34生活中的优化问题

复习回顾：
一般地，求函数y=f(x)在[a,b]上的最大值 与最小值的步骤如下： （1） 求函数y=f(x)在(a,b)上的极值 （2）将函数y=f(x)的各极值与端点处的函
数值比较，其中最大的一个是最大值， 最小的一个是最小值
优化问题——最值问题Hale Waihona Puke Baidu
例1:海报版面尺寸的设计
学校或班级举行活动，通常需要张贴海报进行 宣传，现让你设计一张如图所示的竖向张贴的海报， 要求版心面积为 128dm2 ，上下两边各空2dm，左右两 边各空1dm。如何设计海报的尺寸，才能使四周空白 面积最小？
解：设版心的高为 xdm ，则版心的宽为128 dm
x
此时四周空白面积为：
S(x) (x 4)(128 2) 128 x
2x 512 8, (x 0) x
定义域
解法一：利用导数求最值
S(x) 2x 512 8 x
S
(
x)
2
512 x2
令S ( x)
2
512 x2
0， 解得x
16(x
用函数表示的数学问题
优化问题的答案
用导数解决数学问题
S(x) 2 2x 512 8 72 x
当且仅当2x 512时，即：x 16时等号成立。 x
此时，宽为128 128 8. x 16
所以当版心高为16dm,宽为8dm时，海报四周空白面 积最小.
例题2: 饮料瓶大小对饮料公司利润有影响吗?
▪ 你是否注意过,市场上等量的小包装的物 品一般比大包装的要贵些?你想从数学上 知道它的道理吗?
16)舍去。
于是，宽为128 128 8. x 16
当x (0,16)时，S(x) 0;当x (16, )时，S(x) 0. 因此，x 16是函数S(x)的极小值点，也是最小值点， 所以当版心高为16dm,宽为8dm时，海报四周空白面 积最小.
解法：利用基本不等式求最值
S(x) 2x 512 8, (x 0) x
▪ 是不是饮料瓶越大,饮料公司的利润越大?
例如:
某制造商制造并出售球形瓶装饮 料.瓶子制造成本是0.8πr2分.已知 每出售1ml的饮料,可获利0.2分,且 瓶子的最大半径为6cm.
１）瓶子半径多大时，能使每瓶饮料的 利润最大？
２）瓶子半径多大时，每瓶饮料的利润 最小？
如何解决优化问题?
优化问题