等腰三角形和等边三角形

等腰三角形& 等边三角形

课时目标

1.理解和掌握等腰三角形和等边三角形的概念，明确等边三角形是特殊的等腰

三角形；

2.理解和掌握等腰三角形的性质和判定，并熟练应用于证明；

3.理解和掌握等边三角形的性质和判定，并熟练应用于证明；

知识精要

1. 等腰三角形的性质

（1）等边对等角：等腰三角形的两个底角相等.

（2）三线合一：等腰三角形顶角的角平分线，底边上的中线，底边上的高

互相重合.

2.等腰三角形的判定

等角对等边：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等，这个三角形是等腰三角形.

3. 等边三角形的性质

（1）等边三角形是特殊的等腰三角形，等腰三角形的性质等边三角形全部具有；（2）等边三角形三条边相等，三个内角相等，且每个内角等于60°.

4. 等边三角形的判定

（1）三个内角都相等的三角形是等边三角形；

（2）有一个内角等于60°的等腰三角形是等边三角形.

热身练习

1.等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°，则顶角的度数为（）

A. 60°

B. 120°

C. 60°或150°

D. 60°或120°

2. 如图，△ABC中AB=AC，点D在AC边上，且BD=BC=AD，则∠A的度数为（）

A. 30°

B. 36°

C. 95°

D. 70°

3. 在△ABC中，AB=AC，AB边的垂直平分线与AC所在直线相交所得的锐角为40°，则底角∠B的大小为 .

4. 如图，△ABC中，AD⊥BC于D，BE⊥AC于E，AD与BE相交于F，若BF=AC，那么∠ABC的大小是（）

A. 40°

B. 45°

C. 50°

D. 60°

（2题图）（4题图）（5题图）（6题图）5. 聪明的小明用含有30°角的两个完全相同的三角板拼成如图所示的图案，并发现图中有等腰三角形，请你帮他找出两个等腰三角形：.

6. 如图，一个顶角为40°的等腰三角形纸片，剪去顶角后，得到一个四边形，则∠1+∠2= 度.

7. 如图，已知△ABC为等边三角形，D、E、F分别在边BC、CA、AB上，且△DEF是等边三角形

（1）除已知相等的边以外，请你猜想还有哪些相等的线段，并证明你的猜想是正确的.

（2）你所证明相等的线段可以通过怎么样的变化相互得到？写出变化过程.

精解名题

例1 如图，已知P 、Q 是△ABC 边BC 上两点，且BP=PQ=AP=AQ=QC ，求∠BAC 的度数.

例2 已知：如图，在△ABC 中，∠B=∠C ，D 、E 、F 分别为AB ，BC ，AC 上的点，且BD=CE ，∠DEF=∠B. 求证：△DEF 是等腰三角形.

例3 已知：如图，AC 和BD 相交于点O ，AB ∥CD ，OA=OB ，求证：OC=OD

例4 如图，在四边形ABDC 中，AB=2AC ，∠1=∠2，DA=DB ，试判断DC 与AC 的位置关系，并证明你的结论.

B

Q

P

C

A

F

C

B

A D

E

B

A O

C

D

A 1 C

2

例5 如图，点C 为线段AB 上的一点，△ACM ，△BCN 是等边三角形，AN ，MC 相交于点E ，CN 与BM 相交于点F. （1）求证：AN=BM

（2）求证：△CEF 为等边三角形

巩固练习 一、填空题

1. 如果等腰三角形的顶角为30°，那么它的一个底角为 度.

2. 如果等腰三角形的一个底角为50°，那么它的顶角为 度.

3. 如果一个等腰三角形的周长为25cm ，底边为5cm ，那么一腰长为 cm .

4. 如果等腰三角形的周长为30cm ，一腰长10cm ，那么底边长为 cm .

5. 等腰三角形的一个外角等于120°，那么这个三角形是 三角形.

6. 如果三角形的一个外角等于和它不相邻的一个内角的2倍，那么这个三角是 .

7. 如果等腰三角形的顶角为90°，那么它的一个底角是 度. 8. 已知等腰△ABC 中，AB=AC ，∠B=60°，则∠A= 度. 9. 等腰三角形的两边长分别是4和9，则周长为 .

10. 如果等腰三角形两边长分别为4和7，则三角形的周长为 .

F

E

M

N

B

C

A

二、选择题

1. 等边三角形的对称轴有（）

A. 1条

B. 2条

C. 3条

D. 4条

2. 下列叙述中错误的是（）

A．轴对称图形必有对称轴

B．轴对称图形至少有一条对称轴

C. 关于某直线对称的两个图形必能互相重合

D. 两个能够重合的图形必定关于某直线对称.

3. 下列叙述中，正确的是（）

A. 有一边对应相等的两个等腰三角形全等

B. 两个等边三角形全等

C. 等腰三角形的角平分线与高及中线互相重合

D. 成轴对称的两个等腰三角形全等.

4. 已知一个等腰三角形两内角的度数之比为1：4，则这个等腰三角形顶角的度数为（）

A. 20°

B. 120°

C. 20°或120°

D. 36°

5. 某等腰三角形的两条边长分别为3cm和6cm，则它的周长为（）A．9cm B．12cm C．15cm D．12cm或15cm

三、简答题

1. 在一次数学课上，王老师在黑板上画出图6，并写下了四个等式：

①AB DC

=，②BE CE

=，③B C

∠=∠，④BAE CDE

∠=∠．

要求同学从这四个等式中选出两个作为条件，推出AED

△是等腰三角形．

请你试着完成王老师提出的要求，并说明理由．

B

E

D

A

C 图6