矩阵分析考试重点
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19
2-2 设 0 ，证明： n 阶矩阵
a 1
A
a
1
与
a
相似。
a
B
a
a
20
证明 ： 计算A的行列式因子。显然
Dn () ( a)n
下面看 n 1 阶行列式因子。有一个 n 1
阶子式要注意，即
1
a 1
(1)n1
a 1
21
容易计算出 Dn1() 1 从而 D1() D2() Dn1() 1 d1() 1, d2() 1, , dn1() 1, dn() ( a)n
第一章 线性空间和线性变换
主要掌握以下内容： 1、能给出常见线性空间的基；
会求一个向量在给定基下的坐标； 会求两组基的过渡矩阵
1
例 1 实数域 R 上的线性空间R3 的一组基
(1, 0, 0), (0,1, 0), (0, 0,1)
例 2 实数域 R 上的线性空间R22 中的一组基
1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 , 0 0 , 1 0 , 0 1
矩阵表示,则
(a1，a2， ，an ) (1, 2 , , m )A
9
定义：R( )= (V1)＝｛（）V2 | V1｝
——的值域，dimR( )称为的秩 N ( ) 1(0)｛ V1 | （） 0｝
——的核，dim N( )称为的零度 定理：（1）R( ) span( (a1), (a2), , (an )) （2）dimN( ) dimR( ) dimV1
阵相似且主对角线上的元素均为 n 次单位根。
证明：设 的Jordan标准形为
A
J1
J
J2
i 1
,
Ji
i 1
1
J
t
i
25
即有可逆矩阵 Q 使得
Q1AQ J
由于 An I ，所以有
J n (Q1AQ)n Q1AnQ Q1IQ I
从而有
i n
Jin
i n
Ik
in
26
i 1
1
J
t
i
即有可逆矩阵 Q 使得
Q1AQ J
由于 A2 A ，所以有
J 2 (Q1AQ)2 Q1A2Q Q1AQ J 29
从而
J
2 i
Ji ,
i 1,2,
,t. 即
i2 2i 1
i2 2i
i 1
i
1
1
2i
i
i2
30
因此，只有当
式才成立且 i
2Ji 为i一，阶所矩以阵有时上面的矩阵等
定理：设 V1 span{a1,a2, , as}
V2 span{1,2, ,k } 则：V1＋V2 span{a1,a2, , as , 1, 2 ,
, k}
6
习题1-7
7
l1
l2
l2
8
3、能给出线性映射（线性变换）在给定基下的矩 阵表示; 会求线性映射的值域空间及核空间的基与维数
设a1,a2 , ，an，1, 2 , , m分别是V1，V2的基， 是V1 V2的线性映射，A为 在相应基下的
10
设：V1 V2的线性映射，dimV1 n, dimV2 m
a1, a2 , , an与1, 2 , , m分别为V1,V2的基， 在这对基下的矩阵为Amn =(1, ,n ),则
R( ) span（{ 1, 2, , m）1, （, 1, 2, , m）n}
x1
x2
N
(
A)
{x
例 3 实数域 R 上的线性空间 R[ x]n 中的一组基 1, x, x2,, xn
1, 2, , n 1,2 ,n P
2
习题1-5
3
4
5
2、会求两个子空间的交空间、和空间的基与维数
设V1,V2是线性空间V的两个子空间， V1 V2 ={a | a V1且a V2｝交空间
V1＋V2＝a a1 a2 | a1 V1且a2 V2 和子空间
因才阵此 成 ，，立所只，以有这A当样与有J对i 为角in 一矩阶阵1 ，矩相这阵似表时。明上面J的为矩对阵角等矩式
27
2-6 设 A为数域 F上的 n 阶方阵且满足
A2 A ，证明： A 与对角矩阵
1
1
J
0
0
相似。 28
证明：设 A 的Jordan标准形为
J1
J
J2
i 1
,
Ji
i 1, i 0
这说明 J 为一个对角矩阵且主对角线上的元
素只能为1 或0，适当地调换主对角线上的元 素次序可以得到方阵
1
1
此矩阵仍然与A 相似。
0
0
31
第三章 内积空间，正规矩阵与Hermite矩阵
主要掌握以下内容：
1、会用欧氏空间、酉空间的定义去证明； 2、掌握内积、长度、夹角、正交的定义及性质； 3、掌握标准正交基的定义及Schmidt正交化方法； 4、掌握以下矩阵的定义、性质、结构定理：
对矩阵B而言,因
det(I - B) ( a)n (1)n1( )(1)n1 ( a)n 故Dn () ( a)n ,
所以A与B的第n阶行列式因子不相同， 从而A与B不相似。
24
2-5 设 A 为数域F 上的 n 阶方阵且存在 正整数n 使得 An I ，证明： A 与对角矩
x1 x2
是
xn
A的属于0
的特征向量
xn
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第二章 矩阵与矩阵的Jordan标准形
主要掌握以下内容：
1、会求 矩阵的Smith标准形：
（1）初等变换法 （2）行列式因子法 （3）初等因子法
2、会求 矩阵的行列式因子、不变因子、初等因子
3、会求数字矩阵A的Jordan标准形J及其变换矩阵P： （1）初等变换法 （2）矩阵秩的方法 4、掌握证明两个矩阵相似的方法： （1）有相同的行列式因子（2）有相同的不变因子（3） 有相同的初等因子 5、会用Jordan标准形求矩阵的幂
|
Ax
0,
x
R
n}
xnLeabharlann x (1,2,x1
,
n
)
x2
N
(
)
xn
11
12
13
14
15
16
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4、会计算线性变换的特征值与特征向量
设线性变换f 的矩阵表示为A，则
0 是 f 的特征值 0 是 A 的特征值
x1
(1,2,
,n
)
x2
是
f
的属于0
的特征向量
同理可计算出B的行列式因子及不变因子也是
D1() D2() Dn1() 1 d1() 1, d2() 1, , dn1() 1, dn() ( a)n
所以A与B相似。
22
2-3 设 0 证明 n 阶矩阵
a 1
A
a
1
a
与
a 1
B
a
1
不相似。
a
23
证明：对矩阵A而言，因det(I - A) ( a)n, 故Dn () ( a)n ,
2-2 设 0 ，证明： n 阶矩阵
a 1
A
a
1
与
a
相似。
a
B
a
a
20
证明 ： 计算A的行列式因子。显然
Dn () ( a)n
下面看 n 1 阶行列式因子。有一个 n 1
阶子式要注意，即
1
a 1
(1)n1
a 1
21
容易计算出 Dn1() 1 从而 D1() D2() Dn1() 1 d1() 1, d2() 1, , dn1() 1, dn() ( a)n
第一章 线性空间和线性变换
主要掌握以下内容： 1、能给出常见线性空间的基；
会求一个向量在给定基下的坐标； 会求两组基的过渡矩阵
1
例 1 实数域 R 上的线性空间R3 的一组基
(1, 0, 0), (0,1, 0), (0, 0,1)
例 2 实数域 R 上的线性空间R22 中的一组基
1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 , 0 0 , 1 0 , 0 1
矩阵表示,则
(a1，a2， ，an ) (1, 2 , , m )A
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定义：R( )= (V1)＝｛（）V2 | V1｝
——的值域，dimR( )称为的秩 N ( ) 1(0)｛ V1 | （） 0｝
——的核，dim N( )称为的零度 定理：（1）R( ) span( (a1), (a2), , (an )) （2）dimN( ) dimR( ) dimV1
阵相似且主对角线上的元素均为 n 次单位根。
证明：设 的Jordan标准形为
A
J1
J
J2
i 1
,
Ji
i 1
1
J
t
i
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即有可逆矩阵 Q 使得
Q1AQ J
由于 An I ，所以有
J n (Q1AQ)n Q1AnQ Q1IQ I
从而有
i n
Jin
i n
Ik
in
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i 1
1
J
t
i
即有可逆矩阵 Q 使得
Q1AQ J
由于 A2 A ，所以有
J 2 (Q1AQ)2 Q1A2Q Q1AQ J 29
从而
J
2 i
Ji ,
i 1,2,
,t. 即
i2 2i 1
i2 2i
i 1
i
1
1
2i
i
i2
30
因此，只有当
式才成立且 i
2Ji 为i一，阶所矩以阵有时上面的矩阵等
定理：设 V1 span{a1,a2, , as}
V2 span{1,2, ,k } 则：V1＋V2 span{a1,a2, , as , 1, 2 ,
, k}
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习题1-7
7
l1
l2
l2
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3、能给出线性映射（线性变换）在给定基下的矩 阵表示; 会求线性映射的值域空间及核空间的基与维数
设a1,a2 , ，an，1, 2 , , m分别是V1，V2的基， 是V1 V2的线性映射，A为 在相应基下的
10
设：V1 V2的线性映射，dimV1 n, dimV2 m
a1, a2 , , an与1, 2 , , m分别为V1,V2的基， 在这对基下的矩阵为Amn =(1, ,n ),则
R( ) span（{ 1, 2, , m）1, （, 1, 2, , m）n}
x1
x2
N
(
A)
{x
例 3 实数域 R 上的线性空间 R[ x]n 中的一组基 1, x, x2,, xn
1, 2, , n 1,2 ,n P
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习题1-5
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4
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2、会求两个子空间的交空间、和空间的基与维数
设V1,V2是线性空间V的两个子空间， V1 V2 ={a | a V1且a V2｝交空间
V1＋V2＝a a1 a2 | a1 V1且a2 V2 和子空间
因才阵此 成 ，，立所只，以有这A当样与有J对i 为角in 一矩阶阵1 ，矩相这阵似表时。明上面J的为矩对阵角等矩式
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2-6 设 A为数域 F上的 n 阶方阵且满足
A2 A ，证明： A 与对角矩阵
1
1
J
0
0
相似。 28
证明：设 A 的Jordan标准形为
J1
J
J2
i 1
,
Ji
i 1, i 0
这说明 J 为一个对角矩阵且主对角线上的元
素只能为1 或0，适当地调换主对角线上的元 素次序可以得到方阵
1
1
此矩阵仍然与A 相似。
0
0
31
第三章 内积空间，正规矩阵与Hermite矩阵
主要掌握以下内容：
1、会用欧氏空间、酉空间的定义去证明； 2、掌握内积、长度、夹角、正交的定义及性质； 3、掌握标准正交基的定义及Schmidt正交化方法； 4、掌握以下矩阵的定义、性质、结构定理：
对矩阵B而言,因
det(I - B) ( a)n (1)n1( )(1)n1 ( a)n 故Dn () ( a)n ,
所以A与B的第n阶行列式因子不相同， 从而A与B不相似。
24
2-5 设 A 为数域F 上的 n 阶方阵且存在 正整数n 使得 An I ，证明： A 与对角矩
x1 x2
是
xn
A的属于0
的特征向量
xn
18
第二章 矩阵与矩阵的Jordan标准形
主要掌握以下内容：
1、会求 矩阵的Smith标准形：
（1）初等变换法 （2）行列式因子法 （3）初等因子法
2、会求 矩阵的行列式因子、不变因子、初等因子
3、会求数字矩阵A的Jordan标准形J及其变换矩阵P： （1）初等变换法 （2）矩阵秩的方法 4、掌握证明两个矩阵相似的方法： （1）有相同的行列式因子（2）有相同的不变因子（3） 有相同的初等因子 5、会用Jordan标准形求矩阵的幂
|
Ax
0,
x
R
n}
xnLeabharlann x (1,2,x1
,
n
)
x2
N
(
)
xn
11
12
13
14
15
16
17
4、会计算线性变换的特征值与特征向量
设线性变换f 的矩阵表示为A，则
0 是 f 的特征值 0 是 A 的特征值
x1
(1,2,
,n
)
x2
是
f
的属于0
的特征向量
同理可计算出B的行列式因子及不变因子也是
D1() D2() Dn1() 1 d1() 1, d2() 1, , dn1() 1, dn() ( a)n
所以A与B相似。
22
2-3 设 0 证明 n 阶矩阵
a 1
A
a
1
a
与
a 1
B
a
1
不相似。
a
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证明：对矩阵A而言，因det(I - A) ( a)n, 故Dn () ( a)n ,