对于 a∈R 恒成立
当 x>0 时，f（x）≥ax 等价于 f (x) a x
令g(x) f (x) (x 1)ln( x 1) , x (0,)
（作者单位：新疆阜康市第一中学）
1 1 x 1
x x 1
求不等式恒成立问题中参数的取值范围的两种途径
思路探寻∵sin C =sin ()A +B =sin A cos B +sin B cos A =2sin C cos A ，∴cos A =12，∵a sin A =b sin B =c sin C，∴bc =B C =163sin B sin æèöø2π3-B =83sin æèöø2B -π6+43，∵0＜B ＜2π3，∴-π6＜2B -π6＜7π6，当2B -π6=π2，即B =π3时，bc 取最大值4，∵S △ABC =12bc sin A ≤3，∴△ABC 面积的最大值为3.解答本题，需先运用正弦定理进行边角互化，将a cos B =()2c -b cos A 等价转化为sin A cos B =(2sin C -)sin B cos A ，求得角A ，再根据正弦定理求得bc ，便可根据公式S =12ab sin C 求得三角形面积的表达式，最后根据三角函数的有界性求得最值.可见，求解与三角形有关的最值问题，关键要运用正余弦定理进行边角互化，求得角、周长、面积的表达式，然后运用基本不等式、三角函数的有界性来求得最值.一般地，可运用正弦定理来将角化为边，运用余弦定理来将边化为角.在解题的过程中，要注意挖掘一下隐含条件：（1）三角形的内角和为180o ；（2）三角形的两边之和大于第三边；（3）三角形的三边、三角均为正数.这些条件都是隐含在题目当中，若没有挖掘出来，便会缺少解题的条件，得出错误的答案.（作者单位：安徽省蚌埠第二中学）在学习中，我们经常会遇到求不等式恒成立问题中参数的取值范围.此类问题一般较为复杂，通常要求根据含有参数的不等式、方程、函数求使不等式恒成立时参数的取值范围.由于这类问题涉及的知识点较多，所以其求解途径多种多样.本文结合例题，谈一谈求参数的取值范围的两种常用途径：分离参数、数形结合.一、分离参数分离参数法是求不等式恒成立问题中参数的取值范围的重要方法.其大致的解题步骤为：①对含有参数的不等式、方程、函数进行变形，使参数单独置于一侧，变量置于另一侧，如a ≥f ()x 、a ≤f ()x ；②将问题转化为函数的最值问题，如a ≥f ()x 等价于a ≥f ()x max ，a ≤f ()x 等价于a ≤f ()x min ；③根据函数的单调性求得其最值；④建立新不等式，求出参数的取值范围.例1.已知f ()x =x ln x +a x，g ()x =x -e x -1+1.若∀x 1∈éëùû12,3，x 2∈()-∞,+∞，f ()x 1≥g ()x 2恒成立，则实数a 的取值范围为______.解：由题意可知，∀x 1∈éëùû12,3，x 2∈()-∞,+∞，f ()x 1≥g ()x 2等价于f ()x 1min ≥g ()x 2max ，∵g '()x =1-ex -1，当g '()x =0时，x =1，当x 2∈()-∞,1时，g '()x >0，g ()x 单调递增；当x 2∈()1,+∞时，g '()x <0，g ()x 单调递减，∴g ()x 2max =g ()1=1，∴f ()x =x ln x +a x ≥1在x ∈éëùû12,3上恒成立，即a ≥x -x 2ln x 在x ∈éëùû12,3上恒成立，令h ()x =x -x 2ln x ，x ∈éëùû12,3，朱红玉48思路探寻∴实数a 的取值范围为a >1.在解答该题时，需首先对函数f ()x =x 3+2判断出函数的单调性，求得其最值，这样便可将问题转化为在x ∈()0,+∞上ax >e x -1恒成立.然后构造-1，画出其图象，O。
例谈不等式恒成立问题中参数范围的求解策略
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例谈不等式恒成立问题中参数范围的求解策略
作者：王丽
来源：《数理化学习·高一二版》2013年第04期
不等式恒成立问题中参数范围的求解问题，它涉及的知识面广、综合性强是学生学习的难点，从而成为高考和竞赛试题中的热点问题，尤其是在最近几年的高考试题中屡屡出现，由于学生对此类问题求解方法的领会还不够透彻，缺乏系统的理解和把握，因而解答问题的过程中往往较繁还极易产生错解，为此笔者对这类问题进行总结，给出解决问题一般方法，指明此种问题的一般求解策略，以飨读者.
一、数形结合，结合函数图象求范围
例1设x∈（0，4），若不等式x（4-x）>ax恒成立，求a的取值范围.
解：设y1=x（4-x），则有（x-2）2+y21=4（y1≥0），是圆心在（2，0），半径为2的上半圆C.再设y2=ax，它是过原点，斜率为a的直线l.在同一直角坐标系下作出它们的图象，由题意知半圆恒在直线上方，从而可以看出a
评注：对于不等式两端有明显的几何意义时可以考虑构造函数，通过数形结合利用函数图象求范围，往往直观形象，方便快捷.仿照此法读者可以解决：设不等式x2
二、分类讨论，借助函数性质求范围
从以上数例可以看出，应当指出的是对于一个具体问题来说，往往要结合实际采取多种策略的共同参与才能奏效，这就需要领会各种方法的精髓，灵活而又恰当地使用上述各种策略解题就无往而不胜了.。
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不等式恒成立问题中的参数求解技巧
在不等式中，有一类问题是求参数在什么范围内不等式恒成立。
恒成立条件下不等式参数的取值范围问题，涉及的知识面广，综合性强，同时数学语言抽象，如何从题目中提取可借用的知识模块往往捉摸不定，难以寻觅，是同学们学习的一个难点，同时也是高考命题中的一个热点。
其方法大致有：①用一元二次方程根的判别式，②参数大于最大值或小于最小值，③变更主元利用函数与方程的思想求解。
本文通过实例，从不同角度用常规方法归纳，供大家参考。
一、用一元二次方程根的判别式
有关含有参数的一元二次不等式问题，若能把不等式转化成二次函数或二次方程，通过根的判别式或数形结合思想，可使问题得到顺利解决。
例1 对于x∈R，不等式恒成立，求实数m的取值范围。
解：不妨设，其函数图象是开口向上的抛物线，为了使，只需
，即，解得。
变形：若对于x∈R，不等式恒成立，求实数m的取值范围。
变形：此题需要对m的取值进行讨论，设。
①当m=0时，3>0，显然成立。
②
当m>0时，则△<0。
③当m<0时，显然不等式不恒成立。
由①②③知。
关键点拨：对于有关二次不等式（或<0）的问题，可设函数，由a的符号确定其抛物线的开口方向，再根据图象与x轴的交点问题，由判别式进行解决。
例2 已知函数，在时恒有，求实数k的取值范围。
例2 解：令，则对一切恒成立，而是开口向上的抛物线。
①当图象与x轴无交点满足△<0，即，解得－2<k<1< span="">。
</k<1<>
②当图象与x轴有交点，且在时，只需
由①②知
关键点拨：为了使在恒成立，构造一个新函数是解题的关键，再利
用二次函数的图象性质进行分类讨论，使问题得到圆满解决。
二、参数大于最大值或小于最小值
如果能够将参数分离出来，建立起明确的参数和变量x的关系，则可以利用函数的单调性求解。
恒成立，即大于时大于函数值域的上界。
恒成立，即小于时小于函数值域的下界。
例3 已知二次函数，如果x∈［0，1］时，求实数a的取值范围。
解：x∈［0，1］时，，即
①当x=0时，a∈R
②当x∈时，问题转化为恒成立
由恒成立，即求的最大值。
设。
因
为减函数，所以当x=1时，，可得。
由恒成立，即求的最小值。
设。
因
为增函数，所以当x=1时，，可得a≤0。
由①②知。
关键点拨：在闭区间［0，1］上使分离出a，然后讨论关于的二次函数在上的单调性。
例4 若不等式在x∈［1，2］时恒成立，试求a的取值范围。
解：由题设知，得a>0，可知a+x>1，所以。
原不等式变形为。
，即。
又，可得
恒成立。
设，在x∈［1，2］上为减函数，可得
，知。
综上知。
关键点拨：将参数a从不等式中分离出来是解决问题的关键。
例5 是否存在常数c使得不等式，对任意正数x、y恒成立？试证明你的结论。
解：首先，欲使恒成立（x、y>0），进行换元令。
∴上述不等式变为，即恒成立。
寻求
的最小值，由a>0，b>0，利用基本不等式可得。
同理欲使恒成立，令，
得
∴上述不等式变为，
即。
寻求的最大值，易得。
综上知存在使上述不等式恒成立。
关键点拨：本题是两边夹的问题，利用基本不等式，右边寻找最小值，左边寻找最大值，可得c=。
三、变更主元
在解含参不等式时，有时若能换一个角度，变参数为主元，可以得到意想不到的效果，使问题能更迅速地得到解决。
例6 若不等式，对满足所有的x都成立，求x的取值范围。
解：原不等式可化为
令是关于m的一次函数。
由题意知
解得
∴x的取值范围是
关键点拨：利用函数思想，变换主元，通过直线方程的性质求解。
例7 已知是定义在［－1，1］上的奇函数且，若a、b∈［－1，1］，a+b≠0，有。
（1）判断函数在［－1，1］上是增函数还是减函数。
（2）解不等式。
（3）若对所有、a∈［－1，1］恒成立，求实数m的取值范围。
解：（1）设，则
，
可知，所以在［－1，1］上是增函数。
（2）由在［－1，1］上是增函数知
解得，故不等式的解集
（3）因为在［－1，1］上是增函数，所以，即1是的最大值。
依题意有
，对a∈［－1，1］恒成立，即恒成立。
令，它的图象是一条线段，那么。
关键点拨：对于（1），抽象函数单调性的证明往往借助定义，利用拼凑条件，判断差的符号。
对于（2），后一步解不等式往往是上一步单调性的继续，通过单调性、函数值的大小转化到自变量的大小上来。
对于（3），转
换视角变更主元，把看作关于a的一次函数，即在a∈［－1，1］上大于等于0，利用是一条直线这一图象特征，数形结合得关于m的不等式组，从而求得m的范围。
不等式恒成立问题中的参数求解技巧
一、用一元二次方程根的判别式
例1 对于x∈R，不等式恒成立，求实数m的取值范围。
变形：若对于x∈R，不等式恒成立，求实数m的取值范围。
例2 已知函数，在时恒有，求实数k的取值范围。
二、参数大于最大值或小于最小值
例3 已知二次函数，如果x∈［0，1］时，求实数a的取值范围。
例4 若不等式在x∈［1，2］时恒成立，试求a的取值范围。
例5 是否存在常数c使得不等式，对任意正数x、y恒成立？试证明你的结论。
三、变更主元
例6 若不等式，对满足所有的x都成立，求x的取值范围。
例7 已知是定义在［－1，1］上的奇函数且，若a、b∈［－1，1］，a+b≠0，有。
（1）判断函数在［－1，1］上是增函数还是减函数。
（2）解不等式。
（3）若对所有、a∈［－1，1］恒成立，求实数m的取值范围。