第十一节用能量法计算自振频率演示文稿

3
Y1
i 1
mi
g
k1
(270 270 180) 103 245106
9.8
0.0288
(m)
3
Y2
Y1
i2
mi
g
k2
0.0288
(270 180) 103 196 106
9.8
0.0288 0.0225 0.0513 (m)
Y3
Y2
m3 g k3
0.0513 180103 9.8 98 106
解：(1)假设振幅曲线Y(x)为抛物线
Y
(x)
4a l2
x(l
x)
Y (x) 8a l2
所选择的振幅曲线满足位移边界条件：Y(0)=0，Y(l)=0；但不满足简支梁端弯矩等于零
的边界条件： EIY (0) 0 ， EIY (l) 0 。
Y (x) 4a x(l x) l2
Y
(
x)
8a l2
它既满足位移边界条件，也满足力的边界条件。代入式(11-98)，得
q l (l 3 x 2lx3 x4 )dx
12
24EI 0 m( q )2
l (l 3 x 2lx3 x4 )2 dx
24EI 0
ql 5 5
mq 31l 9 ·
24EI 630
97.5484EI ml 4
1
9.877 l2
将上式代入式(11-97)，得
l 64a 2
64EIa2
12
m来自百度文库
EI
dx
0 l4
l 16a 2 x 2 (l x)2 dx
l 3 120EI 8 ma2l ml 4
0 l 4
15
10.954 EI
1 l 2
m
(2)取均布荷载q作用下的挠曲线作为Y(x)，即
Y (x) q (l 3 x 2lx3 x4 ) 24EI
1 l 2
m
l2
m
(4)讨论
正弦曲线是第一主振型的精确解，因此由它求得的是第一频 率的精确值。
用近似的振幅曲线Y(x)求得的频率值均比精确值大，这是因为 用近似的振幅曲线去代替真实的振幅曲线时，相当于在体系上 增加了约束，使体系的刚度增大，导致求得的频率高于精确值。
取均布荷载q作用下的挠曲线作为Y(x)求得的 精度，本例的误差仅为0.075%。
1
具有很高的
例11-18 用能量法求例11-12刚架的第一频率。
已知：该刚架如图11-55a所示，集中在各层横梁上的质量分别 为m1=m2=270×103kg、m3=180×103kg，各层的相对侧移刚度 分别为k1=245×106N/m、k2=196×106N/m、k3=98×106N/m。
解：将各层重量mig作为水平力作用于各横梁上(图11-55b)，以此水平力作 用下各横梁产生的水平位移作为mi的振幅Yi，分别求得如下：
EI m
(3)设振幅曲线Y(x)为正弦曲线，即
Y (x) a sin x l
Y (x) a2 sin x
l2
l
代入式(11-97)，得
12
EIa2
4 l4
l (sin x )2 dx
0
l
ma 2 l (sin x )2 dx
4 EIa2
2l 3 ma2l
4EI ml 4
0
l
2
2 EI 9.8696 EI
在假设振幅曲线Y(x)时，至少应使它满足位移边界条件，并尽可能满足力的 边界条件。通常可取结构在某种静荷载(x)作用下的挠曲线作为Y(x)，此时应 变能可以更简便地用外力实功来代替，即
U max
1 2
l
q(x)Y (x)dx
0
而式(11-97)可改写为
l
q(x)Y (x)dx
2
0
l 0
m
(
第十一节用能量法计算自振频 率演示文稿
优选第十一节用能量法计算自 振频率
设图11-54所示简支梁具有分布质 量和若干个质点mi。体系按某一 自振频率作自由振动，以Y(x)表 示梁上任意一点x处的振幅(即振 型函数)，则位移可表示为
y(x,t)=Y(x)sin( ω t+ φ )
速度为 y (x,t)=Y(x)cos(ω t+ φ )
=185.769
1 =13.63 s—1
比精确值13.47(见例11-12)只大1.2%。
本章小结
结构动力计算与静力计算的主要不同之处是动力计算要考 虑惯性力(有时也包括阻尼力)和时间因素。动力计算包括自由振 动和强迫振动两部分内容。
(1)动力计算的基本未知量是质点的位移。确定体系在振动过程 中任一时刻所有质点位置所需的独立几何参数的数目，称为体系的 动力自由度，也就是动力计算基本未知量的个数。
(
x)]
2
dx
miYi
2
(11-97)
利用式(11-97)计算自振频率时，必须知道振幅曲线Y(x)，但Y(x)事先通常未知， 故只能假设一个Y(x)来进行计算。若所假设的Y(x)恰好与第一振型吻合，则可求 得第一频率的精确值；若恰好与第二振型吻合，则可求得第二频率的精确值；…。
但假设的曲线往往是近似的，故求得的频率亦为近似值。由于假设高频率的振型 较困难，常使误差很大，故这种方法适宜于计算第一频率。
体系的弯曲应变能为
U (t)
1 2
l
0
M2 EI
dx
1 2
l EI[ y(x, t)]2dx
0
1 sin 2 (t 2
)
l 0
EI[Y (x)]2dx
应变能的最大值为
U max
1 2
l EI[Y (x)]2dx
0
由 Vmax = U max 得
2
l EI[Y (x)]2 dx 0
l 0
m
(
x)[Y
0.0513 0.018
=0.0693 (m)
代入式(11-99)得
12
mi gYi mi Yi 2
270 103 9.8 (0.0288 0.0513) 180 103 9.8 0.0693 270 103 (0.0288 2 0.0513 2 ) 180 103 0.0693 2
体系的动能为
V (t)
1 2
l 0
m
(x)[
y(
x,
t)]2
dx
1 2
mi
[
yi
(t
)]2
1 2
2
cos2 (t
)
l m(x)[Y (x)]2dx
0
1 2
2
cos2
(t
)miYi2
式中Yi为质点mi的振幅。
动能的最大值为
Vmax
1 2 2
l 0
m(
x)[Y
(
x)]2
dx
1 2
2 mi Yi 2
x)[Y
(
x)]
2
dx
mi
Yi
2
(11-98)
如果取结构自重作用下的变形曲线作为Y(x)，则式(11-97)可改写为
l
2
0 m(x)gY (x)dx mi gYi
l 0
m
(
x)[Y
(
x)]
2
dx
miYi
2
(11-99)
如果是求水平方向振动的频率，则重力应沿水平方向作用。
例11-17 试用能量法求图11-53a所示等截面简支梁的第一频率。