线段和差最值问题-经典模型精编版
(完整word版)线段和差最值问题

专题一。
线段和(差)的最值问题【知识依据】1.线段公理—-两点之间,线段最短;2.对称的性质—-①关于一条直线对称的两个图形全等;②对称轴是两个对称图形对应点连线的垂直平分线;3.三角形两边之和大于第三边; 4.三角形两边之差小于第三边; 5、垂直线段最短。
一、已知两个定点:1、在一条直线m 上,求一点P ,使PA+PB 最小;(1)点A 、B 在直线m 两侧:(2)点A 、B 在直线同侧:A 、A ’ 是关于直线m 的对称点。
2、在直线m 、n 上分别找两点P 、Q ,使PA+PQ+QB 最小。
(1)两个点都在直线外侧:mmABmABmnmn(2)一个点在内侧,一个点在外侧:(3)两个点都在内侧:(4)、台球两次碰壁模型变式一:已知点A 、B 位于直线m ,n 的内侧,在直线n 、m 分别上求点D 、E 点,使得围成的四边形ADEB 周长最短。
变式二:已知点A 位于直线m ,n 的内侧, 在直线m 、n 分别上求点P 、Q 点PA+PQ+QA 周长最短。
nmnnnm二、一个动点,一个定点:(一)动点在直线上运动:点B在直线n上运动,在直线m上找一点P,使PA+PB最小(在图中画出点P和点B)1、两点在直线两侧:2、两点在直线同侧:(二)动点在圆上运动:点B在⊙O上运动,在直线m上找一点P,使PA+PB最小(在图中画出点P和点B)1、点与圆在直线两侧:2、点与圆在直线同侧:mnAmnmnmm m三、已知A 、B 是两个定点,P 、Q 是直线m 上的两个动点,P 在Q 的左侧,且PQ 间长度恒定,在直线m 上要求P 、Q 两点,使得PA+PQ+QB 的值最小。
(原理用平移知识解)(1)点A 、B 在直线m 两侧:过A 点作AC ∥m,且AC 长等于PQ 长,连接BC,交直线m 于Q,Q 向左移动PQ 长,即为P 点,此时P 、Q 即为所求的点.(2)点A 、B 在直线m 同侧:四、求两线段差的最大值问题(运用三角形两边之差小于第三边)1、在一条直线m 上,求一点P,使PA 与PB 的差最大; (1)点A 、B 在直线m 同侧:(2)点A 、B 在直线m 异侧:BmQQmlBA过B 作关于直线m 的对称点B',连接AB ’交点直线m 于P,此时PB=PB ’,PA-PB 最大值为AB'Ⅰ.专题精讲最值问题是一类综合性较强的问题,而线段和(差)问题,要归归于几何模型:(1)归于“两点之间的连线中,线段最短”凡属于求“变动的两线段之和的最小值”时,大都应用这一模型. (2)归于“三角形两边之差小于第三边”凡属于求“变动的两线段之差的最大值”时,大都应用这一模型.Ⅱ.典型例题剖析一.归入“两点之间的连线中,线段最短” Ⅰ.“饮马”几何模型:条件:如下左图,A 、B 是直线l 同旁的两个定点. 问题:在直线l 上确定一点P ,使PA +PB 的值最小.模型应用:1.如图,正方形ABCD 的边长为2,E 为AB 的中点,P 是AC 上一动点.则PB +PE 的最小值是 .2.如图,⊙O 的半径为2,点A 、B 、C 在⊙O 上,OA ⊥OB ,∠AOC =60°,P 是OB 上一动点,则PA +PC 的最小值是 .3.如图,在锐角△ABC 中,AB =42,∠BAC =45°,∠BAC 的平分线交BC 于点D ,M 、N 分别是AD 和AB 上的动点,则BM +MN 的最小值是 .4.如图,在直角梯形ABCD 中,∠ABC =90°,AD ∥BC ,AD =4,AB =5,BC =6,点P 是AB 上一个动点,当PC+PD 的和最小时,PB 的长为__________.5.如图,等腰梯形ABCD 中,AB =AD =CD =1,∠ABC =60°,P 是上底,下底中点EF 直线上的一点,则PA +PB 的最小值为 .6.如图,MN 是半径为1的⊙O 的直径,点A 在⊙O 上,∠AMN =30°,B 为AN 弧的中点,P 是直径MN 上一动点,则PA +PB 的最小值为 .第1题 第2题 第3题第4题7.已知A(-2,3),B(3,1),P点在x轴上,若PA+PB长度最小,则最小值为.若PA—PB长度最大,则最大值为.8.已知:如图所示,抛物线y=-x2+bx+c与x轴的两个交点分别为A(1,0),B(3,0).(1)求抛物线的解析式;(2)设点P在该抛物线上滑动,且满足条件S△PAB=1的点P有几个?并求出所有点P的坐标;(3)设抛物线交y轴于点C,问该抛物线对称轴上是否存在点M,使得△MAC的周长最小?若存在,求出点M 的坐标;若不存在,请说明理由.Ⅱ.台球两次碰壁模型已知点A位于直线m,n的内侧,在直线m、n分别上求点P、Q点,使PA+PQ+QA周长最短.变式:已知点A、B位于直线m,n 的内侧,在直线m、n分别上求点D、E点,使得围成的四边形ADEB周长最短。
初中几何中线段和差的最大值与最小值典型分析(最全)

初中几何中线段和(差)的最值问题一、两条线段和的最小值。
基本图形解析:(对称轴为:动点所在的直线上)一)、已知两个定点:1、在一条直线m 上,求一点P ,使PA+PB 最小; (1)点A 、B 在直线m 两侧:(2)点A 、B 在直线同侧:A 、A ’ 是关于直线m 的对称点。
2、在直线m 、n 上分别找两点P 、Q ,使PA+PQ+QB 最小。
(1)两个点都在直线外侧:(2)一个点在内侧,一个点在外侧:m m mmABmn m nnmn(3)两个点都在内侧:(4)、台球两次碰壁模型变式一:已知点A 、B 位于直线m,n 的内侧,在直线n 、m 分别上求点D 、E 点,使得围成的四边形ADEB 周长最短.填空:最短周长=________________变式二:已知点A 位于直线m,n 的内侧, 在直线m 、n 分别上求点P 、Q 点PA+PQ+QA 周长最短.二)、一个动点,一个定点: (一)动点在直线上运动:点B 在直线n 上运动,在直线m 上找一点P ,使PA+PB 最小(在图中画出点P 和点B ) 1、两点在直线两侧:nnm Bnn2、两点在直线同侧:(二)动点在圆上运动点B 在⊙O 上运动,在直线m 上找一点P ,使PA+PB 最小(在图中画出点P 和点B ) 1、点与圆在直线两侧:2、点与圆在直线同侧:三)、已知A 、B 是两个定点,P 、Q 是直线m 上的两个动点,P 在Q 的左侧,且PQ 间长度恒定,在直线m 上要求P 、Q 两点,使得PA+PQ+QB 的值最小。
(原理用平移知识解) (1)点A 、B 在直线m 两侧:mnmmmmm过A 点作AC ∥m,且AC 长等于PQ 长,连接BC,交直线m 于Q,Q 向左平移PQ 长,即为P 点,此时P 、Q 即为所求的点。
(2)点A 、B 在直线m 同侧: 练习题1.如图,∠AOB =45°,P 是∠AOB 内一点,PO =10,Q 、R 分别是OA 、OB 上的动点,求△PQR 周长的最小值为 .2、 如图1,在锐角三角形ABC 中,AB=4,∠BAC=45°,∠BAC 的平分线交BC 于点D ,M,N 分别是AD 和AB 上的动点,则BM+MN 的最小值为 . 3、如图,在锐角三角形ABC 中 ,AB=52,∠BAC=45,BAC 的平分线交BC 于D ,M 、N 分别是AD 和AB 上的动点,则BM+MN 的最小值是多少mABB'EQ PmABQPQ4、如图4所示,等边△ABC的边长为6,AD是BC边上的中线,M是AD上的动点,E是AC边上一点.若AE=2,EM+CM的最小值为.5、如图3,在直角梯形ABCD中,∠ABC=90°,AD∥BC,AD=4,AB=5,BC=6,点P是AB 上一个动点,当PC+PD的和最小时,PB的长为__________.6、如图4,等腰梯形ABCD中,AB=AD=CD=1,∠ABC=60°,P是上底,下底中点EF直线上的一点,则PA+PB的最小值为.7、如图5菱形ABCD中,AB=2,∠BAD=60°,E是AB的中点,P是对角线AC上的一个动点,则PE+PB的最小值为.8、如图,菱形ABCD的两条对角线分别长6和8,点P是对角线AC上的一个动点,点M、N分别是边AB、BC的中点,则PM+PN的最小值是9、如图,圆柱形玻璃杯,高为12cm,底面周长为18cm,在杯内离杯底3cm的点C处有一滴蜂蜜,此时一只蚂蚁正好在杯外壁,离杯上沿4cm与蜂蜜相对的点A处,则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为________cm.10、如图,菱形ABCD中,AB=2,∠A=120°,点P,Q,K分别为线段BC,CD,BD上的任意一点,则PK+QK的最小值为11、如图,正方形ABCD的边长为2,E为AB的中点,P是AC上一动点.则PB+PE的最小值是12、如图6所示,已知正方形ABCD的边长为8,点M在DC上,且DM=2,N是AC上的一个动点,则DN+MN的最小值为.13、如图,正方形ABCD的边长是2,∠DAC的平分线交DC于点E,若点P、Q分别是AD和AE上的动点,则DQ+PQ的最小值为.14、如图7,在边长为2cm的正方形ABCD中,点Q为BC边的中点,点P为对角线AC上一动点,连接PB、PQ,则△PBQ周长的最小值为cm.(结果不取近似值).15、如图,⊙O的半径为2,点A、B、C在⊙O上,OA⊥OB,∠AOC=60°,P是OB上一动点,则PA+PC的最小值是.16、如图8,MN是半径为1的⊙O的直径,点A在⊙O上,∠AMN=30°,B为AN弧的中点,P是直径MN上一动点,则PA+PB的最小值为( )(A)2 (B) (C)1 (D)2解答题1、如图9,正比例函数y=x的图象与反比例函数y=(k≠0)在第一象限的图象交于A 点,过A点作x轴的垂线,垂足为M,已知三角形OAM的面积为1.(1)求反比例函数的解析式;(2)如果B为反比例函数在第一象限图象上的点(点B与点A不重合),且B点的横坐标为1,在x轴上求一点P,使PA+PB最小.2、如图,一元二次方程x2+2x-3=0的二根x1,x2(x1<x2)是抛物线y=ax2+bx+c 与x轴的两个交点B,C的横坐标,且此抛物线过点A(3,6).(1)求此二次函数的解析式;(2)设此抛物线的顶点为P,对称轴与AC相交于点Q,求点P和点Q的坐标;(3)在x轴上有一动点M,当MQ+MA取得最小值时,求M点的坐标.3、如图10,在平面直角坐标系中,点A的坐标为(1,),△AOB的面积是.(1)求点B的坐标;(2)求过点A、O、B的抛物线的解析式;(3)在(2)中抛物线的对称轴上是否存在点C,使△AOC的周长最小若存在,求出点C的坐标;若不存在,请说明理由;4.如图,抛物线y =35x 2-185x +3和y 轴的交点为A ,M 为OA 的中点,若有一动点P ,自M点处出发,沿直线运动到x 轴上的某点(设为点E ),再沿直线运动到该抛物线对称轴上的某点(设为点F ),最后又沿直线运动到点A ,求使点P 运动的总路程最短的点E ,点F 的坐标,并求出这个最短路程的长.5.如图,已知在平面直角坐标系xOy 中,直角梯形OABC 的边OA 在y 轴的正半轴上,OC 在x 轴的正半轴上,OA =AB =2,OC =3,过点B 作BD ⊥BC ,交OA 于点D .将∠DBC 绕点B 按顺时针方向旋转,角的两边分别交y 轴的正半轴、x 轴的正半轴于点E 和F . (1)求经过A 、B 、C 三点的抛物线的解析式; (2)当BE 经过(1)中抛物线的顶点时,求CF 的长;(3)在抛物线的对称轴上取两点P 、Q (点Q 在点P 的上方),且PQ =1,要使四边形BCPQ 的周长最小,求出P 、Q 两点的坐标.6.如图,已知平面直角坐标系,A,B两点的坐标分别为A(2,-3),B(4,-1)若C(a,0),D(a+3,0)是x轴上的两个动点,则当a为何值时,四边形ABDC的周长最短.7、如图11,在平面直角坐标系中,矩形的顶点O在坐标原点,顶点A、B分别在x 轴、y轴的正半轴上,OA=3,OB=4,D为边OB的中点.(1)若E为边OA上的一个动点,当△CDE的周长最小时,求点E的坐标;(2)若E、F为边OA上的两个动点,且EF=2,当四边形CDEF的周长最小时,求点E、F的坐标.v1.0 可编辑可修改二、求两线段差的最大值问题 (运用三角形两边之差小于第三边) 基本图形解析:1、在一条直线m 上,求一点P ,使PA 与PB 的差最大; (1)点A 、B 在直线m 同侧:解析:延长AB 交直线m 于点P ,根据三角形两边之差小于第三边,P ’A —P ’B <AB ,而PA —PB=AB 此时最大,因此点P 为所求的点。
部编数学九年级下册专项10二次函数和线段和差最值问题(解析版)含答案

专项10 二次函数和线段和差最值问题“将军饮马”问题主要利用构造对称图形解决求两条线段和差、三角形周长、四边形周长等一类最值问题,会与直线、角、三角形、四边形、圆、抛物线等图形结合,在近年的中考和竞赛中经常出现,而且大多以压轴题的形式出现。
“两点定点一定长”模型一:当两定点 A、B 在直线l异侧时,在直线l上找一点 P,使 PA+PB 最小。
作法:连接AB交直线l 于点 P,点P即为所求作的点。
结论:PA+PB值最小模型二:作法:作点B关于直线l的对称点B’,连接AB’与直线l相交的点P即为所求结论:AP+PB’值最小模型三:PA-最大。
当两定点 A、B 在直线l同侧时,在直线l上找一点 P,使PB作法:接 AB并延长交直线l于点 P,点P即为所求作的点。
PA-的最大值为 AB。
结论:PBPA-最大。
当 l 两B定点 A、B 在直线l 异侧时,在直线l 上找一点 P,使PB作法:作点B关于直线l的对称点B′,连接AB′并延长交直线于点 P,点P即为所求作的点。
PA-的最大值为AB′结论:PB模型四:当 l 两定点 A、B 在直线l同侧时,在直线l上找一点 P,使PBPA-最小。
作法:连接 AB,作AB的垂直平分线交直线l于点 P,点 P 即为所求作的点。
PA-的最小值为 0结论:PB【考点1 线段最值问题】【典例1】(盘锦)如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2+bx+4交y轴于点C,交x 轴于A、B两点,A(﹣2,0),a+b=,点M是抛物线上的动点,点M在顶点和B点之间运动(不包括顶点和B点),ME∥y轴,交直线BC于点E.(1)求抛物线的解析式;(2)求线段ME的最大值;【解答】解:(1)将点A的坐标代入抛物线表达式得:0=4a﹣2b+4,则,解得:,故抛物线的表达式为:y=﹣x2+x+4;(2)y=﹣x2+x+4,令x=0,则y=4,令y=0,则x=4或﹣2,故点A、B、C的坐标分别为:(﹣2,0)、(4,0)、(0,4),设直线BC的表达式为:y=kx+b,则,解得:,故直线BC的表达式为:y=﹣x+4,设点M(x,﹣x2+x+4),则点E(x,﹣x+4),则ME=(﹣x2+x+4)﹣(x﹣4)=﹣x2+2x,∵,故ME有最大值,当x=2时,ME的最大值为2;【变式1-1】(2021•柳南区校级模拟)如图,已知二次函数图象的顶点坐标为C(1,0),直线y=x+m与该二次函数的图象交于A、B两点,其中A点的坐标为(3,4),B点在轴y上.(1)求m的值及这个二次函数的关系式;(2)P为线段AB上的一个动点(点P与A、B不重合),过P作x轴的垂线与这个二次函数的图象交于点E点,设线段PE的长为h,点P的横坐标为x.①求h与x之间的函数关系式,并写出自变量x的取值范围;②线段PE的长h是否存在最大值?若存在,求出它的最大值及此时的x值;若不存在,请说明理由?【解答】解:(1)∵点A(3,4)在直线y=x+m上,∴4=3+m.∴m=1.设所求二次函数的关系式为y=a(x﹣1)2.∵点A(3,4)在二次函数y=a(x﹣1)2的图象上,∴4=a(3﹣1)2,∴a=1.∴所求二次函数的关系式为y=(x﹣1)2.即y=x2﹣2x+1.(2)①设P、E两点的纵坐标分别为y P和y E.∴PE=h=y P﹣y E=(x+1)﹣(x2﹣2x+1)=﹣x2+3x.即h=﹣x2+3x(0<x<3).②存在.∵h=﹣(x﹣)2+,又∵a=﹣1<0,∴x=时,h的值最大,最大值为.【变式1-2】(2022春•丰城市校级期末)如图,已知二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴相交于A(﹣1,0),B(3,0)两点,与y轴相交于点C(0,﹣3).(1)求这个二次函数的表达式;(2)若P是第四象限内这个二次函数的图象上任意一点,PH⊥x轴于点H,与BC交于点M,连接PC.求线段PM的最大值;【解答】解:(1)将A,B,C代入函数解析式得,,解得,∴这个二次函数的表达式y=x2﹣2x﹣3;(2)设BC的解析式为y=kx+b,将B,C的坐标代入函数解析式得,,解得,∴BC的解析式为y=x﹣3,设M(n,n﹣3),P(n,n2﹣2n﹣3),PM=(n﹣3)﹣(n2﹣2n﹣3)=﹣n2+3n=﹣(n﹣)2+,=,当n=时,PM最大∴线段PM的最大值;【典例2】(2020秋•椒江区校级月考)如图,已知抛物线y=ax2+bx+3(a≠0)经过点A (1,0)和点B(3,0),与y轴交于点C.(1)求此抛物线的解析式;(2)若点T为对称轴直线x=2上一点,则TC﹣TB的最大值为多少?【解答】解:(1)设抛物线的表达式为y=a(x﹣x1)(x﹣x2)=a(x﹣1)(x﹣3)=a(x2﹣4x+3)=ax2+bx+3,解得a=1,故抛物线的表达式为y=x2﹣4x+3①;(2)点B关于函数对称轴的对称点为点A,连接CA交函数对称轴于点T,则点T为所求点,则TC﹣TB=TC﹣TA=AC为最大,故TC﹣TB的最大值为AC==,故答案为;【变式2】(2020•连云港)在平面直角坐标系xOy中,把与x轴交点相同的二次函数图象称为“共根抛物线”.如图,抛物线L1:y=x2﹣x﹣2的顶点为D,交x轴于点A、B(点A在点B左侧),交y轴于点C.抛物线L2与L1是“共根抛物线”,其顶点为P.(1)若抛物线L2经过点(2,﹣12),求L2对应的函数表达式;(2)当BP﹣CP的值最大时,求点P的坐标;【解答】解:(1)当y=0时,x2﹣x﹣2=0,解得x=﹣1或4,∴A(﹣1,0),B(4,0),C(0,﹣2),由题意设抛物线L2的解析式为y=a(x+1)(x﹣4),把(2,﹣12)代入y=a(x+1)(x﹣4),﹣12=﹣6a,解得a=2,∴抛物线的解析式为y=2(x+1)(x﹣4)=2x2﹣6x﹣8.(2)∵抛物线L2与L1是“共根抛物线”,A(﹣1,0),B(4,0),∴抛物线L1,L2的对称轴是直线x=,∴点P在直线x=上,∴BP=AP,如图1中,当A,C,P共线时,BP﹣PC的值最大,此时点P为直线AC与直线x=的交点,∵直线AC的解析式为y=﹣2x﹣2,∴P(,﹣5)【典例3】(2022•澄海区模拟)如图,抛物线y=ax2+bx+c交x轴于A、B两点,交y轴于点C,点A的坐标为(﹣1,0),点C坐标为(0,3),对称轴为x=1.点M为线段OB上的一个动点(不与两端点重合),过点M作PM⊥x轴,交抛物线于点P,交BC 于点Q.(1)求抛物线及直线BC的表达式;(2)过点P作PN⊥BC,垂足为点N.求线段PN的最大值;【解答】解:(1)∵抛物线对称轴为x=1,点B与A(﹣1,0)关于直线x=1对称,∴B(3,0),设y=a(x﹣3)(x+1),把C(0,3)代入得:﹣3a=3,解得:a=﹣1,∴y=﹣(x﹣3)(x+1)=﹣x2+2x+3,设直线BC的解析式为y=kx+d,则,解得:,∴直线BC的解析式为y=﹣x+3,故抛物线解析式为y=﹣x2+2x+3,直线BC的解析式为y=﹣x+3;(2)设P(t,﹣t2+2t+3),则Q(t,﹣t+3),∴PQ=﹣t2+2t+3﹣(﹣t+3)=﹣t2+3t,∵OB=OC=3,∠BOC=90°,∴∠BCO=45°,∵PQ⊥x轴,∴PQ∥y轴,∴∠PQN=∠BCO=45°,∵PN⊥BC,∴PN=PQ•sin∠PQN=(﹣t2+3t)•sin45°=﹣(t﹣)2+,∵<0,∴当t=时,PN的最大值为;【变式3】(2022•广元)在平面直角坐标系中,直线y=﹣x﹣2与x轴交于点A,与y轴交于点B,抛物线y=ax2+bx+c(a>0)经过A,B两点,并与x轴的正半轴交于点C.(1)求a,b满足的关系式及c的值;(2)当a=1时,若点Q是直线AB下方抛物线上的一个动点,过点Q作QD⊥AB于点D,当QD的值最大时,求此时点Q的坐标及QD的最大值.【解答】解:(1)直线y=﹣x﹣2中,当x=0时,y=﹣2,∴B(0,﹣2),当y=0时,﹣x﹣2=0,∴x=﹣2,∴A(﹣2,0),将A(﹣2,0),B(0,﹣2)代入抛物线y=ax2+bx+c(a>0)中,得,,∴2a﹣b=1,c=﹣2;(2)当a=1时,2×1﹣b=1,∴b=1,∴y=x2+x﹣2,∴A(﹣2,0),B(0,﹣2),C(1,0),∴OA=OB,∴△AOB是等腰直角三角形,∴∠OAB=45°,如图2,过点Q作QF⊥x轴于F,交AB于E,则△EQD是等腰直角三角形,设Q(m,m2+m﹣2),则E(m,﹣m﹣2),∴QE=(﹣m﹣2)﹣(m2+m﹣2)=﹣m2﹣2m=﹣(m+1)2+1,∴QD=QE=﹣(m+1)2+,当m=﹣1时,QD有最大值是,当m=﹣1时,y=1﹣1﹣2=﹣2,综上,点Q的坐标为(﹣1,﹣2)时,QD有最大值是.【考点2 线段和最小】【典例4】(2019秋•东莞市校级期末)已知,抛物线y=ax2+bx+c,过A(﹣1,0)、B (3,0)、C(0,﹣3),M为顶点.(1)求抛物线的解析式;(2)在该抛物线的对称轴上找一点P,使得PA+PC的值最小,并求出P的坐标;【解答】解:(1)设抛物线解析式为y=a(x+1)(x﹣3),把C(0,﹣3)代入得a×(0+1)×(0﹣3)=﹣3,解得a=1,∴抛物线解析式为y=(x+1)(x﹣3),即y=x2﹣2x﹣3;(2)抛物线的对称轴为直线x=1,点A与点B关于直线x=1对称,连接BC交直线x=1于P点,则PA=PB,∵PA+PC=PB+PC=BC,∴此时PA+PC的值最小,设直线BC的解析式为y=mx+n,把B(3,0),C(0,﹣3)代入得,解得,∴直线BC的解析式为y=x﹣3,当x=1时,y=x﹣3=﹣2,则满足条件的P点坐标为(1,﹣2);【变式4-1】(2019•赤峰)如图,直线y=﹣x+3与x轴、y轴分别交于B、C两点,抛物线y=﹣x2+bx+c经过点B、C,与x轴另一交点为A,顶点为D.(1)求抛物线的解析式;(2)在x轴上找一点E,使EC+ED的值最小,求EC+ED的最小值;【解答】解:(1)直线y=﹣x+3与x轴、y轴分别交于B、C两点,则点B、C的坐标分别为(3,0)、(0,3),将点B、C的坐标代入二次函数表达式得:,解得:,故函数的表达式为:y=﹣x2+2x+3,令y=0,则x=﹣1或3,故点A(﹣1,0);(2)如图1中,作点C关于x轴的对称点C′,连接CD′交x轴于点E,则此时EC+ED 为最小,函数顶点D坐标为(1,4),点C′(0,﹣3),将C′、D的坐标代入一次函数表达式并解得:直线C′D的表达式为:y=7x﹣3,当y=0时,x=,故点E(,0),则EC+ED的最小值为DC′=;【变式4-2】(2016•黑龙江二模)如图,抛物线y=x2+bx﹣2与x轴交于A、B两点,与y轴交于C点,且A(﹣1,0).(1)求抛物线的解析式及顶点D的坐标;(2)点M(m,0)是x轴上的一个动点,当CM+DM的值最小时,求m的值.【解答】解:(1)∵点A(﹣1,0)在抛物线y=x2+bx﹣2上,∴×(﹣1)2+b×(﹣1)﹣2=0,解得:b=﹣,∴抛物线的解析式为:y=x2﹣x﹣2.∵y=x2﹣x﹣2=(x2﹣3x﹣4 )=,∴顶点D的坐标为(,﹣).(2)设点C关于x轴的对称点为C′,直线C′D的解析式为y=kx+n,则,解得:.∴y=﹣x+2.∴当y=0时,﹣x+2=0,解得:x=.∴m=.【典例5】(2022•恩施州模拟)如图1,已知抛物线.点A(﹣1,2)在抛物线的对称轴上,是抛物线与y轴的交点,D为抛物线上一动点,过点D 作x轴的垂线,垂足为点C.(1)直接写出h,k的值;(2)如图1,若点D的坐标为(3,m),点Q为y轴上一动点,直线QK与抛物线对称轴垂直,垂足为点K.探求DK+KQ+QC的值是否存在最小值,若存在,求出这个最小值及点Q的坐标;若不存在,请说明理由;【解答】解:(1)∵点A(﹣1,2)在抛物线的对称轴上,∴抛物线的对称轴为直线x=﹣1,∴h=1,∴y=(x+1)2+k,∵是抛物线与y轴的交点,∴+k=,∴k=1;(2)存在最小值,理由如下:由(1)可知y=(x+1)2+1,作C点关于直线x=﹣的对称点C',连接C'D交抛物线对称轴于点K,连接CQ,由对称性可知C'K=CQ,∴CQ+KQ+KD=C'K+KD+KQ≥C'D+KQ,当C'、K、D三点共线时,CQ+KQ+KD的值最小,∵抛物线的对称轴为直线x=﹣1,∴KQ=1,∵D(3,5),CD⊥x轴,∵C(3,0),∴C'(﹣4,0),∴C'D=,∴CQ+KQ+KD的最小值为+1,设直线C'D的解析式为y=kx+b,∴,解得,∴y=x+,∴K(﹣1,),∴Q(0,);【变式5】(2022•桂林)如图,抛物线y=﹣x2+3x+4与x轴交于A,B两点(点A位于点B 的左侧),与y轴交于C点,抛物线的对称轴l与x轴交于点N,长为1的线段PQ(点P位于点Q的上方)在x轴上方的抛物线对称轴上运动.(1)直接写出A,B,C三点的坐标;(2)求CP+PQ+QB的最小值;【解答】解:(1)在y=﹣x2+3x+4中,令x=0得y=4,令y=0得x=﹣1或x=4,∴A(﹣1,0),B(4,0),C(0,4);(2)将C(0,4)向下平移至C',使CC'=PQ,连接BC'交抛物线的对称轴l于Q,如图:∵CC'=PQ,CC'∥PQ,∴四边形CC'QP是平行四边形,∴CP=C'Q,∴CP+PQ+BQ=C'Q+PQ+BQ=BC'+PQ,∵B,Q,C'共线,∴此时CP+PQ+BQ最小,最小值为BC'+PQ的值,∵C(0,4),CC'=PQ=1,∴C'(0,3),∵B(4,0),∴BC'==5,∴BC'+PQ=5+1=6,∴CP+PQ+BQ最小值为6;【考点3 周长最值问题】【典例6】(2020春•五华区校级期末)如图,抛物线y=x2+bx﹣3与x轴交于A,B两点,与y轴交于C点,且A(﹣1,0).(1)求抛物线的解析式及顶点D的坐标;(2)点M是对称轴上的一个动点,当△ACM的周长最小时,求点M的坐标.【解答】解:(1)∵点A(﹣1,0)在抛物线y=x2+bx﹣3上,∴b=﹣2,∴抛物线解析式y=x2﹣2x﹣3,∵抛物线y=x2﹣2x﹣3=(x﹣1)2﹣4,∴顶点D的坐标(1,﹣4);(2)对于y=x2﹣2x﹣3,当x=0时,y=﹣3,∴C(0,﹣3),当y=0时,0=x2﹣2x﹣3,解得:x=3或﹣1,∴B(3,0),由抛物线的性质可知:点A和B是对称点,∴连接BC交函数的对称轴于点M,此时AM+CM=BC为最小值,而BC的长度是常数,故此时△ACM的周长最小,设直线BC的表达式为y=mx+n,则,解得,故直线BC的表达式为y=x﹣3,当x=1时,y=﹣2,故点M(1,﹣2).【变式6-1】(2021•富拉尔基区模拟)如图,已知抛物线y=ax2+bx+3(a≠0)与x轴交于点A(1,0)和点B(﹣3,0),与y轴交于点C.(1)求抛物线解析式;(2)若M是抛物线对称轴上的一点,则△ACM周长的最小值为多少?【解答】解:(1)∵抛物线y=ax2+bx+3(a≠0)与x轴交于点A(1,0)和点B(﹣3,0),∴,解得,∴抛物线解析式为y=﹣x2﹣2x+3;(2)∵△ACM周长的值最小,∴MC+AM的值最小,即点M即为直线BC与抛物线对称轴的交点,∴△ACM周长的最小值为BC+AC,∵点B(﹣3,0),C(0,3),∴BC==3,AC==,∴△ACM周长的最小值为,故答案为:;【变式6-2】(2022•齐河县模拟)如图1,抛物线y=ax2+bx+3过A(1,0)、B(3,0)两点,交y轴于点C.(1)求抛物线的函数解析式;(2)在抛物线的对称轴上是否存在点M,使△ACM的周长最小?若存在,求出△ACM 周长的最小值;若不存在,请说明理由.(3)如图2,连接BC,抛物线上是否存在一点P,使得∠BCP=∠ACB?若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.【解答】解:(1)∵抛物线y=ax2+bx+3过A(1,0)、B(3,0)两点,∴方程ax2+bx+3=0的两根为x=1或x=3,∴1+3=﹣,1×3=,∴a=1,b=﹣4,∴二次函数解析式是y=x2﹣4x+3;(2)∵二次函数解析式是y=x2﹣4x+3,∴抛物线的对称轴为直线x=2,C(0,3).∵点A、B关于对称轴对称,∴点M为BC与对称轴的交点时,MA+MC=BC的值最小.设直线BC的解析式为y=kx+t(k≠0),则,解得:.∴直线BC的解析式为y=﹣x+3.∵抛物线的对称轴为直线x=2.∴当x=2时,y=1.∴抛物线对称轴上存在点M(2,1)符合题意,∵A(1,0)、B(3,0),C(0,3).∴AC==,BC==3,∴AC+BC=+3,∴在抛物线的对称轴上存在点M,使△ACM的周长最小,△ACM周长的最小值为+3;【典例7】(2022春•衡阳期中)如图,直线y=﹣x+3与x轴交于点A,与y轴交于点B,抛物线y=ax2+x+c经过A、B两点.(1)求二次函数解析式;(2)如图1,点E在线段AB上方的抛物线上运动(不与A、B重合),过点E作ED⊥AB,交AB于点D,作EF⊥AC,交AC于点F,交AB于点M,求△DEM的周长的最大值;【解答】解:(1)∵直线y=﹣x+3与x轴交于点A,与y轴交于点B,∴A(4,0),B(0,3).∵抛物线y=ax2+x+c经过A、B两点,∴,解得.∴二次函数的解析式为:y=﹣x2+x+3.(2)∵A(4,0),B(0,3).∴OA=4,OB=3,∴AB=5.∵ED⊥AB,∴∠EDM=∠AOB=90°,∵∠DEM+∠EMD=∠FMA+∠BAO=90°,∠FMA=∠EMD,∴∠DEM=∠BAO,∴△AOB∽△EDM,∴AO:OB:AB=ED:DM:EM=4:3:5,设E的横坐标为t,则E(t,﹣t2+t+3),∴M(t,﹣t+3),∴EM=﹣t2+t+3﹣(﹣t+3)=﹣t2+t.∴△DEM的周长为:ED+DM+EM=EM=﹣(t﹣2)2+,∴当t=2时,△DEM的周长的最大值为.【变式7】(2022春•北碚区校级期中)如图,在平面直角坐标系中,抛物线C1:y=ax2+bx+2交x轴于A、B两点(点A在点B的左侧),交y轴于点C,一次函数y=﹣x﹣1交抛物线于A,D两点,其中点D(3,﹣4).(1)求抛物线C1的解析式;(2)点G为抛物线上一点,且在线段BC上方,过点G作GH∥y轴交BC于H,交x 轴于点N,作GM⊥BC于点M,求△GHM周长的最大值;【解答】解:(1)∵一次函数y=﹣x﹣1交抛物线于A点,且点A在x轴上,∴A(﹣1,0);将A(﹣1,0)和D(3,﹣4)代入抛物线C1:y=ax2+bx+2,∴,解得,∴抛物线C1:y=﹣x2+x+2.(2)由(1)知抛物线C1:y=﹣x2+x+2.令y=0,解得x=﹣1或x=2,∴B(2,0);令x=0,则y=2,∴C(0,2).∴OB=OC=2,直线BC的解析式为:y=﹣x+2;∴△OBC是等腰直角三角形,且∠OBC=∠OCB=45°;∵GH∥y轴,∴∠GNB=90°,∴∠BHN=45°,∵GM⊥BC,∴∠GMH=90°,∵∠MGH=∠GHM=45°,∴GM=MH=GH;设点G的横坐标为t,则G(t,﹣t2+t+2),H(t,﹣t+2),∴GH=﹣t2+2t=﹣(t﹣1)2+1.∵﹣1<0,∴当t=1时,GH有最大值1;∵△GHM的周长为:GM+MH+GH=(+1)GH,∴△GHM周长的最大值为+1.1.(2022春•丰城市校级期末)如图,已知二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴相交于A (﹣1,0),B(3,0)两点,与y轴相交于点C(0,﹣3).(1)求这个二次函数的表达式;(2)若P是第四象限内这个二次函数的图象上任意一点,PH⊥x轴于点H,与BC交于点M,连接PC.求线段PM的最大值;【解答】解:(1)将A,B,C代入函数解析式得,,解得,∴这个二次函数的表达式y=x2﹣2x﹣3;(2)①设BC的解析式为y=kx+b,将B,C的坐标代入函数解析式得,,解得,∴BC的解析式为y=x﹣3,设M(n,n﹣3),P(n,n2﹣2n﹣3),PM=(n﹣3)﹣(n2﹣2n﹣3)=﹣n2+3n=﹣(n﹣)2+,=,当n=时,PM最大∴线段PM的最大值;2.(2022•宁远县模拟)如图,抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A,B两点,其中点A的坐标为(﹣3,0),与y轴交于点C,点D(﹣2,﹣3)在抛物线上.(1)求抛物线的解析式;(2)抛物线的对称轴上有一动点P,求出PA+PD的最小值;【解答】解:(1)∴二次函数y=x2+bx+c的图象经过A(﹣3,0),D(﹣2,﹣3),∴,解得:.∴二次函数解析式为y=x2+2x﹣3;(2)∵抛物线y=x2+2x﹣3的对称轴x=﹣=﹣1,D(﹣2,﹣3),C(0,﹣3),∴C、D关于抛物线的对称轴x=﹣1对称,连接AC与对称轴的交点就是点P,此时PA+PD=PA+PC=AC===3.∴PA+PD的最小值为3;3.(2022•昭平县二模)如图1,对称轴为直线x=1的抛物线经过B(3,0)、C(0,4)两点,抛物线与x轴的另一交点为A.(1)求抛物线的解析式;(2)若点P为抛物线对称轴上的一点,使PA+PC取得最小值,求点P的坐标;【解答】解:(1)由对称性得:A(﹣1,0),设抛物线的解析式为:y=a(x+1)(x﹣3),把C(0,4)代入:4=﹣3a,a=﹣,∴y=﹣(x+1)(x﹣3),∴抛物线的解析式为:y=﹣x2+x+4;(2)如图,点A与点B关于对称轴直线x=1对称,连接BC,交抛物线对称轴于点P,连接PA,即点P为所求点,此时PA+PC=PB+PC=BC的值最小,∵B(3,0)、C(0,4),设直线BC的函数解析式为y=kx+b,∴,解得,∴直线BC的函数解析式为y=﹣x+4,当x=1时,y=,∴P点的坐标为(1,);4.(2022春•石鼓区校级月考)已知:二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于A,B两点,其中A点坐标为(﹣3,0),与y轴交于点C,点D(﹣2,﹣3)在抛物线上.(1)求抛物线的解析式;(2)抛物线的对称轴上有一动点P,求△PAD周长的最小值.【解答】解:(1)将(﹣3,0),(﹣2,﹣3)代入y=x2+bx+c得,解得,∴抛物线解析式为y=x2+2x﹣3.(2)∵y=x2+2x﹣3,∴抛物线对称轴为直线x=﹣1,连接BD,交对称轴于点P,∵点A坐标为(﹣3,0),抛物线对称轴为直线x=﹣1,∴点B坐标为(1,0),∴BD==3,又∵AD==,∴△PAD周长的最小值为3+.5.(2022•江阴市校级一模)如图1,在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=ax2+bx+c与x 轴分别相交于A(﹣1,0)、B(3,0)两点,与y轴相交于点C(0,3).(1)求出这条抛物线的解析式及顶点M的坐标;(2)PQ是抛物线对称轴上长为1的一条动线段(点P在点Q上方),求AQ+QP+PC 的最小值;【解答】解:(1)∵抛物线过点A(﹣1,0),B(3,0),C(0,3),∴设抛物线解析式为y=a(x+1)(x﹣3),将C(0,3)代入,得:3=a(0+1)(0﹣3),解得:a=﹣1,∴y=﹣(x+1)(x﹣3)=﹣x2+2x+3=﹣(x﹣1)2+4,∴该抛物线解析式为y=﹣x2+2x+3,顶点坐标为M(1,4).(2)如图1,将点C沿y轴向下平移1个单位得C′(0,2),连接BC′交抛物线对称轴x=1于点Q′,过点C作CP′∥BC′,交对称轴于点P′,连接AQ′,∵A、B关于直线x=1对称,∴AQ′=BQ′,∵CP′∥BC′,P′Q′∥CC′,∴四边形CC′Q′P′是平行四边形,∴CP′=C′Q′,Q′P′=CC′=1,在Rt△BOC′中,BC′=,==.∴AQ′+Q′P′+P′C=BQ′+C′Q′+Q′P′=BC′+Q′P′=+1,此时,C′、Q′、B三点共线,BQ′+C′Q′的值最小,∴AQ+QP+PC的最小值为+1.6.(2022•常德)如图,已知抛物线过点O(0,0),A(5,5),且它的对称轴为x=2,点B是抛物线对称轴上的一点,且点B在第一象限.(1)求此抛物线的解析式;(2)当△OAB的面积为15时,求B的坐标;(3)在(2)的条件下,P是抛物线上的动点,当PA﹣PB的值最大时,求P的坐标以及PA﹣PB的最大值.【解答】解:(1)∵抛物线过点O(0,0),A(5,5),且它的对称轴为x=2,∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为(4,0),设抛物线解析式为y=ax(x﹣4),把A(5,5)代入,得5a=5,解得:a=1,∴y=x(x﹣4)=x2﹣4x,故此抛物线的解析式为y=x2﹣4x;(2)∵点B是抛物线对称轴上的一点,且点B在第一象限,∴设B(2,m)(m>0),设直线OA的解析式为y=kx,则5k=5,解得:k=1,∴直线OA的解析式为y=x,设直线OA与抛物线对称轴交于点H,则H(2,2),∴BH=m﹣2,=15,∵S△OAB∴×(m﹣2)×5=15,解得:t=8,∴点B的坐标为(2,8);(3)设直线AB的解析式为y=cx+d,把A(5,5),B(2,8)代入得:,解得:,∴直线AB的解析式为y=﹣x+10,当PA﹣PB的值最大时,A、B、P在同一条直线上,∵P是抛物线上的动点,∴,解得:,(舍去),∴P(﹣2,12),此时,PA﹣PB=AB==3.7.(2022•玉州区一模)如图,抛物线y=﹣x2x+4交x轴于A,B两点(点B在A的右边),与y轴交于点C,连接AC,BC.点P是第一象限内抛物线上的一个动点,点P 的横坐标为m,过点P作PM⊥x轴,垂足为点M,PM交BC于点Q.(1)求A、B两点坐标;(2)过点P作PN上BC,垂足为点N,请用含m的代数式表示线段PN的长,并求出当m为何值时PN有最大值,最大值是多少?【解答】解:(1)当y=0,﹣x2+x+4=0,解得x1=﹣3,x2=4,∴A(﹣3,0),B(4,0),(2)设点P(m,﹣m2+m+4),则点Q(m,﹣m+4),∵OB=OC,∴∠ABC=∠OCB=45°=∠PQN,P~N=PQ•sin∠PQN=(﹣m2+m+4+m﹣4)=﹣(m﹣2)2+,∵﹣<0,∴PN有最大值,当m=2时,PN的最大值为.8.(2022•怀化)如图一所示,在平面直角坐标中,抛物线y=ax2+2x+c经过点A(﹣1,0)、B(3,0),与y轴交于点C,顶点为点D.在线段CB上方的抛物线上有一动点P,过点P作PE⊥BC于点E,作PF∥AB交BC于点F.(1)求抛物线和直线BC的函数表达式.(2)当△PEF的周长为最大值时,求点P的坐标和△PEF的周长.【解答】解:(1)∵抛物线y=ax2+2x+c经过点A(﹣1,0)、B(3,0),∴,解得,∴抛物线的解析式为y=﹣x2+2x+3,令x=0,可得y=3,∴C(0,3),设直线BC的解析式为y=kx+b,则,∴,∴直线BC的解析式为y=﹣x+3;(2)如图一中,连接PC,OP,PB.设P(m,﹣m2+2m+3),∵B (3,0),C (0,3),∴OB =OC =3,∴∠OBC =45°,∵PF ∥AB ,∴∠PFE =∠OBC =45°,∵PE ⊥BC ,∴△PEF 是等腰直角三角形,∴PE 的值最大时,△PEF 的周长最大,∵S △PBC =S △POB +S △POC ﹣S △OBC=×3×(﹣m 2+2m +3)+×3×m ﹣×3×3=﹣m 2+m=﹣(m ﹣)2+,∵﹣<0,∴m =时,△PBC 的面积最大,面积的最大值为,此时PE 的值最大,∵×3×PE =,∴PE =,∴△PEF 的周长的最大值=++=+,此时P (,);。
线段的和差倍分专项训练题1精编版

线段的和差倍分专项训练题11.线段AD=6cm,线段AC=BD=4cm ,E、F分别是线段AB、CD中点,求EF2.已知线段AB=12cm,直线AB上有一点C,且BC=6cm,M是线段AC的中点,求线段AM的长3.在直线l上取 A,B两点,使AB=10厘米,再在l上取一点C,使AC=2厘米,M,N分别是AB,AC中点.求MN 的长度4.如图,已知线段AB和CD的公共部分BD=31AB=41CD,线段AB、CD的中点E、F之间距离是10cm,求AB,CD的长5.如图,点C在线段AB上,AC=8厘米,CB=6厘米,点M、N分别是AC、BC的中点.①求线段MN的长;②若C 为线段AB上任一点,满足AC+CB=a厘米,其它条件不变,你能猜想MN的长度吗?并说明理由6.如图,已知C点为线段AB的中点,D点为BC的中点,AB=10cm,求AD的长度7.如图AD=0.5BD,E是BC的中点,BE=2cm, AC=10cm,求线段DE的长8.已知B、C是线段AD上两点,且AB:BC:CD=2:4:3,M是AD的中点,CD=6cm,求线段MC的长9.如图,点C、D在线段AB 上.AC=6cm,CD=4cm,AB=12cm,则图中所有线段的和是________cm10.线段AB=12.6 cm,点C 在BA 的延长线上,AC=3.6 cm,M 是BC 中点,则AM 的长是________cm11.如图,线段AB被点C、D分成了4︰5:6三部分,且AC的中点M和DB的中点N之间的距离是40 cm,求AB 的长12.如图,线段AC∶CD∶DB=3∶4∶5,M,N分别是CD,AB的中点,且MN=2 cm,求AB的长13.如图,点C分线段AB为5∶7,点D分线段AB为5∶11,已知CD=10 cm,求AB的长14.如图,已知线段AB上有两点C、D,且AC=BD,M,N分别为AC、AD的中点,若AB=acm,AC=BD=bcm,且a,b 满足(a-10)2+︱0.5b-4︱=0.(1)求AB,AC的长;(2)求线段MN的长15.已知线段AB=4,在线段AB的延长线上取一点C,使AC=5BC/3,在线段AB的反向延长线上取一点D,使BD=4DC /7,若E为DC的中点,求BE的长16.已知C为线段AB的中点,D为线段AC的中点,解答下列问题:①画出相应的图形,并写出图中所有的线段;②若图中所有线段的长度和为26,求线段AC的长度;③若E为线段BC上的点,M为线段EB的中点,DM=a,CE=b,求线段AB的长度(用含有a,b的代数式表示)。
(完整版)初中几何中线段和与差最值问题

初中几何中线段和(差)的最值问题一、两条线段和的最小值。
基本图形解析:一)、已知两个定点:1、在一条直线m上,求一点P,使PA+PB最小; (1 )点A B在直线m两侧:■: m(2)点A B在直线同侧:2、在直线m n上分别找两点P、Q,(1)两个点都在直线外侧: 使PA+PQ+Q最小。
BPA'B(2)一个点在内侧,一个点在外侧:Q (3)两个点都在内侧:B'B'* 2(4 )、台球两次碰壁模型变式一:已知点 A 、B 位于直线m,n 的内侧,在直线n 、m 分别上求点D 、E 点,使得 围成的四边形ADEB 周长最短.二)、一个动点,一个定点: (一)动点在直线上运动:点B 在直线n 上运动,在直线 m 上找一点P ,使PA+PB 最小(在图中画出点 P 和点B ) 1两点在直线两侧:(二)动点在圆上运动点B 在O O 上运动,在直线 m 上找一点P ,使PA+PB 最小(在图中画出点 P 和点B ) 1点与圆在直线两侧:变式二:已知点 A 位于直线m,n 的内侧,在直线 m n 分别上求点 周长最短.P 、Q 点 PA+PQ+QA 2、两点在直线同侧:-:mP'A"B'2、点与圆在直线同侧:三)、已知A B是两个定点,P、Q是直线m上的两个动点,P在Q的左侧,且PQ间长度恒定在直线m上要求P、Q两点,使得PA+PQ+Q的值最小。
(原理用平移知识解)(1 )点A、B在直线m两侧:A■作法:过A点作AC// m,且AC长等于PQ长,连接BC,交直线m于Q,Q向左平移PQ长,即为P点,此时P、Q即为所求的点。
B'(2)点A B在直线m同侧:1.如图1, / AOB45。
,P是/ AOB^一点,PO10, Q R分别是OA 0B上的动点,求厶PQR周长的最小值为______________________________2、如图2,在锐角三角形ABC中,AB=4』^, / BAC=45,/ BAC的平分线交BC于点D, M,N分别是AD和AB上的动点,贝U BM+M的最小值为 ___________________________ .3、如图3,在锐角三角形ABC中,AB=5j2,/ BAC=45 BAC的平分线交BC于D, M N分别是AD和AB上的动点,贝U BM+MN勺最小值是______________ 。
经典几何中线段和差最值含答案2

• 答案:解:先求出三角形ABC的三边长度,再求出它们的长度之差,最后求出最大值。
• 题目:已知四边形ABCD的四个顶点分别为A(1,2),B(-2,-1),C(4,3),D(x,y),且|AB|=|CD|,求|AD|与 |BC|的长度之差的最大值。 答案:解:先利用已知条件求出点D的坐标,再分别求出|AD|和|BC|的长度, 最后求出它们的长度之差的最大值。
线段和差最值问题的定义
定义及问题描述
线段和差最值问题的定义:给定一定长度的线段,求出其中若干线段之和的最大值或最小值。
问题描述:在平面几何中,线段和差最值问题是一个经典的数学问题,其求解过程涉及到不等式、 函数、几何等数学领域的知识。
求解思路:通过构造辅助线、运用不等式性质、利用函数极值等手段,求出线段和差的最值。
参数法
定义:参数法是一种通过引入参数来表示问题中的变量,从而简化问题的方法。
应用场景:在几何问题中,常常需要求解线段和差的最值问题,此时可以通过引入参数来表示线 段的长度,从而将问题转化为参数的函数关系。
解题步骤:首先确定参数,然后根据几何关系建立参数的函数关系,最后求出该函数的最大值或 最小值即可得到线段和差的最值。
答案:M的坐标为(-0.5,0.5)
题目:已知点A(3,5),B(-4,-2),C(x,-3),D(y, 3),且AB平行于CD,求x和y的值。 答案:x=-1, y=6
答案:x=-1, y=6
题目:已知点A(1,2),B(-2,-1),求线段AB的中点M的坐标。 答案:M的坐标为(-0.5,0.5)
初中几何中线段和差的最大值与最小值模型解析学习资料

精品文档初中几何中线段和(差)的最值问题一、两条线段和的最小值。
基本图形解析:一)已知两个定点:1、在一条直线m 上,求一点P ,使PA+PB 最小; (1)点A 、B 在直线m 两侧:(2)点A 、B 在直线同侧:A 、A ’ 是关于直线m 的对称点。
2、在直线m 、n 上分别找两点P 、Q ,使PA+PQ+QB 最小。
(1)两个点都在直线外侧:(2)一个点在内侧,一个点在外侧:(3)两个点都在内侧:mmB mA Bmn mnnmnnnm(4)台球两次碰壁模型变式一:已知点A、B位于直线m,n 的内侧,在直线n、m分别上求点D、E点,使得围成的四边形ADEB周长最短.填空:最短周长=________________变式二:已知点A位于直线m,n 的内侧, 在直线m、n分别上求点P、Q点PA+PQ+QA周长最短.二)一个动点,一个定点:(一)动点在直线上运动:点B在直线n上运动,在直线m上找一点P,使PA+PB最小(在图中画出点P和点B)1、两点在直线两侧:2、两点在直线同侧:(二)动点在圆上运动点B在⊙O上运动,在直线m上找一点P,使PA+PB最小(在图中画出点P和点B)1、点与圆在直线两侧:mnmnmnmm m精品文档2、点与圆在直线同侧:(三)已知A 、B 是两个定点,P 、Q 是直线m 上的两个动点,P 在Q 的左侧,且PQ 间长度恒定,在直线m 上要求P 、Q 两点,使得PA+PQ+QB 的值最小。
(原理用平移知识解) (1)点A 、B 在直线m 两侧:过A 点作AC ∥m,且AC 长等于PQ 长,连接BC,交直线m 于Q,Q 向左平移PQ 长,即为P 点,此时P 、Q 即为所求的点。
(2)点A 、B 在直线m 同侧:二、求两线段差的最大值问题 (运用三角形两边之差小于第三边) 基本图形解析:1、在一条直线m 上,求一点P ,使PA 与PB 的差最大;(1)点A 、B 在直线m 同侧:解析:延长AB 交直线m 于点P ,根据三角形两边之差小于第三边,P ’A —P ’B <AB ,而PA —PB=AB 此时最大,因此点P 为所求的点。
初中几何中线段和与差最值问题

初中几何中线段和(差)的最值问题一、两条线段和的最小值。
基本图形解析: 一)、已知两个定点:1、在一条直线m 上,求一点P ,使PA+PB 最小; (1)点A 、B 在直线m 两侧:(2)点A 、B 在直线同侧:2、在直线m 、n 上分别找两点P 、Q ,使PA+PQ+QB 最小。
(1)两个点都在直线外侧:(2)一个点在内侧,一个点在外侧:(3)两个点都在内侧:mm B mA Bmn mnn mnnn m(4)、台球两次碰壁模型变式一:已知点A 、B 位于直线m,n 的内侧,在直线n 、m 分别上求点D 、E 点,使得围成的四边形ADEB 周长最短.变式二:已知点A 位于直线m,n 的内侧, 在直线m 、n 分别上求点P 、Q 点PA+PQ+QA 周长最短.二)、一个动点,一个定点: (一)动点在直线上运动:点B 在直线n 上运动,在直线m 上找一点P ,使PA+PB 最小(在图中画出点P 和点B ) 1、两点在直线两侧:2、两点在直线同侧:(二)动点在圆上运动点B 在⊙O 上运动,在直线m 上找一点P ,使PA+PB 最小(在图中画出点P 和点B ) 1、点与圆在直线两侧:m nmnm nmmm2、点与圆在直线同侧:三)、已知A 、B 是两个定点,P 、Q 是直线m 上的两个动点,P 在Q 的左侧,且PQ 间长度恒定,在直线m 上要求P 、Q 两点,使得PA+PQ+QB 的值最小。
(原理用平移知识解) (1)点A 、B 在直线m 两侧:作法:过A 点作AC ∥m,且AC 长等于PQ 长,连接BC,交直线m 于Q,Q 向左平移PQ 长,即为P 点,此时P 、Q 即为所求的点。
(2)点A 、B 在直线m 同侧:练习题 1.如图1,∠AOB =45°,P 是∠AOB 内一点,PO =10,Q 、R 分别是OA 、OB 上的动点,求△PQR 周长的最小值为 .2、如图2,在锐角三角形ABC 中,AB=4,∠BAC=45°,∠BAC 的平分线交BC 于点D ,M,N分别是AD 和AB 上的动点,则BM+MN 的最小值为 .3、如图3,在锐角三角形ABC 中 ,AB=BAC=45,BAC 的平分线交BC 于D ,M 、N 分别是AD 和AB 上的动点,则BM+MN 的最小值是 。
初中几何中线段和与差最值问题

初中几何中线段和与差最值问题(4)、台球两次碰壁模型变式一:已知点A 、B 位于直线m,n 的内侧,在直线n 、m 分别上求点D 、E 点,使得围成的四边形ADEB 周长最短.变式二:已知点A 位于直线m,n 的内侧, 在直线m 、n 分别上求点P 、Q 点PA+PQ+QA 周长最短.nABEDnABA'PQAA'二)、一个动点,一个定点: (一)动点在直线上运动:点B 在直线n 上运动,在直线m 上找一点P ,使PA+PB 最小(在图中画出点P 和点B ) 1、两点在直线两侧:2、两点在直线同侧:m nPmnABmnAP mnAB(二)动点在圆上运动点B 在⊙O 上运动,在直线m 上找一点P ,使PA+PB 最小(在图中画出点P 和点B ) 1、点与圆在直线两侧:2、点与圆在直线同侧:三)、已知A 、B 是两个定点,P 、Q 是直线m 上的两个动点,P 在Q 的左侧,且PQ 间长度恒定,在直线m 上要求P 、Q 两点,使得PA+PQ+QB 的值最小。
(原理用平移知识解)(1)点A 、B 在直线mmOP'PmO B B'mOP mO AB作法:过A 点作AC ∥m,且AC 长等于PQ 长,连接BC,交直线m 于Q,Q 向左平移PQ 长,即为P 点,此时P 、Q 即为所求的点。
(2)点A 、B 在直线m 同侧: 基础题1.如图1,∠AOB =45°,P 是∠AOB 内一点,PO =10,Q 、R 分别是OA 、OB 上的动点,求△PQR周长的最小值为 .ABEQ PBQQ2、如图2,在锐角三角形ABC中,AB=4,∠BAC=45°,∠BAC的平分线交BC于点D,M,N分别是AD和AB上的动点,则BM+MN的最小值为.3、如图3,在锐角三角形ABC中,AB=52∠BAC=45,BAC的平分线交BC于D,M、N分别是AD和AB上的动点,则BM+MN的最小值是。
中考压轴题分类专题二《线段和差的最值问题》

中考压轴题分类专题二——线段和差的最值问题基本题型:一、两线段和的最小值:已知两点A 、B 与直线l ,直线l 上有一动点P ,求PA +PB 的最小值。
求出A 点关于直线l 的对称点/A ,连接B A /交直线l 于点P ,则点P为所求最小值所取的点,()min /PB PA B A +=。
本题可转化为求ABP ∆的周长的最小值。
拓展:已知两点A 、B 与两直线1l 与2l , 动点P 在1l 上,动点Q 在2l 上,求AP +PQ +QB 的最小值。
求出A 点关于直线1l 的对称点/A ,再求出B 点关于直线2l 的对称点/B ,连接//B A 分别交直线1l 于点P、交直线2l 于点Q ,则P 、Q 为所求最小值所取的点,()min //QB PQ AP B A ++=。
本题可转化为求四边形APQB 的周长的最小值。
二、两线段差的最大值:已知两点A 、B 与直线l (AB 与l 不平行且在l 同侧),动点P 在l 上,求maxPBPA -。
连接AB 并延长交直线l 于点P ,则点P 为所求最大值时所取的点,maxPB PA AB -=。
yxOBA/PA所需知识点:一、 中点公式:已知两点()()2211y ,x Q ,y ,x P ,则线段PQ 的中点M 为⎪⎭⎫⎝⎛++222121y y ,x x 。
拓展:三角形的重心(三中线交点)公式:已知ABC ∆的顶点分别为()()()332211y ,x C ,y ,x B ,y ,x A ,则ABC ∆的重心G 为⎪⎭⎫⎝⎛++++3,3321321y y y x x x 。
二、 直线的斜率:直线的斜率是指直线与x 轴正方向所成角α的正切值。
00900<<α时,0t a n >=αk ;0018090<<α时,()0180t a n t a n 0<--==ααk 。
已知两点()()2211y ,x Q ,y ,x P ,则直线PQ 的斜率: 2121x x y y k PQ --=。
几何图形中线段和差的最值问题课件

第一步 寻找、构造几何模型
要求△PBC 的周长最小? 只要PB+PC最小就好了!
11
段 和 自 气 路 是匹角 是 页 第二步 计算——勾股定理
把PB+PC 转化为PA+PC !
当P 运动到H 时, PA+PC最小
12
檗鹬考物
圆
墨图角军是
09内江27
对于动点Q(1,n), 求PQ+QB的最小值 .
· ( Ⅱ ) 若E、F为边OA上的两个动点,且EF=2, 当 四边形的周长最小时,求点E、F的坐标.
28
解: (I) 如图,作点D 关 于x 轴的对称点D', 连 接CD '与x 轴交于点E, 连 接DE. 若在边OA 上任取点E' ( 与 点E 不重合),连接CE' 、DE' 、D'E'. 由DE'+CE'=D'E'+CE'>CD'=D'E+CE=DE+CE,
如何去解?
来
化归
源
引申、条件变换、背景转换、 增加解题层次性等
课本例题或常见题
考题
1.分清定点、动点、对称轴 2.利用对称性构造三点共线
9
巨受禾日老年白身
全无 甲籍
亭 是题角解是页
09济南24
已知在对抛物线的称轴上存在一点P, 使得△PBC 的周长最小, 精求出点P 的坐标 .
10
段
积
自
是题解 是
直线A'′B'′ 的解析式为 ·
要使A'D+DB'′ 最短,点D应在直线A′′B'′ 上,将点D(-4,0) 代入直线 A¹ B'′ 的解析式,解得
二次函数中线段和、差最值问题精编版

二次函数中线段和、差最值问题姓名:1、如图,已知抛物线y=ax2+bx+3与x轴交于A、B两点,过点A的直线l与抛物线交于点C,其中A点的坐标是(1,0),C点坐标是(4,3).(1)求抛物线的解析式;(2)在(1)中抛物线的对称轴上是否存在点D,使△BCD的周长最小?若存在,求出点D的坐标,若不存在,请说明理由;并求出周长的最小值;(3)若点E是(1)中抛物线上的一个动点,且位于直线AC的下方,试求△ACE的最大面积及E点的坐标.2、如图,△ABC的三个顶点坐标分别为A(-2,0)、B(6,0)、C(0,32-),抛物线y=ax2+bx+c (a≠0)经过A、B、C三点。
(1)求直线AC的解析式;(2)求抛物线的解析式;(3)若抛物线的顶点为D,在直线AC上是否存一点P,使得△BDP的周长最小,若存在,求出P点的坐标;若不存在,请说明理由。
3、如图,已知直线112y x=+与y轴交于点A,与x轴交于点D,抛物线212y x bx c=++与直线交于A、E两点,与x轴交于B、C两点,且B点坐标为(1,0)。
⑴求该抛物线的解析式;⑵动点P在x轴上移动,当△PAE是直角三角形时,求点P的坐标P。
⑶在抛物线的对称轴上找一点M,使||AM MC-的值最大,求出点M的坐标。
4、如图8,对称轴为直线x =2的抛物线经过点A (-1,0),C (0,5)两点,与x 轴另一交点为B ,已知M (0,1),E (a ,0),F (a +1,0),点P 是第一象限内的抛物线上的动点.(1)求此抛物线的解析式.(2)当a =1时,求四边形MEFP 面积的最大值,并求此时点P 的坐标.(3)若△PCM 是以点P 为顶点的等腰三角形,求a 为何值时,四边形PMEF 周长最小?请说明理由.图8O A E F B MCPxy备用图 A O M C E F x B y P5、如图,已知抛物线经过A(3,0),B(0,4),(1).求此抛物线解析式(2)若抛物线与x轴的另一交点为C,求点C关于直线AB的对称点C’的坐标(3)若点D是第二象限内点,以D为圆心的圆分别与x轴、y轴、直线AB相切于点E、F、H,问在抛物线的对称轴上是否存在一点一点P,使得|PH-PA|的值最大?若存在,求出该最大值;若不存在,请说明理由。
线段、线段和差最值问题几何模型

线段、线段和差最值问题类型1:点到点(两定点)1.如图1,已知正方形ABCD的边长为2,M为AB的中点,P为对角线上的一点,求AP+MP的最小值解析:作M关于BD的对称点M’,根据正方形的轴对称性得M’为BC的中点,由轴对称的性质AP+MP=AP+M’P,从而转化为点A到M’的路线最短的问题,再根据两点之间线段最短,可得最短路程就是AM’的长,由勾股定理得AM’=52.如图,在五边形ABCDE 中,∠BAE=120°,∠B=∠E=90°。
AB=BC,AE=DE,在BC,DE上分别找一点M,N,使得△AMN的周长最小时,则∠AMN+∠ANM的度数为一定点两个动点(两次对称)解析:作A关于BC和CD的对称点A′,A″,连接A′A″,交BC于M,交CD于N,则A′A″即为△AMN的周长最小值.作DA延长线AH,∵∠DAB=120°,∴∠HAA′=60°,∴∠AA′M+∠A″=∠HAA′=60°,∵∠MA′A=∠MAA′,∠NAD=∠A″,且∠MA′A+∠MAA′=∠AMN,∠NAD+∠A″=∠ANM,∴∠AMN+∠ANM=∠MA′A+∠MAA′+∠NAD+∠A″=2(∠AA′M+∠A″)=2×60°=120°,3.如图,在平面直角坐标系中,直线y=4/3+4分别交x轴,y轴于A,B两点,点C为OB的中点,点D在第二象限,且四边形AOCD为矩形。
动点P从点C出发,沿线段CD向终点D运动,过点P作PH⊥OA,垂足为H,点Q是点B关于点A的对称点,问BP+PH+HQ的最小值解析:连接PB,CH,则四边形PHCB是平行四边形.∴BP=CH.∴BP+PH+HQ=CH+HQ+2.(平移)类型2:点到线(一定点一动点)1. 如图,在三角形ABC中,∠CAB=30度,∠ACB=90度,BC=1,D为线段AB上的一个动点(不与点A重合)以AD为边在三角形ABC外作等边三角形AED,过点D作DE的垂线,F为垂线上的任意一点,G为EF的中点,则线段CG长度的最小值是2.如图,线段AB 的长为2,C 为AB 上一个动点,分别以AC 、BC 为斜边在AB 的同侧作两个等腰直角三角形△ACD 和△BCE ,那么DE 长的最小值是3. 如图,有一条河流,河宽AB=30米,有人在离B 点60米处的C 点发现河对岸A 点处有一小孩掉入水中,这个人马上就去营救,已知这个人在河岸上跑步的速度为6米/秒,在河水中游泳的速度为3米/秒.(1)这个人能否在19秒内赶到A 点?若能,请给出一种方案.(2)此人最快能在几秒钟内赶到A 点?(可转化为点到线问题) 2014海曙模拟25类似类型3:线到线(两动点)1.菱形ABCD 中,AB=2,∠A=120°,点P ,Q ,K 分别为线段BC ,CD ,BD 上的任意一点,则PK+QK 的最小值为 .解析:作点P 关于BD 的对称点P ’,由菱形的性质可知,P ’在AB 边上,连结P ’Q,则此题转化P ’Q 的最小值。
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线段和(差)的最值问题
此类问题特点:1.两个定点,一个定点; 2. 线段和最小值,线段差最大值
一、线段和最小值问题
若在一条直线m 上,求一点P ,使PA+PB 最小;
(1)两侧/异侧型:定点A 、B 在直线m (动点P 所在直线)两侧:直接连接A 、B 两点交直线m 于一点P ,该点P 即为所求点。
(PA+PB=AB )
(2)同侧型:定点A 、B 在动点P 所在直线m 同侧:(方法:一找二作三连):
一找:找定点A 、B ,动点P 及动点所在的直线m ;二作:任选一个定点做对称;三连:连接对称点与另一个定点,其连线交动点所在直线于一点P ,该点P 即为所求。
(PA+PB=PA ’+PB=A ’B )
二、线段差最大值问题
若在一条直线m 上,求一点P ,使得 最大
(1)同侧型:定点A 、B 在直线m (动点P 所在直线)两侧:直接连接A 、B 两点交直线m 于一点P ,该点P 即为所求点。
( )
(2)两侧/异侧型:定点A 、B 在直线m (动点P 所在直线)两侧:任选一个定点做对称;三连:连接对称点与另一个定点,其连线交动点所在直线m 于一点P ,该点P 即为所求点。
( )
m B
m
线段和最小值练习题
1.如图1,在锐角三角形ABC中,AB=,∠BAC=45°,∠BAC的平分线交BC于点D,M,N分别是AD和AB上的动点,则BM+MN的最小值为.
2. 如图2所示,等边△ABC的边长为6,AD是BC边上的中线,M是AD上的动点,E是AC边上一点.若AE=2,EM+CM的最小值为.
3.如图3,在直角梯形ABCD中,∠ABC=90°,AD∥BC,AD=4,AB=5,BC=6,点P是AB上一个动点,当PC+PD的和最小时,PB的长为__________.
图1 图2 图3 图4
4. 如图4,菱形ABCD中,AB=2,∠BAD=60°,E是AB的中点,P是对角线AC上的一个动点,则PE+PB的最小值为.
5. 如图5,圆柱形玻璃杯,高为12cm,底面周长为18cm,在杯内离杯底3cm的点C处有一滴蜂蜜,此时一只蚂蚁正好在杯外壁,离杯上沿4cm与蜂蜜相对的点A处,则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为________cm.
6.已知正方形ABCD的边长为2,E为AB的中点,P是AC上一动点.则PB +PE的最小值是
7. 如图6,已知正方形ABCD的边长为8,点M在DC上,且DM=2,N是AC上的一个动点,则DN+MN的最小值为.
8.如图7,在边长为2cm的正方形ABCD中,点Q为BC边的中点,点P为对角线AC上一动点,连接PB、PQ,则△PBQ 周长的最小值为cm.(结果不取近似值)
图5 图6 图7
9. 如图8,⊙O的半径为2,点A、B、C在⊙O上,OA⊥OB,∠AOC=60°,P是OB上一动点,则PA+PC的最小值是.
10. 如图9,MN是半径为1的⊙O的直径,点A在⊙O上,∠AMN=30°,B为AN弧的中点,P是直径MN上一动点,则PA+PB的最小值为______.
如图8 如图9
解答题
1.如图,一元二次方程x2+2x-3=0的二根x1,x2(x1<x2)是抛物线y=ax2+bx+c与x轴的两个交点B,C 的横坐标,且此抛物线过点A(3,6).
(1)求此二次函数的解析式;
(2)设此抛物线的顶点为P,对称轴与AC相交于点Q,求点P和点Q的坐标;
(3)在x轴上有一动点M,当MQ+MA取得最小值时,求M点的坐标.
2.如图,在平面直角坐标系中,点A的坐标为(1,),△AOB的面积是.
(1)求点B的坐标;
(2)求过点A、O、B的抛物线的解析式;
(3)在(2)中抛物线的对称轴上是否存在点C,使△AOC的周长最小?若存在,求出点C的坐标;若不存在,请说明理由;
3. 如图,在平面直角坐标系中,矩形的顶点O在坐标原点,顶点A、B分别在x轴、y轴的正半轴上,OA=3,OB=4,D为边OB的中点.
(1)若E为边OA上的一个动点,当△CDE的周长最小时,求点E的坐标;
(2)若E、F为边OA上的两个动点,且EF=2,当四边形CDEF的周长最小时,求点E、F的坐标.
4. 如图,已知直线y=x+1与y轴交于点A,与x轴交于点D,抛物线y=x2+bx+c与直线交于A、E两点,与x
轴交于B、C两点,且B点坐标为(1,0).
(1)求该抛物线的解析式;
(2)在抛物线的对称轴上找一点M,使|AM-MC|的值最大,求出点M的坐标.
5.抛物线的解析式为,交x轴与A与B,交y轴于C。
⑴在其对称轴上是否存在一点P,使⊿APC周长最小,若存在,求其坐标。
⑵在其对称轴上是否存在一点Q,使∣QB—QC∣的值最大,若存在求其坐标。