时间序列分析--第五章非平稳序列的随机分析
SAS系统和数据分析非平稳序列的随机分析
第四十二课 非平稳序列的随机分析20世纪70年代，G. P. Box 和G. M. Jenkins 发表了专著《时间序列分析：预测和控制》，对平稳时间序列数据，提出了自回归滑动平均模型ARIMA ，以及一整套的建模、估计、检验和控制方法。
使时间序列分析广泛地运用成为可能。
为了纪念Box 和Jenkins 对时间序列发展的特殊贡献，现在人们也常把ARIMA 模型称为Box-Jenkins 模型。
当我们拟合一个时间序列时，先通过差分法或适当的变换使非平稳序列化成为平稳序列，我们再要考虑的是参数化和记忆特征的有效性，用这种参数方法拟合序列为某种特定的结构，只用很少量的参数，使参数的有效估计成为可能。
相对于一个序列的过去值，可用传统的Box 和Jenkins 方法建模。
实际上，Box-Jenkins 模型主要是运用于单变量、同方差场合的线性模型。
随着对时间序列应用的深入研究，发现还存在着许多局限性。
所以近20年来，统计学家纷纷转向多变量、异方差和非线性场合的时间序列分析方法的研究，并取得突破性的进展，其中Engle 和Granger 一起获得2003年诺贝尔经济学奖。
在异方差场合，Robert F.Engle 在1982年提出了自回归条件异方差ARCH 模型，以及在ARCH 模型上衍生出的一系列拓展模型。
在多变量场合，70年代末，G. E. P. Box 教授和刁锦寰教授在处理洛山矶的环境数据时，提出了干预分析和异常值检验方法。
1987年，C.Granger 提出了协整（co-integration ）理论，在多变量时间序列建模过程中“变量是平稳的”不再是必须条件了，而只要求它们的某种组合是平稳的。
非线性时间序列分析也有重大发展，汤家豪教授等在1980年左右提出了利用分段线性化构造门限自回归模型。
一、 ARIMA 模型随着对时间序列分析方法的深入研究，人们发现非平稳序列的确定性因素分解方法（如季节模型、趋势模型、移动平均、指数平滑等）存在一些问题，它只能提取显著的确定性信息，对随机性信息浪费严重，同时也无法对确定性因素之间的关系进行分析。
时 间 序 列 分 析 实 验 报 告实例
应用时间序列分析实验报告实验名称第五章非平稳序列的随机分析专业班级姓名学号一、上机练习程序及其结果分析：data ex3_1;input x@@;time=_n_;cards;0.30 -0.45 0.36 0.00 0.17 0.45 2.154.42 3.48 2.99 1.74 2.40 0.11 0.960.21 -0.10 -1.27 -1.45 -1.19 -1.47 -1.34-1.02 -0.27 0.14 -0.07 0.10 -0.15 -0.36-0.50 -1.93 -1.49 -2.35 -2.18 -0.39 -0.52-2.24 -3.46 -3.97 -4.60 -3.09 -2.19 -1.210.78 0.88 2.07 1.44 1.50 0.29 -0.36-0.97 -0.30 -0.28 0.80 0.91 1.95 1.771.80 0.56 -0.11 0.10 -0.56 -1.34 -2.470.07 -0.69 -1.96 0.04 1.59 0.20 0.391.06 -0.39 -0.162.07 1.35 1.46 1.500.94 -0.08 -0.66 -0.21 -0.77 -0.52 0.05;procgplot data=ex3_1;plot x*time=1;symbol1c=red I=join v=star;run;结果分析：上图是数据对应的时序图，从图上曲线分析来看，数据并没有周期性或者趋向性规律，因而可以初步判断这是平稳数列。
procarima data=ex3_1;identifyVar=x nlag=8;run;结果分析：本过程中，我们建立了8阶自回归分析模型，图上依次是变量的描述性统计量、样本自相关图、样本逆相关图和样本偏自相关图。
由于本次实验探究的是平稳序列，因而样本逆相关图先不作分析。
从自相关图来看，自相关系数趋于0的速度是比较快的，再结合时序图来看，可以确定这组数列是属于平稳数列。
【2019年整理】时间序列分析--第五章非平稳序列的随机分析
尝试提取1950年——1999年北京市民用 车辆拥有量序列的确定性信息
4/8/2019
时间序列分析
差分后序列时序图
一阶差分
二阶差分
4/8/2019
时间序列分析
例5.3
差分运算提取1962年1月——1975年12月平均 每头奶牛的月产奶量序列中的确定性信息
4/8/2019
时间序列分析
差分后序列时序图
4/8/2019
时间序列分析
差分方式的选择
序列蕴含着显著的线性趋势，一阶差分 就可以实现趋势平稳 序列蕴含着曲线趋势，通常低阶（二阶 或三阶）差分就可以提取出曲线趋势的 影响 对于蕴含着固定周期的序列进行步长为 周期长度的差分运算，通常可以较好地 提取周期信息
时间序列分析
4/8/2019
例5.1
时间序列分析
ARIMA模型建模步骤
获 得 观 察 值 序 列 平稳性 检验 N 差分 运算 Y 白噪声 检验 N 拟合 ARMA 模型
时间序列分析
Y
分 析 结 束
4/8/2019
例5.6
对1952年——1988年中国农业实际国民 收入指数序列建模
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时间序列分析
一阶差分序列时序图
第五章
非平稳序列的随机分析
4/8/2019
时间序列分析
本章结构
差分运算 ARIMA模型 Auto-Regressive模型 异方差的性质 方差齐性变化 条件异方差模型
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时间序列分析
5.1 差分运算
差分运算的实质 差分方式的选择 过差分
【精品】金融时间序列分析非平稳部分
一、二、有关单位过程的极限分布三、对单位根过程这种非平稳序列的分析，传统分析方法失效，需寻找新的处理方法.这些新的分析方法都是建立在维纳过程（布朗运动）和泛函中心极限定理之上的。
四、 维纳过程维纳过程(WienerProcess)也称为布朗运动过程（BrownianMotionProcess ），是现代时间序列经济计量分析中的基本概念之一。
设)(t W 是定义在闭区间［0，1]上一连续变化的随机过程,若该过程满足：(a) W （0）=0；对闭区间[0，1］上任意一组分割1021=<<<≤k t t t ，)(t W 的变化量：()()()()()()12312,,,----k k t W t W t W t W t W t W 为相互独立的随机变量；(b) 对任意10≤<≤t s ，有),0(~)()(s t N s W t W --(5。
2.1）则称)(t W 为标准维纳过程（或标准布朗运动过程）。
从定义我们可以看出，标准维纳过程是一个具有正态独立增量的过程。
由定义显然有:),0(~)0()()(t N W t W t W -=（5。
2。
2))1,0(~)1(N W 即标准维纳过程)(t W 在任意时刻t 服从正态分布.将标准维纳过程推广,可得到一般维纳过程的概念。
令)()(t W t B σ=称)(t B 是方差为2σ的维纳过程。
显然,)(t B 满足标准维纳过程定义中的前两个条件，第三个条件则变为：对任意10≤<≤t s ，有))(,0(~)()(2s t N s B t B --σ根据上式,显然有五、 ),0(~)0()()(2t N B t B t B σ-=（5.2.3)六、 ),0(~)1(2σN B 利用标准维纳过程还可以构造其它的连续随机过程，例如，对于()()[]2t W t Y =,在任意时刻t ，有分布：七、 )1(~)(2χt t Y 更为重要的是：维纳过程所具有的良好性质以及它相当广泛的适用性,使得它在概率极限定理,随机积分和随机微分方程等许多理论研究和实际应用中扮演着十分重要的角色。
时间序列分析--第五章非平稳序列的随机分析
50
乘积季节模型
使用场合
序列的季节效应、长期趋势效应和随机波动之间有着复 杂地相互关联性，简单的季节模型不能充分地提取其中 的相关关系
构造原理
短期相关性用低阶ARMA(p,q)模型提取
季节相关性用以周期步长S为单位的ARMA(P,Q)模型提取
假设短期相关和季节效应之间具有乘积关系，模型结构
3
差分运算的实质
差分方法是一种非常简便、有效的确定 性信息提取方法
Cramer分解定理在理论上保证了适当阶 数的差分一定可以充分提取确定性信息
差分运算的实质是使用自回归的方式提 取确定性信息
d
d xt (1 B)d xt (1)i Cdi xti i0
5/10/2019
模型中有部分系数省缺了，那么该模型 称为疏系数模型。
5/10/2019
课件
34
疏系数模型类型
如果只是自相关部分有省缺系数，那么该疏系 数模型可以简记为ARIMA(( p1,, pm ), d, q)
p1,, pm 为非零自相关系数的阶数
如果只是移动平滑部分有省缺系数，那么该疏 系数模型可以简记为 ARIMA( p, d, (q1,, qn ))
26
建模
定阶
ARIMA(0,1,1)
参数估计
(1 B)xt 4.99661 (1 0.70766 B) t
Var(t ) 56.48763
模型检验
模型显著 参数显著
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课件
27
ARIMA模型预测
原则
最小均方误差预测原理
Green函数递推公式
一阶差分
应用时间序列分析时间序列分析简介
关键阶段
和 G.M.Jenkins
1970年，出版《Time Series Analysis Forecasting and Control》
提出ARIMA模型（Box—Jenkins 模型） Box—Jenkins模型实际上是主要利用于单
变量、同方差场合旳线性模型
常用软件
S-plus，Matlab，Gauss，TSP，Eviews, Spss 和SAS
推荐软件——SAS
在SAS系统中有一种专门进行计量经济与时间序列 分析旳模块：SAS/ETS。SAS/ETS编程语言简洁， 输出功能强大，分析成果精确，是进行时间序列分 析与预测旳理想旳软件
因为SAS系统具有全球一流旳数据仓库功能，所以 在进行海量数据旳时间序列分析时它具有其他统计 软件无可比拟旳优势
事件旳发展一般都具有一定旳惯性，这种惯性用统 计旳语言来描述就是序列值之间存在着一定旳有关 关系，这种有关关系一般具有某种统计规律。
目旳
寻找出序列值之间有关关系旳统计规律，并拟合出 合适旳数学模型来描述这种规律，进而利用这个拟 合模型预测序列将来旳走势
特点
理论基础扎实，操作环节规范，分析成果易于解释， 是时间序列分析旳主流措施
x1, x2 , , xn
随机序列和观察值序列旳关系
观察值序列是随机序列旳一种实现 我们研究旳目旳是想揭示随机时序旳性质 实现旳手段都是经过观察值序列旳性质进行推断
1.3 时间序列分析措施
描述性时序分析
统计时序分析
描述性时序分析（直接观察分析法）
经过直观旳数据比较或绘图观察，寻找 序列中蕴含旳发展规律，这种分析措施 就称为描述性时序分析
描述性时序分析措施具有操作简朴、直 观有效旳特点，它一般是人们进行统计 时序分析旳第一步。
时间序列分析--第五章非平稳序列的随机分析
非平稳序列的随机分析
2020/6/14
课件
1
本章结构
差分运算 ARIMA模型 Auto-Regressive模型 异方差的性质 方差齐性变化 条件异方差模型
2020/6/14
课件
2
5.1 差分运算
差分运算的实质 差分方式的选择 过差分
2020/6/14
课件
3
差分运算的实质
方差大
Var(xt ) Var(at at1)
2 2
Var(2xt ) Var(at 2at1 at2 )
6 2
2020/6/14
课件ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
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5.2 ARIMA模型
ARIMA模型结构 ARIMA模型性质 ARIMA模型建模 ARIMA模型预测 疏系数模型 季节模型
2020/6/14
1 1 1 2 1 1 2 2
j 1 j1 pd j pd j
2020/6/14
课件
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预测值
xtl ( tl 1 tl1 l1 t1) ( l t l1 t1 )
et (l)
xˆt (l)
E[et (l)] 0
Var[et (l)]
(1
2 1
2 l 1
)
2
2020/6/14
课件
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例5.7
已知ARIMA(1,1,1)模型为
(1 0.8B)(1 B)xt (1 0.6B) t
且 xt1 4.5
xt 5.3
t 0.8
2
1
求 xt3 的95％的置信区间
2020/6/14
课件
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预测值
等价形式
(11.8B 0.8B2 )xt (1 0.6B)t xt 1.8xt1 0.8xt2 t 0.6t1
非平稳时间序列
3 工程项目管理规划
三种情况的 的临界值是不一样的
进行单位根检验必须选择合适的回归模型. 一个简单的原 则,如果数据没有明显的趋势,则在回归模型中包括常数 项;如果有明显的趋势,则在回归模型中既要包含常数项 和时间趋势项
3 工程项目管理规划
四个问题
数据生成过程未知,有可能包括滑动平均部分 可能包括不止一个滞后项,如果实际数据生成过程是
E [Yt+s | Yt ] Yt ts (11)ts1 (11 s1)t1
预测方差为{1+(1
2 1
)
(1
2 1
2 s-1
)}
2
3 工程项目管理规划
动态乘子的比较
趋势平稳过程
xt t+(B)t
动态乘子:
xt
t
s
趋势平稳过程满足
,
j0
所以
2 j
lims
xt s
t
0.
3 工程项目管理规划
t
s
因为
|
i0
i
|
, 所以s的增加
s趋于0.
3 工程项目管理规划
非平稳过程
多数经济变量的时间序列都有随着时间增加而增长的趋势, 不具有均值回复的特点.
两种刻画:
带趋势的平稳随机过程(前面已讲) 单位根过程
3 工程项目管理规划
随机趋势过程
有一类随机过程, 如果再 t 时刻扰动项发生变化, 那么它 的影响会一直存在下去,不会随着时间 t 增大会立刻衰 减到0. 这样过程成为随机趋势过程。
41 3 工程项目管理规划
如果拒绝零假设, 这时检验 量,拒绝得出结论平稳,否则非平稳.
《时间序列分析——基于R》王燕，读书笔记
《时间序列分析——基于R》王燕，读书笔记笔记：⼀、检验：1、平稳性检验：图检验⽅法：时序图检验：该序列有明显的趋势性或周期性，则不是平稳序列⾃相关图检验：（acf函数）平稳序列具有短期相关性，即随着延迟期数k的增加，平稳序列的⾃相关系数ρ会很快地衰减向0（指数级指数级衰减），反之⾮平稳序列衰减速度会⽐较慢衰减构造检验统计量进⾏假设检验：单位根检验adfTest()——fUnitRoots包2、纯随机性检验、⽩噪声检验（Box.test（data，type，lag=n）——lag表⽰输出滞后n阶的⽩噪声检验统计量，默认为滞后1阶的检验统计量结果）1、Q统计量：type=“Box-Pierce”2、LB统计量：type=“Ljung-Box”⼆、模型1、ARMA平稳序列模型1.1平稳性检验1.2ARMA的p、q定阶——acf（），pacf（），auto.arima（）⾃动定阶1.3建模arima()1.4模型显著性检验：残差的⽩噪声检验Box.test（）；参数显著性检验t分布2、⾮平稳确定性分析2.1趋势拟合：直线、曲线（⼀般是多项式，还有其它函数）2.2平滑法移动平均法：SMA()——TTR包指数平滑法：HoltWinters()3、⾮平稳随机性分析3.1ARIMA1平稳性检验，差分运算2拟合ARMA3⽩噪声检验3.2疏系数模型arima（p,d,f）3.3季节模型可以叠加的模型4、残差⾃回归模型：4.1建⽴线性模型4.2对滞后的因变量间拟合线性模型，对模型做残差⾃相关DW检验。
dwtest()——lmtest包，增加选项order.by指定延迟因变量4.3对残差建⽴ARIMA模型5、条件异⽅差模型：异⽅差检验：LM检验ArchTest（）——FinTS包，⽤ARCH、GARCH模型建模第⼀章简介统计时序分析⽅法：1、频域分析⽅法2、时域分析⽅法步骤：1、观察序列特征2、根据序列特征选择模型3、确定模型的⼝径4、检验模型，优化模型5、推断序列其它统计性质或预测序列将来的发展时域分析研究的发展⽅向：1、AR，MA，ARMA，ARIMA（Box-Jenkins模型）2、异⽅差场合：ARCH，GARCH等（计量经济学）3、多变量场合：“变量是平稳”不再是必需条件，协整理论3、⾮线性场合：门限⾃回归模型，马尔科夫转移模型第⼆章时间序列的预处理预处理内容：对它的平稳性和纯随机性进⾏检验，最好是平稳⾮⽩噪声的序列1、特征统计量1.1概率分布分布函数或密度函数能够完整地描述⼀个随机变量的统计特征，同样⼀个随机变量族{Xt}的统计特性也完全由它们的联合分布函数或联合密度函数决定。
时间序列分析中的平稳性与非平稳性
时间序列分析中的平稳性与非平稳性时间序列分析是一种用来研究时间数据的统计方法，它可以揭示出时间序列数据的模式和趋势，并预测未来的发展。
在进行时间序列分析时，我们经常会遇到平稳性和非平稳性的问题，本文将重点讨论这两个概念及其在时间序列分析中的重要性。
1. 什么是平稳性？平稳性是指时间序列在统计特性上具有不变性，即其均值和方差不随时间的推移而发生改变。
具体而言，平稳时间序列的均值在时间维度上是稳定的，方差也不会随时间变化而增加或减小。
此外，平稳时间序列的自协方差只与时间间隔有关，而与特定时间点无关。
2. 平稳性的判断方法为了判断一个时间序列是否具有平稳性，我们可以使用一些统计检验方法。
常见的方法有ADF检验（Augmented Dickey-Fuller test）、KPSS检验（Kwiatkowski-Phillips-Schmidt-Shin test）等。
ADF检验通常用于检验平稳性，其原假设是时间序列具有单位根（非平稳），如果检验结果拒绝了原假设，则可以得出时间序列是平稳的结论。
3. 非平稳性的表现形式非平稳性的时间序列可能会呈现出明显的趋势、季节性或周期性变化。
趋势是时间序列长期的、持续的上升或下降，季节性是指时间序列在特定时间点上出现的周期性波动，周期性是指时间序列存在长期的、不规则的上升或下降。
4. 非平稳性的处理方法如果时间序列是非平稳的，我们需要对其进行处理，以使其具备平稳性。
常见的处理方法有差分法、对数变换等。
差分法可以通过计算相邻时间点的差值来消除趋势和季节性，对数变换则可以通过对时间序列取对数来减少其波动性。
5. 平稳性的重要性平稳性在时间序列分析中非常重要，具有以下几个方面的意义： - 简化模型：平稳时间序列的统计特性稳定，可以简化模型的建立和预测。
- 降低误差：平稳时间序列的随机误差具有恒定的方差，使得模型的预测更准确。
- 提高可靠性：基于平稳时间序列建立的模型具有更好的可靠性和稳定性，可以更好地应对未来的变化。
非平稳时间序列的随机分析
4、ARIMA模型预测
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非平稳时间序列的随机分析
4、ARIMA模型预测
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非平稳时间序列的随机分析
预测值：线性最小方差预测原则
•>arima(x = chafen, order = c(0, 0, 1), method =
"ML")
•Coefficients:
•
ma1 intercept
• 0.6710 4.9947
•s.e. 0.1648 2.0139
•sigma^2 estimated as 53.42: log likelihood = -
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•平稳性 •检验
•N
•差分 •运算
•Y •白噪声 •检验
•N
•拟合 •ARMA •模型
•Y •分 •析 •结 •束
非平稳时间序列的随机分析
例4.6
n 对1952年——1988年中国农业实际国民 收入指数序列建模
>d=read.csv("shouru.csv",head=F)
>shouru=ts(d,start=1952,end=1988,freq =1)
非平稳时间序列的随机 分析
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2021/1/4
非平稳时间序列的随机分析
•4.1 时间序列的分解 •4.1.1 Wold分解定理 •4.1.2 Cramer分解定理
•引 例
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非平稳时间序列的随机分析
4.1.1、Wold分解定理（1938）
n 对于任何一个离散平稳过程 它都可以分解为两个 不相关的平稳序列之和，其中一个为确定性的，另 一个为随机性的，不妨记作
非平稳时间序列分析
非平稳时间序列分析1、首先画出时序图如下:t从时序图中看出有明显的递增趋势，而该序列是一直递增，不随季节波动，所以认为该序列不存在季节特征。
故对原序列做一阶差分，画出一阶差分后的时序图如下:difx140 130 120 110 100 90 80 70 60 50 40 30 20 10 0 -10从中可以看到一阶差分后序列仍然带有明显的增长趋势，再做二阶差分:dif2x90 80 70 60 50 40 30 20 10 0 -10 -20 -30 -40 -50 -60 -70 -80 -90 -100 -110做完二阶差分可以看到，数据的趋势已经消除，接下来对二阶差分后的序列进行194519501945 19551960196519701975198019851990199520001950 1955 1960 1965 1970 1975 1980 1985 1990 1995 2000检验：AutocorrelationsLag Covariance Correlation -1 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 Std Error0 577.333 1.00000 | |********************| 01 -209.345 -.36261 | *******| . | 0.0712472 -52.915660 -.09166 | .**| . | 0.0800693 9.139195 0.01583 | . | . | 0.0806004 15.375892 0.02663 . |* . | 0.0806155 -59.441547 -.10296 .**| . | 0.0806606 -23.834489 -.04128 | . *| . | 0.0813247 100.285 0.17370 | . |*** | 0.0814318 -146.329 -.25346 | *****| . | 0.0832909 52.228658 0.09047 | . |**. | 0.08711810 21.008575 0.03639 | . |* . | 0.08759311 134.018 0.23213 | . |***** | 0.08767012 -181.531 -.31443 | ******| . | 0.09073613 23.268470 0.04030 | . |* . | 0.09610814 71.112195 0.12317 | . |** . | 0.09619415 -105.621 -.18295 | ****| . | 0.09699116 37.591996 0.06511 . |* . | 0.09872717 23.031506 0.03989 | . |* . | 0.09894518 45.654745 0.07908 | . |** . | 0.09902719 -101.320 -.17550 | ****| . | 0.09934720 127.607 0.22103 | . |**** | 0.10090821 -61.519663 -.10656 | . **| . | 0.10333722 35.825317 0.06205 | . |* . | 0.10389323 -93.627333 -.16217 | .***| . | 0.10408124 55.451208 0.09605 | . |** . |从其自相关图中可以看出二阶差分后的序列自相关系数很快衰减为零，且都在两倍标准差范围之内，所以认为平稳，白噪声检验结果：Autocorrelation Check for White NoiseTo Chi- Pr >Lag Square DF ChiSq------------------- Autocorrelations -------------------6 30.70 6 <.0001 -0.363 -0.092 0.016 0.027 -0.103 -0.04112 84.54 12 <.0001 0.174 -0.253 0.090 0.036 0.232 -0.31418 97.98 18 <.0001 0.040 0.123 -0.183 0.065 0.040 0.07924 126.99 24 <.0001 -0.175 0.221 -0.107 0.062 -0.162 0.096P 值都小于 0.05 ，认为不是白噪声。
非平稳时间序列实验报告
实验报告----时间序列分析08经济统计I60814030王思瑶一、实验简介针对我国1978~2002年中国支出法GDP（单位：亿元）进行非平稳性检验、平稳化方法、模型建立及预测，从而掌握对非平稳时间序列的分析。
数据如下：二、非平稳性检验进行非平稳性检验，先用两种方法检验零均值化GDP的平稳性：1、自相关、偏自相关函数检验法Date: 06/09/11 Time: 22:00Sample: 1978 2002Included observations: 25Autocorrelation Partial Correlation AC PAC Q-Stat Prob. |****** | . |****** | 1 0.727 0.727 14.877 0.000. |**** | . | . | 2 0.530 0.001 23.111 0.000. |*** | . | . | 3 0.365 -0.044 27.199 0.000. |**. | . | . | 4 0.240 -0.022 29.055 0.000. |* . | . | . | 5 0.178 0.048 30.129 0.000. |* . | . | . | 6 0.159 0.057 31.022 0.000. |* . | . | . | 7 0.148 0.020 31.838 0.000. |* . | . | . | 8 0.136 0.006 32.572 0.000. |* . | . | . | 9 0.119 -0.001 33.165 0.000. |* . | . | . | 10 0.091 -0.014 33.540 0.000. | . | . | . | 11 0.057 -0.022 33.699 0.000. | . | . | . | 12 0.020 -0.031 33.719 0.001从上图可以看出：自相关函数是拖尾的，偏自相关函数是截尾的，但自相关函数是缓慢衰减的，这说明序列存在一定的非平稳性。
第五章 非平稳序列的确定性分析
简单中心移动平滑对二阶趋势的提取
对于一元二次函数 x a bt ct , ~ N (0, ) ，简单 中心移动平均也可以充分提取二阶趋势信息
2 2 t t t
k 1 M xt = xt i 2k 1 i k k 1 2 a b t i c ( t i ) t i 2k 1 i k k k (k 1 ） 1 a bt ct +c t i 3 2k 1 i k 2
误差序列是一个均值为-6.38821的无趋势特征序 列
简单中心移动平均能实现拟合方差最小
移动平均估计值的方差为
k k 2 2 Var M xt =Var i t i i i k i k
i =1 ，所以 0 i 1 因为 i 0，且i k 推导出拟合序列方差小于原序列方差
但此时M xt 不再是一元二次函数的无偏估计了
ck (k 1) E errort E xt M xt 3
案例5.1
我国1949-2008年化肥产量序列呈现出二次函数 特征，使用五期简单中心移动平均对序列进行拟 合，拟合效果图如下图所示
案例5.1
移动平均方法
移动平均方法是一种常用的修匀方法。它最早于1870年由 法国数学家De Forest提出，19世纪晚期已经广泛应用于 商业和保险精算行业。商人使用移动平均方法，消除随机 波动和季节性影响，得到商品的价格变动趋势。精算师采 用移动平均方法来修匀死亡率，得到消除随机波动的生命 表。现在股市中普遍采用的5日均线，10日均线，30日均 线，60日均线等指标，实际上都是移动平均估计值。 M xt 称为序列 xt 的 k f 1 期移动平均函数
时间序列分析教案以后
第五章非平稳序列的随机分析非平稳序列的确定性因素分解方法（第四章）的优点为原理简单、操作简便、易于解释等，因此在宏观经济管理与预测领域有着广泛的应用。
缺点主要有：(1)确定性因素分解方法只能提取强劲的确定性信息，对随机性信息浪费严重。
(2)确定性因素分解方法把所有序列的变化都归结为四大因素的综合影响，却始终无法提供明确、有效的方法判断各大因素之间确切的作用关系。
这些问题导致确定性因素分解方法不能允分提取观察值序列中的有效信息，导致模型拟合精度通常不够理想。
随机时序分析方法发展的必要性：弥补确定性因素分解方法的不足，为人们提供更加丰富、更加精确的时序分析工具。
5.1 差分运算5.1.1 差分运算的实质拿到观察值序列之后，无论是采用确定性时序分析方法还是随机时序分析方法，分析的第一步都是要通过有效的手段提取序列中所蕴含的确定性信息。
确定性信息的提取方法非常多，前面我们介绍过的构造季节指数、拟合长期趋势模型、移动平均、指数平滑等诸多方法都是确定性信息提取方法。
但是它们对确定性信息的提取都不够充分。
Cox和Jenkins在Time Series Analysis Forecasting and Control一书中特别强调差分方法的使用，他们使用大量的案例分析证明差分方法是一种非常简便、有效的确定性信息提取方法。
而Cramer分解定理则在理论上保证了适当阶数的差分一定可以充分提取确定性信息。
根据Cramer分解定理，方差齐性非平稳序列都可以分解为如下形式：式中，{}t a为零均值白噪声序列。
离散序列的d阶差分就相当于连续变量的d阶求导，显然，在Cramer分解定理的保证下，d阶差分就可以将{}t a中蕴含的d次（关于时间的）确定性信息充分提取。
（如何证明？）展开1阶差分，有等价于这意味着1阶差分实质上就是一个自回归过程，它是用延迟一期的历史数据{}1-t x作为自变量来解释当期序列值{}t x的变动状况，差分序列{}t x∇度量的是{}t x l阶自回归过程中产生的随机误差的大小。
实验五非平稳序列的确定性分析
路漫漫其修远兮，吾将上下而求索 - 百度文库实验五 非平稳序列的确定性分析【实验目的】对非平稳时间序列的确定性分析 【实验内容】1．趋势分析； 2．季节效应分析； 3．综合分析； 4. X-12过程。
【实验指导】 一、ARMA 模型分解二、确定性因素分解 ⏹ 传统的因素分解⏹ 长期趋势 ⏹ 循环波动 ⏹ 季节性变化 ⏹ 随机波动⏹ 现在的因素分解⏹ 长期趋势波动 ⏹ 季节性变化 ⏹ 随机波动（一）趋势分析有些时间序列具有非常显著的趋势，我们分析的目的就是要找到序列中的这种趋势，并利用这种趋势对序列的发展作出合理的预测方法： 1.趋势拟合法趋势拟合法就是把时间作为自变量，相应的序列观察值作为因变量，建立序列值随时间变化的回归模型的方法。
（1）线性拟合例1:拟合澳大利亚政府1981——1990年每季度的消费支出序列，数据见下表。
tt B B x εμ)()(ΦΘ+=确定性序列随机序列8444 9215 8879 8990 8115 9457 8590 9294 8997 9574 9051 9724 9120 10143 9746 10074 9578 10817 10116 10779 9901 11266 10686 10961 10121 11333 10677 11325 10698 11624 11052 11393 10609 12077 11376 11777 11225 12231 11884 12109800090001000011000120001300081828384858687888990GOV_CONS长期趋势呈现出非常的线性递增趋势，于是考虑使用线性模型2,1,2, (40)()0,()t t t t x a bt I t E I Var I σ=++=⎧⎨==⎩拟合该序列的发展。
使用最小二乘法得到未知参数的估计值为：ˆˆ8498.69,89.12ab ==. 对拟合模型进行检验，检验结果显示方程显著成立，且参数非常显著。
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非平稳序列的随机分析
2020/10/25
时间序列分析
本章结构
差分运算 ARIMA模型 Auto-Regressive模型 异方差的性质 方差齐性变化 条件异方差模型
2020/10/25
时间序列分析
差分运算的实质 差分方式的选择 过差分
5.1 差分运算
2020/10/25
时间序列分析
模型产生典故
Karl Pearson(1905)在《自然》杂志上提问：假如有个 醉汉醉得非常严重，完全丧失方向感，把他放在荒郊 野外，一段时间之后再去找他，在什么地方找到他的 概率最大呢？
2020/10/25
时间序列分析
ARIMA模型的平稳性
ARIMA(p,d,q) 模 型 例5.5
共 有 p+d 个 特 征 根 ， 其中p个在单位圆
原则 最小均方误差预测原理
Green函数递推公式
1 1 1 2 1 1 2 2
j 1 j1 pd j pd j
2020/10/25
时间序列分析
预测值
xtl ( tl 1 tl1 l1 t1) ( l t l1 t1 )
et (l)
xˆt (l)
时间序列分析
偏自相关图
拟合ARMA模型
2020/10/25
时间序列分析
定阶 ARIMA(0,1,1)
参数估计
建模
模型检验 模型显著
参数(显1著 B)xt 4.99661 (1 0.70766 B) t
Var(t ) 56.48763
2020/10/25
时间序列分析
ARIMA模型预测
差分运算的实质
差分方法是一种非常简便、有效的确定性信息提取方法 Cramer分解定理在理论上保证了适当阶数的差分一定可以充分提取确定性信
息 差分运算的实质是使用自回归的方式提取确定性信息
2020/10/25
d
d xt (1 B)d xt
(1)
i
C
i d
xt
i
i0
时间序列分析
差分方式的选择
E[et (l)] 0
Var[et
(l)]
(1
2 1
2 l 1
)
2
2020/10/25
时间序列分析
例5.7
已知ARIMA(1,1,1)模型为
且
求 的95％(的1置信0区.8间B)(1 B)xt (1 0.6B) t
方差大
Var(xt ) Var(at at1)
2 2
Var(2xt ) Var(at 2at1 at2 )
6 2
2020/10/25
时间序列分析
5.2 ARIMA模型
ARIMA模型结构 ARIMA模型性质 ARIMA模型建模 ARIMA模型预测 疏系数模型 季节模型
2020/10/25
一阶差分
二阶差分
2020/10/25
时间序列分析
例5.3
差分运算提取1962年1月——1975年12月平均每 头奶牛的月产奶量序列中的确定性信息
2020/10/25
时间序列分析
差分后序列时序图
一阶差分
1阶－12步差分
2020/10/25
时间序列分析
过差分
足够多次的差分运算可以充分地提取原序列中的非平稳确定性信息 但过度的差分会造成有用信息的浪费
考察差分运算对该序列线性趋势信息的提取作用
xt xt xt1
2020/10/25
时间序列分析
差分前后时序图
原序列时序图
差分后序列时序图
2020/10/25
时间序列分析
例5.2
尝试提取1950年——1999年北京市民用车辆拥有量序列的确定性信息
2020/10/25
时间序列分析
差分后序列时序图
序列蕴含着显著的线性趋势，一阶差分就可以实现趋势平稳 序列蕴含着曲线趋势，通常低阶（二阶或三阶）差分就可以提取出曲线趋势
的影响 对于蕴含着固定周期的序列进行步长为周期长度的差分运算，通常可以较好
地提取周期信息
2020/10/25
时间序列分析
例5.1
【例1.1】1964年——1999年中国纱年产量序列蕴含着一个近似线性的递增趋 势。对该序列进行一阶差分运算
时间序列分析
ARIMA模型结构
使用场合 差分平稳序列拟合
模型结构
( B) d
E( t )
xt (B) 0，Var( t )
t
2
,
E(
t
s
)
0,
s
t
Exs t 0,s t
2020/10/25
时间序列分析
ARIMA 模型族
d=0 ARIMA(p,d,q)=ARMA(p,q)
P=0 ARIMA(P,d,q)=IMA(d,q)
ARIMA(0,1,0)时序图
内，d个在单位圆
上。所以当 d 0时
ARIMA(p,d,q) 模 型
非平稳。
2020/10/25
时间序列分析
ARIMA模型的方差齐性
时，原序列方差非齐性
d 0
d阶差分后，A差R分IM后A序(0列,1方,0差)模 齐性型
Var(xt
)
V ar( x0
t
t1
1 )
t
2
2020/10/25
ARIMA(0,1,0)模型
V
ar(xt
)
V
ar(t)源自2 时间序列分析ARIMA模型建模步骤
获 得 观 察 值 序 列
2020/10/25
Y
平稳性
白噪声
检验
检验
N
N
差分 运算
拟合
ARMA 模型
时间序列分析
Y
分 析 结 束
例5.6
对1952年——1988年中国农业实际国民收入指数序列建模
2020/10/25
时间序列分析
例5.4
假设序列如下 考察一阶差分后序列和二阶差分序列 的平稳性与方差
xt 0 1t at
2020/10/25
时间序列分析
比较
一阶差分
平稳
xt xt xt1
1 at at1 方差小
二阶差分（过差分）
平稳
2 xt xt xt1 at 2at1 at2
2020/10/25
时间序列分析
一阶差分序列时序图
2020/10/25
时间序列分析
一阶差分序列自相关图
2020/10/25
时间序列分析
一阶差分后序列白噪声检验
延迟阶数 6 12 18
2 统计量 15.33 18.33 24.66
P值 0.0178 0.1060 0.1344
2020/10/25
q=0 ARIMA(P,d,q)=ARI(p,d)
d=1,P=q=0 ARIMA(P,d,q)=random walk model
2020/10/25
时间序列分析
随机游走模型( random walk)
模型结构
xt xt1 t
E(
t
)
0，Var(
t
)
2
,
E(
t
s
)
0,
s
t
Exs t 0,s t