圆和圆的位置关系ppt
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圆与圆的位置关系ppt课件
设所求圆的圆心为(a,b),因圆心在直线x-y-4=0上，故b=a-4.
则
解得 故圆心为 ,半径为
故圆的方程为
即x²+y²-x+7y-32=0.
(方法2)设所求圆的方程为x²+y²+6x-4+λ(x²+y²+6y-28)=0(λ≠-1),
其圆心为
,代入x-y-4=0,解得λ=-7.
故所求圆的方程为x²+y²-x+7y-32=0.
分析：我们可以通过建立适当的平面直角坐标系，求得满足条件的动点M的轨迹方程，从而得到点M 的轨迹；通过研究它的轨迹方程与圆O方程的关系，判断这个轨迹与圆O的位置关系。
解：如图，以线段AB的中点O为原点，AB 所在直线为x轴，线段AB的 垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系. 由AB=4,得A(-2,0),B(2,0).设点M 的坐标为(x,y),由 |MA|=|MB|, 得
(1)当|C₁C₂ I=r₁+r₂=5,即a=5时，两圆外切；当|C₁C₂ I=r₁-r₂=3,即a=3时，两圆内切。
(2)当3<|C₁C₂I<5,即3<a<5时，两圆相交.
(3)当|C₁C₂I>5,即a>5时，两圆外离. (4)当|C₁C₂I<3,即O<a<3时，两圆内含.
12 U
典型例题
例2.已知圆O的直径AB=4, 动点M与点A的距离是它与点B的距离的√2倍. 试探究点M的轨迹，并判断该轨迹与圆O的位置关系.
相交弦及圆系方程问题的解决 1.求两圆的公共弦所在直线的方程的方法：将两圆方程相减即得两圆公共弦所在直线方程，但必 须注意只有当两圆方程中二次项系数相同时，才能如此求解，否则应先调整系数. 2.求两圆公共弦长的方法：一是联立两圆方程求出交点坐标，再用距离公式求解；二是先求出两 圆公共弦所在的直线方程，再利用半径长、弦心距和弦长的一半构成的直角三角形求解. 3.已知圆C₁ :x²+y²+D₁x+E₁y+F₁=0 与圆C₂ :x²+y²+D₂x+E₂y+F₂=0 相交，则过两圆交点的圆的方程 可设为x²+y²+D₁x+E₁y+F₁+λ(x²+y²+D₂x+E₂y+F₂)=0(λ≠-1).
圆与圆的位置关系ppt课件
解法一：联立C1,C2方程 x2+y2+2x+8y-8=0 x2+y2-4x-4y-2=0
解法二：化标准方程
类型一 圆与圆的位置关系的判定
1.已知圆C1:x2+y2+4x+2y-1=0,圆C2:x2+y2+2x+8y-8=0,则圆C1与圆C2 的位置关系是 ( )
A.相离
B.相交
C.外切
D.内切
2.圆A:x2+y2=1与圆B:x2-4x+y2-5=0的公共点个数为 ( )
2．若圆 x2＋y2＝4 与圆 x2＋y2＋2ay－6＝0(a>0)的公共弦的长为 2 3 ，则 a＝( ) A．2 B．1 C．－1 D．－2
类型三 两圆相交问题
圆与圆位置关系的应用【典例】若圆O：x2＋y2＝5与圆O1：(x－m)2＋ y2＝20相交于A，B两点，且两圆在点A处的切线互相垂直，则线段AB
y
X
问题：两圆相交时，圆心距和半径之间有何关系？
Rr
•
O1
d • O2
R-r<d<R+r (R≥r)
01 圆与圆的位置关系
问题：两圆相切时，圆心距和半径之间有何关系？
O1• R r •O2
d （c） 两圆外切: d=R+r（R>r）
O1• O• 2
r R
（d） 两圆内切： d=R-r(R>r)
01 圆与圆的位置关系
类型三 两圆相交问题
公共弦相关的问题
【典例1】已知圆x2+y2=4与圆x2+y2-2y-6=0,则两圆的公共弦长为
() y
A. 3
B.2 3
《圆与圆位置关系》课件
《圆与圆位置关系》ppt课件
CONTENTS
• 圆与圆的位置关系概述 • 圆与圆的相切关系 • 圆与圆的相交关系 • 圆与圆的分离关系 • 圆与圆位置关系的性质和判定
01
圆与圆的位置关系概述
圆与圆的基本概念
圆心
圆的中心点，通常用大写 字母O表示。
圆
一个平面内，到定点的距 离等于定长的所有点组成 的图形。
平行。
相交关系的性质和判定
总结词
相交关系是圆与圆之间的一种常见位置关系 ，其性质和判定方法对于理解圆与圆的位置 关系同样重要。
详细描述
当两圆相交时，它们的交点数取决于两圆的 相对位置。一般情况下，两圆相交于两个不 同的交点，但有时也可能只有一个交点或没 有交点。此外，相交关系还有对称相交和倾 斜相交两种特殊情况，对称相交时两圆心连 线与两圆的交点连线垂直，倾斜相交时两圆
7
7
04
内切关系在几何图形中常用于
7
构造旋转对称图形和等分图形
。
相切关系的判定
9字
判定两圆是否相切的方法有 多种，其中一种是利用圆心 距和两圆半径的关系进行判 定。
9字
另一种判定方法是利用两圆 在某点相切的性质进行判定 ，即如果两圆在某点相切， 则该点到两圆心的距离相等 。
9字
当两圆的圆心距等于两圆半 径之和时，两圆外切；当圆 心距等于较大圆的半径减去 较小圆的半径时，两圆内切 。
数学公式
d>r1+r2
04
圆与圆的分离关系
圆心距大于两圆半径之和
两圆外离 当两圆的圆心距大于两圆的半径之和时，两圆处于分离状态，没有交点。
圆心距等于两圆半径之和
两圆外切
当两圆的圆心距恰好等于两圆的半径之和时，两圆处于外切状态，仅有一个交点。
CONTENTS
• 圆与圆的位置关系概述 • 圆与圆的相切关系 • 圆与圆的相交关系 • 圆与圆的分离关系 • 圆与圆位置关系的性质和判定
01
圆与圆的位置关系概述
圆与圆的基本概念
圆心
圆的中心点，通常用大写 字母O表示。
圆
一个平面内，到定点的距 离等于定长的所有点组成 的图形。
平行。
相交关系的性质和判定
总结词
相交关系是圆与圆之间的一种常见位置关系 ，其性质和判定方法对于理解圆与圆的位置 关系同样重要。
详细描述
当两圆相交时，它们的交点数取决于两圆的 相对位置。一般情况下，两圆相交于两个不 同的交点，但有时也可能只有一个交点或没 有交点。此外，相交关系还有对称相交和倾 斜相交两种特殊情况，对称相交时两圆心连 线与两圆的交点连线垂直，倾斜相交时两圆
7
7
04
内切关系在几何图形中常用于
7
构造旋转对称图形和等分图形
。
相切关系的判定
9字
判定两圆是否相切的方法有 多种，其中一种是利用圆心 距和两圆半径的关系进行判 定。
9字
另一种判定方法是利用两圆 在某点相切的性质进行判定 ，即如果两圆在某点相切， 则该点到两圆心的距离相等 。
9字
当两圆的圆心距等于两圆半 径之和时，两圆外切；当圆 心距等于较大圆的半径减去 较小圆的半径时，两圆内切 。
数学公式
d>r1+r2
04
圆与圆的分离关系
圆心距大于两圆半径之和
两圆外离 当两圆的圆心距大于两圆的半径之和时，两圆处于分离状态，没有交点。
圆心距等于两圆半径之和
两圆外切
当两圆的圆心距恰好等于两圆的半径之和时，两圆处于外切状态，仅有一个交点。
圆圆和圆的位置关系课件ppt
外公切线、公切线
详细描述
两圆外公切线的交点位于两圆半径之差的绝对值处，由此可判断两圆的位置 关系。
利用内公切线判定
总结词
内公切线、公切线
详细描述
两圆内公切线的交点位于两圆半径之和处，由此可判断两圆的位置关系。
04
圆和圆的位置关系的计算
计算圆心距
总结词
衡量两个圆心的距离
公式
$d = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2y_1)^2}$
作已知圆的内外公切线及内心线
利用已知圆的方程，根据圆心和切线的性质作已知 圆的内外公切线及内心线。
根据已知圆的方程，求出过切点的半径所在的直线 方程，再根据切线性质求出切线长。
根据已知圆的方程，求出过切点的半径所在的直 线方程，再根据切线性质求出切线长。
THANKS
内切圆的半径等于两圆半径之差； 两圆内切时，内切圆的直径等于两圆半径之差。
外切圆和内切圆的比较
01
外切圆和内切圆都是关于两圆的圆心对称的，它们的位置关系可以通过比较两 圆的半径和圆心距来确定；
02
外切圆和内切圆的半径和圆心距的关系相反，外切圆的半径和圆心距等于两圆 半径之和或之差，而内切圆的半径和圆心距等于两圆半径之差或之和；
两圆之间的位置关系是 两圆的圆心距等于两圆 的半径之差。
两圆之间的位置关系是 两圆的圆心距小于两圆 的半径之差。
计算两个圆的圆心距和半径
通过两个圆的方程计算出两个圆的圆心距和半 径，并判断两个圆的位置关系。
根据两个圆的方程计算出两个圆的圆心距和半 径，并求出两个圆的公共弦所在的直线方程。
根据两个圆的方程计算出两个圆的圆心距和半 径，并求出两个圆的交点坐标。
特点
详细描述
两圆外公切线的交点位于两圆半径之差的绝对值处，由此可判断两圆的位置 关系。
利用内公切线判定
总结词
内公切线、公切线
详细描述
两圆内公切线的交点位于两圆半径之和处，由此可判断两圆的位置关系。
04
圆和圆的位置关系的计算
计算圆心距
总结词
衡量两个圆心的距离
公式
$d = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2y_1)^2}$
作已知圆的内外公切线及内心线
利用已知圆的方程，根据圆心和切线的性质作已知 圆的内外公切线及内心线。
根据已知圆的方程，求出过切点的半径所在的直线 方程，再根据切线性质求出切线长。
根据已知圆的方程，求出过切点的半径所在的直 线方程，再根据切线性质求出切线长。
THANKS
内切圆的半径等于两圆半径之差； 两圆内切时，内切圆的直径等于两圆半径之差。
外切圆和内切圆的比较
01
外切圆和内切圆都是关于两圆的圆心对称的，它们的位置关系可以通过比较两 圆的半径和圆心距来确定；
02
外切圆和内切圆的半径和圆心距的关系相反，外切圆的半径和圆心距等于两圆 半径之和或之差，而内切圆的半径和圆心距等于两圆半径之差或之和；
两圆之间的位置关系是 两圆的圆心距等于两圆 的半径之差。
两圆之间的位置关系是 两圆的圆心距小于两圆 的半径之差。
计算两个圆的圆心距和半径
通过两个圆的方程计算出两个圆的圆心距和半 径，并判断两个圆的位置关系。
根据两个圆的方程计算出两个圆的圆心距和半 径，并求出两个圆的公共弦所在的直线方程。
根据两个圆的方程计算出两个圆的圆心距和半 径，并求出两个圆的交点坐标。
特点
2-5-2圆与圆的位置关系 课件(共48张PPT)
∴b1＝0，b2＝－4，b3＝－52.
∴k1＝43，k2＝0，k3＝－34.
∴公切线方程为 4x－3y＝0 或 y＝－4 或 3x＋4y＋10＝0. 又两圆外离，公切线有 4 条． ∴另一条切线斜率不存在，据题知其方程为 x＝0.
探究 3 (1)与两个圆都相切的直线叫作两圆的公切线，两圆 的公切线包括外公切线和内公切线两种．
课时学案
题型一 两圆位置关系的判断
例 1 已知圆 C1：x2＋y2－2mx＋4y＋(m2－5)＝0 与圆 C2： x2＋y2＋2x－2my＋(m2－3)＝0，则 m 为何值时：
(1)两圆外离；(2)两圆外切；(3)两圆相交；(4)两圆内含． 【思路分析】 根据圆与圆的位置关系来判定．
【解析】 C1：(x－m)2＋(y＋2)2＝9， C2：(x＋1)2＋(y－m)2＝4. (1)若两圆外离，则 （m＋1）2＋（m＋2）2>3＋2， (m＋1)2＋(m＋2)2>25，m2＋3m－10>0， 解得 m<－5 或 m>2. (2)若两圆外切，则 （m＋1）2＋（m＋2）2＝3＋2， (m＋1)2＋(m＋2)2＝25，m2＋3m－10＝0， 解得 m＝－5 或 m＝2.
(3)过点 M(2，4)向圆 C：(x－1)2＋(y＋3)2＝1 引两条切线， 切点为 P，Q，求 P，Q 所在的直线方程．
【思路分析】 画出如图所示的示意图，根据对称性知 P，Q 在以 M 点为圆心，MP 为半径的圆上．线段 PQ 为两圆的公共弦， 两圆方程相减即得公共弦所在直线方程．
【解析】 如图，连接 MC，PC.因为 P 为切点，故有 CP2 ＋PM2＝CM2，解得 PM＝7，易知 P，Q 在以 M 点为圆心，MP 为半径的圆上，圆的方程是(x－2)2＋(y－4)2＝49，即 x2＋y2－4x －8y－29＝0.①
圆九年级数学《与圆的位置关系》课件
4、如图，圆O1、圆O2相交于点A、B，过点A的 作CD⊥AB交两圆于点C、D，求证：CD=2O1O2
C
A
D
O2
O1
B
圆与圆的位置关系
新课引入
O1
O2
圆O1沿直线O1O2向右运动，它与 圆O2的交点数有何变化情况？
学习目标
了解圆与圆的五种位置关系，会根据圆 心距判断圆与圆的位置关系
自学探究
自学课本45~46页，回答下列问题 1、圆与圆有几种位置关系？如何判断？ 2、当两圆相交、外切、内切时连心线有何性 质？
疑探交流
当圆心O1和圆心O2重合时，即d=0时，两圆 是同心圆
A
O1 C
O2
B
定理：两圆相交时， 连心线垂直平分两 圆的公共弦
O1
C
O2
定理：两圆 相切时，连 心线过切点
当堂检测 1、圆O1、圆O2的半径分别为3cm、4cm.若设： （1）O1O2=8cm，（2）O1O2=7cm，（3）O1O2=5cm， （4）O1O2=1cm，（5）O1O2=0cm，（6）O1O2=0.5cm 2、已知：两圆的圆心距为6cm，其中一个圆的半 径为1cm，在下列条件下，求另一个圆的半径r或 取值范围 （1）两圆外切 （2）两圆内切 （3）两圆内含 3、三角形三边分别为2、3、4，以各顶点作圆， 三个圆两两外切，求这三个圆的半径.
针对上述问题，组内交流合作，先对议， 再组议
学教新课
O1
O2
外离
Hale Waihona Puke O1O2外切
O1
O2
O1
O2
O1 O2
相交
内切
内含
连接O1O2，上述五种位置关系中，圆心距d与 两圆半径R、r有何关系？
圆与圆的位置关系(34ppt)
外离:两圆无公共点, 并且每个圆上的点 都在另一个圆的外 部时,叫两圆外离.
切点
外切:两圆有一个公共点,并且除了公
共点外,每个圆上的点都在另一个圆
的外部时,叫两圆外切.
7
相交:两圆有两个公 共点时,叫两圆相交.
切点
内切:两圆有一个公共 点,并且除了公共点外, 一个圆上的点都在另 一个圆的内部时,叫两 圆内切.
..
O
P
解：设⊙P的半径为R (1)若⊙O与⊙P外切，
则 OP=5+R=8 (2)若R⊙=3O与cm⊙P内切，
则 OP=R-5=8
R=13 cm
所以⊙P的半径为3cm或13cm
21
练一练 1.填写表格(一)
r1
r2
d 两圆的位置关系
9
外离
8
外切
5
5
3
2
相交 内切
1
内含
0同心圆55源自0互相重合22
2.已知:⊙A、⊙B的半径分别是3cm、5cm,圆心 距为10cm,请你判断这两个圆的位置关系． 外离
（×）
24
1.若两圆半径为6cm和4cm,圆心距为10cm,那么这两圆的 位置关系为( C )
A.内切 B.相交 C.外切 D.外离 2.若半径为1和5的两圆相交,则圆心距d的取值范围为( B )
A.d＜6 B. 4＜ d ＜6 C.4≤d≤6 D.1＜d＜5 3.若半径为7和9的两圆相切,则这两圆的圆心距长一定为( C )
x29x14 0的两根,则两圆的关系为 内切 .
9.两圆的半径为5和3,且两圆无公共点,则两圆圆心距d的取值 范围为 d＞8或d＜2.
31
巩固练习
填空题：1.⊙O1和⊙O2的半径分别为3、5，设d=O1O2 ： （1）当d=9时，则⊙O1与⊙O2的位置关系是___外__离____. （2）当d=8时，则⊙O1与⊙O2的位置关系是___外__切____. （3）当d=5时，则⊙O1与⊙O2的位置关系是___相__交____. （4）当d=2时，则⊙O1与⊙O2的位置关系是___内__切____. （5） 当d=1时，则⊙O1与⊙O2的位置关系是__内__含_____. （6）当d=0时，则⊙O1与⊙O2的位置关系是_同__心__圆____.
圆与圆的位置关系ppt课件
C1
r1 C2
r2
内含
C1 rC12r2
内切
r C2
r1 C1
新知讲解
注意： 1.当两个圆是等圆时，它们之间的位置关系只有外离、外切和相交三种情 况(重合时两个圆被看成一个圆). 2.如果两个圆不是同心圆，那么经过两个圆的圆心的直线，叫作两个圆的 连心线.两个圆心之间的线段长叫作圆心距. 思考：两个圆的圆心距d、两个圆的半径r1，r2的大小关系与两个圆的位置 关系有何对应关系？
（2）将圆 <m>C1</m>和圆 <m>C2</m>的方程相减，得 <m>4x + 3y − 23 = 0</m>， 所以两圆的公共弦所在直线的方程为 <4m>x + 3y − 23 = 0</m>， 圆心 <m>C2 5,6 </m>到直线 <m>4x + 3y − 23 = 0</m>的距离为 <m>20+1168+−923 = 3</m>， 故公共弦长为 <m>2 16 − 9 = 2 7</m>.
r1 r2 2 1,r1 r2 2 1.
r1 r2 <d <r1 r2.
∴圆C1与圆C2相交.
思考:还有其他方法判断吗？
新知讲解
例1:画图并判断圆C1：x2 +y2 +2x=0 和圆C2：x2 +y2–2y =1的位置关系.
解法二:联立方程组
x2 y2 2x 0
x2
y2
2
y
1
① ②
2
2 1
2.5.2圆与圆位置关系 课件(共18张PPT)
2.5.2圆与圆的位置
关系
人教A版（2019）
选择性必修第一册
学习目标
1.理解圆与圆的位置关系的种类.
2.掌握圆与圆的位置关系的代数判断方法与几何判断方法.
3.能够利用上述方法判断两圆的位置关系.
4.体会根据圆的对称性灵活处理问题的方法和它的优越性.
核心素养：逻辑推理、数学建模
探索新知 两个大小不等的圆的位置关系
所以，方程(4)有两个不相等的实数根1, 2,
因此圆1与圆2有两个不同的公共点．
所以圆1与圆2相交，它们有两个公共点, .
典例剖析
判断两圆位置关系的方法
例1 已知圆1: 2 + 2 + 2 + 8 − 8 = 0和圆2：2 + 2 − 4 − 4 − 2 = 0，试判断圆1与圆2的位置关系.
A
先动手后动脑
x
1.画出两圆的图象和方程 + 2 − 1 = 0表示的直线的图象
2.你发现了什么？你能说明什么吗？
2
B
1
理论迁移
例1
设圆1: 2 + 2 + 2 + 8 − 8 = 0,圆2: 2 + 2 − 4 − 4 − 2 = 0,试判断圆1与圆2的关系.
1.求两圆的公共弦所在的直线方程.
几何法判断两圆的位置关系的一般步骤
（1）把两圆的方程化成标准方程；
（2）求出两圆的圆心坐标及半径，；
（3）求两圆的圆心距；
（4）比较与 − ， + 的大小关系，得出结论：
①若 > + ，则两圆外离；
②若 = + ，则两圆外切；
③若 − < < + ，则两圆相交；
关系
人教A版（2019）
选择性必修第一册
学习目标
1.理解圆与圆的位置关系的种类.
2.掌握圆与圆的位置关系的代数判断方法与几何判断方法.
3.能够利用上述方法判断两圆的位置关系.
4.体会根据圆的对称性灵活处理问题的方法和它的优越性.
核心素养：逻辑推理、数学建模
探索新知 两个大小不等的圆的位置关系
所以，方程(4)有两个不相等的实数根1, 2,
因此圆1与圆2有两个不同的公共点．
所以圆1与圆2相交，它们有两个公共点, .
典例剖析
判断两圆位置关系的方法
例1 已知圆1: 2 + 2 + 2 + 8 − 8 = 0和圆2：2 + 2 − 4 − 4 − 2 = 0，试判断圆1与圆2的位置关系.
A
先动手后动脑
x
1.画出两圆的图象和方程 + 2 − 1 = 0表示的直线的图象
2.你发现了什么？你能说明什么吗？
2
B
1
理论迁移
例1
设圆1: 2 + 2 + 2 + 8 − 8 = 0,圆2: 2 + 2 − 4 − 4 − 2 = 0,试判断圆1与圆2的关系.
1.求两圆的公共弦所在的直线方程.
几何法判断两圆的位置关系的一般步骤
（1）把两圆的方程化成标准方程；
（2）求出两圆的圆心坐标及半径，；
（3）求两圆的圆心距；
（4）比较与 − ， + 的大小关系，得出结论：
①若 > + ，则两圆外离；
②若 = + ，则两圆外切；
③若 − < < + ，则两圆相交；
圆与圆的位置关系的课件
内切
相交 O1O2=7cm O1O2=5cm
O外1O2=切0.5cm O1O2=0cm 内含 同心圆
三、定圆⊙ O半径为4cm， 动圆⊙ P半径为1cm
（1）当两圆外切时OP为 运动？即P点的轨迹是
cm？点P在什么样的圆上 。
（2）当两圆内切时OP为 上运动？即P点的轨迹是
cm？点P在什么样的圆 。
个圆上的点都在另一个圆的内部时,叫两圆内切.
特例
内含:两圆无公共点,并且一个圆上的点都在
另一个圆的内部时,叫两圆内含.
连心线：过两圆心的直线 圆心距：两圆心之间的距离
外离
外切
相交
内切 内含(同心圆)
圆 与 圆 的
相离 相切
外离
内含 外切
位
内切
置 相交
关
系
请同学们找一找生活中 圆与圆位置关系的例子
两圆相切的性质:相切两圆的连心线 经过切点.
两圆位置关系的性质与判定:
演示
0
两圆外离
两圆外切
两圆相交
同 心圆两两圆圆内 内内含切 含
位置关系 d 和R、 r关系 交 位
性R―质r
d R+r
点置
d >R+ r 0
关
d =R+ r 1
系
判定 内
R− r <d <R+ r 2
外
数
切
R− r =d切 相 交R− r >d
2 新 北 京0 新0 8 奥 运
认真观察 观察结果
外离:两圆无公共点,并且每个圆上的点都在另一个
圆的外部时,叫两圆外离.
切点
外切:两圆有一个公共点,并且除了公共点外,每个
相交 O1O2=7cm O1O2=5cm
O外1O2=切0.5cm O1O2=0cm 内含 同心圆
三、定圆⊙ O半径为4cm， 动圆⊙ P半径为1cm
（1）当两圆外切时OP为 运动？即P点的轨迹是
cm？点P在什么样的圆上 。
（2）当两圆内切时OP为 上运动？即P点的轨迹是
cm？点P在什么样的圆 。
个圆上的点都在另一个圆的内部时,叫两圆内切.
特例
内含:两圆无公共点,并且一个圆上的点都在
另一个圆的内部时,叫两圆内含.
连心线：过两圆心的直线 圆心距：两圆心之间的距离
外离
外切
相交
内切 内含(同心圆)
圆 与 圆 的
相离 相切
外离
内含 外切
位
内切
置 相交
关
系
请同学们找一找生活中 圆与圆位置关系的例子
两圆相切的性质:相切两圆的连心线 经过切点.
两圆位置关系的性质与判定:
演示
0
两圆外离
两圆外切
两圆相交
同 心圆两两圆圆内 内内含切 含
位置关系 d 和R、 r关系 交 位
性R―质r
d R+r
点置
d >R+ r 0
关
d =R+ r 1
系
判定 内
R− r <d <R+ r 2
外
数
切
R− r =d切 相 交R− r >d
2 新 北 京0 新0 8 奥 运
认真观察 观察结果
外离:两圆无公共点,并且每个圆上的点都在另一个
圆的外部时,叫两圆外离.
切点
外切:两圆有一个公共点,并且除了公共点外,每个
圆与圆有关的位置关系基础知识PPT
05
圆与圆和直线位置关系的 实际应用
几何作图
确定圆心位置
通过已知的两个点或一个点和一个半径，可以确定一个圆的圆心位 置。
确定半径长度
根据已知的两个点或一个点和一个角度，可以确定一个圆的半径长 度。
判断相交或相切
通过比较两个圆的圆心距和半径之和或半径之差，可以判断两个圆是 相交、相切还是相离。
建筑设计
性质
相交的直线与圆有两个公共点， 即交点。
判定
若圆心到直线的距离小于圆的半 径，则直线与圆相交。
相离
定义
当直线与圆心的距离大于圆的半径时，直线与圆 相离。
性质
相离的直线与圆没有公共点。
判定
若圆心到直线的距离大于圆的半径，则直线与圆 相离。
03
圆与圆和直线位置关系的 判定
圆心距与半径之和或差的关系
相离的两个圆心之间的距离大于两圆 的半径之和。
分类
根据相离的程度，可以分为外离和内 离两种情况。
02
圆与直线的位置关系
相切
定义
当直线与圆心的距离等于圆的半 径时，直线与圆相切。
性质
相切的直线与圆只有一个公共点， 即切点。
判定
若圆心到直线的距离等于圆的半径， 则直线与圆相切。
相交
定义
当直线与圆心的距离小于圆的半 径时，直线与圆相交。
当两个圆相交时，它们会有两个交点。
交点处的切线
在交点处，每个圆都有一个切线，这两个切线是平行的。
公共弦
两个圆相交时，连接两个交点的线段叫做公共弦。
相离的性质
两圆心距离
当两个圆相离时，它们的圆心之间的距离是两个圆的半径之和或 差。
无交点
当两个圆相离时，它们之间没有交点。
圆与圆的位置关系的课件
分离的条件
两个圆分离的条件是两圆的圆心 距大于两圆的半径之和且小于两
圆的半径之差。
分离的性质
分离的两个圆没有公共点，且它 们之间的距离等于两圆的圆心距。
05 圆与圆的位置关系的实例 分析
相切关系的实例分析
相切的定义
当一个圆心到另一个圆的圆周的距离等于该圆的半径时，称这两个 圆相切。根据相切的位置，可以分为内切和外切两种情况。
分离关系反映了两个圆的圆心和半径之间的关系，是圆与圆位
置关系中比较常见的一种。
分离的实际应用
03
在几何图形中，分离关系经常用于解决距离和角度的问题，如
求两圆的圆心距、两圆的夹角等。
06 总结与回顾
本课重点回顾
判断两圆位置关系的方法
通过比较两圆的圆心距与两圆半 径之和或差的大小关系来判断。
两圆相交的条件
圆与圆的位置关系的课件
目 录
• 引言 • 圆与圆的位置关系概述 • 圆与圆的位置关系的判定 • 圆与圆的位置关系的性质 • 圆与圆的位置关系的实例分析 • 总结与回顾
01 引言
主题简介
01
圆与圆的位置关系是几何学中的 重要概念，它描述了两个圆之间 相对位置的不同情况。
02
这些位置关系包括相交、相切和 相离，它们对于理解圆的性质和 解决实际问题具有重要意义。
尝试通过作图来直观理 解两圆的位置关系，加 深对知识的理解。
04
拓展学习：了解两圆相交、 相切、相离的几何性质，如 切线性质、切点弦性质等。
THANKS FOR WATCHING
感谢您的观看
圆心距小于两圆半径之和且大于 两圆半径之差。
两圆相切的条件
圆心距等于两圆半径之和或差。
圆与圆的位置关系
说课圆与圆的位置关系课件
总结词
通过几何推理和公理，证明两圆相离的条件和性质。
详细描述
首先，我们可以通过比较两圆的半径和圆心距，得出两 圆相离的条件是圆心距大于两圆半径之和或差。然后， 根据相离的定义，我们可以得出两圆相离的性质，如离 点的性质、离点与圆心连线与连心线夹角相等等。
内含关系的证明
总结词
通过几何推理和公理，证明一个圆内含于另一个圆的情况。
总结词
通过几何推理和公理，证明两圆相交的条件 和性质。
详细描述
首先，我们可以通过比较两圆的半径和圆心 距，得出两圆相交的条件是圆心距小于两圆 半径之和且大于两圆半径之差。然后，根据 相交的定义，我们可以得出两圆相交的性质 ，如交点的性质、交点与圆心连线与连心线
夹角相等、交弦的性质等。
相离关系的证明
详细描述
首先，我们可以通过比较一个圆的半径和另一个圆的半径及圆心距，得出一个圆内含于 另一个圆的条件是该圆的半径小于另一个圆的半径且该圆的圆心到另一个圆的圆心的距 离也小于另一个圆的半径。然后，根据内含的定义，我们可以得出内含的性质，如内含
的点和线段的性质等。
重合关系的证明
总结词
通过几何推理和公理，证明两个圆完全重合的情况。
分类
根据两圆交点的个数，可以将两 圆的位置关系细分为外离、内含 、外切、内切、相交五种。
判定方法
代数法
通过比较两圆的圆心距与两圆半径之 和或差的关系，来判断两圆的位置关 系。
几何法
通过观察两圆的交点个数或两圆是否 相切，来判断两圆的位置关系。
性质研究
两圆相交时，连心线 垂直平分两圆的公共 弦。
两圆相离时，连心线 与两圆的距离相等。
提高习题解析
总结词
应用知识解决实际问题
2圆和圆的位置关系课件
小 组交流
r1 O1
r2 O2
外离
d >r1+r2
r1 r2
O1
O2
外切
d =r1+r2
r1 r2 O1 O2
相交
|r1-r2 | < d < r1+r2
r1
O1 O2 r2
内切
0< d = | r1 - r2 |
r1
O
1
O2
r2
r1
O1O2r2
内含
同心圆 (一种特殊的内含)
0≤ d < | r1 - r2 |
27.5 圆和圆的位置关系(1)
操作演示
. O1
. O2
操作演示
. O1
. O2
操作演示
. O1
. O2
操作演示
. .O1 O2
操作演示
. .O1 O2
操作演示
. O1O2
归纳总结
两圆公共点的个数 与 两圆的位置关系： 两圆外离
两圆没有公共点
两圆相离
两圆内含
两圆外切
两圆有唯一公共点
两圆相切
例题讲解
解：设⊙A 、 ⊙B 、 ⊙C的两两外切，所以
x+ y=3 y+ z=5 z+ x=6
x=2 解得 y=1
z=4
所以⊙A 、⊙B 、⊙C的半径分别为2厘米、1厘米、 4厘米。
交流小结
小 结：
本节课有哪些收获？
d =0
归纳总结
圆和圆的位置关系与这两圆的半径及圆心距 （即两圆圆心的距离）的大小有关：
r 如果两圆半径分别为 r1 和 2 ,圆心距为d，那么
两圆外离 两圆外切
高中数学必修二教学课件圆与圆的位置关系共9张PPT
两圆五种位置关系中 两圆半径与圆心距的数量关系
图 形
公共 点个
数
性质 及判 定方
法
例题讲解
例1：判断下列两圆的位置关系
（1） x2 y2 4x 4 y 7 0
与 x2 y2 4x 10 y 13 0
（2）
x2
y2
4
与
x y
3 2cos 1 2cos
判断两圆位置关系的方法：
1.几何方法
小结：
1、圆和圆的五种位置关系、判断及应用。 2、相交两圆的有关计算。 3、圆的几何性质及运用。
A
O
Bx
6. 过两圆 x2 + y2 + 6x – 4 = 0
和 x2 + y2 + 6y – 28 = 0 的交点 且圆心在直线 x - y - 4 = 0上的圆方程是( ) (A)x2+y2+x-5y+2=0 (B)x2+y2-x-5y-2=0 (C)x2+y2-x+7y-32=0 (D)x2+y2+x+7y+32=0
的公切线有且仅有
条。
3. 求与点A(1,2)的距离为1，且与 点B(3,1)之距离为2的直线共有 条。
4.已知以C(- 4,3)为圆心的圆
与圆 x2 y2 1相切，求圆C的方程。
5.过圆 x2 + y2 = 4外一点 P( 3 , 4 )
作圆的两条切线，切点分别为数方法
例题讲解
例1：判断下列两圆的位置关系
（1） x2 y2 4x 4 y 7 0 与 x2 y2 4x 10 y 13 0
（2）
x2 y2 4
与
x y
32 1
图 形
公共 点个
数
性质 及判 定方
法
例题讲解
例1：判断下列两圆的位置关系
（1） x2 y2 4x 4 y 7 0
与 x2 y2 4x 10 y 13 0
（2）
x2
y2
4
与
x y
3 2cos 1 2cos
判断两圆位置关系的方法：
1.几何方法
小结：
1、圆和圆的五种位置关系、判断及应用。 2、相交两圆的有关计算。 3、圆的几何性质及运用。
A
O
Bx
6. 过两圆 x2 + y2 + 6x – 4 = 0
和 x2 + y2 + 6y – 28 = 0 的交点 且圆心在直线 x - y - 4 = 0上的圆方程是( ) (A)x2+y2+x-5y+2=0 (B)x2+y2-x-5y-2=0 (C)x2+y2-x+7y-32=0 (D)x2+y2+x+7y+32=0
的公切线有且仅有
条。
3. 求与点A(1,2)的距离为1，且与 点B(3,1)之距离为2的直线共有 条。
4.已知以C(- 4,3)为圆心的圆
与圆 x2 y2 1相切，求圆C的方程。
5.过圆 x2 + y2 = 4外一点 P( 3 , 4 )
作圆的两条切线，切点分别为数方法
例题讲解
例1：判断下列两圆的位置关系
（1） x2 y2 4x 4 y 7 0 与 x2 y2 4x 10 y 13 0
（2）
x2 y2 4
与
x y
32 1
圆与圆的位置关系课件
。
判定2
如果两个圆心之间的距离小于两圆 的半径之和且大于两圆的半径之差 ，则这两个圆是相交圆。
判定3
如果两个圆在平面上有一条且仅有 一条公共直线，则这两个圆是相交 圆。
03
相切圆的位置关系
相切圆的概念
相切圆
两个圆在某一点有且仅有一个公共点，则称这两个圆相切。
切线
与两个相切圆的公共点相切的直线。
切点
交点
两个圆在平面上有且仅有 一个公共点，这个公共点 称为两圆的交点。
交线
通过两个圆的交点所作的 直线，称为两圆的交线。
相交圆的性质
性质1
相交圆交点位于两圆的 连心线上。
性质2
相交圆的交点到两圆心的 距离相等。
性质3
相交圆的交点到两圆上任 一点的距离之和等于两圆 半径之和。
相交圆的判定
判定1
如果两个圆在平面上有且仅有一 个公共点，则这两个圆是相交圆
几何法
通过观察两圆的圆心距与两圆半 径之和、半径之差的关系，判断 两圆的位置关系。
几何意义
相交
两圆有且仅有一个公共点。
相切
两圆有一个公共点，且除该公共点外，两圆没有 其他公共点。
相离
两圆没有公共点。
02
相交圆的位置关系
相交圆的概念
01
02
03
相交圆
两个圆在平面上有且仅有 一个公共点，这个公共点 称为两圆的交点，这两个 圆称为相交圆。
圆与圆的位置关系课件
目 录
• 圆与圆的位置关系概述 • 相交圆的位置关系 • 相切圆的位置关系 • 相离圆的位置关系
01
圆与圆的位置关系概述
定义与分类
定义
两个圆在平面上的相对位置关系。
判定2
如果两个圆心之间的距离小于两圆 的半径之和且大于两圆的半径之差 ，则这两个圆是相交圆。
判定3
如果两个圆在平面上有一条且仅有 一条公共直线，则这两个圆是相交 圆。
03
相切圆的位置关系
相切圆的概念
相切圆
两个圆在某一点有且仅有一个公共点，则称这两个圆相切。
切线
与两个相切圆的公共点相切的直线。
切点
交点
两个圆在平面上有且仅有 一个公共点，这个公共点 称为两圆的交点。
交线
通过两个圆的交点所作的 直线，称为两圆的交线。
相交圆的性质
性质1
相交圆交点位于两圆的 连心线上。
性质2
相交圆的交点到两圆心的 距离相等。
性质3
相交圆的交点到两圆上任 一点的距离之和等于两圆 半径之和。
相交圆的判定
判定1
如果两个圆在平面上有且仅有一 个公共点，则这两个圆是相交圆
几何法
通过观察两圆的圆心距与两圆半 径之和、半径之差的关系，判断 两圆的位置关系。
几何意义
相交
两圆有且仅有一个公共点。
相切
两圆有一个公共点，且除该公共点外，两圆没有 其他公共点。
相离
两圆没有公共点。
02
相交圆的位置关系
相交圆的概念
01
02
03
相交圆
两个圆在平面上有且仅有 一个公共点，这个公共点 称为两圆的交点，这两个 圆称为相交圆。
圆与圆的位置关系课件
目 录
• 圆与圆的位置关系概述 • 相交圆的位置关系 • 相切圆的位置关系 • 相离圆的位置关系
01
圆与圆的位置关系概述
定义与分类
定义
两个圆在平面上的相对位置关系。
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0 1
一圆在另一 圆的外部
一圆在另一 圆的外部
d>R+r d=R+r R-r<d<R+r d=R-r d<R-r 相 切
相 离
相交 内切 内含
2
1 0
两圆相交
一圆在另一 圆的内部
一圆在另一 圆的内部
思考题 已知⊙01和⊙02的半径分别为R和r(R>r), 圆心距为d,若两圆相交,试判定关于x的方 程x2-2(d-R)x+r2=0的根的情况。
d>R+r d=R+r R-r<d<R+r d=R-r
d<R-r
判 定
演示
练习1 ⊙01和⊙ 02 的半径分别为3cm 和 4 cm ,设 (1) 0102= 8cm (2) 0102 = 7cm (3) 0102 =5cm (4) 0102 = 1cm (5) 0102=0.5cm (6) 01和02重合 ⊙0和⊙02的位置关系怎样?
解: △ =b2－4ac =4(d－R)2－4r2 =4(d－R+r)(d－R－r) ∴ d－(R－r)>0
d－(R－r)<0
∴ △ <0 ∴ 方程没有实数根
=4[d－(R－r)][d－(R+r)]
∵两圆相交 ∴R－ r < d < R+ r
解: △ =b2－4ac =4(d－R)2－4r2 =4(d－R+r)(d－R－r) ∴ d－(R－r)>0
d－பைடு நூலகம்R－r)<0
∴ △ <0 ∴ 方程没有实数根
=4[d－(R－r)][d－(R+r)]
∵两圆相交 ∴R－ r < d < R+ r
课堂小结
名称 公共点 两圆位置 圆心距和半径的关系
外离 外切
复习引入
1。直线和圆的位置关系有几种？
直线和圆相离 直线和圆相切 <=> <=> d > r d = r
直线和圆相交
<=>
d < r
演示
观察演示，考察两圆的位置关系并观察 两圆公共点的个数。
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
演示
1 两个圆没有公共点，并且每个圆上的点都 在另一个圆的外部时，叫做这两圆外离。 2 两个圆有唯一的公共点，并且除了这个公 共点以外，每个圆上的点都在另一个圆的外 部时，叫做这两个外切。这个唯一的公共点 叫做切点。 3 两个圆有两个公共点时,叫做这两个圆相交 4 两个圆有唯一的公共点，并且除了这个公共 点以外，一个圆上的点都在另一个圆的内部时 ，叫做这两个圆内切。这个唯一的公共点叫做 切点。 5 两个圆没有公共点，并且一个圆上的点都在 另一个圆的内部时，叫做这两个圆内含。 两个同心圆是两圆内含的一种特例。
R+ r =5 ,
R· = 5, r
Rr 25 20 5 a
d=2,
∴
d＜
Rr
∴ ⊙01 与⊙ 02内含．
01
.
T
.
02
T
.. 0
1
02
我们知道，圆是轴对称图形，两个圆也组成 一 个轴对称图形，通过两圆圆心的直线(连心线) 是 它们的对称轴。
由此可得： 1．相切时，连心线过切点 ２．相切时，公切线⊥连心线
答: (1)两圆外离
(3)两圆相交
(2)两圆外切
(4)两圆内切
(5)两圆内含
(6)两圆同心
例1：已知⊙01和⊙ 02的圆 心距d=2，两圆半径R和r是方程 x2-5x+5=0的两根. 试求⊙01和 ⊙ 02的位置关系.
解： 解：由韦达定理：
由韦达定理:
R+ r =5 , d=2 , ∵d＜R+r, ∴⊙O1与 ⊙O2 相交
解 ： 设大圆半径 R = 3x,小圆半径 r = 2x 由题意得： 3x-2x=8 , 得x=8
∴ R=24 cm ， r=16cm ∵ 两圆相交 时， R-r<d<R+r
∴ 8cm<d<40cm
思考题 已知⊙01和⊙02的半径分别为R和r(R>r), 圆心距为d,若两圆相交,试判定关于x的方 程x2-2(d-R)x+r2=0的根的情况。
通过演示，得两圆有如下五种位置关系
（1）
外离
（2）
外切
（3）
相交
（4）
内切
（5）
内含
演示
性 质
观察图，可以发现，当两圆的半径 一定时，两圆的位置关系与两圆圆心的 距离的大小有关。设两圆的半径分别为 R和r (R>r), 圆心距为d ，那么：
(1)两圆外离 (2)两圆外切 (3)两圆相交 (4)两圆内切 (5)两圆内含
Ａ
01 Ｂ
.
.
02
３．相交时，连心线 垂直平分 公共弦
····
例2:如图⊙O的半径为5cm，点P是⊙O外 一点，OP=8cm。 求：(1)以P为圆心作⊙P与⊙O外切，小圆⊙P 的半径是多少? (2)以P为圆心作⊙P与⊙O内切，大圆⊙P 的半径是多少?
解：(1)设⊙O与⊙P外切 于点A，则 PA=OP-OA ∴ PA=3 cm
(1) 解:∵⊙0和⊙P相外切 ∴OP＝ R + r ∴OP=5cm ∴ P点在以O点为圆心,以5cm 为半径的圆上运动 (2) 解: ∵⊙0和⊙P相内切 ∴ OP=R-r ∴OP=3cm ∴ P点在以O点为圆心,以3cm 为半径的圆上运动
演示
练习4 两个圆的半径的比为2 : 3 ,内切时圆心距等 于 8cm,那么这两圆相交时,圆心距d的取值 范围是多少?
(2)设⊙O与⊙P内切 B 于点B，则 PB=OP+OB ∴ PB=13 cm.
5
5
.
0
A
5 3
.
P
5
练习2:半径为1和2的⊙O1、⊙O2外切与T， 则半径为3且与这两圆都相切的圆有多少个？
O
3 3
O1 1 T 2
·
·
O2
答: 5个
练习3
定圆0的半径是4cm,动圆P的半径是1cm, (1) 设⊙ P和⊙ 0相外切,那么点P与点O的距离 是多少?点P可以在什么样的线上运动? (2) 设⊙ P 和 ⊙O 相内切,情况又怎样?