线性规划对偶

例 下面是某 LP问题的最优单纯形表， 其中 x 3 ,x 4 ,x 5为松弛变量， 请直接写出该问题及对偶问题的最优解。
Cj CB 2 0 3 XB X1 X5 X2 b 4 4 2
2
x1 1 0 0 0
*
3
x2 0 0 1 0
0
x3 0 -2 1/2 -3/2
0
x4 1/4 1/2 -1/8 -1/8
-----------------------①
令 CBB-1 = Y* T，有 Y*T A C, 转置得A TY* CT
T
又因为 S′ = -CBB-1 = -Y * 0，所以Y* = -（ S′）T 0------② 由①②知Y*是对偶问题的可行解， 且满足 CX* = CB b ′ =CB (B-1 b) = CB B-1b = Y*T b= b TY* 由最优性，∴ Y*是对偶问题的最优解。 注意：若原问题有最优解，则在最终单纯形表中，原问题的最优解 是第三列，而对偶问题的最优解是松弛变量检验数的相反数。
对偶问题D
矩阵形式
(P) max z=CX s.t. AX b x0
其中
(D) min w=bT Y s.t. AT Y C T Y0
C ( c1 , c 2 , , c n )
a11 a12 b1 a a b b 2 A 21 22 b m a m1 a m 2
解：设A、B、C设备每小时出租的价格分别为y1、y2、y3元， 则新的线性规划数学模型为： LP2 消耗设备 工时 设备A 设备B 设备C I 2 4 0 II 2 0 5 3 设备工时 限量 12 16 15
min w 12 y1 16 y2 15 y3 2 2 y1 4 y2 s.t. 2 y1 5 y3 3 y , y , y 0 1 2 3
*
解:
* * y1 0,y 2 0 由互补松弛性知
* * * * x1 2x 2 2x 3 3x 4 20 * * * * 2x 1 x 2 3x 3 2x 4 20
(1) (2)
又
则
y 2y * 2y 1 y
* 1
* 2 * 2
* 4
1.2 0.4 1.6 1 2.4 0.2 2.6 1
利润（元） 2
1、基本概念

对偶性是线性规划问题的最重要的内容之一。 每一个线性规划（ LP1 ）必然有与之相伴而生的另 一个线性规划问题（ LP2 ），即任何一个求 max z 的LP1都有一个求 min w的LP2 。 将LP1称为“原问题”，记为P ； 将LP2称为“对偶问题”，记为D 。
解：对偶问题为：
min w 8y 1 16y 2 12y 3 y 1 4y 2 5 st ..2y 1 4y 3 6 y 1 ,y 2 ,y 3 0
§2.2 原问题与对偶问题
1、基本形式的联系与区别 （1）原目标求极大，对偶目标求极小；
（2）原约束个数=对偶变量个数
max z 2 x1 3 x2 2 x1 2 x2 12 4 x 16 1 s.t. 5 x2 15 x1 , x2 0
若LP2是LP1的对偶问题，则LP1是LP2的对偶问题。
max Z=C X
s.t. AX≤b X ≥0
改写
对偶的定义
min W= b TY s.t. AT Y≥ CT Y≥0
T
x1 x 2 X xn
T T
a1n a2 n amn
y1 y Y 2 ym
b , A , C 为 b , A , C的 转 置
例：写出下列LP问题的对偶问题
max z 5x 1 6x 2 x 1 2x 2 8 16 4 x 1 s. t . 4 x 12 2 x 1 ,x 2 0
T
0
x5 0 1 0 0

则该问题的最优解为X (4,2,0， 0， 4) 3 1 * T 其对偶问题的最优解为Y ( , ,0) 2 8
5、互补松弛性
X * 和Y * 分别是P和D的最优解， 若yi *＞0，则 aij x j * bi；
j1 n
若 ai j x j * ＜bi，则yi *=0。
1、弱对偶性（弱对偶原理）
__
__
设 X 和Y 分别是问题P和D的可行解，则必有
C X bY
T
__
证明：
AX b Y AX Y b
T T
A Y C C Y A
T T T
CX Y AX Y b b Y
T T T
(P ) max z CX AX b s.t. X 0

原问题（P）：
对偶问题（D）：
max z 2 x1 3 x2 2 x1 2 x2 12 4 x 16 1 s.t. 5 x2 15 x1 , x2 0
min w 12 y1 16 y2 15 y3 2 2 y1 4 y2 s.t. 2 y1 5 y3 3 y , y , y 0 1 2 3
线性规划的对偶理论
Dual Theory
§2.1 对偶问题的提出
例 常山机器厂生产 I、 II 两种产品。这两种产品 都分别要在ABC三种不同设 备上加工。按工艺规定，生 产每件产品的单位利润、消 耗三种设备的工时以及各种 设备工时的限额如表： 消耗设备 工时 设备A 设备B 设备C 利润（元） 解： LP1 I 2 4 0 2 II 2 0 5 3 设备工时 限量 12 16 15
量，在另一个问题中是非基变量；
（3）互补的基解对应的目标函数值相等。
如何安排生产才能使 总的利润最大？
max z=2 x1+3 x2
2 x1+2 x2 12
s.t. 4x1 16 5 x2 15 x10， x2 0
假设另有四海机器厂想租借常山机器厂的全部可用资源进 行生产。问：如何定位各设备的出租价格，才能使得常山机 器厂愿意出租设备，且四海机器厂所付租金最少。
原问题
P
对偶问题 D 对偶变量 y1,y2,y3 对偶目标 w 对偶约束
2 2 y1 4 y2 5 y3 3 2 y1 y , y , y 0 1 2 3
原变量 x1,x2 原目标 z 原约束
2 x1 2 x2 12 4 x 16 1 5 x2 15 x1 , x2 0
j1
n
(P ) max z CX AX b s.t. X 0
(D ) min w b TY ATY C T s.t. Y 0
例
考虑下面问题
(P )
(D )
min w 20y 1 20y 2 y 1 2y 2 1 2y 1 y 2 2 s.t.2y 1 3y 2 3 3 y 2 y 4 1 2 y ,y 0 1 2
注：逆定理不成立。 即“如果原问题无可行解，那么对偶问题有无界解”不成立 。此时，对偶问题可能有无界解，也可能无可行解。
4、强对偶性（对偶定理）
若原问题有最优解，则对偶问题一定有最优解，且 ZMAX=WMIN .
证： 设X*是原问题的最优解，则所有检验数都非正。
即
= C- CB B-1 A 0 ∴ CB B-1 A C
改写
min Z’= - CX s.t. - AX≥- b X ≥0
对偶的定义
max W’ = -bTY s.t. -ATY≤-CT Y≥0
§2.3 对偶问题的基本性质
在本节中设原问题和对偶问题如下：
(P ) max z CX AX b s.t. X 0
(D ) min w b TY ATY C T s.t. Y 0
min w 12 y1 16 y2 15 y3 2 2 y1 4 y2 s.t. 2 y1 5 y3 3 y , y , y 0 1 2 3
解：先改写为原问题的基本形式：
max w 12 y1 16 y2 15 y3 2 2 y1 4 y2 s.t. 2 y1 5 y3 3 y , y , y 0 1 2 3
20
2x
* * x1 x2 0 ,代入(1)(2)
* * 3x 3 2x 4 20
* 3
3x
x
则x
* 3
* 4
4
* T
所以 (P) 问题的最优解为 X (0,0,4,4)
6、P和D之间存在一对互补的基解
（1）原变量对应对偶剩余变量，原松弛变
量对应对偶变量；
（2）互相对应的变量在一个问题中是基变
变量
约束
2、基本形式对偶
原问题P
max z = c1 x1 + c2 x2 + · · · + cn xn s.t. a11 x1 + a12 x2 + · · · + a1n xn b1 a21 x1 + a22 x2 + · · · + a2n xn b2 · · · am1 x1 + am2 x2 + · · · + amn xn bm xj 0，（j=1,2, · · · ,n） min w = b1 y1 + b2 y2 + · ·Biblioteka Baidu· + bm ym s.t. a11 y1 + a21 y2 + · · · + am1 ym c1 a12 y1 + a22 y2 + · · · + am2 ym c2 · · · a1n y1 + a2n y2 + · · · + amn ym cn yi 0，(i=1,2,· · · ,m )
(D ) min w b TY ATY C T s.t. Y 0
2、最优性：
若 X* 和 Y* 分别是 P 和 D 的可行解且 CX* = BT Y* ， 则X*，Y*分别是问题 P和D 的最优解。
3、无界性
若原问题有无界解，则对偶问题无可行解。 若对偶问题有无界解，则原问题无可行解。
max z x 1 2x 2 3x 3 4x 4 x 1 2x 2 2x 3 3x 4 20 s.t.2x 1 x 2 3x 3 2x 4 20 x 1,x 2 ,x 3 ,x 4 0
6 1T 已知 (D ) 的最优解为Y ( , ) 5 5 用互补松弛性求出 (P ) 的最优解。
max w 12 y1 16 y 2 15 y3 2 2 y1 4 y2 s.t. 2 y1 5 y 3 3 y , y , y 0 1 2 3
再对偶化： 最后简化得到已知问 题的对偶问题：
min z 2 x1 3 x2 2 x1 2 x2 12 4 x 16 1 s.t. 5 x2 15 x1 , x2 0
原变量个数=对偶约束个数
原约束决定对偶变量 原变量决定对偶约束；
（3）原约束≤方向，对偶约束≥方向； （4）原目标的系数对应对偶约束的右端常数 原约束的右端常数对应对偶目标的系数；
（5）原系数矩阵与对偶系数矩阵互为转置；
（6）原变量与对偶变量都是非负取值。
2、互为对偶关系 例 将下列问题作为原问题，写出其对偶问题。