6第六章刚体基本运动与点的复合运动

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动点
绝 对 运 动
定系
相 对 运 动
点的复合运动：
绝对运动 = 相对运动 + 牵连运动 动系
牵连运动 以上分析，我们可以看到 点的绝对运动可由相对 运动和牵连运动来复合。反之，点的绝对运动也可分解 为相对运动和牵连运动。
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设动点 M 在平面中运动,
x xt 绝对运动方程 y y t x xt 相对运动方程 y yt
牵连运动方程
xO xO t yO yO t
t
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相对运动:在动系上看A点的运动 圆周运动 牵连运动:半园凸轮相对于定系的运动 刚体平动
注意：牵连运动为刚体运动，可 能是平移，定轴转动或其它较
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复杂的运动。
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圆盘上的A点为动点，带滑槽的摆杆为动系。
绝对运动：
A点作圆周运动
相对运动： A点作直线运动 牵连运动： 动系摆杆作定轴转动
代入t = 0和t = 2，就可求得这两瞬时A点的速度和加速度，亦即点C在
这两瞬时的速度和加速度。计算结果列表如下：
t (s)
(rad)
0
v (m/s)
π （水平向右） 0 4
at (m/s2)
an (m/s2)
π2 2 （铅直向上） 0l 16
0
2
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0
π 0l 16
的牵连点，牵连点的速度和加速度称为动点在该瞬时的 牵连速度和牵连加速度。
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z z0
定系
绝对运动轨迹
P1
相对运动轨迹
y
动系
x y0 P2 P
x0
O0
动系上与动点重合点的绝对轨迹 既牵连点的轨迹
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观察: 动 点 A 的 运 动
绝对运动:在定系上看A点的运 直线运动 动
第六章 刚体的基本运动和点的复合运动
刚体的运动形式:
1.平 移 － 刚体运动过程中，其上之任意直线始终平
行于这一直线的初始位置。 2.定轴转动 － 刚体运动过程中，有一直线始终保持不动。
3.平面运动 － 刚体运动过程中，其上各点到某一固定 平面的距离始终保持不变。 4.定点运动 － 刚体运动过程中，其上某一点始终保持不动。 5.一般运动 － 刚体的任意运动。
相对运动： 动点相对于动系的运动称为相对运动。 动点在相对运动中的轨迹，速度，加速度称为动点的 相对轨迹，相对速度，相对加速度。
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牵连运动：
动系相对于定系的运动称为牵连运动。 牵连就是当动系运动时，把动点带动的意思。因此
在某瞬时，动系上与动点相重合的一点称为动点在此瞬时
利用动系与定系之间的坐标变换关系可得
x xO x cos y sin y yO x sin y cos
上式称为坐标变换公式，体现了动点的绝对运动方程和 相对运动方程及动系的牵连运动方程之间的关系。 据此式，可以由给定的牵连运动方程和动点的相对运动 方程求出动点的绝对运动方程。或由给定的牵连运动方程 和动点的绝对运动方程求出动点的相对运动方程。
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6.1 刚体的平移和定轴转动
观察平移刚体
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2
观察平移刚体
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3
观察平移刚体
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4
观察平移刚体
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5
1. 平移 —— 刚体运动过程中，其上任意直线始终平 行于这一直线的初始位置。
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用铣刀切削工件的直径
端面，刀尖M 沿水平轴x作
往复运动，如图所示。设 Oxy为定坐标系，刀尖的运 动方程为 x =bsinωt。工件 以匀角速度ω逆时针转向转
Ⅱ Ⅰ
Ⅲ
Ⅳ
n2 n3
n3 z 4 i34 n4 z3
应用齿轮的传动比公式，得
n1
n z i12 1 2 , n2 z1
将两式相乘，得
因为n2= n3，于是从动轮Ⅰ到齿轮Ⅳ的传动比为
i14
n1 z2 z4 12 .4 n4 z1 z 3
n1n3 z2 z4 n2 n4 z1 z3
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6.2 点在平移参考系中运动的合成
前面我们研究点的运动时，都是相对于某一个参考系
（定系）而言。但在有些问题中，往往需要同时在两个不 同的参考系中来描述同一点的运动，而其中一个参考系 相对于另一参考系也在运动。
为此，引入动点，动系，定系。并研究同一动点相对
于两个不同参考系的运动之间的关系。
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dS S v lim S t 0 t dt
v lim
R wR t 0 t
v w R
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dv d dw a (w R) R R dt dt dt
(wR ) 2 an Rw 2 R v2
由于转速n与w 有如下关系：
w 2n
60
w1 n1 成正比 w 2 n2
齿轮传动比
i1,2
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w1 n1 r2 z2 w2 n2 r z1 1
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减速箱由四个齿轮构成， 如图所示。齿轮Ⅱ和Ⅲ安装
2 2

| a || an a | an a R w
2
4
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a R tan 2 2 an w R w
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已知：圆轮O由静止开始作等加速转动，OM＝0.4m，
在 某瞬时测得 aM 40 m/s2 , 30
2 求 转动方程 0 w0t t
π s l 0 l sin t 4
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将上式对时间求导，得A点的速度
ds π π v l 0 cos t dt 4 4
dv π2 π at l 0 sin t dt 16 4
再求一次导，得A点的切向加速度
A点的法向加速度
v2 π2 2 2 π an l 0 cos t l 16 4
w lim w t 0 t
单位:rad/s2
与 w 方向一致为加速转动, 与w 方向相反为减速转动 。
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4.定轴转动刚体内点的速度和加速度
、w , 对整个刚体而言都一样；
v、a 对刚体中某个点而言(各点都在垂直于转 轴的平面上做圆周运动)。
vF A vE A
w F rF w E rE
齿轮传动比
w E rF Z F i EF w F rE Z E
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2.外啮合
vC A vD A wC rC wDrD
iCD ωC rD ZD ωD rC ZC
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刚体平移：
rAB在运动中方向和大
可以是直线
小始终不变 刚体上任意点的轨迹
可以是曲线
刚体在平移运动中,其上任意两点的连线始终保持方向不 变。由A,B 两点的运动方程式:
rA rA ,
rB rB t
rB rA rAB
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结 论
刚体平移的特点: 平移刚体在任一瞬时各点
的运动轨迹形状,速度,加速度
都一样。
平移刚体的运动可以简化为一个点的运动。
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O1
O2
矩形板用两根等长的轻杆
l
平行连接。轻杆长为 l ，单位
B

l
A
O
（+）
为m。当板摆动时轻杆的转动 π 规律为 0 sin t ，试求 4 当t= 0和t =2 s时，矩形板中点 C 的速度和加速度。
0
0
0
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2.定轴转动 —— 刚体运动过程中，有一直线始终 保持不动。
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一条不变的线称为转轴,确定一 个固定平面和一个动平面。
= (t)---为转动方程
方向规定: 右手法则。
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3.刚体的角速度和角加速度
角速度:
Δ d w lim Δt 0 Δt dt
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车刀以匀速横向走刀，卡盘匀角速度转 动，求刀尖相对工件的轨迹。
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1. 点的绝对运动和相对运动 绝对运动： 动点相对于定系的运动称为绝对运动。 动点在绝对运动中的轨迹，速度，加速度，称为动点的绝
对轨迹，绝对速度，绝对加速度。
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航母以 20 节的速度前进，直升飞机以每小时 10km 的速 度垂直降落。求直升飞机相对于航母的速度。
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振动仪中纪录振动的笔尖 M 沿铅直固定轴 Oy 作
简谐振动y =asin(kt+α)。纸带以水平匀速 u向左运动， 求笔尖在纸带上所描绘出的轨迹。
a α r ω v
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a rwv
a | r | r sin R | an || w v | w v sin 90o w 2 R
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齿轮传动 1.内啮合 齿轮间没有相对滑动

转 动 方 程 25 t 2
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角速度和角加速度的矢量表示
按右手定则规定方向。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱωωk
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d ω dw α k k dt dt
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刚体内点的速度和加速度的矢积表示
v ω r
d v d(ω r) d ω dr a r ω dt dt dt dt
任意两点的速度
drB d drA vB (rA rAB ) vA dt dt dt
vO v M
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任意两点的加速度
d 2 rB d2 d 2 rA aB (rA rAB ) aA 2 2 2 dt dt dt
aO aM
由图可见，从动轮Ⅳ和主动轮Ⅰ的转向相同。 最后，求得从动轮Ⅳ的转速为
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n4
n1 117 r min －1 i14
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〔练习〕试画出图中刚体上Ｍ¸ Ｎ两点在图示位置时的
(O1 AO2 B,O1O2 AB) 速度和加速度。
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若已知转动方程 f t
(t ) w
单位 rad/s
工程中常用单位： n = 转/分(r / min) 则n与w的关系为:
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2 n n n w (rad/s ) 60 30 10
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角加速度: 设当t 时刻为w , t +△t 时刻为w+△w
Ⅱ Ⅰ
Ⅲ
Ⅳ
在同一轴上，与轴一起转动。
各齿轮的齿数分别为 z1=36 ， z2=112 ， z3=32 和 z4=128 ，
n1
如主动轴Ⅰ的转速 n1=1450
r﹒min－1，试求从动轮Ⅳ的 转速n4。
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解：用n1， n2 ， n3和n4分别表示各齿
轮的转速，且有
C
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O1
O2
解：运动分析
l

l A
两根轻杆O1A和O2B的长度相等， 相互平行，于是矩形板在运动中始终
B
O
平行直线O1O2，故矩形板作平移。
（+）
C
平移刚体各点速度、加速度相同。求中点C 的速度和加速度，只需 求出A 点的速度和加速度即可。点 A在圆弧上运动，圆弧的半径为 l。如 以最低点O为起点，规定弧坐标s向右为正，则A点的运动方程为
1 2
。
M
解：求得切向加速度
aτ α R aM sinα
α aτ a sin α 40 sin 30 M 50 rad/s 2 R R 0.4
1 1 2 0 0 t 50 t 2 25t 2 2 2
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