初中数学解题技巧-证明线段的比例式或等积式的主要依据和方法_答题技巧
2024年浙教版九年级数学期末复习急速提分法第8招 证比例式或等积式的七种技巧
极速提分法
证明：如图，连结 PC.∵AB＝AC，AD⊥BC， ∴AD 垂直平分 BC，∠ABC＝∠ACB. ∴BP＝CP.∴∠1＝∠2. ∴∠ABC－∠1＝∠ACB－∠2，即∠3＝∠4. ∵CF∥AB，∴∠3＝∠F.∴∠4＝∠F. 又∵∠CPF＝∠EPC，∴△CPF∽△EPC. ∴CPEP＝PCFP，即 CP2＝PE·PF. ∵BP＝CP，∴BP2＝PE·PF.
极速提分法
【点方法】 过某一点作平行线，构造出“A”字型或“8”字
型的基本图形，通过相似三角形转化线段的比，从 而解决问题．
极速提分法
2．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，M为BC的中点， DM⊥BC交CA的延长线于点D，交AB于点E，连结AM. 求证：AM2＝MD·ME.
极速提分法
证明：∵DM⊥BC，∠BAC＝90°， ∴∠B＋∠BEM＝90°，∠D＋∠DEA＝90°. 又∵∠BEM＝∠DEA，∴∠B＝∠D. ∵M 为 BC 的中点，∠BAC＝90°， ∴BM＝AM.∴∠B＝∠BAM.∴∠BAM＝∠D. 又∵∠AME＝∠DMA，∴△AME∽△DMA. ∴MAMD＝MAME，即 AM2＝MD·ME.
极速提分法
5．[2023·金华东阳市期中]如图，四边形ABCD是平行四边 形，在边AB的延长线上截取BE＝AB，点F在AE的延 长线上，CE和DF交于点M，BC和DF交于点N，连结 BD. (1)求证：△BND∽△CNM；
最新北师版九年级初三数学上册解题技巧专题：比例式、等积式的常见证明方法
解题技巧专题：比例式、等积式的常见证明方法——直接法、间接法一网搜罗◆类型一 找线段对应的三角形，利用相似证明1．如图，四边形ABCD 的对角线AC ，BD 交于点F ，点E 是BD 上一点，并且∠BAC＝∠BDC ＝∠DAE.求证：AB AC ＝AE AD.◆类型二 利用等线段代换2．如图，在四边形ABCD 中，AB ＝AD ，AC 与BD 交于点E ，∠ADB ＝∠ACB.求证：AB AE ＝AC AD.3．★如图，已知AD 是△ABC 的角平分线，EF 垂直平分AD ，交BC 的延长线于E ，交AD 于F.求证：DE 2＝BE·CE.◆类型三找中间比利用等积式代换4．如图，在△ABC中，点D为BC的中点，AE∥BC，ED交AB于P，交AC的延长线于Q.求证：PD·EQ＝PE·DQ.解题技巧专题：比例式、等积式的常见证明方法1．证明：证法一：∵∠BAC＝∠DAE，∴∠BAC＋∠CAE＝∠DAE＋∠CAE，即∠BAE ＝∠CAD.∵∠BAC＝∠BDC，∠BF A＝∠CFD，∴180°－∠BAC－∠BF A＝180°－∠BDC－∠CFD，即∠ABE＝∠ACD，∴△ABE∽△ACD，∴ABAC＝AE AD.证法二：∵∠BAC＝∠DAE，∴∠BAC＋∠CAE＝∠DAE＋∠CAE，即∠BAE＝∠CAD.∵∠BEA＝∠DAE＋∠ADE，∠ADC＝∠BDC＋∠ADE，∠DAE＝∠BDC，∴∠AEB＝∠ADC.∴△ABE∽△ACD，∴ABAC＝AE AD.2．证明：∵AB ＝AD ，∴∠ADB ＝∠ABE .∵∠ADB ＝∠ACB ，∴∠ACB ＝∠ABE .又∵∠CAB ＝∠BAE ，∴△ACB ∽△ABE ，∴AB AE ＝AC AB .又∵AB ＝AD ，∴AB AE ＝AC AD.3．证明：如图，连接AE .∵EF 垂直平分AD ，∴AE ＝DE ，∴∠DAE ＝∠4.∵AD 是△ABC 的角平分线，∴∠1＝∠2.∵∠DAE ＝∠2＋∠3，∠4＝∠B ＋∠1，∴∠B ＝∠3.又∵∠BEA＝∠AEC ，∴△BEA ∽△AEC .∴AE CE ＝BE AE，∴AE 2＝BE ·CE ，∴DE 2＝BE ·CE . 4．证明：∵AE ∥DC ，∴∠QDC ＝∠E ，∠QCD ＝∠QAE ，∴△QCD ∽△QAE ，∴DQ EQ＝CD AE .∵AE ∥BD ，∴∠B ＝∠P AE ，∠BDP ＝∠AEP ，∴△BDP ∽△AEP ，∴PD PE ＝BD AE.∵点D 为BC 的中点，∴BD ＝CD ，∴PD PE ＝DQ EQ，即PD ·EQ ＝PE ·DQ .励志名言：1、学习从来无捷径，循序渐进登高峰。
例说证明线段比例式或等积式的方法与技巧
例说证明线段比例式或等积式的方法与技巧何美兰证明线段比例式或等积式的常用方法之一是利用相似三角形，而相似三角形是初中数学中的一个非常重要的知识点，它也是历年中考的热点内容，通常考查以下三个部分：（1）考查相似三角形的判定；（2）考查利用相似三角形的性质解题；（3）考查与相似三角形有关的综合内容。
以上试题的考查既能体现开放探究性，又能加深知识之间的综合性。
但不少学生证题却是不会寻找相似三角形，特别是对比较复杂的图形，感到眼花缭乱，无从下手。
为了帮助学生们扩大解题思路，迅速而正确地解题。
下面以一些例题来说明解答策略及规律。
一三点定形法利用两个三角形相似去解决比例式或等积式证明的方法。
解决问题的基本思想是：先找出与结论中的线段有关的两个三角形，然后根据原题所给条件，对照图形分析，寻找这两个三角形的相似条件，再证明这两个三角形相似，利用“相似三角形对应边成比例”推出结论。
寻找并证明两个三角形相似是解题的关键，寻找相似三角形的基本方法是“三点定形法”，即由有关线段的三个不同的端点来确定三角形的方法。
具体做法是：先看比例式前项和后项所代表的两条线段的三个不同的端点能否分别确定一个三角形，若能，则只要证明这两个三角形相似就可以了，这叫做“横定”；若不能，再看每个比的前后两项的两条线段的两条线段的三个不同的端点能否分别确定一个三角形，则只要证明这两个三角形相似就行了，这叫做“竖定”。
例1：如图1，ABCD是⊙O的内接四边形，过C作DB的平行线，交AB的延长线于E。
求证BE·AD＝BC·CD。
分析：要证BE·AD＝BC·CD，即＝。
横定：这个比例式的前项中的线段BE、CD共有四个不同的端点，不能确定一个三角形；竖定：这个比例式的比中的线段BE、BC它们有三个不同的端点，可以确定一个△BEC，另一个比中的线段CD、AD的三个不同的端点也可以确定一个△ACD，于是只要证明△BEC∽△DCA，这样，证明所需添加的辅助线AC也就显示在眼前了。
15.比例式、等积式的常见证明方法
典例精解
类型三：找中间比利用等积式代换
如图，在△ABC中，已知∠BAC＝90 °，AD⊥BC于D，E为直角边AC 的中点，过D、E作直线交AB的延长线于F.求证：AB·AF＝AC·DF.
A
1
E
B
3
2D
C
F
如图，在△ABC中，已知∠A＝90°，AD⊥BC于D，E为直角边AC的 中点，过D、E作直线交AB的延长线于F.求证：AB·AF＝AC·DF.
A
1
E
B
3
2D
C
F
证明：∵∠A＝90°，AD⊥BC ∴∠1＝∠C＝90°－∠ABC 而∠BDA＝∠ADC ＝90° ∴△ABD∽△CAD
∴ AB BD AC AD
∵AD⊥BC，E为直角边AC中点 ∴DE＝EC ∴∠3＝∠C 又∵∠3＝∠2，∠1＝∠C ∴∠1＝∠2 而∠F是△FBD与△FDA的公共角 ∴△FBD∽△FDA
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比例式、等积式的常见证明方法
比例式、等积式的证明是初中几何非常常见的题型，同时也是令许多学 生头疼的一种题型，特别是在一些图形复杂、线段较多的题目中，往往令人 眼花瞭乱无从下手.
等积式的证明有没有技巧呢？其实只要我们冷静分析，我们将会发现许 多等积式的证明也是有规律可循的。
典例精解
F
∴∠CDF＝∠E
A
B
∴△DCF∽△EAD E
∴ DC CF AE AD
变式题
如图，△ABC 中，∠BAC＝90°，M 为 BC 的中点，DM⊥BC 交 CA 的延长
线于 D，交 AB 于 E，求证：AM2＝MD·ME.
D
证明：
∴∠D＝∠B＝90°－∠C
∵∠BAC＝90°，
中考二轮复习之证明线段的比例式或等积式的方法
F DCB A中考二轮复习之证明线段的比例式或等积式的方法1、添加平行线证明线段的比例式或等积式成立，往往要添加辅助线，以构造一对或多对相似三角形。
（1） 添加三角形内的平行线段添加的方法是过端点或内分点做平行线，利用“平行于三角形的一边，并且和其他两边或其延长线相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例”的性质证明线段成比例。
在几何命题中，如果出现一组（或两组）相比线段重叠在一条直线上时，可考虑添加三角形内的平行线。
例1：如图，已知AD 是A B C 的外角平分线，AD 与BC 的延长线交于D 。
求证：BD:CD=AB:AC例2：如图，点D 在A B C 的AC 边上，且AD=BE 。
求证:E F A C F DB C=.例3：如图，已知BD:DC=5:3,E 为AD 的中点，求BE:EF 的值.(2)添加三角形外的平行线 添加的方法是过端点作平行线 例4：如图，已知在A B C中，AD 平分B A C ∠，求证：A B B D A CD C=.FDCBEA FEDCBA DCBAE FD CB A例5：已知在A B C 中，AD 是中线，直线CEF 交AD 于E ，交AB 于F ，求证：AE:ED=2AF:BF.例6：已知A B C 中，AD 为中线，E 、F 分别在AB 、AC 上，且AE=AF,EF 交AD 于G ，求证：G E A C G FA B=.2、利用三角形相似的性质。
例7：如图，已知A B C中，090A C B∠=，D 是AB 的中点，过D 作AB 的垂线交AC 于E ，交BC 的延长线于F ，求证：2D C DE D F=.例8：如图，在A B C 中，AD 、BE 分别是BC 、AC 边上的高，过D 作AB 边上的垂线交AB 于F ，交BE 于G ，交AC 的延长线于H.求证：2D F G F H F=.2．等量代换法：当需要证明的成比例的四条线段不能构成相似三角形时，往往需要进行等量代换，包括“线段的代换”或利用“中间比”进行代换．HGFEDCBAFE DCBA FECBDA例9：在A B C中，090A∠=，A DB C⊥于D ，D EA B⊥于点E ，求证：22A B B E A CA E=.例10：如图，已知P 是平行四边形的对角线BD 上一点，连接AP 并延长，交BC 的延长线于F ，交CD 于E ，求证：2P A P E P F=⋅.例11：如图，已知ABCD 是平行四边形，P 为对角线BD 上一点，过点P 作一直线分别交BA 、BC 的 延长线于Q 、R ，交CD 、AD 于点S 、T.求证：P Q P T P R P S⋅=⋅.例12:已知在A B C 中，AD 是角平分线，AE 是外角平分线，交BC 的延长线于点E ，T 为DE 的中点.求证：2T EB TC T=⋅.E DCBA PFEDCB A TSPR QDCBAFETDCBA练一练1、如图，在A B C中，A C B ∠=090，C DA B⊥于D ，AB=13，AD=4，那么CD=2、如图，在Rt A B C 中，CD 是斜边AB 上的高，且BD=2，求AD 的长.3、如图，已知A B C中，90,A A D B C∠=⊥于D ，D EA B⊥于E ，求证：22A BB E A CA E=.DCBAEDCBADCBA。
初中数学解题技巧：证明线段的比例式或等积式的主要依据_答题技巧
初中数学解题技巧：证明线段的比例式或等积式的主要依据_答
题技巧
初中数学解题技巧：证明线段的比例式或等积式的主要依据_答题技巧
初中数学解题技巧：证明线段的比例式或等积式的主要依据
1、比例线段的定义。
2、平行线分线段成比例定理及推论。
3、平行于三角形的一边，并且和其他两边（或两边的延长线）相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例。
4、过分点作平行线；
5、相似三角形的对应高成比例，对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比。
6、相似三角形的周长的比等于相似比。
7、相似三角形的面积的比等于相似比的平方。
8、相似三角形的对应边成比例。
9、通过比例的性质推导。
10、用代数、三角方法进行计算。
11、借助等比或等线段代换。
例说证明线段比例式或等积式的方法与技巧
D
B
在这一个图形中,有两个 三 对相似,有 垂直,有____ 四 对互余的角,有_____ 三 ___ 组等积关系,它们分别是 AC2=AD· AB BC2=BD· AB
CD2=AD· BD
二 找相等的量（比、线段、等积式）替换
1等线段替换
例１ 已知等腰 ABC中，AB=AC，AD BC于D， CG AB，BG分别交AD、AC于E、F， 求证：BE EF EG
D
F
C
利用等比 式代换
2.已知:如图, ∠ACB=90°,AD=DB,DE⊥AB 于D交AC于E,交BC的延长线于F,试说明: DC2=DE· DF
A
D
E
F
C
B
点，若∠A=35°, ∠C=85°,∠AED=60°，
则AD· AB= AE· AC。
A D E B C
一、三点定形法
• 注：三点定形法证明等积式的一般步骤： • 1．先把等积式转化为比例式； • 2．观察比例式的线段确定可能相似的两个 三角形； • 3．再找这两个三角形相似所需的条件.
C
A
相似三角形
——比例式、等积式的几种常见证明方法
例.弦AB和CD相交于⊙o内一点P, 求证:PA· PB=PC· PD
∴ ∠A=∠D 同理: ∠C=∠B ∴△PAC∽△PDB
O
P
⌒ ∵∠A、∠D都是CB所对的圆周角 A
D
B C
PA PC PD PB
即PA· PB=PC· PD
练习：已知D、E分别是△ABC的边AB,AC上的
2
2等比替换
例2已知梯形ABCD中，AB CD，AC、 BD交于点O，BE AD交AC的延长线 于点E，求证：OA 2 OC OE
人教版九年级下册数学类比归纳专题比例式、等积式的常见证明方法
类比归纳专题：比例式、等积式的常见证明方法——直接法、间接法一网搜罗◆类型一三点定型法：找线段对应的三角形，利用相似证明1．如图，在菱形ABCD中，G是BD上一点，连接CG并延长交BA 的延长线于点F，交AD于点E，连接AG.(1)求证：AG＝CG；(2)求证：AG2＝GE·GF.2．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D，E是AC的中点，ED的延长线与CB的延长线交于点F.(1)若FD＝2FB，求FDFC的值；(2)若AC＝215，BC＝15，求S△FDC的值．◆类型二 利用等线段代换3．如图，在四边形ABCD 中，AB ＝AD ，AC 与BD 交于点E ，∠ADB＝∠ACB .求证：AB AE ＝ACAD.◆类型三 找中间比利用等积式代换4．如图，已知CE 是Rt △ABC 斜边AB 上的高，在EC 的延长线上任取一点P ，连接AP ，作BG ⊥AP ，垂足为G ，交CE 于D ，求证：CE 2＝PE ·DE .参考答案与解析1．证明：(1)∵四边形ABCD 是菱形，∴AB ∥CD ，AD ＝CD ，∠ADB＝∠CDB ，∴∠F ＝∠FCD .在△ADG 与△CDG 中，⎩⎪⎨⎪⎧AD ＝CD ，∠ADG ＝∠CDG ，DG ＝DG ，∴△ADG ≌△CDG ，∴∠EAG ＝∠DCG ，AG ＝CG .(2)∵∠EAG ＝∠DCG ，∠F ＝∠DCG ，∴∠EAG ＝∠F .又∵∠AGE ＝∠FGA ，∴△AGE ∽△FGA ，∴AG FG ＝EGAG，∴AG 2＝GE ·GF .2．解：(1)∵∠ACB ＝90°，CD ⊥AB ，∴∠A ＋∠ABC ＝∠DCB ＋∠ABC ，∴∠A ＝∠DCB .∵E 是AC 的中点，∠ADC ＝90°，∴ED ＝EA ，∴∠A ＝∠EDA .∵∠BDF ＝∠EDA ，∴∠DCB ＝∠BDF .又∵∠F ＝∠F ，∴△BDF ∽△DCF ，∴FD ∶CF ＝BF ∶FD ＝1∶2.(2)∵∠ACB ＝90°，CD ⊥AB ，∴∠BDC ＝∠ACB .∵∠ABC ＝∠CBD ，∴△BDC ∽△BCA ，∴BD ∶CD ＝BC ∶AC ＝15∶215＝1∶2.在Rt △BAC中，由勾股定理可得AB ＝53，∴S △BDC S △BCA ＝BC 2AB 2＝15，∴S △BDC ＝15×12×215×15＝3.∵△BDF ∽△DCF ，∴S △FBD S △FDC ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫BD CD 2＝14，即S △BDC S △FDC ＝34.∵S △BDC ＝3，∴S △FDC ＝4.3．证明：∵AB ＝AD ，∴∠ADB ＝∠ABE .∵∠ADB ＝∠ACB ，∴∠ABE＝∠ACB .又∵∠BAE ＝∠CAB ，∴△ABE ∽△ACB ，∴AB AE ＝ACAB .又∵AB ＝AD ，∴AB AE ＝AC AD.4．证明：∵∠ACB ＝90°，CE ⊥AB ，∴∠ACE ＋∠BCE ＝90°，∠ACE ＋∠CAE ＝90°，∴∠CAE ＝∠BCE ，∴Rt △ACE ∽Rt △CBE ，∴CEBE ＝AECE，∴CE 2＝AE ·BE .又∵BG ⊥AP ，CE ⊥AB ，∴∠DEB ＝∠DGP ＝∠PEA＝90°.∵∠1＝∠2，∴∠P＝∠3，∴△AEP∽△DEB，∴PEBE＝AEDE，∴PE·DE＝AE·BE，∴CE2＝PE·DE.答题方法：试卷检查五法重视答案,要对结果负责不少同学都说,明明题目都会做,然而考试时却不是这里出错就是那里出错,总是拿不了高分。
比例式、等积式证明的常用方法
比例式、等积式证明的常用方法一、三点定形法例1 如图，在Rt △ABC 中，90=∠ACB °，AB CD ⊥于D ，E 为AC 的中点，ED 的延长线交CB 的延长线于点P ，求证：PC PB PD ⋅=2例 2 如图，在ABC ∆中，AC AB ⊥，D 为BC 中点，BC DE ⊥交AC 于F ，交BA 延长线于E . 求证：DF DE AD ⋅=2注：三点定形法证明等积式的一般步骤：1．先把等积式转化为比例式；2．观察比例式的线段确定可能相似的两个三角形；3．再找这两个三角形相似所需的条件.二、找相等的量（比、线段、等积式）替换1、等线段替换例１ 已知等腰ABC ∆中，AC AB =，BC AD ⊥于D ，AB CG //，BG 分别交AD 、AC 于E 、F ，求证：EG EF BE ⋅=21 D F A B C E 2例2 如图，在ABC ∆中，AC AB =，BC AD ⊥于D ，AC BE ⊥于E ，BC EG ⊥于G ，L 是AF 的中点.求证：DL EG CD ⋅=22、等比替换例３ 已知梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AC 、BD 交于点O ，BE ∥AD 交AC 的延长线于点E ，求证：.2OE OC OA ⋅=例４ 如图，在ABC ∆中，AC AB ⊥，BC AD ⊥，E 为AC 中点，ED 延长线交AB 延长线于F . 求证：DF AC AF AB ⋅=⋅3、等积替换例5 如图，在ABC ∆中，AD 、BF 分别是BC 、AC 边上的高，过D 作AB 的垂线交AB 于E ，交BF 于G ，交AC 延长线于H .求证：EH EG DE ⋅=2.例６ 如图，已知CE 是Rt △ABC 斜边AB 上的高，在EC 的延长线上取一点P ，连结AP ，AP BG ⊥垂足为G ，交CE 于D ，求证：DE PE CE ⋅=2．注：当要证明的比例式中的线段在同一条直线上时，可以用相等的比、相等的线段、相等的等积式来替换相应的量，把看似无路可走的题目盘活，从而达到“车到山前疑无路，柳暗花明又一村”的效果.三、把求证等积式、比例式转化为求证垂直、求证角、线段相等，使证明简化例１ 已知在正方形ABCD 中，E 是AB 的中点，F 是AD 上的一点，且AD AF 41=，CF EG ⊥，垂足为G ，求证：FG CG EG ⋅=2.A B C H D G E F四、利用相似三角形的性质例１ 如图，ABC Rt ∆中，90=∠ACB °，AB CD ⊥于点D ，CAB ∠的平分AE 交CD 于点F ，交CB 于点E ．求证：AE CD CB AF ⋅=⋅.注：相似三角形的对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比，我们可以利用这些性质来证明有关的等积式往往会起到事半功倍的效果！练习巩固：1．如图，点D 、E 分别在边AB 、AC 上，且C ADE ∠=∠求证：（1） ADE ∆∽ACB ∆； (2)AC AE AB AD ⋅=⋅.２．如图，ABC ∆中，点DE 在边BC 上，且ADE ∆是等边三角形，︒=∠120BAC求证：（１）ADB ∆∽CEA ∆；（２）CE BD DE ⋅=2； （３）BC AD AC AB ⋅=⋅.3．如图，在平行四边形ABCD 中，E 为BA 延长线上一点，ECA D ∠=∠.求证：EB AC EC AD ⋅=⋅４．如图，AD 为ABC ∆中BAC ∠的平分线，EF 是AD 的垂直平分线．求证:FB FC FD ⋅=2。
证明线段的比例式或等积式的方法
证明线段的比例式或等积式的方法要证明线段的比例式或等积式，有多种方法可以使用。
下面我们将介绍几个常用的方法。
方法一：向量法利用向量的性质可以很方便地证明线段的比例式或等积式。
假设有线段AB和CD，要证明它们的比例式或等积式，可以先求出向量AB和向量CD，然后判断它们是否平行或共线，再比较它们的模长大小。
如果向量AB和向量CD平行或共线，我们可以根据向量的定义得知它们的比例式：AB：CD=，AB，：，CD如果向量AB和向量CD不平行或不共线，但线段AB与线段CD的比例式或等积式成立，我们也可以利用向量的性质推导出它们的比例关系。
具体的推导过程需要根据具体的题目条件来确定。
方法二：相似三角形法利用相似三角形的性质也可以方便地证明线段的比例式或等积式。
相似三角形是指两个或多个三角形的对应角相等且对应边成比例。
如果有线段AB和CD，我们可以通过构造相似三角形来证明它们的比例式。
假设我们可以找到一个三角形ABC与三角形CDE相似，那么根据相似三角形的性质有：AB：CD=AC：CE这样我们就证明了线段AB和CD的比例式。
方法三：重心法利用重心的性质也可以证明线段的比例式或等积式。
重心是指一个几何图形的平衡点，即重心到图形上各点的距离乘以图形上各点的质量（或面积）之和为零。
对于线段AB和CD，我们可以找到它们的重心O，并将线段AO和BO 延长到与CD相交于点E和F。
那么根据重心的性质，线段AO与线段OD 以及线段BO与线段OC的比例关系可以推导出：AO：OC=BO：OD进一步地，根据线段分线段外部点定理，我们可以得出：AO：OD=AB：CD这样我们就证明了线段AB和CD的比例式。
方法四：三角形面积法利用三角形面积的性质也可以证明线段的比例式或等积式。
假设有线段AB和CD，我们可以构造三角形AOB与三角形COD，其中O为点A和C 的连接线与BC的交点。
根据三角形面积的性质，有：三角形AOB的面积：三角形COD的面积=AB：CD这样我们就证明了线段AB和CD的比例式。
比例式等积式证明的常用方法
比例式等积式证明的常用方法在数学中，我们经常会遇到需要证明等式或不等式的情况。
其中，比例式等积式是一种常见的数学问题，需要通过推理和运算来证明两个比例式或等积式之间的等式关系。
在本文中，我将介绍一些常用的方法和策略，帮助读者更好地理解和解决比例式等积式证明的问题。
一、分数乘法分数乘法是比例式等积式证明中常用的一种方法。
我们可以利用分数乘法的性质，将等式中的分数进行运算，推导出等号两边相等的关系。
例如，我们需要证明以下比例式：(3/5) × (5/7) = (4/7) × (x/3)首先，我们可以将等式右边的分数进行乘法运算：(3/5) × (5/7) = (4/7) × (x/3)(15/35) = (4x/21)接下来，我们可以通过交叉乘积的方法来求解未知数x：15 × 21 = 35 × 4x315 = 140xx = 315/140x = 9/4通过分数乘法的方法，我们成功地证明了上述比例式的成立，并求解出了未知数x的值。
二、对角线乘积对角线乘积也是比例式等积式证明中常用的一种方法。
对于一个由两个平行线段组成的类似平行四边形的图形，我们可以利用对角线的性质，将等式中的线段长度进行运算，证明两个等式或不等式之间的关系。
例如，我们需要证明以下等积式：(2x + 3) × (5x - 1) = (3x + 2) × (4x - 5)首先，我们可以将等式左边和右边的对角线进行乘积运算：(2x + 3) × (5x - 1) = (3x + 2) × (4x - 5)(10x^2 - 2x + 15x - 3) = (12x^2 - 20x + 8x - 10)接下来，我们合并同类项并化简等式：10x^2 + 13x - 3 = 12x^2 - 12x - 100 = 2x^2 - 25x - 7最后，我们可以通过求解二次方程来求解未知数x的值。
例说证明线段比例式或等积式的方法和技巧
C
D
B
在这一个图形中,有两个 垂直,有__三__对相似,有___
对四互余的角,有_____三组等
积关系,它们分别是
AC2=AD·AB BC2=BD·AB CD2=AD·BD
二 找相等的量（比、线段、等积式）替换
1等线段替换
例 １ 已 知 等 腰ABC中 ， AB=AC， ADBC于 D， CG AB， BG分 别 交 AD、 AC于 E、 F， 求 证 ： BE2 EF•EG
三角形； • 3．再找这两个三角形相似所需的条件.
射影定理 3.找出图中所有C的相似三角形
B
A
D
射影定理：在直角三角形ABC中，CD为斜边上的高。
则： (1)BC AB BD BC
(2)AC2 AD•AB
(3)CD2 AD•BD
A
本 想 借 “ 五一 ”小长 假揣本 书躲进 绿林， 咀嚼氧 吧中的 文字， 谁知她 却非让 去 采 桑 叶 ， 说是小 孩儿逮 回来两 只蚕宝 宝。 “ 总 不 能让 那小生 命终止 在饥荒 中 吧 ” ！ 她 说。 “ 唉 ！ 贵人 有所不 知，这 些年城 市飞速 扩张， 郊野的 黄花菜 都 让 挖 绝 了 ，哪还 有桑叶 ？你想 还是《 陌上桑 》时代 ，‘罗 敷喜蚕 桑，采 桑城南 隅 。 青 丝 为 笼系， 桂枝为 笼钩’ 啊”！ 说归说 ，不服 从领导 的同志 不是好 同志， 还 得 去 。 “ 香 暖 金泥 风”， “眉剪 春山翠 ”。在 机关坐 惯的人 ，感觉 丛草、 朵 花 、 只 鸟 、林木 都是稀 罕物。 无怪辛 弃疾当 年感叹 “一松 一竹真 朋友， 山鸟山 花 好 弟 兄 ” 。徜徉 在太室 山脚的 青芜烟 簇中， 那桃梨 垂榆， 桂梅葱 茏在我 眼里竟 成 了 “ 青 蛾 殿脚女 ”，“ 卓约司 花妓” 。 “ 这 是 桑 叶么 ？”她 拉住路 边一丛 新 绿问。 “ 像，就 是这么 大小。 可端视 又似乎 不像， 只记得 桑树是 高杆壮 枝，
初中二年级几何学习技巧如何解决线段比例与面积比例的问题
初中二年级几何学习技巧如何解决线段比例与面积比例的问题在初中二年级的几何学习中，线段比例与面积比例是一个重要的知识点。
正确理解和应用线段比例与面积比例的技巧，对于解决相关问题非常关键。
本文将介绍一些有效的技巧，帮助同学们更好地掌握解决线段比例与面积比例的问题。
一、线段比例解决技巧1. 比例的定义和性质首先，我们需要理解比例的定义和性质。
比例是两个具有相同单位的量之间的对应关系。
在线段比例问题中，我们需要比较两个线段的长度，并确认它们是否成比例。
具体公式为：如果线段AB与线段CD 成比例，则有AB/CD = AC/BD。
掌握了比例的定义和性质后，我们就可以更好地解决线段比例的问题了。
2. 图形的放缩和相似线段比例与图形的放缩和相似有密切关系。
当两个图形相似时，它们的相应线段也成比例。
因此，我们可以利用图形的放缩和相似的特性，解决线段比例问题。
具体方法是通过计算两个图形的对应线段长度比例，来确定线段是否成比例。
3. 利用比例关系求解在实际问题中，有时候我们无法直接测量线段的长度，但可以根据线段的比例关系来求解。
例如，如果我们知道两个线段的比例为2:3，其中一个线段的长度为6cm，那么我们可以通过比例的性质计算出另一个线段的长度为9cm。
因此，利用比例关系可以方便地求解线段比例的问题。
二、面积比例解决技巧1. 面积比例的概念对于面积比例的问题，我们需要理解面积比例的概念。
面积比例是指两个图形的面积之间的对应关系。
具体公式为：如果图形A的面积为S1，图形B的面积为S2，那么它们的面积比例为S1:S2。
掌握了面积比例的概念后，我们就可以更好地解决面积比例的问题了。
2. 利用相似图形的性质与线段比例一样，面积比例与相似图形也有紧密的联系。
当两个图形相似时，它们的面积比例等于两个图形边长的比例的平方。
因此，我们可以利用相似图形的性质来解决面积比例的问题。
具体方法是通过计算图形边长的比例，然后将该比例的平方作为面积比例。
「初中数学」证比例式或等积式的六种常用技巧
「初中数学」证比例式或等积式的六种常用技巧证比例式或等积式的题目时，若问题中无平行线或相似三角形，则需要构造平行线或相似三角形，得到成比例线段.若比例式或等积式中的线段分布在两个三角形中，可尝试证这两个三角形相似;若比例式或等积式中的线段分布不在两个三角形中，可尝试将它们转化到两个三角形中;若比例式或等积式中的线段分布在两个明显不相似的三角形中，可尝试用中间比代换.技巧一.构造平行线法1.如图，在△ABC中，D为AB的中点，DF交AC于点E，交BC 的延长线于点F，求证AE×CF=BF×EC.【分析】由AE×CF=BF×EC，变为AE/BF=EC/CF或AE/EC=BF/CF，成比例的线段明显的组不成三角形，于是寻求中间比进行代换，过C点作CM∥AB，交DF于M，如图，则BF/CF=BD/CM，AE/EC=AD/CM，而D为AB的中点，则AD=BD，∴BF/CF=AE/EC，即AE×CF=BF×EC.另，过C点作CM∥DF交AB于M，如图则AE/EC=AD/DM，又BF/CF=BD/DM，而AD=BD，∴AE/EC=BF/CF，即AE×CF=BF×EC.另，过B点作BM∥AC，交FD的延长线于M，如图则BF/CF=BM/EC，而D为AB的中点，易证AE=BM，∴BF/CF=AE/EC，即AE×CF=BF×EC，这里巧用AE等量代换了BM，得证.另，过B点作BM∥DF交AC的延长线于M，如图则BC/CF=CM/EC，∴(BC+CF)/CF=(CM+EC)/EC，即BF/CF=EM/EC，而DE是△ABM的中位线，AE=EM，∴BF/CF=AE/EC，即AE×CF=BF×EC.另，过A点作AM∥DF交BF的延长线于M，如图∵D为AB的中点，∴BF=FM，又AE/EC=FM/CF，∴AE/EC=BF/CF，即AE×CF=BF×EC.另，过A点作AM∥BC，交FD的延长线于M，如图则AM/CF=AE/EC，而D为AB的中点，易证AM=BF，∴BF/CF=AE/EC，即AE×CF=BF×EC.技巧二.构造相似三角形法2.已知△ABC的边AB上有一点D，边BC的延长线上有一点E，且AD=CE，DE交AC于点F，求证AB×DF=BC×EF.【分析】由AB×DF=BC×EF，变形为AB/BC=EF/DF，成比例的线段可构成△ABC，而EF，DF构不成三角形，可寻求中间比代换，过D作DM∥BE，交AC于M，如图则出现A型相似，△ADM∽△ABC;X型相似，△CEF∽△MDF，∴有AB/BC=AD/DM，EF/DF=CE/DM，而AD=CE，∴AB/BC=EF/DF，即AB×DF=BC×EF.另，过E点作EM∥AB，交AC的延长线于M，如图同学们自己证一下.技巧三，三点定型法3.如图，在△ABC中，∠BAC=90°，M是BC的中点，MD⊥BC，交AB于E，交CA的延长线于D，求证AM²=DM×EM.【分析】由AM²=DM×EM，化为AM/DM=EM/AM，锁定两个三角形ADM与△EAM，看是否相似，∵∠BAC=90°，M是BC的中点，∴BM=AM，∴∠B=∠BAM，而∠D，与∠B都是∠C的补角，∠B=∠D=∠EAM，∵∠AEM=∠D+∠DAE，∠DAM=∠EAM+∠DAE，∴∠AEM=∠DAM，又∠AME=∠DMA，∴△AME∽△DMA，∴AM/DM=EM/AM，即AM²=DM×EM.技巧四.等积过渡法4.如图，CE是Rt△ABC斜边上的高，在EC的延长线上任取一点P，连接AP，作BG⊥AP于点G，交CE于点D，求证CE²=DE×PE.【分析】从结论分析，成比例的线段不在三角形中，那么就要找等量代换，由BG⊥AP，DE⊥AB，∴∠AEP=∠BED=∠AGB=90°，∵∠P与∠ABG都是∠PAB的余角，∴∠P=∠ABG，∴△AEP∽△DEB，∴AE/DE=PE/BE，即AE×BE=DE×PE，又CE⊥AB，∠ACB=90°，易证△AEC∽△CEB，∴AE/CE=CE/BE，即AE×BE=CE²，∴CE²=DE×PE.技巧五.等比代换法5.如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于D，E是AC的中点，连接ED并延长，交AB的延长线于点F，求证AB/AC=DF/AF【分析】由于AD⊥BC，∠BAC=90°，∴∠ADB=∠ADC=90°，又E是AC的中点，∴DE=EC=AC/2，∴∠C=∠CDE，又∠CDE=∠FDB，∵∠BAD+∠DAC=90°，∠C+∠DAC=90°，∴∠BAD=∠C=∠FDB，又∵∠F=∠F，∴△FDB∽△FAD，∴DB/AD=DF/AF，∵∠ADB=∠ADC，∠BAD=∠C，∴△ABD∽△CAD，∴BD/AD=AB/AC，∴AB/AC=DF/AF.技巧六.等线段代换法6.在△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的中线，CF∥AB，BF交AD于点P，交AC于点E，求证PB²=PE×PF.【分析】由结论看，PB，PE，PF三线段在同一条线上，无法找到相似三角形，考虑代换，连接PC，而AB=AC，AD是BC边上的中线，则AD垂直平分BC，∴PB=PC，∴∠PBC=∠PCB，而∠ABC=∠ACB，∴∠ABP=∠ACP，又∵CF∥AB，∴∠F=∠ABP，∴∠F=∠ACP，又∠EPC=∠FPC，∴△PEC∽△PCF，∴PC/PF=PE/PC，∴PC²=PE×PF，∵PB²=PE×PF.如图【总结】几何证明题，多种多样，证等积式等比例式，究竟用什么方法，因题而异，考虑题中的条件，灵活代换，可以是等线段代换.等比代换，等积代换等。
123.15.比例式、等积式的常见证明方法
∴∠4＝∠F 而 ∠ CPE 是 △ CPE 和
△FPC的公共角 ∴△CPE∽△FPC ∴PE∶PC＝PC∶PF ∴PC2＝PE·PF ∴BP2＝PE·PF
∵CF∥AB
∴∠3＝∠F
方法总结
运用类型一的方法证明线段的比例式或等积式时，如果相关的线段不在 某两个三角形中，则需要将其中的某条线段用与之相等的另一条线段替换， 再按类型一 的方法证明.
∴ DF BD AF AD
∴ AB DF AC AF
∴AB·AF＝AC·DF.
方法总结
证明线段比例式或等积式时，如果按类型一、类型二的方法仍无法证 明，可以尝试将等积式化为比例式，结合图形找到能够与比例式中的两个 比分别相等的中间比，从而证明所求证的结果成立.
XXX X
古 X
X X X
风 设
一 岁 只 叹 伊
， 饮 罢 飞 雪 ，
负 了 青 春 举
泪 溶 了 雪 ， 恰
光 ？ 谁 酒 三 尺
颜 刹 那 ？ 谁 饮
拾 弹 指 雪 花 ？
今 夜 无 月 亦 无
纷 纷 飘 香 。 雪
一 回 。 忆 苍 茫
前 尘 旧 梦 ， 不
， 怎 敌 我 浊 酒
古 韵 清
风
中 幽 舞
梦明
国 落 月
花， 间 。
类型三：找中间比利用等积式代换
如图，在△ABC中，已知∠BAC＝90 °，AD⊥BC于D，E为直角边AC的 中点，过D、E作直线交AB的延长线于F.求证：AB·AF＝AC·DF.
A
1
E
B
3
2D
C
F
如图，在△ABC中，已知∠A＝90°，AD⊥BC于D，E为直角边AC的中 点，过D、E作直线交AB的延长线于F.求证：AB·AF＝AC·DF.
九年级线段成比例知识点
九年级线段成比例知识点一、什么是线段成比例？线段成比例是指两个线段之间的比值相等。
即如果两个线段的长度之比等于另外两个线段的长度之比，那么这四个线段就成比例。
二、线段成比例的判定方法1. 基于长度的判定方法：设有四个线段AB、CD、EF和GH，我们可以使用以下方法判定它们是否成比例。
（1）如果AB/CD = EF/GH，即两个比值相等，那么线段AB 和CD与线段EF和GH成比例。
（2）如果AB/CD = EF/GH = k（常数），即三个比值相等，那么线段AB和CD与线段EF和GH成比例。
2. 基于相似三角形的判定方法：我们也可以利用相似三角形的性质来判定线段成比例。
（1）如果三角形ABC与三角形DEF相似，那么线段AB和CD与线段AC和DF成比例。
（2）如果三角形ABC与三角形DEF相似，并且线段AB与线段DE相等，那么线段AB和CD与线段AC和DF成比例。
三、线段成比例的性质1. 线段成比例的交叉乘积性质：设AB/CD = EF/GH，那么有以下等式成立：AB × GH = CD × EF这条性质可以用来解决一些与线段成比例相关的问题。
2. 平行线段上的线段成比例性质：如果线段AB与线段CD平行，并且线段AD与线段BC相交于点O，那么有以下等式成立：AO/OD = BO/OC这个性质可以帮助我们在平行线段上找到线段成比例的关系。
四、线段成比例的应用线段成比例广泛应用于几何学和代数学中。
在几何学中，我们可以使用线段成比例来证明两个三角形相似或者证明平行线段之间的关系。
在代数学中，线段成比例可以用来求解未知长度和方程的解等问题。
简单来说，线段成比例在数学中是一个重要的概念，它帮助我们理解和解决与线段长度和比值有关的问题。
在学习几何学和代数学的过程中，我们需要掌握线段成比例的判定方法、性质和应用，以便能够灵活运用这一概念解决各种数学问题。
以上就是九年级线段成比例的相关知识点，希望能够帮助你更好地理解和掌握这一概念。
初一数学线段比例解题技巧
初一数学线段比例解题技巧
线段比例是初中数学中一个重要的知识点，它涉及到线段的长度和比例关系。
掌握线段比例的解题技巧对于解决这类问题至关重要。
解题步骤：
1. 确定已知条件：首先明确题目中给出的已知条件，如线段的长度或比例关系。
2. 画出图形：根据题意，画出相应的图形，以便更直观地理解问题。
3. 推导比例关系：根据已知条件和图形，推导出各线段之间的比例关系。
4. 求解未知量：利用比例关系，求解题目中要求的未知量。
5. 验证答案：最后，验证所得答案是否符合题意，确保解题过程无误。
注意事项：
1. 理解比例的基本性质：比例的基本性质是解决线段比例问题的关键，要熟练掌握。
2. 灵活运用相似三角形的性质：在解决线段比例问题时，常常需要利用相似三角形的性质进行推导。
3. 注意单位的一致性：在解题过程中，要确保所有涉及的长度单位一致，避免出现单位换算错误。
4. 细心审题：在解题前要仔细审题，明确题目要求和已知条件，避免因理解错误而导致解题错误。
通过以上步骤和注意事项，可以更好地掌握线段比例的解题技巧，提高解题效率和准确性。
证比例式或等积式的七种技巧课件人教版九年级数学下册
又∵∠6＋∠7＝180°－∠C＝120°， ∴∠5＝∠7.∴△BPM∽△CNP. ∴CBNP＝BCMP ，助 线 构 造 出 △BPM 和 △CNP ， 将 要 证
的四条线段转化在这两个三角形中，利用已知条件 证两三角形相似，从而得出结论．
5.如图，在 Rt△ABC 中，AD 是斜边 BC 上的高，∠ABC 的 平分线 BE 交 AC 于 E，交 AD 于 F.求证：BBFE＝ABBC.
【证明】由题意得∠BDF＝∠BAE＝90°. ∵BE 平分∠ABC，∴∠DBF＝∠ABE. ∴△BDF∽△ BAE.∴BADB＝BBFE. ∵∠BAC＝∠BDA＝90°，∠ABC＝∠DBA， ∴△ABC∽△ DBA．∴ABBC＝BADB.∴BBFE＝ABBC.
1.三角形内角平分线定理：三角形任意两边之比等于它们夹 角的平分线分对边之比． 已知：如图，在△ABC 中，AD 是角平分线． 求证：AABC＝BDDC.
【证明】如图，过点C作CE∥DA，交BA的延长线 于点E.∴∠1＝∠E，∠2＝∠3. ∵AD 是△ABC 的角平分线， ∴∠1＝∠2.∴∠3＝∠E.∴AC＝AE. ∵AD∥CE，∴AABE＝BDDC，∴AABC＝BDDC.
3.如图，在等边三角形ABC中，点P是BC边上任意一点， AP 的 垂 直 平 分 线 分 别 交 AB ， AC 于 点 M ， N. 求 证 ： BP·CP＝BM·CN.
【证明】如图，连接PM，PN. ∵MN是AP的垂直平分线， ∴MA＝MP，NA＝NP. ∴∠1＝∠2，∠3＝∠4. 又∵△ABC是等边三角形， ∴∠B＝∠C＝∠1＋∠3＝60°. ∴∠2＋∠4＝60°.∴∠5＋∠6＝120°.
4.如图，在△ABC 中，DE∥BC，EF∥AB．试判断ADDB＝BFFC 是否成立，并说明理由．
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初中数学解题技巧:证明线段的比例式或等积式的主要依据和方法_答题技巧
初中数学解题技巧:证明线段的比例式或等积式的主要依据和方法
1、比例线段的定义。
2、平行线分线段成比例定理及推论。
3、平行于三角形的一边，并且和其他两边（或两边的延长线）相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例。
4、过分点作平行线；
5、相似三角形的对应高成比例，对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比。
6、相似三角形的周长的比等于相似比。
7、相似三角形的面积的比等于相似比的平方。
8、相似三角形的对应边成比例。
9、通过比例的性质推导。
10、用代数、三角方法进行计算。
11、借助等比或等线段代换。