第四章平面弯曲介绍

4.3.4提高梁弯曲强度的措施
途径：减小最大弯矩，增大抗弯截面模量。 合理设置支座、合理布置载荷。简支梁变为外伸梁， 尽量不用悬臂梁，集中载荷变为分布载荷等。 选择合理的截面形状，注意梁的放置方式。选择抗弯 截面模量大的截面，如工字形，圆环形等，同样的截 面形状，要注意使具有较大的惯性矩的轴成为中性轴。
4.3.3弯曲正应力强度条件
强度条件式(等截面)：
max
M max [ ] Wz
许用弯曲应力与简单拉(压)的许用应力意 义相同；
考虑到弯曲正应力的分布规律，许用弯曲 应力的值可取较大的值，或说弯曲安全系数 可取较小的值； 强度条件式可解决三方面的问题。
例4-2：图示简支梁AB， 试求： (1)最大弯曲正应力及 其所在位置； (2)在D、E两点的弯 曲正应力。 解：（1）作出剪力图 和弯矩图，求出最大弯矩 值；计算抗弯截面模量 （找出中性轴），计算最 大弯曲正应力。 （2）计算D、E两点 所在截面的弯矩值，按照D、 E两点各自离中性轴的距离， 计算出其弯曲正应力的值 ， 并判断出其应力的性质 （拉应力或压应力）。
MD =28-12=16kN· m
QD=2 kN
QB 22kN
QB 12kN
MB=-24 kN· m
4.3平面弯曲的正应力计算
剪力、弯矩对应的应力分析：剪应力和正应 力 纯弯曲梁模型的建立：对于长梁 (l / n 5) ， 影响强度的决定因素是弯矩。

4.3.l 纯弯曲时梁横截面上的正应力
③
不挤压假设：每一纵向纤维均 为单向拉伸或压缩，纤维层间 不存在相互的挤压。
d
任一纤维层的变形计算：
绝 对 变 形：
o1
o2
相对变形（应变）：
( y)d d yd yd y d
物理关系——
应wk.baidu.com和应变间的关系
不挤压假设，每一纤维层处于简单 拉压变形，满足虎克定律：
例4-1：已知： P=24kN，F=12kN， q=6kN/m， MO=12kN· m。 作出剪力图和弯矩 图。 解：(1)求支座反力 (2)剪力图和弯 矩图大致形状分析 (3)计算剪力和 弯矩值
RB=34 kN，RA=26 kN
QC 26kN
QC 26 24 2kN
MC=26 kN· m MD =28kN· m
E E
y

o1
o2
应力分布规律：横截面上的正应力沿 高度方向呈线性分布。
静力关系——
应 力和内力间的关系
横截面上的正应力分布
力系（平行力系）应为一 力偶系。 中性层在哪里？
dA 0
A

A
E
y

dA 0

A
ydA 0
中性轴通过横截面的形心
截面上的弯矩。 对中性轴的惯性矩表示截 E 面绕中性轴转动的难易程度， 2 M y dA 即表示了变形的刚度。 A 轴线的曲率表示了梁的变 形程度。 2 I z y dA A 梁弯曲变形的基本公式， 表示了引起梁变形的外力及 1 M 梁自身抵抗弯曲变形的能力 （抗弯刚度）对弯曲变形的 EI z 影响。 My 正应力计算公式： Iz
变形几何关系
①
②
平面假设：横截面变形后 仍保持平面，但绕自身的 中性轴偏转了一定角度， 保持与中性层垂直。
中性层的存在性：每一纵向 纤维层由直变弯，靠近上方 的纤维层受压，下方的纤维 层受拉，中间某处存在一层 既不受拉也不受压的纤维层， 这一层叫中性层，中性层与 横截面的交线叫中性轴。轴 线：中性层与纵向对称面的 交线。

工程上常用的梁，其横截面大多具有一个竖向的 对称轴，如：
所有横截面的竖向对称轴形成一个平面
——纵向对称面
梁的弯曲平面与载荷作用平面相重合的弯曲
——称平面弯曲
4.2 平面弯曲的内力分析
4.2.1 剪力和弯矩 产生原因：存在与轴线相垂直的横向载荷。 剪力和弯矩符号规定 ：取左段剪力向下为 正，弯矩逆时针为正。 符号规定的目的：使内力素与变形相关联， 成为截面位置的函数，这种函数叫剪力方 程和弯矩方程，作出的图线叫做剪力图和 弯矩图。
第4章 平面弯曲
4.1平面弯曲的概念和实例
桥式吊车
受 风 载 荷 的 塔 设 备
管道托架
共同点是： 它们都可简化为直杆，在通过轴线的平面， 受到垂直于杆轴线的外力（横向力）或力偶 作用，使构件的轴线弯曲成一条曲线，这样 的变形称为弯曲 。
以弯曲为主要变形的构件在工程上称为梁。
梁的基本形式 简支梁：一端固定铰链，另一端活动铰链； 外伸梁：简支梁一端或两端伸出支座以外； 悬臂梁：一端固定，另一端自由。
A
M ydA
横截面上正应力的合力为

My 工程实用计算式： Iz
最大弯曲正应力： max
抗弯截面模量：
应力的性质可由 变形直观判断
Mymax M max Iz Wz
Iz Wz ymax
形状规则截面的惯性矩和抗弯截面模量由定义可 直接计算出来，对于型钢可查表。 惯性矩（截面模量）、静矩（一次矩）、面积等 是平面图形的几何性质，只有和具体的变形结合起 来才有其物理意义。 上述应力计算公式可近似用于平面弯曲的长梁。
Q RA (0 x a) M RA x
作剪力图与弯矩图的规律： 1）若在梁某段内q=0，则Q为常量，剪力图为水 平直线，弯矩图为直线。 2）若在梁某段内作用有向下的均布载荷，则剪力 图为下降直线，弯矩图为上凸抛物线。 3）在集中力作用处，剪力图发生突变，弯矩图不 发生突变；集中力偶作用处，剪力图不受影响， 弯矩图会发生突变。 4）最大弯矩可能发生的位置：集中力作用处；集 中力偶作用处；剪力等于零（Q=0）处。 关注图线走向、突变处、极值点及最大值（绝对 值）。
4.2.2剪力方程和弯矩方程 剪力图和弯矩图
准确无误地求出约束反力。 横截面上的剪力和弯矩按符号规定的正方
向假设，不去判断其真实方向。 取左段还是取右段，以研究问题简单为准。 研究受集中力、均布力、集中力偶等的剪 力图和弯矩图。
剪力 弯矩 按正 Q RB 方向 ( a x l ) 假设 M RB (l x)