几个常用函数的导数
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导数及其应用
§1．2 导数的计算 1．2.1 几个常用函数的导数
1．掌握各基本初等函数的求导公式，能根据导数定义． 2．求几个常用函数y＝c，y＝x，y＝x2，y＝1x 的导数．
基础梳理
1．公式1：C′＝0(C为常数)． f(x)＝－80，则f′(x)＝___0_____. 2．公式2：(xn)′＝nxn－1(n∈R)． y＝x4 ，y′＝___4_x_3_____.
解析：点P(－1,3)在曲线上，k＝f′(－1)＝－4，切线方程 为y－3＝－4(x＋1)，即4x＋y＋1＝0.
跟踪训练
2．若曲线y＝x
1 2
在点
源自文库
，
-
1 2
处的切线与两坐标轴围
成的三角形的面积为18，则a＝( )
A．64
B．32
C．16
D．8
分析：本试题主要考查求导法则、导数的几何意义、切 线的求法和三角形的面积公式，考查考生的计算能力．
分析： (1)对于简单函数的求导，关键是合理转化函数的
关系式为可以直接应用公式的基本函数的模式，如y＝x14 可以 写成y＝x－4，y＝5 x3＝x35等，这样就可以直接使用幂函数的求 导公式求导，以免在求导过程中出现指数或系数的运算失误．
利用所求导数解决简单几何问题
求曲线y＝2x2＋1在点P(－1,3)处的切线方程．
5
直接用导数公式求函数的导数 求下列函数的导数： (1)(x6)′＝________；(2)x12′＝________.
答案：(1)6x5
(2)－2x－3
跟踪训练
1．(1)求下列函数的导数：
①y＝x12；②y＝
1 x4
；③y＝5 x3 .
(2)设f(x)＝10x，则f′(1)＝__________.
3．公式3：(sin x)′＝cos x.
公式4：(cos x)′＝－sin x.
4．公式5：(ax)′＝axln a.
公式6：(ex)′＝ex.
y＝4x ，y′＝__4_xl_n_4_.
5．公式7：(logax)′＝
1 xln
a
.
公式8：(ln x)′＝1x .
1
y＝log4x ，y′＝__x_ln_4__.
自测自评
1．下列各式正确的是( D )
A．(logax)′＝
1 x
C．(3x)′＝3x
B．(logax)′＝lnx10 D．(3x)′＝3xln 3
2．曲线y＝－x3＋3x2在点(1,2)处的切线方程为( A )
A．y＝3x－1
B．y＝－3x＋5
C．y＝3x＋5
D．y＝2x
3．下列各式正确的是( B ) A．(sin α)′＝cos α(α为常数) B．(cos x)′＝－sin x C．(sin x)′＝－cos x D．(x－5)′＝－1 x－6
B．(2,4)
C.12，14
D.－12，14
6．下列函数满足f(x)＝f′(x)的是( C )
A．f(x)＝2x
B．f(x)＝x
C．f(x)＝0
D．f(x)＝1
7．如果f(x)＝sin x，则f′(6π)＝____1____.
8．设f(x)＝2x，则f′(x)＝__2_x_l_n_2____；设f(x)＝ln x，则
(1) ( 3 x )′＝__13__x _23___；
(2)
1
5
x2
′＝___ _52__x _75_____.
（ B）
4．函数y＝cos
x在x＝
π 6
处的切线的斜率为(
D
)
3 A. 2
1 C.2
B．－
3 2
D．－12
5．在曲线y＝x2上切线的倾斜角为
3π 4
的点是(
D
)
A.π8，π82
＝
1
解析：y′＝
1
3
x2
，∴k＝
2
3
2
(x－a)；令x＝0得y＝ 3
1 2
1 2
3
2 ，切线方程是y－
1 2
；令y＝0得x＝3a，∴三角
2
形的面积是S＝ 1
·3a·3
1 2
2
＝18.解得a＝64.故选A.
2
2
答案：A
1．给出下列结论：
其中正确的个数是（ B ）
A.0
B.1
C.2
D.3
2．求下列函数的导数：
1
f′(3)＝_3_________.
9．如果曲线y＝xn在x＝2处的导数为12，则n＝__3______.
① ②
熟记各基本初等函数的求导公式．
§1．2 导数的计算 1．2.1 几个常用函数的导数
1．掌握各基本初等函数的求导公式，能根据导数定义． 2．求几个常用函数y＝c，y＝x，y＝x2，y＝1x 的导数．
基础梳理
1．公式1：C′＝0(C为常数)． f(x)＝－80，则f′(x)＝___0_____. 2．公式2：(xn)′＝nxn－1(n∈R)． y＝x4 ，y′＝___4_x_3_____.
解析：点P(－1,3)在曲线上，k＝f′(－1)＝－4，切线方程 为y－3＝－4(x＋1)，即4x＋y＋1＝0.
跟踪训练
2．若曲线y＝x
1 2
在点
源自文库
，
-
1 2
处的切线与两坐标轴围
成的三角形的面积为18，则a＝( )
A．64
B．32
C．16
D．8
分析：本试题主要考查求导法则、导数的几何意义、切 线的求法和三角形的面积公式，考查考生的计算能力．
分析： (1)对于简单函数的求导，关键是合理转化函数的
关系式为可以直接应用公式的基本函数的模式，如y＝x14 可以 写成y＝x－4，y＝5 x3＝x35等，这样就可以直接使用幂函数的求 导公式求导，以免在求导过程中出现指数或系数的运算失误．
利用所求导数解决简单几何问题
求曲线y＝2x2＋1在点P(－1,3)处的切线方程．
5
直接用导数公式求函数的导数 求下列函数的导数： (1)(x6)′＝________；(2)x12′＝________.
答案：(1)6x5
(2)－2x－3
跟踪训练
1．(1)求下列函数的导数：
①y＝x12；②y＝
1 x4
；③y＝5 x3 .
(2)设f(x)＝10x，则f′(1)＝__________.
3．公式3：(sin x)′＝cos x.
公式4：(cos x)′＝－sin x.
4．公式5：(ax)′＝axln a.
公式6：(ex)′＝ex.
y＝4x ，y′＝__4_xl_n_4_.
5．公式7：(logax)′＝
1 xln
a
.
公式8：(ln x)′＝1x .
1
y＝log4x ，y′＝__x_ln_4__.
自测自评
1．下列各式正确的是( D )
A．(logax)′＝
1 x
C．(3x)′＝3x
B．(logax)′＝lnx10 D．(3x)′＝3xln 3
2．曲线y＝－x3＋3x2在点(1,2)处的切线方程为( A )
A．y＝3x－1
B．y＝－3x＋5
C．y＝3x＋5
D．y＝2x
3．下列各式正确的是( B ) A．(sin α)′＝cos α(α为常数) B．(cos x)′＝－sin x C．(sin x)′＝－cos x D．(x－5)′＝－1 x－6
B．(2,4)
C.12，14
D.－12，14
6．下列函数满足f(x)＝f′(x)的是( C )
A．f(x)＝2x
B．f(x)＝x
C．f(x)＝0
D．f(x)＝1
7．如果f(x)＝sin x，则f′(6π)＝____1____.
8．设f(x)＝2x，则f′(x)＝__2_x_l_n_2____；设f(x)＝ln x，则
(1) ( 3 x )′＝__13__x _23___；
(2)
1
5
x2
′＝___ _52__x _75_____.
（ B）
4．函数y＝cos
x在x＝
π 6
处的切线的斜率为(
D
)
3 A. 2
1 C.2
B．－
3 2
D．－12
5．在曲线y＝x2上切线的倾斜角为
3π 4
的点是(
D
)
A.π8，π82
＝
1
解析：y′＝
1
3
x2
，∴k＝
2
3
2
(x－a)；令x＝0得y＝ 3
1 2
1 2
3
2 ，切线方程是y－
1 2
；令y＝0得x＝3a，∴三角
2
形的面积是S＝ 1
·3a·3
1 2
2
＝18.解得a＝64.故选A.
2
2
答案：A
1．给出下列结论：
其中正确的个数是（ B ）
A.0
B.1
C.2
D.3
2．求下列函数的导数：
1
f′(3)＝_3_________.
9．如果曲线y＝xn在x＝2处的导数为12，则n＝__3______.
① ②
熟记各基本初等函数的求导公式．