二次函数常见题型及解题策略(压轴题)

二次函数常见题型及解题策略(压轴题)

二次函数常见题型及解题策略

1、两点间的距离公式：

、中点坐标：线段AB的中点C的坐标为：

3、一元二次方程有整数根问题，解题步骤如下：

① 用和参数的其他要求确定参数的取值范围；

② 解方程，求出方程的根；（两种形式：分式、二次根式）

③ 分析求解：若是分式，分母是分子的因数；若是二次根式，被开方式是完全平方式。

例：关于x的一元二次方程x2－＝0有两个整数根，m

＜5且m为整数，求m的值。

4、二次函数与x轴的交点为整数点问题。（方法同上）

例：若抛物线与x轴交于两个不同的整数点，且m为正整数，试确定此抛物线的解析式。

5、方程总有固定根问题，可以通过解方程的方法求出该固定根。举例如下：

已知关于x的方程（m为实数），求证：无论m为何值，方程总有一个固定的根。

解：当时，；

当时，，，、

； m2m

综上所述：无论m为何值，方程总有一个固定的根是1。

6、函数过固定点问题，举例如下：

已知抛物线（m是常数），求证：不论m为何值，该抛物线总经过一个固定的点，并求出固定点的坐标。

解：把原解析式变形为关于m的方程；

，解得：；

∴ 抛物线总经过一个固定的点（1，－1）。

（题目要求等价于：关于m的方程不论m为何值，方程恒成立） 2

小结：关于x的方程有无数解．．

第 1 页共 4 页

7、路径最值问题（待定的点所在的直线就是对称轴）

（1）如图，直线l1、l2，点A在l2上，分别在l1、l2上确定两点M、N，使得之和最小。

（2）如图，直线l1、l2相交，两个固定点A、B，分别在l1、l2上确定两点M、N，使得

之和最小。

（3）如图，A、B是直线l同旁的两个定点，线段a，在直线l上确定两点E、F（E在F的左侧），使得四边形AEFB的周长最小。

8、在平面直角坐标系中求面积的方法：直接用公式、割补法

9、函数的交点问题：二次函数（y＝ax＋bx＋c）与一次函数（y＝kx＋h）

2

＝ax2＋bx＋c

（1）解方程组可求出两个图象交点的坐标。

＝kx＋h

第 2 页共 4 页

＝ax2＋bx＋c

（2）解方程组，即ax2＋－＋c－h＝0，通过可判断两个图象的交点的个数

＝kx＋h

有两个交点＞0 仅有一个交点没有交点＜0

10、方程法

（1）设：设主动点的坐标或基本线段的长度

（2）表示：用含同一未知数的式子表示其他相关的数量（3）列方程或关系式

11、几何分析法

特别是构造“平行四边形”、“梯形”、“相似三角形”、“直角三角形”、“等腰三角形”等图形时，利用

2

xOy中，抛物线与x轴交于点A、点B，

与y轴的正半轴交于点C，点 A的坐标为(1, 0)，OB＝OC，抛物线的顶点为D。 (1) 求此抛物线的解析式；

(2) 若此抛物线的对称轴上的点P满足∠APB＝∠ACB，求点P的坐标；

(3) Q为线段BD上一点，点A关于∠AQB的平分线的对称点为，若

，求点Q的坐标和此时的面积。

在平面直角坐标系xOy中，已知二次函数的图像与y轴交于点C0 ， 3，与x轴交于A、B两点，点B的坐标为，。（1）求二次函数的解析式及顶点D的坐标；

（2）点M是第二象限内抛物线上的一动点，若直线OM把四边形ACDB 分成面积为1 ：2的两部分，

求出此时点M的坐标；

第 3 页共 4 页

2

（3）点P是第二象限内抛物线上的一动点，问：点P在何处时△CPB 的面积最大？最大面积是多少？

并求出此时点P的坐标。

xOy中，抛物线点A，顶点为B，且对称轴与x轴交于点C。（1）求点B的坐标（用含m的代数式表示）；

（2）D为OB中点，直线AD交y轴于E，若E（0，

2），求抛物线的解析式；

（3）在（2）的条件下，点M在直线OB上，且使得的周长最小，P在抛物线上，Q在直线BC上，若以A、M、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，求点P的坐标。

22

与x轴负半轴交于m

x的方程。（1）若方程有两个不相等的实数根，求m的取值范围；

（2）若正整数m满足，设二次函数

的图象与x轴交于A、B两

点，将此图象在x轴下方的部分沿x轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象；请

你结合这个新的图象回答：当直线与此图象恰好有三个公共点时，求出k的值（只需要求出两个满足题意的k值即可）。

第 4 页共 4 页