32.张旭东, 田辉. 一个优美不等式的证明及变式
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数学通讯
2011 年第 4式的证明及变式
张旭东 指导教师 田辉
( 安徽 省泗县一中 高三文 ( 3 ) 班 , 234300 )
本文给出一个优美不等式的证明及其变式 , 题目如下 : + 2 2 2 + 若 a, b, c R 且 a + b = c , m R , n < 2, 则 an bn cn + n > n n a + m b + m c + m 我们先来证明下面这个引论. + 2 2 2 引论 若 a, b, c R 且 a + b = c , n < 2 , 则 an + b n > cn . 证明 a, b, c R+ 且 a 2 + b2 = c2 , ( a ) 2 + ( b ) 2 = 1 且 0 < a < 1, 0 < b < c c c c 1. 又 n < 2, an + bn a n b n = ( ) + ( ) cn c c a 2 b 2 > ( ) + ( ) = 1, c c cn > 0, an + bn > cn . 下面给出不等式 的几种不同证法. n n n a 证法一 + nb > n an n a + m b + m a + b + m bn an + bn 1 + n = n = . a + bn + m a + bn + m 1+ n m n a + b 由引论知: an + b n > cn > 0. 又 m > 0, n 1 1 = c . > n m m c + m 1+ n 1+ n a + bn c n n n 综上得 n a + nb > nc . a + m b + m c + m x 证法二 设 f ( x ) = ( x > 0) . x+ m m > 0, f ( x ) = 1 - m 在 ( 0, + )上 x + m 单调递增 . 由引论知: an + b n > cn > 0, f ( an + b n ) > f ( cn ) , 即 n n n a + b > nc . n n a + b + m c + m
n
( 收稿日期 : 2010 - 09 - 13)
an bn an + > + n n a + m b + m a + bn + m bn an + bn = n , n n a + b + m a + bn + m n n n a + nb > nc . n a + m b + m c + m n n n 证法三 由引论知 : a + b > c > 0 , 存在 t > 0, 使 a n + b n = cn + t, cn an + bn - t = n . n c + m a + bn + m - t n n n n n a + b + m - t > a + b - t = c > 0, 且 t > 0, 由糖水不等式得: an + bn - t ( an + b n - t ) + t < n n a + b + m- t ( a n + bn + m - t) + t n n = n a +n b a + b + m n n = n an + n bn a + b + m a + b + m an bn < n + n . a + m b + m n a bn cn 综上得 n + n > n . a + m b + m c + m 通过对原问题进行适当的变式, 可以得到一 些有趣的结果 , 列举如下 , 证明过程请读者完成 . ( 1) 若 a, b, c R+ 且 an + b n > c n , n R, m n n n a b c 0, 则 n + > n . a + m bn + m c + m + ( 2) 若 a, b, c R 且 a+ b > c, m 0, 则 a + b > c . a + m b+ m c+ m ( 3) 若 a, b, c 为三角形的三边长 , 且 m 0 , 则 a b c + > . a + m b+ m c+ m ( 4) 若 a, b, c 为三角形的三边长 , 且 m 0, p b = c , 则 m 与 p 之间 0, 满足 a + a + m b+ m c+ p 的大小关系为 m > p . 又
数学通讯
2011 年第 4式的证明及变式
张旭东 指导教师 田辉
( 安徽 省泗县一中 高三文 ( 3 ) 班 , 234300 )
本文给出一个优美不等式的证明及其变式 , 题目如下 : + 2 2 2 + 若 a, b, c R 且 a + b = c , m R , n < 2, 则 an bn cn + n > n n a + m b + m c + m 我们先来证明下面这个引论. + 2 2 2 引论 若 a, b, c R 且 a + b = c , n < 2 , 则 an + b n > cn . 证明 a, b, c R+ 且 a 2 + b2 = c2 , ( a ) 2 + ( b ) 2 = 1 且 0 < a < 1, 0 < b < c c c c 1. 又 n < 2, an + bn a n b n = ( ) + ( ) cn c c a 2 b 2 > ( ) + ( ) = 1, c c cn > 0, an + bn > cn . 下面给出不等式 的几种不同证法. n n n a 证法一 + nb > n an n a + m b + m a + b + m bn an + bn 1 + n = n = . a + bn + m a + bn + m 1+ n m n a + b 由引论知: an + b n > cn > 0. 又 m > 0, n 1 1 = c . > n m m c + m 1+ n 1+ n a + bn c n n n 综上得 n a + nb > nc . a + m b + m c + m x 证法二 设 f ( x ) = ( x > 0) . x+ m m > 0, f ( x ) = 1 - m 在 ( 0, + )上 x + m 单调递增 . 由引论知: an + b n > cn > 0, f ( an + b n ) > f ( cn ) , 即 n n n a + b > nc . n n a + b + m c + m
n
( 收稿日期 : 2010 - 09 - 13)
an bn an + > + n n a + m b + m a + bn + m bn an + bn = n , n n a + b + m a + bn + m n n n a + nb > nc . n a + m b + m c + m n n n 证法三 由引论知 : a + b > c > 0 , 存在 t > 0, 使 a n + b n = cn + t, cn an + bn - t = n . n c + m a + bn + m - t n n n n n a + b + m - t > a + b - t = c > 0, 且 t > 0, 由糖水不等式得: an + bn - t ( an + b n - t ) + t < n n a + b + m- t ( a n + bn + m - t) + t n n = n a +n b a + b + m n n = n an + n bn a + b + m a + b + m an bn < n + n . a + m b + m n a bn cn 综上得 n + n > n . a + m b + m c + m 通过对原问题进行适当的变式, 可以得到一 些有趣的结果 , 列举如下 , 证明过程请读者完成 . ( 1) 若 a, b, c R+ 且 an + b n > c n , n R, m n n n a b c 0, 则 n + > n . a + m bn + m c + m + ( 2) 若 a, b, c R 且 a+ b > c, m 0, 则 a + b > c . a + m b+ m c+ m ( 3) 若 a, b, c 为三角形的三边长 , 且 m 0 , 则 a b c + > . a + m b+ m c+ m ( 4) 若 a, b, c 为三角形的三边长 , 且 m 0, p b = c , 则 m 与 p 之间 0, 满足 a + a + m b+ m c+ p 的大小关系为 m > p . 又