河北衡水金卷2019届高三12月第三次联合质量测评(数学理)
2019届河北省衡水中学高三第三次质检数学(理)试题(有答案解析)
2019届河北省衡水中学高三第三次质检数学（理）试题一、单选题1．已知集合{|1}A x x =<，{|1x B x e =< }，则（ ） A ．{|1}A B x x ⋂=< B ．()R A C B R ⋃=C ．{|}A B x x e ⋃=<D ．(){|01}R C A B x x ⋂=<< 【答案】B【解析】求出集合A={x|x ＜1}，B={x|e x ＜1}={x|x ＜0}，从而R C B ={x|x≥0}，R C A ={x|x≥1}，由此能求出结果． 【详解】∵集合A={x|x ＜1}，B={x|e x ＜1}={x|x ＜0}，R C B ={x|x≥0}，R C A ={x|x≥1}，∴A∩B={x|x ＜0}，故A 错误； A ∪B={x|x ＜1}，故C 错误；()R A C B R ⋃=，故B =正确；()R C A B ∅⋂=，故D 错误．故选B ． 【点睛】本题考查集合与集合的关系的判断，考查补集、交集、并集等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，属于基础题． 2．已知i 为虚数单位，若1i(,)1ia b a b =+∈-R ，则b a =（ ）A ．1 BC ．2D ．2【答案】C【解析】根据复数的除法运算得到1112i a bi i +==+-，再由复数相等的概念得到参数值，进而得到结果. 【详解】i 为虚数单位，若1(,)1a bi a b R i =+∈-，1112ia bi i +==+-根据复数相等得到1 2 1 2ab⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩.1212().2ba==故答案为C.【点睛】这个题目考查了复数除法运算，以及复数相等的概念，复数a bi+与ic d+相等的充要条件是a c=且b d=．复数相等的充要条件是化复为实的主要依据，多用来求解参数的值或取值范围．步骤是：分别分离出两个复数的实部和虚部，利用实部与实部相等、虚部与虚部相等列方程（组）求解．3．向量,,a b cr r r在正方形网格中的位置如图所示.若向量a bλ+r r与cr共线,则实数λ=（）A．2-B．1-C．1D．2【答案】D【解析】由图像，根据向量的线性运算法则，可直接用,a brr表示出cr，进而可得出λ. 【详解】由题中所给图像可得：2a b c+=rr r，又cr=a brrλ+，所以2λ=.故选D【点睛】本题主要考查向量的线性运算，熟记向量的线性运算法则，即可得出结果，属于基础题型.4．函数f(x)=15sin(x+3π)+cos(x−6π)的最大值为A．65B．1 C．35D．15【答案】A【解析】由诱导公式可得ππππcos cos sin6233x x x⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+=+⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，则()1ππ6πsin sin sin53353f x x x x⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++=+⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,函数()f x的最大值为65. 所以选A.【名师点睛】三角恒等变换的综合应用主要是将三角变换与三角函数的性质相结合，通过变换把函数化为sin()y A x B ωϕ=++的形式，再借助三角函数的图像研究性质，解题时注意观察角、函数名、结构等特征．5．七巧板是我国古代劳动人民的发明之一，被誉为“东方模板”，它是由五块等腰直角三角形、一块正方形和一块平行四边形共七块板组成的.如图是一个用七巧板拼成的正方形，若在此正方形中任取一点，则此点取自黑色部分的概率为（ ）A ．932B ．516C ．38D ．716【答案】C【解析】分析：由七巧板的构造，设小正方形的边长为1，计算出黑色平行四边形和黑色等腰直角三角形的面积之和．详解：设小正方形的边长为12，2；黑色等腰直角三角形的直角边为2，斜边为2，大正方形的边长为2，所以21222322P 82222⨯⨯==⨯， 故选C ．点睛：本题主要考查几何概型，由七巧板的构造，设小正方形的边长为1，通过分析观察，求得黑色平行四边形的底和高，以及求出黑色等腰直角三角形直角边和斜边长，进而计算出黑色平行四边形和黑色等腰直角三角形的面积之和，再将黑色部分面积除以大正方形面积可得概率，属于较易题型．6．已知0a >，且，函数()()log 6a f x ax =-，则“13a <<”“是()f x 在()1,2上单调递减”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】先将函数()()log 6a f x ax =-转化为y ＝log a t ，t ＝6ax -，两个基本函数，再利用复合函数求解． 【详解】0a Q >,且1a ≠，6t ax ∴=-为减函数.若()f x 在()1,2上单调递减，则1a >.且620a -⨯≥，则13a <≤.13a <<是13a <≤的充分不必要条件.故选A . 【点睛】本题主要考查复合函数，关键是分解为两个基本函数，利用同增异减的结论研究其单调性，再求参数的范围,属于基础题．7．一给定函数()y f x =的图象在下列四个选项中，并且对任意1(0,1)a ∈，由关系式1()n n a f a +=得到的数列{}n a 满足1n n a a +<.则该函数的图象可能是( )A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】利用已知条件推出n n f a a （）＜，判断函数的图象，推出选项即可． 【详解】由题对于给定函数()y f x =的图象在下列四个选项中，并且对任意()10,1a ∈，由关系式()1n n a f a +=得到的数列{}n a 满足1n n a a +<．则可得到n n f a a （）＜，所以11f a a （）＜在101a ∀∈（，）上都成立，即01x f x x ∀∈（，），（）＜，所以函数图象都在y x =的下方． 故选A ． 【点睛】本题考查函数图象的判断，数列与函数的关系，属基础题．8．某几何体的三视图如图所示，其中主视图，左视图均是由高为2三角形构成，俯视图由半径为3的圆与其内接正三角形构成，则该几何体的体积为( )A ．936π+B ．9318π+C ．336π D ．3318π 【答案】A【解析】由三视图知该几何体由底面边长是33高为2的正三棱锥和底面半径是3高为2的圆锥组合而成，利用锥体的体积公式可得结果. 【详解】由三视图知该几何体由底面边长是33高为2的正三棱锥和底面半径是3，高为2的圆锥组合而成，正三棱锥的体积是(21393332342⨯⨯=， 圆锥的体积是213263ππ⨯⨯⨯=，所以组合体的体积936π+，故选A. 【点睛】本题利用空间几何体的三视图重点考查学生的空间想象能力和抽象思维能力，属于难题.三视图问题是考查学生空间想象能力最常见题型，也是高考热点.观察三视图并将其“翻译”成直观图是解题的关键，不但要注意三视图的三要素“高平齐，长对正，宽相等”，还要特别注意实线与虚线以及相同图形的不同位置对几何体直观图的影响，对简单组合体三视图问题，先看俯视图确定底面的形状，根据正视图和侧视图，确定组合体的形状.9．设双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ， 122F F c =，过2F 作x 轴的垂线与双曲线在第一象限的交点为A ，已知3,2a Q c ⎛⎫⎪⎝⎭， 22F Q F A >，点P 是双曲线C 右支上的动点，且11232PF PQ F F +>恒成立，则双曲线的离心率的取值范围是( )A ．71,6⎛⎫ ⎪⎝⎭B．,2⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭C．76⎛ ⎝⎭D．1,2⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭【答案】A【解析】令x =c代入双曲线的方程可得2by a==±， 由22F Q F A >,可得232a b a>，即为3a 2>2b 2=2(c 2−a 2)，即有2c e a =<① 又11232PF PQ F F +>恒成立， 由双曲线的定义,可得2a +|PF 2|+|PQ |>3c 恒成立， 由F 2,P ,Q 共线时,|PF 2|+|PQ |取得最小值|F 2Q |=32a ， 可得3c <2a +32a ， 即有c e a =<76②由e >1，结合①②可得， e 的范围是(1,7 6). 故选：A.点睛：解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于a ，b ，c 的方程或不等式，再根据a ，b ，c 的关系消掉b 得到a ，c 的关系式，建立关于a ，b ，c 的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.10．已知实数x y ，满足124242,240,330,x y x y x y x y --⎧+≥+⎪-+≥⎨⎪--≤⎩若(1)1y k x ≥+-恒成立，那么k 的取值范围是( ) A ．1,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．4,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦C ．[)3,+∞ D ．1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦【答案】D【解析】由题意，作出不等式组对应的可行域，根据()11y k x =+-的图象是过点()1,1--，斜率为k 的直线，结合图象，即可求解.【详解】由题意,实数,x y 满足124242240330x y x y x y x y --⎧+≥+⎪-+≥⎨⎪--≤⎩，即220240330x y x y x y +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪--≤⎩，作出约束条件所表示的平面区域，如图所示，又因为函数()11y k x =+-的图象是过点()1,1--，斜率为k 的直线，要使得不等式()11y k x ≥+-恒成立，即11y k x +≤+恒成立， 结合图象可知，当直线过点()1,0B 时，斜率取得最小值12，所以实数k 的取值范围是1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦，故选D.【点睛】本题主要考查了简单线性规划的应用，其中解答中正确求解约束条件所对应的不等式组，作出约束条件所表示的平面区域，再根据斜率公式求解是解答的关键，着重考查了数形结合思想，推理与计算能力.11．已知三棱锥A BCD -中，2AB AC BD CD ====，2BC AD =， 直线AD 与底面BCD 所成角为3π，则此时三棱锥外接球的表面积为 （ ） A ．8π B ．6πC ．9πD ．5π【答案】A【解析】取BC 的中点O ，判断O 为三棱锥外接球的球心，即可求出结果. 【详解】取BC 中点O ，则AO BC ⊥，DO BC ⊥，AO DO =， 因为直线AD 与底面BCD 所成角为3π，所以AO DO AD ==， 因为2BC AD =，所以AO DO BO CO ===，即O 为三棱锥外接球的球心， 因为2AB AC BD CD ====，所以122AO BC == 所以三棱锥外接球的表面积为4π28π⨯=. 故选A 【点睛】本题主要考查几何体外接球的相关计算，熟记球的表面积公式即可，属于常考题型.12．己知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x >时，()()112,0212,22x x f x f x x --⎧<≤⎪=⎨->⎪⎩，则函数()()1g x xf x =-在[)6-+∞,上的所有零点之和为（ ） A ．7 B ．8C ．9D ．10【答案】B【解析】由已知可分析出函数()g x 是偶函数，则其零点必然关于原点对称，故()g x 在[]6,6-上所有的零点的和为0，则函数()g x 在[)6-+∞,上所有的零点的和，即函数()g x 在(6,)+∞上所有的零点之和，求出(6,)+∞上所有零点，可得答案．【详解】解：Q 函数()f x 是定义在R 上的奇函数，()()f x f x ∴-=-． 又Q 函数()()1g x xf x =-，()()()1()[()]1()1()g x x f x x f x xf x g x ∴-=---=---=-=，∴函数()g x 是偶函数，∴函数()g x 的零点都是以相反数的形式成对出现的．∴函数()g x 在[]6,6-上所有的零点的和为0，∴函数()g x 在[)6-+∞,上所有的零点的和，即函数()g x 在(6,)+∞上所有的零点之和．由02x <…时，|1|1()2x f x --=，即22,01()2,12x x x f x x --⎧<=⎨<⎩…… ∴函数()f x 在(]0,2上的值域为1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦，当且仅当2x =时，()1f x =又Q 当2x >时，1()(2)2f x f x =- ∴函数()f x 在(]2,4上的值域为11,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦，函数()f x 在(]4,6上的值域为11,84⎡⎤⎢⎥⎣⎦，函数()f x 在(]6,8上的值域为11,168⎡⎤⎢⎥⎣⎦，当且仅当8x =时，1()8f x =，函数()f x 在(]8,10上的值域为611,213⎡⎤⎢⎥⎣⎦，当且仅当10x =时，1()16f x =，故1()f x x<在(]8,10上恒成立，()()1g x xf x =-在(]8,10上无零点，同理()()1g x xf x =-在(]10,12上无零点， 依此类推，函数()g x 在(8,)+∞无零点，综上函数()()1g x xf x =-在[)6-+∞,上的所有零点之和为8 故选：B ． 【点睛】本题考查的知识点是函数的奇偶性，函数的零点，函数的图象和性质，其中在寻找(6,)+∞上零点个数时，难度较大，故可以用归纳猜想的方法进行处理．二、填空题 13．曲线y =y x =所围成的封闭图形的面积为__________．【答案】16【解析】由定积分的几何意义可得：封闭图形的面积()132120211|326S x x dx x x ⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭⎰. 14．()5221111x x x ⎛⎫+++ ⎪⎝⎭展开式中2x 的系数为________. 【答案】15【解析】写出()521x +展开式的通项，求出含2x 及4x 的项，则答案可求．【详解】 解：25252525221111(1)(1)(1)(1)(1)x x x x x x x x+++=+++++Q 且25(1)x +展开式的通项为215r r r T C x +=． 由22r =，得1r =；由23r =，得32r =（舍)；由24r =，得2r =． ()5221111x x x ⎛⎫+++ ⎪⎝⎭∴展开式中2x 的系数为125515C C +=．故答案为：15． 【点睛】本题主要考查了二项式定理的应用问题，解题时应灵活应用二项展开式的通项公式，属于基础题． 15．过抛物线的焦点的直线交于两点，在点处的切线与轴分别交于点，若的面积为，则_________________。
2019届河北省衡水中学高三上学期三调考试数学(理)试题(word版)
2019届河北省衡水中学高三上学期三调考试数学（理）试题（word 版）、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的2 2y =kx 与双曲线 —1相交，则k 的取值范围是94B. 2,0.3'则 log 2 b n =()5.已知直线ax y -^0与圆C: xy =1相交于A ，B ，且△ ABC 为等腰直角三角形,a 的值为（）A. 1或-1 7B. -1C. 1D.1 或-16.在ABC 中， a,b,c 分别是角A,B,C 的对边，若 2 2 2a b =2014c ，则2tanA tanB的值为（）tanC tan A tan BA. 2013B.1C.0D.20147.已知点M a,b ab =0是圆C :x 2 y^r 2内一点，直线I 是以M 为中点的弦所在的直线，直线 m 的方程为bx -ay =r ，那么（）1.集合M 2x 2 -x —1c 0｝，N =｛x2x +a >q ｝，U =R ，M ■ C U•，则a 的取值范围是（）A. a 1B. a _1C. a :::1D. a 乞12.若直线3.在△ ABC 中, AB = 3 ， AC = 2 ， BD 1 —BC ，贝U AD BD 2 =(A. 52B.§ 2C. 54D.§ 44.已知数列'a n 』的前n 项和为S2=n，正项等比数列Ib n ［中,=a i ， b n .|b n4 =4$ n 一 2,n N .，A. n -1B. 2n —1C. n —2D. n则实数A. I _m 且m 与圆C 相切B. I // m 且m 与圆C 相切C. I _m 且m 与圆C 相离D. I // m 且m 与圆C 相离11. 已知点A 是抛物线x 2 =4y 的对称轴与准线的交点，点B 为抛物线的焦点， P 在抛物线上且满足PA 二mPB ，当m 取最大值时，点 P 恰好在以A , B 为焦点的双曲线上，则双曲线的离心率为 （） A.迈 1B.辽 1C. 2 1D. . 5 _12 212. 已知在R 上的函数f x 满足如下条件：①函数 f x 的图象关于y 轴对称；②对于任意 x ・R , f 2 • x - f 2 -X [=0 ；③当 x ：= 0,2 1 时，f x ]=x ；④函数 f n x 二 f 2心・x , n N ,若过点-1,0 的 直线l 与函数f4 x 的图象在0,2 1上恰有8个交点，则直线I 斜率k 的取值范围是（） A. '0—1B. ‘0 iC. 0-^1D. ' 0 I 9 I ‘11,8,19「8二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13在趣中，窗分别是角ABC 的对边，已知sin 织飞冷,心,△ABC 的面积为舟，则—山一的值为 _____________________ . sin B sin CT — —+14. 已知平面上有四点 O,A,B,C ，向量OA , OB , OC 满足: OA OB =OB OC =OC OA = -1，则△ ABC 的周长是15. 已知F 1、F 2是椭圆和双曲线的公共焦点，P 是他们的一个公共点，且/ F1PF2G ，则椭圆和双曲线的8.若圆x 2 y 2 -ax 2y ^0和圆x 2 y 2 =1关于直线y = x -1对称，过点C ]—a, a 的圆P 与y 轴相切，则圆心P 的轨迹方程是（）2A. y 4x 、4y 亠8 =0 C. y 4x -4y 8 =0 2B. y 2x _2y 2 二0 2D. y _2x _y 1 =0 9.平行四边形ABCD 中, AD - -1，点M 在边CD 上，则MA MB 的最大值为（A. ,2 -1B. , 3 -1C.0D.22 210. 已知椭圆笃 Z =1 a 0,b 0上一点A 关于原点的对称点为 a b / ABF ，且-二匸，则该椭圆的离心率 e 的取值范围是（一6 4B , F 为其右焦点，若 AF _ BF ，设）T —* —t 4OA OB OC =0,一3 3离心率的倒数之和的最大值为16. 已知数列⑴｝的前n项和S n=2a n—2讦，若不等式2n2—n — 3＜：(5 —&円对N*恒成立，则整数人的最大值为_________________ .三、解答题(本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)17. 在厶ABC中，角A,B,C的对边分别是a,b,c，已知向量m= cos3A ,sin塑，n = cos- ,sinJA，且满I 2 2丿J 2 2丿足黑+片=J3.(1) 求角A的大小；⑵若b • c二3a，试判断△ ABC的形状.18. 已知圆C经过原点O 0,0且与直线y =2x_8相切于点P 4,0 .(1) 求圆C的方程；(2) 在圆C上是否存在两个点M，N关于直线y =kx—1对称，且以线段MN为直径的圆经过原点？若存在，写出直线MN的方程；若不存在，请说明理由.19. 各项均为正数的数列曲中，4=1，S.是数列鮎」的前n项和，对任意n^N*，有22S n ^2pa n pa n -p p R .(1)求常数p的值；⑵求数列的通项公式；⑶记b n =兰^ 2，求数列仏［的前n项和T n .n *3x2y2J3 47520. 已知椭圆C:x2 ^7 =1 a b 0的离心率，原点到过点A a,0 , B 0,-b的直线的距离是土二.a b 2 5(1)求椭圆C的方程；⑵如果直线y =kx，1 k = 0交椭圆C于不同的两点E,F，且E,F都在以B为圆心的圆上，求k的值.21. 已知定点F 0,1，定直线m: y - -1，动圆M过点F，且与直线m相切.(1)求动圆M的圆心轨迹C的方程；⑵过点F的直线与曲线C相交于A, B两点，分别过点A,B作曲线C的切线b，I2，两条切线相交于点P，2求△ PAB 外接圆面积的最小值• 22. 设函数 f x =ln x —fax 2—bx.(1)当a =b=f 时，求函数f x 的最大值；1 2 ai ⑵ 令F x 二f x ax bx , 0：：：x_3其图象上任意一点 P x o ,y o 处切线的斜率k "恒成立，求2 x 2实数a 的取值范围；⑶当a =0 , b = _1，方程2mf x =x 2有唯一实数解，求正数 m 的值.2018〜2019学年度上学期高三年级三调考试数学(理)试卷答案、选择题、填空题1-5:BCCDD6-10:ACCDB 11、12: CA13.214.3.615.4.3316.4三、解答题17.2片 2 3A 3A解：⑴‘ m n 2m 心，代入z co 右S 巧nUcosAsi n^，有 I 2 2丿3A A . 3A .A13AA 11cos —— cos sin sin即 cos — - -cos A 二-1 2 2 222 22 22.22 2⑵法一：•A 1 cos A ,「.b 一c -a1①22bc 2联立①②解得 b =2c 或 c =2b ，又 I b —c 二 3a ,若 b =2c ，贝U a 二 3c , 二a 2 c^ 3^ 2 -c 2 =4c 2二b 2 , △ ABC 为直角三角形，同理，若c =2b ，则△ ABC 也为直角三角形 18.(1)由已知，得圆心在经过点 P 4,0且与y =2x -8垂直的直线1x 2上，它又在线段 OP 的中垂线x=2上，所以求得圆心 C 2,1，半径为.5.页22 2所以圆C 的方程为：X_2 y-1 =5.⑵ 假设存在两点 M,N 关于直线y =kx _1对称，则y =kx _1通过圆心C 2,1，求得k=1 , 所以设直线 MN 为y - _x >b ，代入圆的方程得 2x 2 - 2b 2 x b 2 - 2b = 0 ,设 M X|, -^ b , N X 2, -X 2 b ，贝VOM ON =2%x 2 -b x x 2F ：； b 2 = b 2 - 3b = 0 ,解得b =0或b =3，这时0，符合题意，所以存在直线 19.解：⑴ 由 a i =1 及 2S n =2pa ： • pa . -p n ・ N ，得:⑵由 2S n -2a ^ a n -1 ①，得 2S n ^2a n 12 - am -1 ② 由②一①，得 2a n 1 =2a n 1 _an !亠〔a n 1 -'an , 即：2 a n 1 - a n a n 1 —an ia n 1 - a n =0 ,二 a n i a n 2a n i -2a n -1 =0 , 由于数列 给f 各项均为正数，••• 2a n 1 -2a n =1，即a n -a ••擞列G 堤首项为1，公差为2的等差数列, •••数列 惊？的通项公式是 外=1 • n -11工口.2 2+1得 ： Qn(n +3 ). _ 4S n n _ n得：S n，…b n2 n 2 ，24 n 3二 T n =1 2 2 22 3 23…n 2n2T n =1 222 23 …n _1 2n n 2n 1 ,_-丄小2 丄小3 丄 丄_ n + 2112) _n + □ . , _-=2+2 +2 卜…+2-n 2=^^一〃2=十少2-2T 二 n -1 2n 1 2 .20.解：（1）因为-=3a 2 -b 2 =c 2，所以 a =2b , a2因为原点到直线AB : .x-1 的距离 d ab 4 5，解得 a - 4 , b - 2 , ab —J a 2 +b 25故所求椭圆C 的方程 为 2X21 4Zp y =kx 1⑵由题意 x 2 y 消去y ，整理得1 4k 2 x 2 8k^-1^0，可知.：0,116 4X 2 + X 3 4k1 设 E X 2,y2 , F X 3,y3 , EF 的中点是 M X M ,Y M ，贝V X M - - ―2， y M = kx M 1—2，% * * 丿 ' * 2 1+4k1+4ky 呻_ 2 1 4 k k所以 k BM = — - ,所以 X M ky M 2k =0，即卩 2 2 • 2k =0，又因为 k = 0 ,X M k 1 +4k 1 +4kMN 为y = -x 或y = —x • 3符合条件•2 =2p p _p ,所以k2 J，所以k 2.8 421.解：(1)设点M到直线l的距离为d，依题意M2| =d，设M (x,y )，则有J x2+(y—1 j = y+［，化简得x2 =4y.所以点M 的轨迹C的方程为x2 =4y.、r 2 2⑵设I AB： y =kx 1，代入x =4y 中，得x -4kx-4 =0,设 A X1, y1 ， B X2,y2 ，2则洛• x2=4k，x x2- -4，所以AB = 1 k2x^ x2= 4 k2 1 ，因为C : x2 = 4y，即y =中，所以Y，所以直线h的斜率为k^X1，直线l2的斜率为k2二丝，因为k*2 =空--1，所以PA_PB，即△ PAB为2 2 4直角三角形.所以△ PAB的外接圆的圆心为线段AB中点，线段AB是直径，因为AB =4 k21，所以当k =0时线段AB最短，最短长度为4,此时圆的面积最小，最小面积为4:.22.解：(1)依题意，知f x的定义域为0,；，当 a 二b 二1时，f x =1 nx-1x2—1x，2 4 2. 1 1 1 —(x +2 (x —1 )f ' X X —x 2 2 2x令 f ' x =0,解得x =1.( ••• x -0)因为g x]=0有唯一解，所以g X2 =0，当0：：：x：：：1时，f ' x・0,此时fx单调递增;当x 1时，f' x <0，此时f x单调递减,所以f x的极大值为f 1 - -3，此即为最大值.4(2) F x =l nx，a, x"0,3〕，则有k二F'怡二匹乞1，在X。
2019届河北衡水中学高三上学期调研三考数学(理)试卷【含答案及解析】
试卷【含答案及解析】
姓名 ____________ 班级 _______________ 分数____________
题号
-二二
三
总分
得分
、选择题
1. 已知集合一：：一一-二二-，集合：中至少有 3 个元素，则 （ ）
A-
■ _____________ B ——心：'< _____________________ C.
4
Eg = 3
■+ 疋（EU 二 ^tlll 2tz * VJco&2ff * —二
222
Zsinacosn 」只 cosu a -sin- a
*匚
sin- a +cos' a
sin- a + cos- a
2 tail a 十 JV -tan2 a tan2 cz +1 \An~a -^1
第 15 题【答案】 EO
—2W2F 不满足稠环条件，退出循环'输出
,即计算魏列｛厂｝前白项的和，购・
第 8 题【答案】 A
【解析】
试題分析；由角 A.B,C 成等差魏列」得迓吕扌 J 由血 C ■(苗 8 曲十血卫)3 訪■得 sh(j< + ^ = (TTc-OTJ + sin^COTB r 优简得 cosJsin(5-—) = 0 ,所以/二兰，或召=彳、所臥"甬/卫 1 成等羞数列抿是“河「二
ห้องสมุดไป่ตู้
I-）
I 存在极值？并求出相应
的极值点.
22. 选修 4-1 :几何证明选讲
已知四边形，：,叫：」为圆.的内接四边形，且 补；二第？，其对角线二 与亍:二 相交于点■■-，过点.’
河北省衡水金卷高三数学12月第三次联合质量测评试卷理(含解析)
数学（理科）一、选择题：本大题共12 小题，每题 5 分，在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的。
1. 已知复数z 知足，则复数z 在复平面内对应的点所在象限为A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】【分析】D复数知足，∴，则复数在复平面内对应的点在第四象限，应选 D.2. 已知全集，会合为A. B. C. D.【答案】 B【分析】【剖析】化简会合A、 B，利用补集与交集运算即可获得结果【详解】因为.，所以或.所以.应选 B.【点睛】此题考察会合的交并补运算，考察不等式的解法，属于基础题3. 若命题p为：为.A.B.C.D.【答案】 C【分析】【剖析】依据全称命题的否认为特称命题即可获得结果.【详解】依据的构成方法得，为. 应选C.【点睛】全称命题的一般形式是：，，其否认为. 存在性命题的一般形式是，，其否认为.4. 朱世杰是历史上最伟大的数学家之一，他所著的《四元玉鉴》卷中“如像招数”五问中有以下问题：“今有官司差夫一千九百八十四人筑堤，只云初日差六十四人，次日转多八人，每人日支米三升”．其粗心为“官府陆续差遣1984 人前去修建堤坝，第一天派出64 人，从次日开始每日派出的人数比前一天多8 人，修建堤坝的每人每日赋发大米 3 升”，在该问题中的 1984 人所有差遣到位需要的天数为A. 14B. 16C. 18D. 20【答案】 B【分析】【剖析】利用等差数列的通项公式及前n 项和公式即可获得结果.【详解】依据题意设每日派出的人数构成数列，剖析可得数列是首项. 公差为8 的等差数列，设1984 人所有差遣到位需要n 天，则. 解得 n=16. 应选 B.【点睛】此题考察等差数列的通项公式、前n 项和公式的应用，考察推理能力与计算能力，属于基础题 .5.以下图，分别以正方形 ABCD两邻边 AB、AD为直径向正方形内做两个半圆，交于点 O．若向正方形内扔掷一颗质地平均的小球 ( 小球落到每点的可能性均同样 ) ，则该球落在暗影部分的概率为A. B.C. D.【答案】 C【分析】【剖析】计算正方形与暗影的面积，依据面积概型公式获得答案.【详解】法一：设正方形的边长为 2. 则这两个半圆的并集所在地区的面积为，所以该质点落入这两个半圆的并集所在区城内的概率为. 故选C.法二：设正方形的边长为域的面积为2. 过O作 OF垂直于 AB，OE垂直于 AD.则这两个半圆的并集所在区，所以该质点落入这两个半圆的并集所在地区的概率为，应选 C.【点睛】解决几何概型问题常有种类有：长度型、角度型、面积型、体积型，求与面积有关的几何概型问题关鍵是计算问题的总面积以及事件的面积；几何概型问题还有以下几点简单造成失分，在备考时要高度关注：（ 1）不可以正确判断事件是古典概型仍是几何概型致使错误；（2）基本领件对应的地区测度掌握禁止致使错误；（ 3）利用几何概型的概率公式时 , 忽略考证事件能否等可能性致使错误 .6. 已知定义在R 上的函数知足：(1) ；(2)为奇函数；(3) 当时，图象连续且恒成立，则的大小关系正确的为A. B.C. D.【答案】 C【分析】【剖析】先明确函数的周期性、奇偶性与单一性，把问题转变为在上利用单一性比较大小的问题 .【详解】因为，所以函数是周期为 2 的周期函数 . 又由为奇函数，所以有，所以函数为奇函数，又由当时，图象连续，且恒成立，得函数在区间（-1，1）内单一递加，而.所以.应选 C.【点睛】此题综合考察了函数的图象与性质，波及到周期性、单一性、对称性，利用单一性比较大小，解题重点怎样把自变量转变到同一个单一区间上，属于中档题.7.一正方体被两平面截去部分后剩下几何体的三视图以下图，则该几何体的表面积为A. B.C. D.【答案】 B【分析】【剖析】作出几何体的直观图，察看截去几何体的结构特色，代入数据计算．【详解】由题中条件及三视图可知该几何体是由棱长为 2 的正方体被平面截去了两个三棱锥后剩下的几何体，以下图，该几何体的表面三角形有，，，，，，由对称性只要计算，的大小，因为，. 所以该几何体的表面积为.应选 B.【点睛】由三视图画出直观图的步骤和思虑方法：1、第一看俯视图，依据俯视图画出几何体的直观图； 2、察看正视图和侧视图找到几何体前、后、左、右的高度；3、画出整体，然后再依据三视图进行调整.8.以下图，边长为 2 的正方形 ABCD中， E 为 BC边中点，点 P 在对角线 BD上运动，过点 P 作 AE的垂线，垂足为F，当最小时，A. B. C. D.【答案】 D【分析】【剖析】由图易知向量所成角为钝角 , 联合题意可知当最小时，即为向量在向量方向上的投影最小，确立点P 的地点，从而获得结果.【详解】依题，由图易知向量所成角为钝角，所以，所以当最小时，即为向量在向量方向上的投影最小，数形联合易知点 P 在点 D时,最小（以下图），在三角形 ADE中，由等面积可知，所以，从而. 所以.应选 D.【点睛】此题考察了平面向量数目积的定义及运算，向量的线性运算，考察了数形联合的思想，考察了计算能力，属于中档题.9. 已知双曲线的左、右焦点分别为，左、右极点分别为A、B，过点的直线与双曲线 C的右支交于P 点，且的外接圆面积为A. B. C. D.【答案】 C【分析】【剖析】由可知：，从而易得，利用正弦定理可得外接圆的半径，获得的外接圆面积 .【详解】因为，所以，由已知得 A（-1.0 ），B（1，0），（2，0），且，所以，在三角形 ABP中，由正弦定理得 . ，所以三角形APB的外接圆的面积为. 应选 C.【点睛】此题考察了双曲线的简单几何性质，平面向量数目积的几何意义，正弦定理，考察了推理论证能力，计算能力，属于中档题.10.利用一半径为 4cm的圆形纸片 ( 圆心为 O)制作一个正四棱锥．方法以下：(1)以 O为圆心制作一个小的圆；(2)在小的圆内制作一内接正方形ABCD；(3) 以正方形ABCD的各边向外作等腰三角形，使等腰三角形的极点落在大圆上( 如图 ) ；(4)将正方形 ABCD作为正四棱锥的底，四个等腰三角形作为正四棱锥的侧面折起，使四个等腰三角形的极点重合，问：要使所制作的正四棱锥体积最大，则小圆的半径为A. B. C. D.【答案】 C【分析】【剖析】设小圆的半径为，连 OD. OH.OH与 AD交于点 M，表示正四棱锥的体积，利用导数研究函数的最值，即可获得结果.【详解】设小圆的半径为，连 OD.OH. OH与 AD交于点 M，则. 因为大圆半径R=4，所以，在正四棱锥中，以下图，.所以记，所以令，易知，时，取最大值，所以小圆半径为时，V最大。
2019届河北省衡水中学高三上学期三调考试数学(理)试题Word版含解析
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3 ．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸
和答题卡上的非答题区域均无效。
4 ．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
一、单选题 1．集合 范围是 A． 2．若直线
B． 与双曲线
，
，
，若
C．
D．
相交，则 的取值范围是
，则 的取值
A．
B．
C．
D．
3．在
中，
，
，
，则
A．
B．
C．
D．
4．已知数列
的前 项和为
，则
A．
B．
C．
5．已知直线
与圆
角形，则实数 的值为
，正项等比数列
中，
，
D．
相交于 ， ，且
为等腰直角三
A． 或
B．
C．
D． 1 或
6．在 A．
中，
分别是角
的对边，若
B． 1 C． 0 D． 2014
，则
的值为
7．已知点 线 的方程为
，已知向量
，
，且
满足
.
(1) 求角 的大小；
(2) 若
，试判断
的形状 .
18．已知圆 经过原点
且与直线
相切于点
（Ⅰ）求圆 的方程；
（Ⅱ）在圆 上是否存在两点
关于直线
对称，且以线段 为直径的圆经过原点？
若存在 ,写出直线 的方程；若不存在，请说明理由
19 ．各项均为正数的数列
中，
， 是数列 的前 项和，对任意
22 ．设函数
.
(1) 当
河北衡水金卷2019届高三12月第三次联合质量测评数学(理)试题-bec1cdb1d7874de19430ac0e5b9c8436
绝密★启用前河北衡水金卷2019届高三12月第三次联合质量测评数学（理)试题试卷副标题注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题)请点击修改第I 卷的文字说明 一、单选题1．已知复数z 满足 ，则复数z 在复平面内对应的点所在象限为（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限2．已知全集 ，集合 ，则 为A ．B ．C ．D ． 3．若命题p 为： ，则 为（ ） A ． B ． C ． D ．4．朱世杰是历史上最伟大的数学家之一，他所著的《四元玉鉴》卷中“如像招数”五问中有如下问题：“今有官司差夫一千九百八十四人筑堤，只云初日差六十四人，次日转多八人，每人日支米三升”．其大意为“官府陆续派遣1984人前往修筑堤坝，第一天派出64人，从第二天开始每天派出的人数比前一天多8人，修筑堤坝的每人每天分发大米3升”，在该问题中的1984人全部派遣到位需要的天数为 A ．14 B ．16 C ．18 D ．205．如图所示，分别以正方形ABCD 两邻边AB 、AD 为直径向正方形内做两个半圆，交于…………外……………装…………○…线…………○…※请※※不※※要※※在※※装※…………内……………装…………○…线…………○…落在阴影部分的概率为A ．B ．C ．D ．6．已知定义在R 上的函数 满足：(1) ；(2) 为奇函数；(3)当 时， 图象连续且 恒成立，则的大小关系正确的为A ．B ．C ．D ．7．一正方体被两平面截去部分后剩下几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为A ．B ．C ．D ．8．如图所示，边长为2的正方形ABCD 中，E 为BC 边中点，点P 在对角线BD 上运动，过点P 作AE 的垂线，垂足为F ，当 最小时，A ．B ．C ．D ．…………订………：___________考号：____…………订………9．已知双曲线的左、右焦点分别为 、 ，左、右顶点分别为A 、B ，过点 的直线与双曲线C 的右支交于P 点，且 ，则 的外接圆面积为A ．B ．C ．D ．10．利用一半径为4cm 的圆形纸片(圆心为O)制作一个正四棱锥．方法如下： (1)以O 为圆心制作一个小的圆； (2)在小的圆内制作一内接正方形ABCD ；(3)以正方形ABCD 的各边向外作等腰三角形，使等腰三角形的顶点落在大圆上(如图)； (4)将正方形ABCD 作为正四棱锥的底，四个等腰三角形作为正四棱锥的侧面折起，使四个等腰三角形的顶点重合，问：要使所制作的正四棱锥体积最大，则小圆的半径为A ．B ．C ．D ．11．已知椭圆 ：两个焦点之间的距离为2，单位圆O 与的正半轴分别交于M ，N 点，过点N 作圆O 的切线交椭圆于P ，Q 两点，且 ，设椭圆的离心率为e ，则 的值为 A ．B ．C ．D ．12．已知函数，两个等式：对任意的实数 均恒成立，且 在 ，上单调，则 的最大值为A ．1B ．2C ．3D ．4第II卷（非选择题)请点击修改第II卷的文字说明二、填空题13．若实数满足约束条件则的最小值为__________．14．二项式()00nbax a bx⎛⎫+>>⎪⎝⎭，的展开式中，设“所有二项式系数和”为A，“所有项的系数和”为B，“常数项”值为C，若25670A B C===，，则含6x的项为_____．15．已知圆，点，，为圆外任意一点．过点P作圆C的一条切线，切点为N，设点P满足时的轨迹为E，若点A在圆C上运动，B在轨迹E上运动，则的最小值为___________．16．定义在R上的函数满足，又当时，成立，若，则实数t的取值范围为_________．三、解答题17．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为且.(1)求c的值；(2)以AB为一边向外(与点C不在AB同侧)作一新的△ABP，使得，求面积的最大值．18．随着经济的发展，个人收入的提高，自2019年1月1日起，个人所得税起征点和税率的调整，调整如下：纳税人的工资、薪金所得，以每月全部收入额减除5000元后的余额为应纳税所得额，依照个人所得税税率表，调整前后的计算方法如下表：……外…………○…………订○…………线…………○……___班级：____________……内…………○…………订○…………线…………○……(1)假如小红某月的工资、薪金等所得税前收入总和不高于8000元，记 表示总收入， 表示应纳的税，试写出调整前后 关于 的函数表达式；(2)某税务部门在小红所在公司利用分层抽样方法抽取某月100个不同层次员工的税前收入，并制成下面的频数分布表：①先从收入在 及 的人群中按分层抽样抽取7人，再从中选4人作为新纳税法知识宣讲员，用 表示抽到作为宣讲员的收入在 元的人数， 表示抽到作为宣讲员的收入在 元的人数，随机变量 ，求 的分布列与数学期望；②小红该月的工资、薪金等税前收入为7500元时，请你帮小红算一下调整后小红的实际收入比调整前增加了多少?19．如图所示，底面为菱形的直四棱柱 被过三点 、 、 的平面截去一个三棱锥 (图一)得几何体 (图二)，E 为 的中点．(1)点F 为棱 上的动点，试问平面 与平面 是否垂直?请说明理由； (2)设 ，当点F 为 中点时，求锐二面角 的余弦值．20．设抛物线 ： 的焦点为F ，已知直线 与抛物线C 交于A ，B 两点(A ，B 两点分别在 轴的上、下方)． (1)求证：； (2)已知弦长 ，试求：过A ，B 两点，且与直线 相切的圆D 的方程． 21．已知函数 ． (1)若，证明：当 时， ；(2)设，若函数 在 ， 上有2个不同的零点，求实数 的取值范围．22．在直角坐标系中，直线l 的参数方程为1cos ,1sin x t y t αα=-+⎧⎨=+⎩（t 为参数，0πα<<），以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴，取相同的长度单位建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2241sin ρθ=+．（1）当π6a =时，写出直线l 的普通方程及曲线C 的直角坐标方程； （2）已知点()11P -，，设直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，试确定PA PB ⋅的取值范围． 23．设函数 ． (1)当 时，求不等式 的解集；(2)当 时， ，求 的取值范围．参考答案1．D【解析】复数满足，∴，则复数在复平面内对应的点在第四象限，故选D.2．B【解析】【分析】化简集合A、B，利用补集与交集运算即可得到结果.【详解】因为，所以或.所以.故选B.【点睛】本题考查集合的交并补运算，考查不等式的解法，属于基础题.3．C【解析】【分析】根据全称命题的否定为特称命题即可得到结果.【详解】根据的构成方法得，为.故选C.【点睛】全称命题的一般形式是：，，其否定为.存在性命题的一般形式是，，其否定为.4．B【解析】【分析】利用等差数列的通项公式及前n项和公式即可得到结果.【详解】根据题意设每天派出的人数组成数列，分析可得数列是首项.公差为8的等差数列，设1984人全部派遣到位需要n天，则.解得n=16.故选B.【点睛】本题考查等差数列的通项公式、前n项和公式的应用，考查推理能力与计算能力，属于基础题.5．C【解析】【分析】计算正方形与阴影的面积，根据面积概型公式得到答案.【详解】法一：设正方形的边长为2.则这两个半圆的并集所在区域的面积为，所以该质点落入这两个半圆的并集所在区城内的概率为.故选C.法二：设正方形的边长为2.过O作OF垂直于AB，OE垂直于AD.则这两个半圆的并集所在区域的面积为，所以该质点落入这两个半圆的并集所在区域的概率为，故选C.【点睛】解决几何概型问题常见类型有：长度型、角度型、面积型、体积型，求与面积有关的几何概型问题关鍵是计算问题的总面积以及事件的面积；几何概型问题还有以下几点容易造成失分，在备考时要高度关注：（1）不能正确判断事件是古典概型还是几何概型导致错误；（2）基本事件对应的区域测度把握不准导致错误；（3）利用几何概型的概率公式时, 忽视验证事件是否等可能性导致错误.6．C【解析】【分析】先明确函数的周期性、奇偶性与单调性，把问题转化为在上利用单调性比较大小的问题.【详解】因为，所以函数是周期为2的周期函数.又由为奇函数，所以有，所以函数为奇函数，又由当时，图象连续，且恒成立，得函数在区间（-1，1）内单调递增，而.所以.故选C.【点睛】本题综合考查了函数的图象与性质，涉及到周期性、单调性、对称性，利用单调性比较大小，解题关键如何把自变量转化到同一个单调区间上，属于中档题.7．B【解析】【分析】作出几何体的直观图，观察截去几何体的结构特征，代入数据计算．【详解】由题中条件及三视图可知该几何体是由棱长为2的正方体被平面截去了两个三棱锥后剩下的几何体，如图所示，该几何体的表面三角形有，，，，，，由对称性只需计算，的大小，因为，.所以该几何体的表面积为.故选B.【点睛】由三视图画出直观图的步骤和思考方法：1、首先看俯视图，根据俯视图画出几何体的直观图；2、观察正视图和侧视图找到几何体前、后、左、右的高度；3、画出整体，然后再根据三视图进行调整.8．D【解析】【分析】由图易知向量所成角为钝角,结合题意可知当最小时，即为向量在向量方向上的投影最小，确定点P的位置，从而得到结果.【详解】依题，由图易知向量所成角为钝角，所以，所以当最小时，即为向量在向量方向上的投影最小，数形结合易知点P在点D时,最小（如图所示），在三角形ADE中，由等面积可知，所以，从而.所以.故选D.【点睛】本题考查了平面向量数量积的定义及运算，向量的线性运算，考查了数形结合的思想，考查了计算能力，属于中档题.9．C【解析】【分析】由可知：，从而易得，利用正弦定理可得外接圆的半径，得到的外接圆面积.【详解】因为，所以，由已知得A（-1.0），B（1，0），（2，0），且，所以，在三角形ABP中，由正弦定理得.，所以三角形APB的外接圆的面积为.故选C. 【点睛】本题考查了双曲线的简单几何性质，平面向量数量积的几何意义，正弦定理，考查了推理论证能力，计算能力，属于中档题.10．C【解析】【分析】设小圆的半径为，连OD.OH.OH与AD交于点M，表示正四棱锥的体积，利用导数研究函数的最值，即可得到结果.【详解】设小圆的半径为，连OD.OH.OH与AD交于点M，则.因为大圆半径R=4，所以，在正四棱锥中，如图所示，所以记，所以令，易知，时，取最大值，所以小圆半径为时，V最大。
河北省衡水市2019届高三下学期第三次质量检测数学(理)试题
河北省衡水市2019届高三下学期第三次质量检测数学（理）试题（考试时间：120分钟试卷满分：150分）第Ⅰ卷选择题（共60分）一．选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求,将正确答案填涂在答题卡上。
1.已知集合，，则()A. B.C. D.2.已知为虚数单位，若，则A. B. C. D.3.向量在正方形网格中的位置如图所示.若向量与共线,则实数（）A. B. C. D.4.函数的最大值为（）A. B.1 C. D.5.七巧板是我国古代劳动人民的发明之一，被誉为“东方模板”，它是由五块等腰直角三角形、一块正方形和一块平行四边形共七块板组成的．如图是一个用七巧板拼成的正方形，若在此正方形中任取一点，则此点取自黑色部分的概率为A. B. C. D.6.已知，且，函数，则“”“是在上单调递减”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件7.一给定函数的图象在下列四个选项中，并且对任意，由关系式得到的数列满足.则该函数的图象可能是()A. B.C. D.8.某几何体的三视图如图所示，其中主视图，左视图均是由高为2三角形构成，俯视图由半径为3的圆与其内接正三角形构成，则该几何体的体积为()A. B. C. D..9.设双曲线：的左、右焦点分别为，，，过作轴的垂线与双曲线在第一象限的交点为，已知，，点是双曲线右支上的动点，且恒成立，则双曲线的离心率的取值范围是（）A. B. C. D.10.已知实数满足若恒成立，那么的取值范围是A. B. C. D.11.已知三棱锥中，，，直线与底面所成角为，则此时三棱锥外接球的表面积为（）A. B. C. D.12.已知函数是定义在R上的奇函数，当时，则函数＝在上的所有零点之和为A.7B.8C.9D.10第Ⅱ卷非选择题（共90分）二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在答题卡上相应位置。
2019届四省高三第三次大联考【衡水金卷】数学(理)试题(解析版)
2019届四省高三第三次大联考【衡水金卷】数学（理）试题★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考考查范围。
2、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目。
将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B铅笔将答题卡上试卷类型A后的方框涂黑。
3、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
4、主观题的作答：用0.5毫米黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带等。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非主观题答题区域的答案一律无效。
5、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B铅笔涂黑。
答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。
6．保持卡面清洁，不折叠，不破损。
7、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并上交。
一、单选题1．复数满足为虚数单位），则的虚部为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：由题意结合复数的运算法则进行计算，然后确定其虚部即可.详解：由复数的运算法则可得：，据此可知，复数的虚部为.本题选择B选项.点睛：本题主要考查复数的运算法则，复数的几何意义等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.2．某几何体的三视图是如图所示的三个直角三角形，若该几何体的体积为，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：首先确定几何体的空间结构，然后结合体积公式得到关于d的方程，解方程即可求得最终结果.详解：由题意可知，该几何体是一个三棱锥，其底面为直角三角形，且直角三角形的直角边长度分别为dcm,9cm，其高为8cm，结合三棱锥体积公式可得：，解得：，即.本题选择C选项.点睛：本题主要考查三视图还原几何体，三棱锥的体积公式等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.3．设集合则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：首先确定集合N，然后考查两个集合的关系即可.详解：求解二次不等式可得：，则，则集合M是集合N的真子集.据此可知.本题选择B选项.点睛：本题主要考查集合的表示方法，集合之间的关系等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.4．《莱因德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一，书中有这样一道题目：把100个面包分给5个人，使每个人所得面包量成等差数列，且较大的三份之和的等于较小的两份之和，问最小的一份为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】分析：首先将问题转化为数列的问题，然后求解数列中对应的项即可.详解：原问题等价于：已知等差数列中：，且：，，求的值.不妨设数列的公差为，则：，即，①则，②联立①②可得：，.即最小的一份为.本题选择A选项.点睛：本题主要考查等差数列及其应用，等差数列的前n项和等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.5．对任意实数有若则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：由题意分别求得的值，然后两者作差得到关于a的方程，求解方程即可求得最终结果.详解：令可得：，即，展开式的通项公式为：，令可得：，令可得：，则，结合题意有：，解得：.本题选择B选项.点睛：(1)二项式定理的核心是通项公式，求解此类问题可以分两步完成：第一步根据所给出的条件(特定项)和通项公式，建立方程来确定指数(求解时要注意二项式系数中n和r的隐含条件，即n，r均为非负整数，且n≥r，如常数项指数为零、有理项指数为整数等)；第二步是根据所求的指数，再求所求解的项．(2)求两个多项式的积的特定项，可先化简或利用分类加法计数原理讨论求解．6．双曲线的一条渐近线截圆为弧长之比是的两部分，则双曲线的离心率等于（）A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：结合圆的方程首先确定渐近线方程，然后结合双曲线的方程求得b的值，之后求解离心率即可.详解：圆的方程的标准方程为：，圆的圆心坐标为，且经过坐标原点，双曲线的渐近线经过坐标原点，若双曲线的一条渐近线截圆为弧长之比是的两部分,则双曲线的一条渐近线的倾斜角为，其斜率，据此可得：，双曲线的离心率为.本题选择C选项.点睛：双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出a，c，代入公式；②只需要根据一个条件得到关于a，b，c的齐次式，结合b2＝c2－a2转化为a，c的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a或a2转化为关于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范围)．7．阅读如图所示的程序，若运行结果为35，则程序中的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】分析：首先确定程序的功能，然后结合题意确定a的取值范围即可.详解：由程序语句可知程序运行程序过程中数据变化如下：S=11，i=9；S=20，i=8；S=28，i=7；S=35，i=6，此时结束循环，故6<a≤7.即程序中的取值范围是.本题选择A选项.点睛：本题主要考查程序语句是识别与应用，当型循环与直到型循环的区别于联系等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.8．设，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：由求出的表达式，先比较的大小和范围，再求出的范围，根据它们不同的范围，得出它们的大小。
2019届河北衡水中学高三上学期调研三考数学(理)试卷【含答案及解析】
2019届河北衡水中学高三上学期调研三考数学（理）试卷【含答案及解析】姓名___________ 班级____________ 分数__________一、选择题1. 已知集合，集合中至少有3个元素，则（_________ ）A．______________ B．____________________ C．____________________________ D．2. 复数的共轭复数的虚部是（________ ）A．____________________________ B．_________________________________ C．-1____________________________ D．13. 下列结论正确的是（________ ）A．若直线平面，直线平面，则B．若直线平面，直线平面，则C．若两直线与平面所成的角相等，则D．若直线上两个不同的点到平面的距离相等，则4. 等比数列的前项和为，已知，且与的等差中项为，则（_________ ）A．29______________________________ B．31___________________________________ C．33___________________________________ D．365. 已知实数满足，则的取值范围为（_________ ）A．_________ B．______________C．______________ D．6. 若，则的最小值为（________ ）A．8_________________________________ B．6___________________________________ C．4_________________________________ D．27. 阅读如图所示的程序框图，则该算法的功能是（_________ ）A．计算数列前5项的和________________________ B．计算数列前5项的和C．计算数列前6项的和____________________ D．计算数列前6项的和8. 中，“角成等差数列”是“ ”的（_________ ）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 ___________ D．既不充分也不必要条件9. 已知，二次三项式对于一切实数恒成立，又，使成立，则的最小值为（________ ）A．1____________________ B．___________ C．2______________D．10. 已知等差数列的前项和分别为，若对于任意的自然数，都有，则（________ ）A．____________________ B．______________ C．___________________ D．11. 已知函数与的图象上存在关于轴对称的点，则实数的取值范围是（________ ）A．____________________________ B．______________C．____________________ D．12. 如图，在中，分别是的中点，若，且点落在四边形内（含边界），则的取值范围是（________ ）A．________________________ B．____________________________ C．____________________ D．二、填空题13. 若实数，且满足，则的大小关系是_____________．14. 若，则的值为___________ ．15. 一个几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积是 _____________ ．16. 已知函数，若关于的方程有个不同根，则实数的取值范围是 _________ ．三、解答题17. 已知，集合，把中的元素从小到大依次排成一列，得到数列．（ 1 ）求数列的通项公式；（ 2 ）记，设数列的前项和为，求证：．18. 已知向量，记．（ 1 ）若，求的值；（ 2 ）在锐角中，角的对边分别是，且满足，求的取值范围．19. 如图所示，在直三棱柱中，平面侧面，且．（ 1 ）求证：；（ 2 ）若直线与平面所成角的正弦值为，求锐二面角的大小．20. 已知函数 .（I）若曲线上点处的切线过点，求函数的单调减区间；（II）若函数在区间内无零点，求实数的最小值.21. 已知，二次函数，关于的不等式的解集为，其中为非零常数，设．（ 1 ）求的值；（ 2 ）若存在一条与轴垂直的直线和函数的图象相切，且切点的横坐标满足，求实数的取值范围；（ 3 ）当实数取何值时，函数存在极值？并求出相应的极值点．22. 选修4-1：几何证明选讲已知四边形为圆的内接四边形，且，其对角线与相交于点，过点作圆的切线交的延长线于点．（ 1 ）求证：；（ 2 ）若，求证：．23. 选修4-4：坐标系与参数方程已知直线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，且曲线的左焦点在直线上．（ 1 ）若直线与曲线交于两点，求的值；（ 2 ）求曲线的内接矩形的周长的最大值．24. 选修4-5：不等式选讲已知使不等式成立．（ 1 ）求满足条件的实数的集合；（ 2 ）若，对，不等式恒成立，求的最小值．参考答案及解析第1题【答案】第2题【答案】第3题【答案】第4题【答案】第5题【答案】第6题【答案】第7题【答案】第8题【答案】第9题【答案】第10题【答案】第11题【答案】第12题【答案】第13题【答案】第14题【答案】第15题【答案】第16题【答案】第17题【答案】第18题【答案】第19题【答案】第20题【答案】第21题【答案】第22题【答案】第23题【答案】第24题【答案】。
河北省衡水市2019年高考数学各类考试分项汇编专题05平面向量文
专题05 平面向量一、选择题1. 【河北衡水金卷2019届高三12月第三次联合质量测评】已知向量的夹角为，则的值为A．0 B． C． D．【答案】C2. 【河北省衡水中学2019届高三上学期六调】已知向量在向量方向上的投影为，且，则（）A． B． C． D．【答案】D【解析】∵，又，∴故选：D4. 【【衡水金卷】2018届四省名校高三第三次大联考】如图，在中，已知，为上一点，且满足，若的面积为，，则的最小值为（）A． B． C． D．【答案】D5. 【河北省衡水中学2019届高三上学期三调考试】已知是正方形的中心，若，其中，，则( )A． B． C． D．【答案】A【解析】∵，∴，，∴，故选A．则4. 【河北省衡水中学2018届高三第十六次模拟考试】已知平面向量与的夹角为，且，则____.【答案】【解析】：由，将的两边同时平方可得，，即，解得.5. 【河北省衡水中学2019届高三上学期四调】已知向量夹角为，且，则__________．【答案】6. 【河北省衡水中学2019届高三上学期三调考试】平面向量与的夹角为，，，则等于____________.【答案】.【解析】7. 【河北省衡水中学2019届高三第一次摸底考试】已知向量，，若，则______．【答案】-30【解析】因为向量，，，，，，故答案为8. 【河北省衡水中学2018年高考押题(一)】已知，若向量2a b +与()8,6c =共线，则a 和b 方向上的投影为__________．【答案】59. 【河北省衡水中学2018年高考押题(二)】向量，，若向量，共线，且，则的值为__________． 【答案】-8【解析】由题意可得： 或，则：或.10. 【河北省衡水中学2018年高考押题(二)】已知点，，若圆上存在点使，则的最小值为__________．【答案】16【解析】圆的方程即：，设圆上的点P 的坐标为，则：，计算可得：，，由正弦函数的性质有：，求解关于实数的不等式可得：，则的最小值为16.11. 【河北省衡水中学2018届高三十五模试题】已知(),2a λλ=， ()3,2b λ=，如果a 与b 的夹角为直角，则a b +=__________．【答案】162,33⎛⎫--⎪⎝⎭。
河北省衡水市2019届高三第三次模拟考试数学理试卷含答案
22. （本小题满分 10 分）选 4－ 4 坐标系与参数方程
在直角坐标系 xOy 中，以坐标原点为极点， x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C1 的极
坐标方程是
sin 4sin ，曲线 C2 的极坐标方程为
2
6
．（ 1）求曲线 C1, C2 的
直角坐标方程； （ 2）设曲线 C1,C2 交于点 A, B ，曲线 C2 与 x 轴交于点 E ，求线段 AB 的中 点到点 E 的距离．
，∴
.∵
，∴
.
19．（ 1）由题意可知共答对 3 题可以分为 3 种情况：甲答对 1 题乙答对 2 题；甲答对 2 题乙
答对 1 题；甲答对 3 题乙答对 0 题 . 故所求的概率
. （ 2） 的所有取值有 1， 2， 3.
，
，
，故
由题意可知
，故
.而
，所以
20．【解析】（ 1）设
，
，
. 因为
，
，
所以
4. 函数
5
3
6 的最大值为（
1 ） A. 5 B. 1 C.
36 5 D. 5
5. 七巧板是我国古代劳动人民的发明之一，被誉为“东方模板”，它是由五块等腰直角三角
形、一块正方形和一块平行四边形共七块板组成的．如图是一个用七巧板拼成的正方形，若
在此正方形中任取一点，则此点取自黑色部分的概率为
9 （ ） A． 32
44.
（2）对任意的 x1 R ，存在 x2 R ，使得 g x1 f x2 成立，
即 f x 的值域包含 g x 的值域，由 f x
x a a ，知 f x
由 g x 2x 1 2x 4
2x 1
2019届衡中联考三联(12月)数学(理)试题
2 U 衡水中学 2018—2019 年度高三第三次联合质量测评数学（理科）本试卷共 6 页 满分 150 分考试用时 120 分钟第 I 卷一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 已知复数 z 满足 z(1+ i ) = 2 - i ，则复数 z 在复平面内对应的点所在象限为A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．已知全集U = R ，集合 A = {x log (x - 2) < 1}, B = {x x 2- 3x - 4 < 0}，则(C A )⋂B 为A ． ∅B ．{x -1 < x ≤ 2}3. 若命题 p 为： ∀x ∈[1, +∞), sin x + cos x ≤A. ∀x ∈[1, +∞), s in x + cos x >B. ∃x ∈[-∞,1), s in x + cos x >C. ∃x ∈[1, +∞), s in x + cos x >D. ∀x ∈(-∞,1), s in x + cos x ≤ C ．{x - 4 < x < 3}2，则⌝p 为D ． {x - 4 < x ≤ 2}4. 朱世杰是历史上最伟大的数学家之一，他所著的《四元玉鉴》卷中“如像招数”五问中有如下问题：“今有官司差夫一千九百八十四人筑堤，只云初日差六十四人，次日转多八人，每人日支米三升”．其大意为“官府陆续派遣 1984 人前往修筑堤坝，第一天派出 64 人，从第二天开始每天派出的 人数比前一天多 8 人，修筑堤坝的每人每天分发大米 3 升”，在该问题中的 1984 人全部派遣到位需要的天数为A ．14B ．16C ．18D ．205. 如图所示，分别以正方形 ABCD 两邻边 AB 、AD 为直径向正方形内做两个半圆，交于点 O ．若向正方形内投掷一颗质地均匀的小球(小球落到每点的可能性均相同)，则该球落在阴影部分的概率为 3π- 2A ． 8 π+ 2 πB.8 6 -π C ．D ．886. ． 已知定义在 R 上的函数f ( x ) 满足：(1) f ( x + 2) = f (x ) ；(2) f ( x - 2) 为奇函数；(3) 当x ∈(-1,1) 时， f ( x ) 图象连续且 f '( x ) > 0 恒成立，则 f ⎛ - 15 ⎫ , f (4), f ⎛ 11⎫的大小关系正确的2 ⎪ 2 ⎪ ⎝ ⎭ ⎝ ⎭2 2 2 2为A．f ⎛11 ⎫>f (4)>f ⎛-15 ⎫B．f (4)>f ⎛11 ⎫>f⎛-15 ⎫2 ⎪ 2 ⎪ 2 ⎪ 2 ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭C．f⎛-15 ⎫>f (4)>f ⎛11⎫D．f ⎛-15 ⎫>f ⎛11⎫>f (4)2 ⎪ 2 ⎪ 2 ⎪ 2 ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭7.一正方体被两平面截去部分后剩下几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为A．8 + 4C．8 +8B．12 +4D．18 +88.如图所示，边长为2 的正方形ABCD 中，E 为BC 边中点，点P 在对角线BD 上运动，过点P 作AE 的垂线，垂足为F，当AE ⋅EP 最小时，FC =2A．AB + 3AD B．3AB + 2AD4C.AB + 3AD3D.AB +4AD3 4 4 3 5 5 5 52y29.已知双曲线C : x -3= 1 的左、右焦点分别为F1、F2，左、右顶点分别为A、B，过点F1的直线与双曲线C 的右支交于P 点，且AP cos AP, AF2=AF2，则∆ABP 的外接圆面积为B．2 5πC．5πD．10π10.利用一半径为4cm 的圆形纸片(圆心为O)制作一个正四棱锥．方法如下：(1)以O 为圆心制作一个小的圆；(2)在小的圆内制作一内接正方形ABCD；(3)以正方形ABCD 的各边向外作等腰三角形，使等腰三角形的顶点落在大圆上( 如图)；(4)将正方形ABCD 作为正四棱锥的底，四个等腰三角形作为正四棱锥的侧面折起，使四个等腰三角形的顶点重合．问：要使所制作的正四棱锥体积最大，则小圆的半径为4 2 6 2A．B．C．5 5D．2x2 y211.已知椭圆C：+= 1(a > 0,t > 0 )两个焦点之间的距离为2，单位圆O 与x, y 的正半轴分a +t a3333A．5π8 2522 4 4 4 4 ⎩x 2 别交于 M ，N 点，过点 N 作圆 O 的切线交椭圆于 P ，Q 两点，且 PM ⊥ MQ ，设椭圆的离心率为 e ， 则e 2的值为2 - 2 2 A ．B ．22C ． -1⎛D ． 3 - 2π⎫ 12 ． 已 知 函 数f ( x ) = A cos (ωx +ϕ) A > 0,ω> 0, ϕ ≤ 2⎪ ， 两 个 等 式 ：⎝ ⎭⎛ π ⎫ ⎛ π ⎫ ⎛ π ⎫ ⎛ π ⎫f - + x ⎪ - f - - x ⎪ = 0, f - x ⎪ + f + x ⎪ = 0 ⎝ ⎭ ⎝ ⎭ ⎝ ⎭ ⎝ ⎭ 对 任 意 的 实 数 x 均 恒 成 立 ， 且⎛ 3π⎫f ( x )在 0， ⎪ 上单调，则ω的最大值为⎝ 16 ⎭A ．1B ．2C ．3D ．4第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分。
专题09 概率统计(解析版)
高三数学百所名校好题分项解析汇编之衡水中学专版(2020版)专题09 概率统计一、选择题1.【2020届河北省衡水中学高三上学期五调考试】现有四名高三学生准备高考后到长三角城市群（包括：上海市以及江苏省、浙江省、安徽省三省部分城市，简称“三省一市”）旅游，假设每名学生均从上海市、江苏省、浙江省、安徽省这四个地方中随机选取一个去旅游，则恰有一个地方未被选中的概率为（）A．2764B．916C．81256D．716【答案】B【解析】四名学生从四个地方任选一个共有4444256⨯⨯⨯=种选法，恰有一个地方未被选中，即有两位学生选了同一个地方，另外两名学生各去一个地方，考虑先分堆在排序共有23446432144C A⨯=⨯⨯⨯=种，所以恰有一个地方未被选中的概率为1449 25616=.故选：B2.【河北省衡水中学2018届高三毕业班模拟演练一】如图的折线图是某公司2017年1月至12月份的收入与支出数据.若从这12个月份中任意选3个月的数据进行分析，则这3个月中至少有一个月利润（利润=收入-支出）不低于40万的概率为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由图知,7月,8月,11月的利润不低于40万元,故所求概率为,故选D.3.【河北衡水金卷2019届高三12月第三次联合质量测评数学（理)试题】如图所示，分别以正方形ABCD两邻边AB、AD为直径向正方形内做两个半圆，交于点O．若向正方形内投掷一颗质地均匀的小球(小球落到每点的可能性均相同)，则该球落在阴影部分的概率为A．B．C．D．【答案】C【解析】法一：设正方形的边长为2.则这两个半圆的并集所在区域的面积为，所以该质点落入这两个半圆的并集所在区城内的概率为.故选C.法二：设正方形的边长为2.过O作OF垂直于AB，OE垂直于AD.则这两个半圆的并集所在区域的面积为，所以该质点落入这两个半圆的并集所在区域的概率为，故选C.4. 【河北省衡水中学2018—2019学年高三年级上学期四调考试数学（理)试题】如图，一只蚂蚁从点出发沿着水平面的线条爬行到点，再由点沿着置于水平面的长方体的棱爬行至顶点，则它可以爬行的不同的最短路径有（）条A．40 B．60 C．80 D．120【答案】B【解析】试题分析：蚂蚁从到需要走五段路，其中三纵二竖，共有条路径，从到共有条路径，根据分步计数乘法原理可知，蚂蚁从到可以爬行的不同的最短路径有条，故选B.5. 【河北省衡水中学2018—2019学年高三年级上学期四调考试数学（理)试题】某县教育局招聘了8名小学教师，其中3名语文教师，3名数学教师，2名全科教师，需要分配到两个学校任教，其中每个学校都需要2名语文教师和2名数学教师，则分配方案种数为（ ） A ．72 B ．56 C ．57 D ．63 【答案】A【解析】先将两个全科老师分给语文和数学各一个，有种，然后将新的4个语文老师分给两个学校种，同样的方法将新的4个数学老师分给两个学校种，所以共有=72种分配方法。
河北省衡水中学2019年全国高三统一联合考试(理科)数学试题及答案
2019年全国高三统一联合考试理科数学一、选择题1．若集合A ＝{x|x ＜3}，{}2B =，则A∩B ＝A ．{x|x ＜3}B ．{x|0≤x ＜3}C ．{x|0＜x ＜3}D ．{x|x≤4} 2．已知i 为虚数单位，若a 为实数，且a ≠0, 则1i ia a -=+A ．a ＋iB ．a －iC ．iD ．－i3．如图，网格纸上每个小正方形的边长为10cm ，粗实线画出的是某蛋糕店制作的一款生日蛋糕的三视图，则该蛋糕的体积为A ．3π×103cm 3B ．7π×103cm 3C ．9π×103cm 3D ．10π×103cm 3 4．已知ππ()22α∈-，，且cos2α＝2sin2α－1，则tanα＝A ．12- B ．12C ．－2D ．25．在25()y x x-的展开式中，xy 3的系数为 A ．20 B ．10 C ．－10 D ．－20 6．函数21()x xe f x xe +=的图象大致为A ．B ．C ．D ．7．摆线最早出现于公元1501年出版的C·包威尔的一本书中，摆线是这样定义的：一个圆沿一条直线缓慢地滚动，则圆上一固定点所经过的轨迹称为摆线．圆滚动一周，动圆上定点描画出摆线的第一拱；再向前滚动一周，动圆上定点描画出第二拱；继续滚动，可得第三拱、第四拱、……设圆的半径为r ，圆滚动的圈数为c ，摆线的长度为l ，执行如图所示程序框图，若输入的r ＝2，c ＝2，则输出摆线的长度为A ．12πB ．16πC ．32D ．968．在△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，b ＝2，c C ＝60°，则sinA 的值为A B ．7C D ．149．某车站在某一时刻有9位旅客出站，假设每位旅客选择共享单车继续出行的概率都为12，且各位旅客之间互不影响．设在这一时刻9位旅客中恰好有k人骑行共享单车的概率为P（X－k），则A．P（X＝4）＝P（X＝5）B．P（X＝4）＞P（X＝5）C．P（X＝5）＜P（X＝6）D．P（X＝5）＝P（X＝6）10．在边长为8的等边△ABC中，D，E分别为AC，AB的中点．现将△ADE 沿DE折起到△A′DE的位置，使得A B'=A′B与底面BCDE所成的正弦值为ABCD．11．已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，A为抛物线C上异于顶点O的一点，点B的坐标为（a，b）（其中a，b满足b2－4a＜0）．当|AB|＋|AF|最小时，△ABF恰好正三角形，则a＝A．1 B．43C．53D．212．已知函数ln(2)2()02ln(2)2x xf x xx x->⎧⎪==⎨⎪-<⎩，，，若f（x）≤|x－a|对任意的x∈R恒成立，则实数a的取值范围是A．[1，3] B．[2，4] C．[1，2] D．[－1，1]二、填空题13．已知向量(21)a =-，，()32b =，，若()a b a λ+⊥，则实数λ＝_________． 14．函数f （x ）＝x 2－ln|x|的图象在点（－1，f （－1））处的切线方程为__________．15．将函数2π()2cos π13f x x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把所得函数的图象向右平移1个单位长度，最后得到的图象对应的函数设为g （x ），则g （x ）在区间[－1，1]上的所有零点的和为_______________． 16．已知双曲线C ：22221x y a b-=（a ＞0，b ＞0）的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 2的直线l 与C 交于A ，B （其中点A 在x 轴上方）两点，且满足22AF F B λ=．若C 的离心率为32，直线l 的倾斜角为120°，则实数λ的值是____________．三、解答题 （一）必考题17．已知等比数列{a n }是递减数列，a 1a 4＝3，a 2＋a 3＝4． （1）求数列{a n }的通项公式；（2）设b n ＝2n －2a n ＋1＋n ，求数列{b n }的前n 项和T n ．18．如图，在多面体ABCDFE中，四边形ABCD是菱形，∠ABC＝60°，四边形ABEF是直角＝梯形，∠FAB＝90°，AF∥BE，AF＝AB＝2BE＝2．（1）证明：CE∥平面ADF．（2）若平面ABCD⊥平面ABEF，H为DF的中点，求平面ACH与平面ABEF所成锐二面角的余弦值．19．为了解高三学生的“理科综合”成绩是否与性别有关，某校课外学习兴趣小组在本地区高三年级理科班中随机抽取男、女学生各100名，然后对200名学生在一次联合模拟考试中的“理科综合”成绩进行统计．规定：分数不小于240分为“优秀”，小于240分为“非优秀”．（1）根据题意，填写下面的2×2列联表，并根据；列联表判断是否有90％以上的把握认为“理科综合”成绩是否优秀与性别有关．（2）用分层抽样的方法从成绩优秀的学生中随机抽取12名学生，然后再从这12名学生中抽取3名参加某高校举办的自主招生考生，设抽到的3名学生中女生的人数为X ，求X 的分布列及数学期望．附：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n ＝a ＋b ＋c ＋d ．20．在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：22221x ya b+=（a＞b＞0）的离心率为3，直线l和椭圆C交于A，B两点，当直线l过椭圆C的焦点，且与x轴垂直时，23AB=．（1）求椭圆C的方程；（2）设直线l过点（1，0）且倾斜角为钝角，P为弦AB的中点，当∠OPB 最大时，求直线l的方程．21．已知函数f（x）＝x2e ax－1．（1）讨论函数f（x）的单调性；（2）当1e3a>时，求证：f（x）＞lnx．22．[选修4－4：坐标系与参数方程]在平面直角坐标系xOy 中，已知倾斜角为α的直线l 的参数方程为2cos sin x t y t αα=-+⎧⎨=⎩（t 为参数），曲线C 的参数方程为cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数），点P的坐标为（－2，0）．（1）当12cos 13α=时，设直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，求|PA|·|PB|的值；（2）若点Q 在曲线C 上运动，点M 在线段PQ 上运动，且2PM MQ =，求动点M 的轨迹方程．23．[选修4－5：不等式选讲] 已知函数f （x ）＝|x －1|＋|2x|．（1）在给出的平面直角坐标系中作出函数f （x ）的图象，并解不等式f （x ）≥2；（2）若不等式f （x ）＋|x －1|≥5－k 对任意的x ∈R 恒成立，求证：65k k+≥．2019年全国高三统一联合考试·理科数学一、选择题1．B 2．D 3．C 4．B 5．C 6．A 7．C 8．D 9．A 10．B 11．C 12．A 二、填空题13．5414．x ＋y ＝0 15．2316．17三、解答题17．解：（1）设等比数列{a n }的公比为q ，则2312113,4,a q a q a q ⎧=⎪⎨+=⎪⎩ 解得11,33a q ⎧=⎪⎨⎪=⎩或19,1.3a q =⎧⎪⎨=⎪⎩又因为数列{a n }是递减数列，所以11,33a q ⎧=⎪⎨⎪=⎩不合题意，故19,1.3a q =⎧⎪⎨=⎪⎩故数列{a n }的通项公式为a n ＝33－n ．（2）由（1）得222223()3n n n n b n n ---=⨯+=+， 故232[1()](1)99223()22223213n n n n n n n T -++=+=-⨯+-．18．（1）证明：（方法一）因为四边形ABCD 是菱形，所以AD ∥BC ．又因为AF ∥BE ，AF∩AD ＝A ，BC∩BE ＝B ，所以平面ADF ∥平面BCE ． 因为CE ⊂平面BCE ，所以CE ∥平面ADF ． （方法二）取AF 的中点M ，连接DM ，EM ，如图．由题意知AM ＝BE 且AM ∥BE ，所以四边形ABEM 为平行四边形，即ME ＝AB 且ME ∥AB ．又因为四边形ABCD 是菱形，所以四边形DCEM 为平行四边形，即有DM ∥CE ．又DM ⊂平面ADF ，CE ⊄平面ADF ，所以CE ∥平面ADF ．（2）解：取CD 的中点N ，在菱形ABCD 中，∠ABC ＝60°，可得AN ⊥CD ． 因为平面ABCD ⊥平面ABEF ，平面ABCD∩平面ABEF ＝AB ，AF ⊂平面ABEF ，AF ⊥AB ，所以AF ⊥平面ABCD ． 以A为坐标原点，以AN uuu r ，AB uu ur ，AF uu u r 的方向分别为x 轴、y 轴、z 轴的正方向，建立空间直角坐标系A —xyz 如图所示．故A（0，0，0），C1，0），D－1，0），F（0，0，2），1,1)2H-，1,1)2AH=-uuu r，,0)AC=u u u r．设平面ACH的一个法向量为(,,)n x y z=r，则有0,0,n AHn AC⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩r uuu rr uuu r即10,220.x y zy-+=⎪⎨+=令x＝1可得(1,n=r．易知平面ABEF的一个法向量为(1,0,0)m=u r．设平面ACH与平面ABEF所成的锐二面角为θ，则||cos||||m nm nθ⋅==u r ru r r，．19．解：（1）填写列联表如下：因为22200(35756525) 2.381 2.70610010060140K ⨯⨯-⨯=≈<⨯⨯⨯， 所以没有90％以上的把握认为“理科综合”成绩是否优秀与性别有关．（2）利用分层抽样的方法，抽到男生的人数为1235760⨯=，抽到女生的人数为1225560⨯= 若从12人中任意抽取3人，则女生被抽到的人数X ＝0，1，2，3，3075312C C 7(0)C 44P X ===，2175312C C 21(1)C 44P X ===，1275312C C 7(2)C 22P X ===，0375312C C 1(3)C 22P X ===． 故抽到女生的人数X 的分布列为()0123444422224E X =⨯+⨯+⨯+⨯=． 20．解：（1）由题意知c a =，2221(1)9c b a -=，又a 2＝b 2＋c 2，解得b 2＝1，a 2＝9，故椭圆C 的方程为2219x y +=． （2）设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），直线l ：y ＝k （x －1）（k ＜0）． 联立方程221,9(1),x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩得（9k 2＋1）x 2－18k 2x ＋9k 2－9＝0，故21221891k x x k +=+． 设P （x 0，y 0），则212029291x x k x k +==+，200229(1)(1)9191k k y k x k k k =-=-=-++，所以直线OP 的斜率0019OP y k x k==-． 设直线l ，OP 的倾斜角分别为α，β，则∠OPB ＝α－β，tan tan 91tan tan()()1tan tan 89OPB k kαβαβαβ-∠=-==++． 因为k ＜0，所以112()()993k k k k -+=-+=-≥，即1293k k +-≤，所以3t an 4O P B ∠-≤．当且仅当13k =-时，等号成立． 所以当∠OPB 最大时，直线l 的斜率13k =-，此时直线l 的方程为x ＋3y －1＝0．21．（1）解：函数f （x ）的定义域为R ，f′（x ）＝2xe ax ＋x 2·ae ax ＝x （ax ＋2）e ax ．当a ＝0时，f （x ）＝x 2－1，则f （x ）在区间（0，＋∞）内为增函数，在区间（－∞，0）内为减函数；当a ＞0时，2()()e ax f x ax x a '=+，令f′（x ）＞0得2x a <-或x ＞0，令f′（x ）＜0得20x a -<<，所以f （x ）在区间（－∞，2a -）内为增函数，在区间（2a -，0）内为减函数，在区间（0，＋∞）内为增函数；当a ＜0时，2()()e ax f x a x x a '=+，令f′（x ）＞0得20x a <<-，令f′（x ）＜0得2x a >-或x ＜0，所以f （x ）在区间（－∞，0）内为减函数，在区间（0，2a -）内为增函数，在区间（2a -，＋∞）内为减函数．（2）证明：由f （x ）＞lnx ，得x 2e ax ＞lnx ＋1，即3e ln 1ax x x x+>． 设3ln 1()x g x x +=则3261(ln 1)3()x x x x g x x⋅-+⋅'=23443ln 23(ln ln e )x x x x -+-=-=-当230e x -<<时，g′（x ）＞0；当23e x ->时，g′（x ）＜0．所以g （x ）在区间（0，23e -）内是增函数，在区间（23e -，＋∞）内是减函数， 所以23e x -=是g （x ）的极大值点，也是g （x ）的最大值点， 即22323max 233ln e 11()(e )e 3(e )g x g ---+===． 设e ()(0)ax h x x x =>，则21()e ()ax a x a h x x -'=． 当10x a <<时，h′（x ）＜0；当1x a>时，h′（x ）＞0． 所以h （x ）在区间（0，1a ）内是减函数，在区间（1a，＋∞）内是增函数， 所以1x a=是h （x ）的极小值点，也是h （x ）的最小值点， 即min 1()()e h x h a a== 综上，21()e e ()3g x a h x <≤≤，故f （x ）＞lnx 成立． 22．解：（1）曲线C 的普通方程为x 2＋y 2＝1． 当12cos 13α=时，直线l 的参数方程为122,13513x t y t ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），代入曲线C 的普通方程，得2483013t t -+=． 由于248276()12013169∆=--=>，故可设点A ，B 对应的参数分别为t 1，t 2，则t 1·t 2＝3，所以|PA|·|PB|＝3．（2）设Q （cosθ，sinθ），M （x ，y ），则由2PM MQ =uuu r uuu r ，得（x ＋2，y ）＝2（cosθ－x ，sinθ－y ），即322cos ,32sin .x y θθ+=⎧⎨=⎩消去θ，得2224()39x y ++=，此即为点M 的轨迹方程．23．（1）解：13,0,()|1||2|1,01,31,1,x x f x x x x x x x -<⎧⎪=-+=+⎨⎪->⎩≤≤其图像如下图所示．令f （x ）＝2，得13x =-或x ＝1， 由f （x ）的图像可知，不等式f （x ）≥2的解集为{x|13x -≤，或x≥1}． （2）证明：因为f （x ）＋|x －1|＝|2x －2|＋|2x|≥|2x －2－2x|＝2． 所以k≥3． 因为2656(2)(3)5k k k k k k k k-+--+-==， 又由k≥3，得k －2＞0，k －3≥0，所以(2)(3)0k k k--≥， 即65k k +≥．。
2019届河北省衡水中学高三第三次质检数学(理)试题(解析版)
2019届河北省衡水中学高三第三次质检数学（理）试题一、单选题1．已知集合{|1}A x x =<，{|1x B x e =< }，则（ ） A ．{|1}A B x x ⋂=< B ．()R A C B R ⋃=C ．{|}A B x x e ⋃=<D ．(){|01}R C A B x x ⋂=<< 【答案】B【解析】求出集合A={x|x ＜1}，B={x|e x ＜1}={x|x ＜0}，从而R C B ={x|x≥0}，R C A ={x|x≥1}，由此能求出结果． 【详解】∵集合A={x|x ＜1}，B={x|e x ＜1}={x|x ＜0}，R C B ={x|x≥0}，R C A ={x|x≥1}，∴A∩B={x|x ＜0}，故A 错误； A ∪B={x|x ＜1}，故C 错误；()R A C B R ⋃=，故B =正确；()R C A B ∅⋂=，故D 错误．故选B ． 【点睛】本题考查集合与集合的关系的判断，考查补集、交集、并集等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，属于基础题． 2．已知i 为虚数单位，若1i(,)1ia b a b =+∈-R ，则b a =（ ）A ．1 BC ．2D ．2【答案】C【解析】根据复数的除法运算得到1112i a bi i +==+-，再由复数相等的概念得到参数值，进而得到结果. 【详解】i 为虚数单位，若1(,)1a bi a b R i =+∈-，1112ia bi i +==+-根据复数相等得到1212ab⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩.1212().2ba==故答案为C.【点睛】这个题目考查了复数除法运算，以及复数相等的概念，复数a bi+与ic d+相等的充要条件是a c=且b d=．复数相等的充要条件是化复为实的主要依据，多用来求解参数的值或取值范围．步骤是：分别分离出两个复数的实部和虚部，利用实部与实部相等、虚部与虚部相等列方程（组）求解．3．向量,,a b cr r r在正方形网格中的位置如图所示.若向量a bλ+r r与cr共线,则实数λ=（）A．2-B．1-C．1D．2【答案】D【解析】由图像，根据向量的线性运算法则，可直接用,a brr表示出cr，进而可得出λ. 【详解】由题中所给图像可得：2a b c+=rr r，又cr=a brrλ+，所以2λ=.故选D【点睛】本题主要考查向量的线性运算，熟记向量的线性运算法则，即可得出结果，属于基础题型.4．函数f(x)=15sin(x+3π)+cos(x−6π)的最大值为A．65B．1 C．35D．15【答案】A【解析】由诱导公式可得ππππcos cos sin6233x x x⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+=+⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，则()1ππ6πsin sin sin53353f x x x x⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++=+⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,函数()f x的最大值为65.所以选A.【名师点睛】三角恒等变换的综合应用主要是将三角变换与三角函数的性质相结合，通过变换把函数化为sin()y A x Bωϕ=++的形式，再借助三角函数的图像研究性质，解题时注意观察角、函数名、结构等特征．5．七巧板是我国古代劳动人民的发明之一，被誉为“东方模板”，它是由五块等腰直角三角形、一块正方形和一块平行四边形共七块板组成的.如图是一个用七巧板拼成的正方形，若在此正方形中任取一点，则此点取自黑色部分的概率为（）A．932B．516C．38D．716【答案】C【解析】分析：由七巧板的构造，设小正方形的边长为1，计算出黑色平行四边形和黑色等腰直角三角形的面积之和．详解：设小正方形的边长为12，2；黑色等腰直角三角形的直角边为2，斜边为2，大正方形的边长为2，所以21222322P82222⨯⨯==⨯，故选C．点睛：本题主要考查几何概型，由七巧板的构造，设小正方形的边长为1，通过分析观察，求得黑色平行四边形的底和高，以及求出黑色等腰直角三角形直角边和斜边长，进而计算出黑色平行四边形和黑色等腰直角三角形的面积之和，再将黑色部分面积除以大正方形面积可得概率，属于较易题型．6．已知0a>，且，函数()()log6af x ax=-，则“13a<<”“是()f x在()1,2上单调递减”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】先将函数()()log 6a f x ax =-转化为y ＝log a t ，t ＝6ax -，两个基本函数，再利用复合函数求解． 【详解】0a Q >,且1a ≠，6t ax ∴=-为减函数.若()f x 在()1,2上单调递减，则1a >.且620a -⨯≥，则13a <≤.13a <<是13a <≤的充分不必要条件.故选A . 【点睛】本题主要考查复合函数，关键是分解为两个基本函数，利用同增异减的结论研究其单调性，再求参数的范围,属于基础题．7．一给定函数()y f x =的图象在下列四个选项中，并且对任意1(0,1)a ∈，由关系式1()n n a f a +=得到的数列{}n a 满足1n n a a +<.则该函数的图象可能是( )A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】利用已知条件推出n n f a a （）＜，判断函数的图象，推出选项即可． 【详解】由题对于给定函数()y f x =的图象在下列四个选项中，并且对任意()10,1a ∈，由关系式()1n n a f a +=得到的数列{}n a 满足1n n a a +<．则可得到n n f a a （）＜，所以11f a a （）＜在101a ∀∈（，）上都成立，即01x f x x ∀∈（，），（）＜，所以函数图象都在y x =的下方． 故选A ． 【点睛】本题考查函数图象的判断，数列与函数的关系，属基础题．8．某几何体的三视图如图所示，其中主视图，左视图均是由高为2三角形构成，俯视图由半径为3的圆与其内接正三角形构成，则该几何体的体积为( )A ．936π+B ．9318π+C ．336π D ．3318π 【答案】A【解析】由三视图知该几何体由底面边长是33高为2的正三棱锥和底面半径是3高为2的圆锥组合而成，利用锥体的体积公式可得结果. 【详解】由三视图知该几何体由底面边长是33高为2的正三棱锥和底面半径是3，高为2的圆锥组合而成，正三棱锥的体积是(21393332342⨯⨯=， 圆锥的体积是213263ππ⨯⨯⨯=，所以组合体的体积362π+，故选A. 【点睛】本题利用空间几何体的三视图重点考查学生的空间想象能力和抽象思维能力，属于难题.三视图问题是考查学生空间想象能力最常见题型，也是高考热点.观察三视图并将其“翻译”成直观图是解题的关键，不但要注意三视图的三要素“高平齐，长对正，宽相等”，还要特别注意实线与虚线以及相同图形的不同位置对几何体直观图的影响，对简单组合体三视图问题，先看俯视图确定底面的形状，根据正视图和侧视图，确定组合体的形状.9．设双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ， 122F F c =，过2F 作x 轴的垂线与双曲线在第一象限的交点为A ，已知3,2a Q c ⎛⎫⎪⎝⎭， 22F Q F A >，点P 是双曲线C 右支上的动点，且11232PF PQ F F +>恒成立，则双曲线的离心率的取值范围是( )A ．71,6⎛⎫ ⎪⎝⎭B．,2⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭C．76⎛ ⎝⎭D．1,2⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭【答案】A【解析】令x =c代入双曲线的方程可得2by a==±， 由22F Q F A >,可得232a b a>，即为3a 2>2b 2=2(c 2−a 2)，即有2c e a =<① 又11232PF PQ F F +>恒成立， 由双曲线的定义,可得2a +|PF 2|+|PQ |>3c 恒成立， 由F 2,P ,Q 共线时,|PF 2|+|PQ |取得最小值|F 2Q |=32a ， 可得3c <2a +32a ， 即有c e a =<76②由e >1，结合①②可得， e 的范围是(1,7 6). 故选：A.点睛：解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于a ，b ，c 的方程或不等式，再根据a ，b ，c 的关系消掉b 得到a ，c 的关系式，建立关于a ，b ，c 的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.10．已知实数x y ，满足124242,240,330,x y x y x y x y --⎧+≥+⎪-+≥⎨⎪--≤⎩若(1)1y k x ≥+-恒成立，那么k 的取值范围是( ) A ．1,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．4,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦C ．[)3,+∞ D ．1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦【答案】D【解析】由题意，作出不等式组对应的可行域，根据()11y k x =+-的图象是过点()1,1--，斜率为k 的直线，结合图象，即可求解.【详解】由题意,实数,x y 满足124242240330x y x y x y x y --⎧+≥+⎪-+≥⎨⎪--≤⎩，即220240330x y x y x y +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪--≤⎩，作出约束条件所表示的平面区域，如图所示，又因为函数()11y k x =+-的图象是过点()1,1--，斜率为k 的直线，要使得不等式()11y k x ≥+-恒成立，即11y k x +≤+恒成立， 结合图象可知，当直线过点()1,0B 时，斜率取得最小值12，所以实数k 的取值范围是1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦，故选D.【点睛】本题主要考查了简单线性规划的应用，其中解答中正确求解约束条件所对应的不等式组，作出约束条件所表示的平面区域，再根据斜率公式求解是解答的关键，着重考查了数形结合思想，推理与计算能力.11．已知三棱锥A BCD -中，2AB AC BD CD ====，2BC AD =， 直线AD 与底面BCD 所成角为3π，则此时三棱锥外接球的表面积为 （ ） A ．8π B ．6πC ．9πD ．5π【答案】A【解析】取BC 的中点O ，判断O 为三棱锥外接球的球心，即可求出结果. 【详解】取BC 中点O ，则AO BC ⊥，DO BC ⊥，AO DO =， 因为直线AD 与底面BCD 所成角为3π，所以AO DO AD ==， 因为2BC AD =，所以AO DO BO CO ===，即O 为三棱锥外接球的球心， 因为2AB AC BD CD ====，所以122AO BC == 所以三棱锥外接球的表面积为4π28π⨯=. 故选A 【点睛】本题主要考查几何体外接球的相关计算，熟记球的表面积公式即可，属于常考题型.12．己知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x >时，()()112,0212,22x x f x f x x --⎧<≤⎪=⎨->⎪⎩，则函数()()1g x xf x =-在[)6-+∞,上的所有零点之和为（ ） A ．7 B ．8C ．9D ．10【答案】B【解析】由已知可分析出函数()g x 是偶函数，则其零点必然关于原点对称，故()g x 在[]6,6-上所有的零点的和为0，则函数()g x 在[)6-+∞,上所有的零点的和，即函数()g x 在(6,)+∞上所有的零点之和，求出(6,)+∞上所有零点，可得答案．【详解】解：Q 函数()f x 是定义在R 上的奇函数，()()f x f x ∴-=-． 又Q 函数()()1g x xf x =-，()()()1()[()]1()1()g x x f x x f x xf x g x ∴-=---=---=-=，∴函数()g x 是偶函数，∴函数()g x 的零点都是以相反数的形式成对出现的．∴函数()g x 在[]6,6-上所有的零点的和为0，∴函数()g x 在[)6-+∞,上所有的零点的和，即函数()g x 在(6,)+∞上所有的零点之和．由02x <…时，|1|1()2x f x --=，即22,01()2,12x x x f x x --⎧<=⎨<⎩…… ∴函数()f x 在(]0,2上的值域为1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦，当且仅当2x =时，()1f x =又Q 当2x >时，1()(2)2f x f x =- ∴函数()f x 在(]2,4上的值域为11,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦，函数()f x 在(]4,6上的值域为11,84⎡⎤⎢⎥⎣⎦，函数()f x 在(]6,8上的值域为11,168⎡⎤⎢⎥⎣⎦，当且仅当8x =时，1()8f x =，函数()f x 在(]8,10上的值域为611,213⎡⎤⎢⎥⎣⎦，当且仅当10x =时，1()16f x =，故1()f x x<在(]8,10上恒成立，()()1g x xf x =-在(]8,10上无零点，同理()()1g x xf x =-在(]10,12上无零点， 依此类推，函数()g x 在(8,)+∞无零点，综上函数()()1g x xf x =-在[)6-+∞,上的所有零点之和为8 故选：B ． 【点睛】本题考查的知识点是函数的奇偶性，函数的零点，函数的图象和性质，其中在寻找(6,)+∞上零点个数时，难度较大，故可以用归纳猜想的方法进行处理．二、填空题 13．曲线y =y x =所围成的封闭图形的面积为__________．【答案】16【解析】由定积分的几何意义可得：封闭图形的面积()132120211|326S x x dx x x ⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭⎰. 14．()5221111x x x ⎛⎫+++ ⎪⎝⎭展开式中2x 的系数为________. 【答案】15【解析】写出()521x +展开式的通项，求出含2x 及4x 的项，则答案可求．【详解】 解：25252525221111(1)(1)(1)(1)(1)x x x x x x x x+++=+++++Q 且25(1)x +展开式的通项为215r r r T C x +=． 由22r =，得1r =；由23r =，得32r =（舍)；由24r =，得2r =． ()5221111x x x ⎛⎫+++ ⎪⎝⎭∴展开式中2x 的系数为125515C C +=．故答案为：15． 【点睛】本题主要考查了二项式定理的应用问题，解题时应灵活应用二项展开式的通项公式，属于基础题． 15．过抛物线的焦点的直线交于两点，在点处的切线与轴分别交于点，若的面积为，则_________________。
河北省衡水市2019届高三第三次调研考试数学理科含详细解析
得的返券金额是两次金额之和 . （1）若某位顾客消费 128 元，求返券金额不低于 30 元的概率；
A C 60
（2）若某位顾客恰好消费 280 元，并按规则参与了活动，
他获得返券的金额记为 X （元） . 求随机变量 X 的分布列和数学期望 .
B
18. （本题满分 14 分）
a 2 , a5 是方程 x2 12x 27 0 的两根 , 数列 a n 是公差为正的等差数列， 数列 bn 的前 n 项和为 Tn , 且 Tn 1 1 bn n N .
_5
_4
为第 2 项， 1 , 3 为第 4 项，…， 5, 11 为第 56项，因
_3
此第 60项为 5 , 7 ．
_2
_1
8．【解析】 B；若使函数有零点，必须必须
_O
_1
_2 _3
_4
_5
_6
2
2a
4
b2
π2 ≥ 0 ，即 a2
b2 ≥ π2 ．
在坐标轴上将 a , b 的取值围标出，有如图所示
2 , 3 ， 3 , 2 ， 4 , 1 ，……，则第 60个数对是（
）
A． 10 , 1
B
． 2 , 10
C ． 5 ,7
D ． 7, 5
8. 在区间 [ π, π] 随机取两个数分别记为 a, b ，则使得函数 f (x)
为（
）
A． 1-
B ． 1-
C ． 1-
D
8
4
2
x 2 2 ax b 2
x＝1 得
，所以 A→D ＝ －1， 2 .
－ 3(x－ 3)＋ 6(y－ 2)＝ 0
y＝1
答案： (－ 1,2)
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河北衡水金卷2018—2019年度高三第三次联合质量测评数学（理科）本试卷共6页 满分150分 考试用时120分钟 注意事项：l ．答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的准考证号、姓名．考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名”与考生本人准考证号、姓名是否一致.2．第I 卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．第Ⅱ卷用0.5毫米黑色签字笔在答题卡上书写作答．在试题卷上作答，答案无效．3．考试结束，考生必须将试题卷和答题卡一并交回．第I 卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知复数z 满足()12z i i +=-，则复数z 在复平面内对应的点所在象限为 A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．已知全集U R =，集合(){}{}()22log 21,340U A x x B x x x C A =-<=--<，则B ⋂为A ．∅B ．{}12x x -<≤C ．{}4x x -<<3D ．{}42x x -<≤3．若命题p 为：[)1,,sin cos 2x x x p ∀∈+∞+≤⌝，则为 A ．[)1,,sin cos 2x x x ∀∈+∞+> B ．[),1,sin cos 2x x x ∃∈-∞+> C ．[)1,,sin cos 2x x x ∃∈+∞+> D ．(),1,sin cos 2x x x ∀∈-∞+≤4．朱世杰是历史上最伟大的数学家之一，他所著的《四元玉鉴》卷中“如像招数”五问中有如下问题：“今有官司差夫一千九百八十四人筑堤，只云初日差六十四人，次日转多八人，每人日支米三升”．其大意为“官府陆续派遣1984人前往修筑堤坝，第一天派出64人，从第二天开始每天派出的人数比前一天多8人，修筑堤坝的每人每天分发大米3升”，在该问题中的1984人全部派遣到位需要的天数为 A ．14 B ．16 C ．18 D ．205．如图所示，分别以正方形ABCD 两邻边AB 、AD 为直径向正方形内做两个半圆，交于点O ．若向正方形内投掷一颗质地均匀的小球(小球落到每点的可能性均相同)，则该球落在阴影部分的概率为A ．328π- B.8π C ．28π+D ．68π-6．已知定义在R 上的函数()f x 满足：(1) ()()2f x f x +=；(2) ()2f x -为奇函数；(3)当()1,1x ∈-时，()f x 图象连续且()0f x '>恒成立，则()1511,4,22f f f ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的大小关系正确的为 A ．()1115422f f f ⎛⎫⎛⎫>>-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B ．()1115422f f f ⎛⎫⎛⎫>>-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．()1511422f f f ⎛⎫⎛⎫->> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ．()1511422f f f ⎛⎫⎛⎫->> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭7．一正方体被两平面截去部分后剩下几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为 A ．843+ B ．1243+ C ．883+D ．1883+8．如图所示，边长为2的正方形ABCD 中，E 为BC 边中点，点P 在对角线BD 上运动，过点P 作AE 的垂线，垂足为F ，当AE EP ⋅最小时，FC =A ．2334AB AD + B ．3243AB AD + C ．4355AB AD + D ．3455AB AD + 9．已知双曲线22:13y C x -=的左、右焦点分别为12F F 、，左、右顶点分别为A 、B ，过点1F 的直线与双曲线C 的右支交于P 点，且22cos ,AP AP AF AF ABP =∆，则的外接圆面积为 A ．5πB ．25πC ．5πD ．10π10．利用一半径为4cm 的圆形纸片(圆心为O)制作一个正四棱锥．方法如下： (1)以O 为圆心制作一个小的圆；(2)在小的圆内制作一内接正方形ABCD ；(3)以正方形ABCD 的各边向外作等腰三角形，使等腰三角形的顶点落在大圆上(如图)；(4)将正方形ABCD 作为正四棱锥的底，四个等腰三角形作为正四棱锥的侧面折起，使四个等腰三角形的顶点重合．问：要使所制作的正四棱锥体积最大，则小圆的半径为 A ．42B ．62C ．82D ．2211．已知椭圆()2210,0x y C a t a t a+=>>+：两个焦点之间的距离为2，单位圆O 与,x y 的正半轴分别交于M ，N 点，过点N 作圆O 的切线交椭圆于P ，Q 两点，且PM MQ ⊥，设椭圆的离心率为e ，则2e 的值为A．22- B．2C1D．3-12．已知函数()()cos 0,0,2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>>≤ ⎪⎝⎭，两个等式：0,04444f x f x f x f x ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+---=-++= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭对任意的实数x 均恒成立，且()3016f x π⎛⎫⎪⎝⎭在，上单调，则ω的最大值为A ．1B ．2C ．3D ．4第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分。
第13～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。
第22～23题为选考题。
考生根据要求作答。
山东中学联盟 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。
13．若实数,x y 满足约束条件220,10,32220,x y x y z x y x y ++≥⎧⎪-+≥=-⎨⎪-++≥⎩则的最小值为__________． 14．二项式()0,0nb ax a b x ⎛⎫+>> ⎪⎝⎭的展开式中，设“所有二项式系数和”为A ，“所有项的系数和”为B ，“常数项”值为C ，若256,70A B C ===，则含6x 的项为________．15．已知圆()()()22:23221C x y M P -+-=-，点，，为圆外任意一点．过点P 作圆C 的一条切线，切点为N ，设点P 满足PM PN =时的轨迹为E ，若点A 在圆C 上运动，B 在轨迹E 上运动，则AB 的最小值为___________．16．定义在R 上的函数()f x 满足()()cos f x f x x -+=，又当0x ≤时，()12f x '≥成立，若()cos 224f t f t t ππ⎛⎫⎛⎫≥-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则实数t 的取值范围为_________．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。
第22、23题为选考题，考生根据要求作答。
山东中学联盟 (一)必考题：共60分。
17．(12分)在△ABC 中，角A ，B ，C的对边分别为,,,60,452a b c a A C ===且.(1)求c 的值；(2)以AB 为一边向外(与点C 不在AB 同侧)作一新的△ABP ，使得30APB ∠=，求ABP ∆面积的最大值． 18．(12分)随着经济的发展，个人收入的提高．自2018年10月1日起，个人所得税起征点和税率的调整．调整如下：纳税人的工资、薪金所得，以每月全部收入额减除5000元后的余额为应纳税所得额．依照个人所得税税率表，调整前后的计算方法如下表：(1)假如小李某月的工资、薪金等所得税前收入总和不高于8000元，记x 表示总收入，y 表示应纳的税，试写出调整前后y 关于x 的函数表达式；(2)某税务部门在小李所在公司利用分层抽样方法抽取某月100个不同层次员工的税前收入，并制成下面的频数分布表：①先从收入在[3000，5000)及[5000，7000)的人群中按分层抽样抽取7人，再从中选4人作为新纳税法知识宣讲员，用a 表示抽到作为宣讲员的收入在[3000，5000)元的人数，b 表示抽到作为宣讲员的收入在[5000，7000)元的人数，随机变量Z a b =-，求Z 的分布列与数学期望； ②小李该月的工资、薪金等税前收入为7500元时，请你帮小李算一下调整后小李的实际收入比调整前增加了多少？ 19．(12分)如图所示，底面为菱形的直四棱柱1111A B C D ABCD -被过三点11C B D 、、的平面截去一个三棱锥111C CB D -(图一)得几何体111A B D ABCD -(图二)，E 为11B D 的中点．(1)点F 为棱1AA 上的动点，试问平面11FB D 与平面1CEA 是否垂直?请说明理由；(2)设12,60,4AB BAD AA =∠==，当点F 为1AA 中点时，求锐二面角11F B D C --的余弦值．20．(12分)设抛物线()240C y mx m =>：的焦点为F ，已知直线0x y m --=与抛物线C 交于A ，B 两点(A ，B 两点分别在x 轴的上、下方)．(1)求证：AF BF =； (2)已知弦长8AB =，试求：过A ，B 两点，且与直线30x y ++=相切的圆D 的方程．21．(12分)已知函数()21f x ax =+． (1)若()()1,xxf x xa g x e -==，证明：当()51x g x ≥<时，； (2)设()()11xf x h x e -=-，若函数()()0h x +∞在，上有2个不同的零点，求实数a 的取值范围．(二)选考题：共10分。
请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。
22．[选修4—4：坐标系与参数方程](10分) 在直角坐标系中，直线l 的参数方程为1cos ,1sin x t y t αα=-+⎧⎨=+⎩(t 为参数，0απ<<)，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴，取相同的长度单位建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2241sin ρθ=+. (1)当6a π=时，写出直线l 的普通方程及曲线C 的直角坐标方程；(2)已知点()1,1P -，设直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，试确定PA PB ⋅的取值范围．。