不等式恒成立问题中的参数求解技巧

不等式恒成立问题中的参数求解技巧
在不等式中，有一类问题是求参数在什么范围内不等式恒成立。

恒成立条件下不等式参数的取值范围问题，涉及的知识面广，综合性强，同时数学语言抽象，如何从题目中提取可借用的知识模块往往捉摸不定，难以寻觅，是同学们学习的一个难点，同时也是高考命题中的一个热点。

其方法大致有：①用一元二次方程根的判别式，②参数大于最大值或小于最小值，③变更主元利用函数与方程的思想求解。

本文通过实例，从不同角度用常规方法归纳，供大家参考。

一、用一元二次方程根的判别式
有关含有参数的一元二次不等式问题，若能把不等式转化成二次函数或二次方程，通过根的判别式或数形结合思想，可使问题得到顺利解决。

例1 对于x∈R，不等式恒成立，求实数m的取值范围。

解：不妨设，其函数图象是开口向上的抛物线，为了使，只需
，即，解得。

变形：若对于x∈R，不等式恒成立，求实数m的取值范围。

变形：此题需要对m的取值进行讨论，设。

①当m=0时，3>0，显然成立。

②
当m>0时，则△<0。

③当m<0时，显然不等式不恒成立。

由①②③知。

关键点拨：对于有关二次不等式（或<0）的问题，可设函数，由a的符号确定其抛物线的开口方向，再根据图象与x轴的交点问题，由判别式进行解决。

例2 已知函数，在时恒有，求实数k的取值范围。

例2 解：令，则对一切恒成立，而是开口向上的抛物线。

①当图象与x轴无交点满足△<0，即，解得－2<k<1< span="">。

</k<1<>
②当图象与x轴有交点，且在时，只需
由①②知
关键点拨：为了使在恒成立，构造一个新函数是解题的关键，再利
用二次函数的图象性质进行分类讨论，使问题得到圆满解决。

二、参数大于最大值或小于最小值
如果能够将参数分离出来，建立起明确的参数和变量x的关系，则可以利用函数的单调性求解。

恒成立，即大于时大于函数值域的上界。

恒成立，即小于时小于函数值域的下界。

例3 已知二次函数，如果x∈［0，1］时，求实数a的取值范围。

解：x∈［0，1］时，，即
①当x=0时，a∈R
②当x∈时，问题转化为恒成立
由恒成立，即求的最大值。

设。

因
为减函数，所以当x=1时，，可得。

由恒成立，即求的最小值。

设。

因
为增函数，所以当x=1时，，可得a≤0。

由①②知。

关键点拨：在闭区间［0，1］上使分离出a，然后讨论关于的二次函数在上的单调性。

例4 若不等式在x∈［1，2］时恒成立，试求a的取值范围。

解：由题设知，得a>0，可知a+x>1，所以。

原不等式变形为。

，即。

又，可得
恒成立。

设，在x∈［1，2］上为减函数，可得
，知。

综上知。

关键点拨：将参数a从不等式中分离出来是解决问题的关键。

例5 是否存在常数c使得不等式，对任意正数x、y恒成立？试证明你的结论。

解：首先，欲使恒成立（x、y>0），进行换元令。

∴上述不等式变为，即恒成立。

寻求
的最小值，由a>0，b>0，利用基本不等式可得。

同理欲使恒成立，令，
得
∴上述不等式变为，
即。

寻求的最大值，易得。

综上知存在使上述不等式恒成立。

关键点拨：本题是两边夹的问题，利用基本不等式，右边寻找最小值，左边寻找最大值，可得c=。

三、变更主元
在解含参不等式时，有时若能换一个角度，变参数为主元，可以得到意想不到的效果，使问题能更迅速地得到解决。

例6 若不等式，对满足所有的x都成立，求x的取值范围。

解：原不等式可化为
令是关于m的一次函数。

由题意知
解得
∴x的取值范围是
关键点拨：利用函数思想，变换主元，通过直线方程的性质求解。

例7 已知是定义在［－1，1］上的奇函数且，若a、b∈［－1，1］，a+b≠0，有。

（1）判断函数在［－1，1］上是增函数还是减函数。

（2）解不等式。

（3）若对所有、a∈［－1，1］恒成立，求实数m的取值范围。

解：（1）设，则
，
可知，所以在［－1，1］上是增函数。

（2）由在［－1，1］上是增函数知
解得，故不等式的解集
（3）因为在［－1，1］上是增函数，所以，即1是的最大值。

依题意有
，对a∈［－1，1］恒成立，即恒成立。

令，它的图象是一条线段，那么。

关键点拨：对于（1），抽象函数单调性的证明往往借助定义，利用拼凑条件，判断差的符号。

对于（2），后一步解不等式往往是上一步单调性的继续，通过单调性、函数值的大小转化到自变量的大小上来。

对于（3），转
换视角变更主元，把看作关于a的一次函数，即在a∈［－1，1］上大于等于0，利用是一条直线这一图象特征，数形结合得关于m的不等式组，从而求得m的范围。

不等式恒成立问题中的参数求解技巧
一、用一元二次方程根的判别式
例1 对于x∈R，不等式恒成立，求实数m的取值范围。

变形：若对于x∈R，不等式恒成立，求实数m的取值范围。

例2 已知函数，在时恒有，求实数k的取值范围。

二、参数大于最大值或小于最小值
例3 已知二次函数，如果x∈［0，1］时，求实数a的取值范围。

例4 若不等式在x∈［1，2］时恒成立，试求a的取值范围。

例5 是否存在常数c使得不等式，对任意正数x、y恒成立？试证明你的结论。

三、变更主元
例6 若不等式，对满足所有的x都成立，求x的取值范围。

例7 已知是定义在［－1，1］上的奇函数且，若a、b∈［－1，1］，a+b≠0，有。

（1）判断函数在［－1，1］上是增函数还是减函数。

（2）解不等式。

（3）若对所有、a∈［－1，1］恒成立，求实数m的取值范围。