最新(北师大版)数学必修二课件：1.5.1平行关系的判定

【解析】①正确.②中如果这三个点在平面的两侧，满足不共 线的三点到β的距离相等，这两个平面相交，②错误.③中如 果l与m平行，则α与β相交.③错误.④正确. 答案：①④
【题型示范】
类型一
线面平行的判定
【典例1】
(1)(2014·松原高二检测)直线与平面平行的条件是这条直线
与平面内的( )
A.一条直线不相交
AM DN 不能推出MN与SB平行. SM NB
【自主解答】(1)选C.因为直线与平面平行，所以这条直线与
平面内的任意一条直线都不相交，选项A中一条直线不相交， 可能有其他直线与其相交，故A错误，选项B中两条直线不相交， 可能有其他直线与其相交，故B错误，D中有无数条直线不相交， 可能有其他直线与其相交，因为无数不是全部，故D错误.
【证明】(1)因为ABCD-A1B1C1D1是正方体， 所以DF=BF，O是BD的中点，所以OF⊥BD. 又因为BB1∥DD1，BB1=DD1， 所以四边形BB1D1D是平行四边形， 所以B1D1∥BD，所以B1D1⊥OF.
(2)由(1)知B1D1∥BD，而B1D1 所以BD∥平面EB1D1. 取DD1中点G，连接FG，AG， 所以FG∥AB且GF=AB， 所以ABFG是平行四边形， 所以AG∥BF. 又因为AE∥GD1且AE=GD1， 所以EAGD1是平行四边形，
而BD∥B1D1，所以BD∥EF. 所以E，F，B，D四点共面. ②易知MN∥B1D1，B1D1∥BD， 所以MN∥BD.
又MN⊈平面EFDB，BD
所以MN∥平面EFDB.
平面EFDB.
连接MF.因为M，F分别是A1B1，C1D1的中点，
所以MF∥A1D1，MF=A1D1.
所以MF∥AD，MF=AD. 所以四边形ADFM是平行四边形，所以AM∥DF. 又AM⊈平面BDFE，DF 所以AM∥平面BDFE. 又因为AM∩MN=M， 所以平面MAN∥平面EFDB. 平面BDFE，
(1)定义法
①用反证法说明直线与平面没有公共点；
②若两个平面平行，则一个平面的任意一条直线都与另一个平
面无公共点，由此可得线面平行.
(2)定理法
设法在平面内找到一条与已知直线平行的直线，注意说明已知 直线不在平面内.
2.证百度文库直线与直线平行的常用方法
(1)平行四边形的对边平行.
(2)三角形(梯形)中位线定理.
两条相交直线分别平行，则α∥β.
(4)利用平行平面的传递性：若α∥β，β∥γ，则α∥γ.
【变式训练】 (2014·深圳高一检测)如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别为棱AA1，CC1的中点，O是AC，BD的交点. (1)证明：B1D1⊥OF. (2)证明：平面EB1D1∥平面BDF.
(2)由题知b与平面α的关系为b∥α或b
答案：b∥α或b α
α.
(3)六棱柱的两个底面互相平行，每个侧面与其直接相对的侧
面平行，故共有4组互相平行的面.
答案：4
【要点探究】
知识点1
直线与平面平行
1.对直线与平面位置关系的两点说明
(1)直线在平面外包括两种情形，直线与平面相交，直线与平
面平行.
(2)“直线与平面不相交”与“直线与平面没有公共点”是不
所以BD1∥平面AEC.
【补偿训练】已知公共边为AB的两个全等的矩形ABCD和ABEF不
在同一平面内，P，Q分别是对角线AE，BD上的点，且AP=DQ(如
图).求证：PQ∥平面CBE.
【证明】作PM∥AB交BE于点M，作QN∥AB交BC于点N，连接MN，
如图，则PM∥QN，
PM EP QN BQ ， . AB EA CD BD
判断直线与平面平行问题，即要证明两平面平行，只要在其中
一个平面内找到两条相交直线都与另一个平面平行，就可断定
已知的两个平面平行. (3)定理可简单记忆成“若线面平行，则面面平行”.
2.利用判定定理证明两个平面平行时必须具备的两个条件 (1)有两条直线平行于另一个平面； (2)这两条直线必须为相交直线.
【方法技巧】判定平面与平面平行的四种常用方法 (1)定义法：证明两个平面没有公共点，通常采用反证法. (2)利用判定定理：一个平面内的两条相交直线分别平行于另 一个平面.证明时应遵循先找后作的原则，即先在一个平面内
找到两条与另一个平面平行的相交直线，若找不到再作辅助线.
(3)转化为线线平行：平面α内的两条相交直线与平面β内的
(2)如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，E，F，N分别是A1B1， B1C1，C1D1，D1A1的中点. 求证：①E，F，B，D四点共面. ②平面MAN∥平面EFDB.
【解题探究】1.题(1)中AG=GH=HD的作用是什么？GF与HC的关 系是什么？ 2.题(2)中①E，F，B，D四点共面的条件是什么？②中证明平 面MAN与平面EFDB平行的关键点是什么？ 【探究提示】1.AG=GH=HD说明G，H是AD的三等分点，GF是 △AHC的中位线，GF∥HC. 2.①证明一组对边平行即可.②关键是在一个平面内找到(或作 出)两条相交直线与另一个平面平行.
(2)若将两个平面平行的判定定理中的条件a∩b=P去掉，则平
面α 与平面β 一定平行吗？
提示：不一定.因为满足条件的两个平面可能相交，也可能平
行.①当a∥b时，如图平面α内的两条直线均平行于平面β，
但平面α与平面β有两种位置关系.②当a与b相交时，α与β
一定平行.
【即时练】 (2014·南昌高一检测)设α ，β 为两个平面，在下列条件中， 可判断平面α 与β 平行的是________. ①α ，β 都平行于γ . ②α 内存在不共线的三点到β 的距离相等. ③l，m是α 内两条直线，且l∥β ，m∥β . ④l，m是两条异面直线，且l∥α ，m∥α ，l∥β ，m∥β .
平面EB1D1，BD⊈平面EB1D1，
所以AG∥ED1，所以ED1∥BF， 而ED1 平面EB1D1，BF⊈平面EB1D1，
BD，则a∥α或a
α或a与α相交；③正确，恰好是直线与平
面平行判定定理所具备的不可缺少的三个条件.
知识点2
平面与平面平行
1.对两个平面平行的判定定理的三点说明
(1)两个平面平行是指两个不重合的平面无公共点，两个平面
相交有垂直相交和不垂直相交两种情形.
(2)上述定理告诉我们：判断平面与平面平行问题可以转化为
因为EA=BD，AP=DQ，
所以EP=BQ.
又AB=CD，所以PM
QN，
所以四边形PMNQ是平行四边形，
所以PQ∥MN.
又PQ⊈平面CBE，MN 所以PQ∥平面CBE. 平面CBE，
类型二
平面与平面平行的判定
【典例2】 (1)(2014·阜阳高一检测)如图，在四面体ABCD中，E，F分别 为AB，AC的中点，G，H在AD上且AG=GH=HD，则平面EFG与平面 BCH的位置关系是________.
(2)连接AN并延长交BC于P，连接SP， 因为AD∥BC，所以 PN NB ， 又因为 AM DN ，
AN DN SM NB 所以 AM AN ， 所以MN∥SP. SM NP
又MN ⊆ 平面SBC，SP
平面SBC，所以MN∥平面SBC.
【方法技巧】
1.判定直线与平面平行的两类方法
北师大版数学课件
精品整理
§5 平行关系 5.1 平行关系的判定
1.直线与平面平行的判定定理是什么？它的作用 问题 引航 是什么？ 2.平面与平面平行的判定定理是什么？它的作用
是什么？
直线与平面、平面与平面平行的判定定理 文字语言 符号语言 图形语言
直线与平 面平行
平面外 一条直线 若_______ 此平面内 的一条 与_________ 平行 ，则该直 直线_____
给出三个命题：
①若b
②若b
α ，c∥α ，a∥b，a∥c，则a∥α .
α ，A，B∈a，C，D∈b，且AC=BD，则a∥α .
③若a⊈α ，b
α ，a∥b，则a∥α .
)
其中不正确命题的个数是(
A.0
B.1
C.2
D.3
【解析】选C.①错误，b 或a α；②错误，若b
α，c∥α，a∥b，a∥c，则a∥α α，A，B∈a，C，D∈b，且AC=
线与此平面平行 ⇒l∥α
文字语言 如果一个平面内 两条相交直线 有_____________ 都平行于另一个平 面，那么这两个平 面平行
符号语言
图形语言
平面与平 面平行
⇒α ∥β
1.判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)平面α 内有无数条直线与平面β 平行，则α ∥β .( (2)若直线l上有无数个点都在平面α 外，则直线l∥α .( (3)过平面α 外一点P只能作一条直线与平面α 平行.( ) ) )
【自主解答】(1)由AG=GH=HD，知G，H为AD的三等分点，故
GE∥HB，GF∥HC，又GE⊈平面BHC，HB
平面BHC，故GE∥
平面BHC，同理可证GF∥平面BHC，又GE∩GF=G，故平面EFG∥ 平面BCH. 答案：平行 (2)①连接B1D1， 因为E，F分别是边B1C1，C1D1的中点， 所以EF∥B1D1.
同的，前者包括直线与平面平行和直线在平面内两种情况，后 者仅指直线与平面平行.
2.判定直线l和平面α 平行时，必须具备的三个条件 (1)直线l在平面α 外，即l⊈α . (2)直线b在平面α 内，即b (3)两直线l，b平行，即l∥b. 这三个条件缺一不可，此定理可简记为：线线平行⇒线面平行. α.
【微思考】
(1)若a∥α ，b α ，则直线a是否一定与直线b平行？
提示：不一定，直线a∥α，b
和b平行或异面.
α，则a和b无公共点，所以a
(2)直线与平面平行的判定定理中条件l⊈α 是否可以去掉？
提示：不可以.定理中条件l⊈α必不可少，若没有这个条件，
不一定得到l∥α，可能直线l在平面α内.
【即时练】
(3)同时和第三条直线平行的两条直线平行.
(4)在同一平面内，和同一条直线垂直的两条直线平行.
(5)如果一条直线截三角形的两边(或延长线)所得的对应线段
成比例，那么这条直线平行于三角形的第三条边.
(6)在同一平面内，两条直线被第三条直线所截，同位角相等 (内错角相等、同旁内角互补)，两直线平行.
【变式训练】正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为DD1的中点，试判断 BD1与平面AEC的位置关系，并证明. 【解析】BD1与平面AEC平行. 如图，连接BD交AC于O，连接EO. 因为E是DD1中点，所以EO∥BD1. 又EO 平面AEC，BD1⊈平面AEC，
【解析】(1)错误.如图，设α∩β=l，则在平面α内与l平行的
直线可以有无数条a1，a2，…，an，…，它们是一组平行线，
这时a1，a2，…，an，…与平面β都平行，但此时α与β相交. (2)错误.由直线与平面的位置关系知， 直线l与平面α的位置关系为相交或平行. (3)错误.过平面外一点P可作无数条直线 与平面α平行. 答案：(1)× (2)× (3)×
C.任意一条直线都不相交
B.两条直线不相交
D.无数条直线不相交
(2)(2014·佛山高一检测)如图，S是平行四边形ABCD所在平面 外一点，M，N分别是SA，BD上的点，且 AM DN ，求证：MN∥
SM NB
平面SBC.
【解题探究】1.题(1)中判定直线与平面平行的依据是什么？ 2.题(2)中由=可以得到MN与SB平行吗？ 【探究提示】1.判定直线与平面平行的依据是线面平行的定义 及线面平行的判定定理. 2.由于SA与BD是异面直线，故
2.做一做(请把正确的答案写在横线上) (1)若α ∥β ，a α ，b β ，则a与b的关系为_______.
(2)如果直线a∥b，且a∥平面α ，则b与α 的关系为_______. (3)在底面为正六边形的六棱柱中，互相平行的面视为一组， 则共有________组互相平行的面.
【解析】(1)由题意知，a，b不在同一平面中，所以a与b的关 系为平行或异面. 答案：平行或异面
【知识拓展】平面与平面平行的判定定理推论 如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两 条直线，则这两个平面平行. 此推论成立需要满足两个条件： (1)一个平面内的两条直线是相交的； (2)此两条相交直线平行于另一个平面.
【微思考】 (1)两个平面平行，则两平面内的所有直线一定相互平行吗？ 提示：不一定.也可能是异面直线，但可以肯定的是它们不相 交.