线性代数 第一章(知识点汇总)

第一章 行列式

1.2排列及其逆序数

定义1.1 由n 个不同的数1，2，··· ，n 排成的一个有序数组，称为一个n 级全排列，简称n 级排列。

定义1.2 在一个n 级排列n i i i 21中，如果有某个较大的数t i 排在较小的数s i 的前面，即

)(t s i i s t >>时，就称t i 与s i 构成了一个逆序。一个排列的逆序总数称为这个排列的逆序数。

记为)(21n i i i t 。

定义1.3 逆序数为奇数的排列为奇排列，逆序数为偶数的排列为偶排列。规定逆序数为零的排列为偶排列。

定义1.4 在一个排列n t s i i i i 1中，如果互换两个数s i 和t i 的位置，其他的数位置不变，

由此得到一个新的排列n s t i i i i 1。这种变换称为一个对换，记为对换

),t s i i （。 定理1.1 任意一个排列经过一次对换后，其奇偶性发生改变。 定理1.2 在全体)1(>n n 级排列中，奇排列与偶排列各占一半。

1.3 n 阶行列式的定义

定义1.5 由2

n 个元素ij a 组成的符号

nn

n n n

n

a a a a a a a a a 21

2222111211

称为n 阶行列式。n 阶行列式的值

定义为所有取自不同行不同列的n 个元素的乘积项n

j n j j a a a 2121的代数和，即

∑-=

=

n

n n j j j nj j j j j j t nn

n n n

n a a a a a a a a a a a a D 21212121)

(21

2222111211

)

1(

其中)(21n j j j t 为排列n j j j 21的逆序数，和式是对自然数1，2，··· ，n 的所有可能的n 级排列n j j j 21所对应的乘积项求代数和。

在n 阶行列式D 中，横排为行，纵排为列。),,2,1(n i a ij =称为行列式第i 行，第j 列的元素。从左上角到右下角的对角线称为主对角线，从右上角到左下角的对角线称为次对角线。 定理1.3 n 阶行列式ij a D =的一般项可以写成n n n n j i j i j i j j j t i i i t a a a 22112121)

()()

1(+-，其中

n i i i 21和n j j j 21都是n 级排列。

推论 ∑-=

=n

n n i i i n i i i i i i t ij a a a a D n 21212121)

()

1(阶行列式

1.4 n 阶行列式的性质

性质1 将行列式D 的行列互换，其值不变，即T

D D =。

性质2 互换行列式的两行（列），行列式的值反号。

推论 若行列式中的两行（列）完全相同则行列式的值为零。

性质3 行列式某一行（列）的所有元素都乘以数k ，等于数k 乘以此行列式，即

nn

n n in i i n nn n n in i i n a a a a a a a a a k a a a ka ka ka a a a

2

121112112

12111211= 推论 （1）行列式中一行（列）所有元素的公因子可以提到行列式的外面；

（2）若行列式中一行（列）所有元素为零，则行列式的值为零； （3）若行列式中两行（列）的对应元素成比例，则行列式的值为零。 性质4 若行列式某行（列）的所有元素都是两个数的和，则此行列式等于两个行列式的和。其中两个行列式的这一行（列）的元素分别为对应的两个加数之一，其余各行（列）的元素与原行列式相同。即：

nn

n n in i i n nn n n in i i n nn n n in in i i i i n a a a b b b a a a a a a a a a a a a a a a b a b a b a a a a

2

121112112

121112

11212

21

111211+=+++ 性质5 行列式D 的某一行（列）的所有元素乘以数k 加到另一行（列）的对应元素上，行列式的值不变，即：

nn

n n jn j j jn

in j i j i n nn

n n jn j j in

i i n a a a a a a ka a ka a ka a a a a a a a a a a a a a a a a

2

1

21221

11121121

212

111211+++=

注：约定用符号j i kr r +表示行列式的第j 行的k 倍加到第i 行，用符号),(j i r r 表示互换行列式的第i 行和第j 行。上面符号中把c r 换成，即表示对列所做的变换。

1.5 行列式展开定理

定义1.6 在n 阶行列式nn

n n n n a a a a a a a a a D 21

2222111211

=

中，划去元素ij a 所在的第i 行和第j 列，

余下的元素按原来的顺序构成的1-n 阶行列式，称为元素ij a 的余子式，记作ij M ，即

nn

j n j n n n

i j i j i i n i j i j i i n j j ij a a a a a a a a a a a a a a a a M

)

1()

1(1

)1()1)(1()

1)(1(1)1()1()1)(1()1)(1(1)1(1)1(1)1(111+-+++-++-+----+-=

ij j i ij M A +-=)1(称为元素ij a 的代数余子式。

定理 1.4 n 阶行列式nn

n n n n a a a a a a a a a D 21

2222111211

=

等于它的任意一行（列）的各元素与其对

应的代数余子式的乘积之和，即

),,2,12211n i A a A a A a D in in i i i i =+++=（

或

),,2,12211n j A a A a A a D nj nj j j j j =+++=（