傅里叶变换__经典ppt

T 2
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sinc函数介绍 函数介绍
sin x sinc函数定义为sinc( x ) = x sin x , =1 严格讲函数在x = 0处是无定义的 但是因为lim x →0 x sin x = 1, 所以定义sinc( 0) = 1, 用不严格的形式就写作 x x =0 则函数在整个实轴连续。
f4 (t ) =
n =−∞
∑ f (t + 4n ),
+∞
2π 2π π nπ ω= = = , ωn = nω = T 4 2 2
f4(t) t -1 T=4
10
1
3
则
1 cn = ∫ T fT (t )e−jωntdt T −2 1 2 1 1 −jωnt − jωnt = ∫ f4 (t )e dt = ∫ e dt 4 −2 4 −1 1 1 1 − jωnt (e jωn −e−jωn ) = e = −4jωn −1 4jωn 1 sinωn 1 = ⋅ = sinc(ωn ) (n = 0, ±1, ±2,L) 2 ωn 2
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则在T=8时, 时 则在
1 cn = sinc(ωn ) (n = 0, ±1, ±2,L) 4 2π nπ = , 再将cn以竖线标在频率图上 ωn = nω = n 8 4
ω
16
如果再将周期增加一倍, 如果再将周期增加一倍, 令T=16, 可计算出 ,
1 cn = sinc (ωn ) (n = 0, ±1, ±2,L) 8 2π nπ = , 再将cn以竖线标在频率图上 ωn = nω = n 16 8
cn = F (n ω ) fT (t )的离散频谱； cn fT (t )的离散振幅频谱； arg cn fT (t )的离散相位频谱； n ∈ Ζ.
的特征频率。 则 描述某种信号， 若以fT (t )描述某种信号， cn 可以刻画fT (t )的特征频率。
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对任何一个非周期函数f 都可以看成是由某个周期 对任何一个非周期函数 (t)都可以看成是由某个周期 函数f 当 →∞时转化而来的. →∞时转化而来的 函数 T(t)当T→∞时转化而来的. 作周期为T的函数 使其在[-T/2,T/2]之内等于 作周期为 的函数fT(t), 使其在 的函数 之内等于 f (t), 在[-T/2,T/2]之外按周期 延拓到整个数轴上, 则T 之外按周期T延拓到整个数轴上 之外按周期 延拓到整个数轴上, 越大, fT(t)与f (t)相等的范围也越大, 这就说明当T→∞ 越大, 与 相等的范围也越大, 这就说明当 →∞ 相等的范围也越大 周期函数f 便可转化为 便可转化为f 时,周期函数 T(t)便可转化为 (t), 即有
sinc(x)
x
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前面计算出
1 cn = sinc(ωn ) (n = 0, ±1, ±2,L) 2 2π nπ ωn = nω = n , 可将cn以竖线标在频率图上 = T 2
ω
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现在将周期扩大一倍, 现在将周期扩大一倍 令T=8, 以f (t)为基础构造 为基础构造 一周期为8的周期函数 的周期函数f 一周期为 的周期函数 8(t)
2
最常用的一种周期函数是三角函数。人们发现, 最常用的一种周期函数是三角函数。人们发现, 所有 的工程中使用的周期函数都可以用一系列的三角函数的 线性组合来逼近. 线性组合来逼近.—— Fourier级数 级数
方波
4个正弦波的逼近 个正弦波的逼近
100个正弦波的逼近 个正弦波的逼近
3
研究周期函数实际上只须研究其中的一个周期内的 情况即可, 通常研究在闭区间[-T/2,T/2]内函数变化的 情况即可, 通常研究在闭区间 内函数变化的 情况. 情况. − T ,T 上满足 fT (t )是以 为周期的函数，在 是以T为周期的函数 为周期的函数， 2 2 Dirichlet条件： 条件： 条件 fT (t ) 连续或只有有限个第一类间断点； 连续或只有有限个第一类间断点； 只有有限个极值点； fT (t ) 只有有限个极值点；
T →+∞
lim fT (t ) = f (t )
8
例
矩形脉冲函数为
1 t <1 f (t ) = 0 t ≥1
如图所示: 如图所示: f (t) 1
{
-1
O
1
t
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现以f 为基础构造一周期为 的周期函数f 为基础构造一周期为T的周期函数 现以 (t)为基础构造一周期为 的周期函数 T(t), 令T=4, 则 ,
5
级数化为： 级数化为：
a0 ∞ e in ωt + e −in ωt e in ωt − e −in ωt + ∑ an + bn 2 n =1 2 2i a 0 ∞ an − ibn in ωt an + ibn −in ωt = +∑ e + e 2 n =1 2 2
(
)
(
)
a0 an − ibn an + ibn 1 T2 令 c 0 = , cn = ,d n = , 则 c0 = ∫ fT (t )dt 2 2 2 T −T 2 1 T2 1 T2 cn = ∫ fT (t ) [ cos n ωt − i sin n ωt ]dt = ∫ f (t )T e −in ωtdt T −T 2 T −T 2 1 T2 1 T2 dn = ∫ fT (t ) [ cos n ωt + i sin n ωt ]dt = ∫ f (t )T e in ωtdt ∆c −n T −T 2 T −T 2 ( n = 1,2,L) (c −n = cn )
T →+∞
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1 +∞ T2 可知f (t ) = lim ∑ ∫−T fT (τ )e− jωnτ dτ e jωnt T →+∞T 2 n =−∞ 当n取一切整数时,ωn 所对应的点便均匀分 布在整个数轴上:
2π T 2π T
O ω1 ω2 ω3
令∆ω = ω n − ω n −1 = 2π T (与n无关)，T = 2π ∆ω ∆ω → 0 ⇔ T → +∞, 此时视ω n为ω (连续变量)
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积分公式与Fourier积分存在定理 1.2 Fourier积分公式与 积分公式与 积分存在定理
− T , T 上满足Dirichlet条件, 设fT (t ) 为T − 周期函数，在 2 2 则 fT (t ) 可展开为Fourier级数: fT (t ) =
n =−∞
cne in ωt = ∑
令 F ( ωn ) = ∫ T fT (τ )e− jωnτ dτ T −2 1 +∞ f (t ) = lim F ( ωn )e jωnt ∆ωn ∑ T ∆ωn →0 2 π n =−∞
FT (ωn ) = ∫
T 2 −T 2
T 2
+∞
T 2
fT (τ )e
−iωn τ
dτ → ∫
积分变换
Fourier变换 变换
Recall: 周期函数在一定条件下可以展开为Fourier级数； 级数； 周期函数在一定条件下可以展开为 级数 但全直线上的非周期函数不能用Fourier表示； 表示； 但全直线上的非周期函数不能用 表示 引进类似于Fourier级数的 级数的Fourier积分 引进类似于 级数的 积分 (周期趋于无穷时的极限形式 周期趋于无穷时的极限形式) 周期趋于无穷时的极限形式
(n (n
= 0,1,2,L) = 1, 2,L)
fT (t + 0 ) + fT (t − 0 ) a 0 ∞ = + ∑ (a n cos n ωt + bn sin n ωt ) 2 2 n =1 引进复数形式： 引进复数形式：
e in ωt + e −in ωt e in ωt − e −in ωt cos n ωt = , sin n ωt = 2 2i
+∞
−∞
f (τ )e
−iωτ
பைடு நூலகம்
dτ ⇒ F (ω )
T →+∞
1 由定积分定义 f (t ) = 2π
∫
+∞
−∞
F (ω )e iωt d ω 注：积分限对称）. （
22
1 (t ) = 即f 2π
∫
+∞
−∞
∫ f (τ )e −iωτ dτ e iωt d ω −∞
ω
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一般地, 对于周期T 一般地, 对于周期
1 cn = ∫ T fT (t )e−jωntdt T −2 1 1 −jωnt = ∫ e dt T −1 1 1 1 − jωnt (e jωn −e−jωn ) = e = − ωn Tj −1 Tjωn 2 sinωn 2 = ⋅ = sinc (ωn ) (n = 0, ±1, ±2,L) T ωn T
f8 (t ) =
n =−∞
∑ f (t + 8n ),
+∞
nπ 2π 2π π ω= = = , ωn = nω = T 8 4 4
f8(t)
-1
1 T=8
7
t
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则
1 T2 − jω t (t ) e n dt cn = ∫ T fT T −2 1 4 1 1 −jωnt − jωnt = ∫ f8 (t )e dt = ∫ e dt 8 −4 8 −1 1 1 1 − jωnt jωn − jωn (e −e ) = e = −8jωn −1 8jωn 1 sin ωn 1 = ⋅ = sinc (ωn ) (n = 0, ±1, ±2,L) 4 ωn 4
1
§1 Fourier积分公式 积分公式
1.1 Recall: 在工程计算中, 无论是电学还是力学, 在工程计算中, 无论是电学还是力学, 经常要和随时间 变化的周期函数f 打交道. 例如: 变化的周期函数 T(t)打交道. 例如:
t 具有性质f 称作周期, 具有性质 T(t+T)=fT(t), 其中T称作周期, 而1/T代表 代表 单位时间振动的次数, 单位时间通常取秒, 单位时间振动的次数, 单位时间通常取秒, 即每秒重复 多少次, 单位是赫兹( 多少次, 单位是赫兹(Herz, 或Hz). , ).
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{ {
ωn-1ωn
{ {
ω
1 f (t ) = lim ∑ ∫ T fT (τ )e− jωnτ dτ e jωnt T →+∞T −2 n =−∞ 1 +∞ T2 = lim fT (τ )e− jωnτ dτ e jωnt ∆ωn ∑ ∫−T2 ∆ωn →0 2 π n =−∞
T 2
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当周期T越来越大时, 当周期 越来越大时, 各个频率的正弦波的频率间 越来越大时 隔越来越小, 隔越来越小, 而它们的强度在各个频率的轮廓则总是 sinc函数的形状, 因此, 如果将方波函数 (t)看作是周 函数的形状, 因此, 如果将方波函数f 看作是周 函数的形状 期无穷大的周期函数, 期无穷大的周期函数, 则它也可以看作是由无穷多个无 穷小的正弦波构成, 将那个频率上的轮廓即 穷小的正弦波构成, 将那个频率上的轮廓即sinc函数的 函数的 形状看作是方波函数f 的各个频率成份上的分布 的各个频率成份上的分布, 形状看作是方波函数 (t)的各个频率成份上的分布, 称 作方波函数f 的傅里叶变换 的傅里叶变换. 作方波函数 (t)的傅里叶变换.
+∞
n =−∞
cne iωn t , ∑
+∞
1 ωn = n ω = 2n π T , cn = T
∫
T 2
−T 2
fT (t )e −iωn t dt
1 +∞ T2 − jωn τ e jωn t . (t ) = 即 fT ∑ ∫−T2 fT (τ )e dτ T n =−∞
由 lim fT (t ) = f (t )
fT (t ) 可展开成Fourier级数，且在连续点t处成立： 可展开成 级数，且在连续点 处成立： 级数 处成立
a0 ∞ fT (t ) = + ∑(an cosnωt +bn sinnωt ) 2 n =1
4
其中ω = 2π T , 2 T2 an = ∫ fT (t ) cos n ωtdt T −T 2 2 T2 bn = ∫ fT (t ) sin n ωtdt T −T 2 在间断点t 处成立：
6
1 合并为： 合并为： cn = T
+∞
∫
fT (t )e −T 2
T 2
−in ωt
dt (n = 0, ±1, ±2,L)
级数化为： 级数化为：
n =−∞
cne in ωt ∑
T 2 1 +∞ = ∑ ∫ fT (τ )e −in ωτ dτ e in ωt T n =−∞ −T 2