第七章 玻耳兹曼经典统计和量子统计的应用
《热力学与统计物理》 第七章 玻尔兹曼统计
L
dnz 2 dkz （偏振方向）
在V内,在范围 k k dk 内,辐射场振动自由度为:
4 k 2Vdk 4 3
, 且
ck ,
在V内,在范围 d 内,辐射场振动自由度为:
D(
)d
V
2c3
2d
在V内,在范围 d 内,辐射场平衡辐射的内能为:
U d
D( )kTd
V
2c3
2kTd
dS Nkd(ln Z ln Z ),
S Nk(ln Z ln Z )
五. 玻耳兹曼关系式及熵的物理意义
e N ln Z ln N
Z
S=klnΩ
S k[N ln N N U]
k[N ln N ( l )al ]
l
k[N ln N al ln al al lnl ]
定义和一般的量子系统;
3,热力学第二定律的统计解释
宏观:平衡态时熵最大（熵增加原理）;
微观:平衡态时，系统无序度（即混乱度）最高;
4,热力学第三定律的统计解释
宏观:绝对温度趋於零时，系统的熵趋於零;
微观:系统中的粒子是能量子化的，当绝对温度趋於零时，
系统中各粒子处於能量最低的状态，此时微观状态数
Ω趋於1，由玻尔兹曼关系知S趋於零。
二.配分函数与物态方程
Z
e
dl
h3
1 h3
e
2m
(
p2x
p2y
pz2
)
dxdydzdpx
dp
y
dpz
1
h3
dxdydz
e dp
2m
p2x
x
e dp
2m
p2y
y
第七章玻耳兹曼统计教案分析
第七章玻⽿兹曼统计教案分析热⼒学与统计物理课程教案第七章玻⽿兹曼统计 7.1 热⼒学量的统计表达式⼀、定域系统的内能、⼴义⼒和熵统计表达式在§6.8说过,定域系统和满⾜经典极限条件的玻⾊系统都遵从玻⽿兹曼分布。
本章根据玻⽿兹曼分布讨论这两类系统的热⼒学性质。
本节⾸先推导热⼒学量的统计表达式。
内能是系统中粒⼦⽆规则运动总能量的统计平均值.所以 ∑∑--==lβεαl l ll l l e ωεεa U ①引⼊函数1Z :∑-=lβεl l e εZ 1 ②名为粒⼦配分函数。
由式∑--=lβεαl l e ωN ②，得：1Z e e ωe N αlβεl αl ---==∑ ③上式给出参量α与N 和1Z 的关系,可以利⽤它消去式①中的α。
经过简单的运算,可得：11ln Z βZ N e ωβe e ωεe U l βεl αl βεl l αll ???? ????-=???? ????-==∑∑---- ④式④是内能的统计表达式。
在热⼒学中讲过,系统在程中可以通过功和热量两种⽅法与外界交换能量。
在⽆穷⼩过程中，系统在过程前后内能的变化dU 等于在过程中外界对系统所作的功W d 及系统从外界吸收的热量Q d 之和：Q d W d dU +=。
如果过程是准静态的, W d 可以表达为Ydy 的形式,其中dy 是外参量的改变量,Y 是外参量y 相应的外界对系统的⼴义作⽤⼒。
粒⼦的能量是外参量的函数。
由于外参量的改变,外界施于处于能级l ε的⼀个粒⼦的⼒为yεl。
因此，外界对系统的⼴义作⽤⼒Y 为： 11ln 11Z y βN Z y βe e ωy βe e ωy εa y εY αl βεl αβεαl ll l ll l l ??-=-= -===-----∑∑∑⑤式⑤是⼴义作⽤⼒的统计表达式。
它的⼀个重要例⼦是：1ln Z VβN P ??=在⽆穷⼩的准静态过程中,当外参量有dy 的改变时,外界对系统所作的功是：l ll l llεd a a y εdy Ydy ∑∑=??= 将内能∑=ll l εa U 求全微分,有：l ll ll l da εεd a dU ∑∑+=上式指出,内能的改变可以分成两项，第⼀项是粒⼦分布不变时由于能级改变⽽引起的内能变化，第⼆项是粒⼦能级不变时由于粒⼦分布改变所引起的内能变化。
[物理]统计物理第七章-5-9
![[物理]统计物理第七章-5-9](https://img.taocdn.com/s3/m/3d489573312b3169a451a4ce.png)
2.6固体热容量的爱因斯坦理论
研究对象：固体 定域系统。
用量子讨论的原因：低温范围经典统计能量 均分定理的结果与实验不符。
2.6固体热容量的爱因斯坦理论
固体中原子热运动 3N个频率相同的振子
1 振子能级： n (n 2 ), n 0,1, 2
遵从玻耳兹曼分布
配分函数：Z1 e
3. 经典统计不能解释的问题
上节重点
遗留问题： 原子内电子对热容量没有贡献。 氢气低温性质。 两原子相对运动。 固体在低温范围热容量。 金属中自由电子热容量。 内能和定容热容量发散。
马克斯· 普朗克
Max Karl Ernst Ludwig Planck
德国物理学家 量子物理学的开创者和奠基人，被 誉为“量子之父”。 创立了量子理论，这是物理学史上 的一次巨大变革。从此结束了经典 物理学一统天下的局面。 1918年诺贝尔物理学奖获得者。 h=6.626×10-34焦尔秒 = 6.626×10-27尔格秒
2 8 I r Z1 2 h0
t CV
3 Nk 2
v CV Nk
r CV Nk
本节重点
1. 量子统计的双原子分子理想气体的内能和 热容量：
平动 振动 转动
2. 由配分函数求热力学量的玻耳兹曼统计一 般程序。
阿尔伯特· 爱因斯坦
1879年3月-1955年4月 德裔美国科学家 现代物理学的开创者和奠基人 狭义相对论 质能方程：E＝mc^2 广义相对论 波色－爱因斯坦凝聚 1921年获诺贝尔物理学奖 《罗素—爱因斯坦宣言》—世界和平
氢的低温性质: • H2分子转动惯量小 • 转动特征温度大 • 低温 r / T 1 不成 立 • 能量均分定理对氢就 不再适用 • 求级数，再求转动热 容量
量子统计与经典统计的对比分析
量子统计与经典统计的对比分析引言：量子统计和经典统计是两个重要的统计物理学分支，它们分别适用于微观和宏观尺度的系统。
本文将对两者进行对比分析，探讨它们的异同以及在不同领域的应用。
一、基本概念1. 经典统计经典统计是基于经典力学和经典概率论的统计方法。
它适用于大量粒子组成的系统，其中粒子之间的相互作用可以忽略不计。
经典统计以玻尔兹曼分布为基础，通过统计系统中粒子的位置和动量分布来描述宏观物理量的统计行为。
2. 量子统计量子统计是基于量子力学的统计方法，适用于微观尺度的系统，如原子、分子和凝聚态物质。
量子统计考虑了粒子的波粒二象性，粒子之间存在波函数的干涉和量子力学的不确定性原理。
量子统计以费米-狄拉克分布和玻色-爱因斯坦分布为基础，描述了系统中不同类型粒子的分布行为。
二、粒子统计1. 经典统计在经典统计中，粒子被视为可区分的，遵循玻尔兹曼分布。
粒子之间的位置和动量是连续的，可以通过经典概率论来描述。
经典统计适用于大量粒子组成的系统，如气体和固体。
2. 量子统计在量子统计中，粒子被视为不可区分的，遵循费米-狄拉克分布或玻色-爱因斯坦分布。
粒子之间的位置和动量是离散的，需要使用量子力学的数学工具来描述。
量子统计适用于微观尺度的系统，如原子和凝聚态物质。
三、统计行为1. 经典统计经典统计中，系统的宏观物理量可以通过统计平均值来描述，如平均能量、平均速度等。
经典统计下的系统呈现出连续性和可预测性的特点。
2. 量子统计量子统计中，系统的宏观物理量需要通过量子力学的平均值计算来描述，如能级分布、激发态密度等。
量子统计下的系统呈现出离散性和不确定性的特点。
四、应用领域1. 经典统计经典统计广泛应用于宏观尺度的系统，如天体物理学、流体力学和热力学等。
在这些领域中，粒子数目巨大，粒子之间的相互作用可以忽略不计。
2. 量子统计量子统计主要应用于微观尺度的系统，如原子物理学、凝聚态物理学和量子信息科学等。
在这些领域中，粒子数目较小，粒子之间的相互作用和量子效应起着关键作用。
粒子的量子统计与玻尔兹曼分布
粒子的量子统计与玻尔兹曼分布在物理学中，粒子的量子统计是研究粒子行为的一门重要学科。
根据粒子的自旋性质，可以将粒子分为两类：玻色子和费米子。
玻色子遵循玻色-爱因斯坦统计，而费米子遵循费米-狄拉克统计。
这两种统计规律对于理解粒子行为和物质性质具有重要意义。
玻色子是一类自旋为整数的粒子，如光子和声子。
根据玻色-爱因斯坦统计，玻色子可以占据同一个量子态，即多个玻色子可以处于相同的能级上。
这一特性被称为玻色子的集体性质。
玻色子的集体行为在凝聚态物理中起到重要作用，如玻色-爱因斯坦凝聚和超流现象。
玻色子的集体性质使得它们能够形成宏观量子态，展现出奇特的行为。
费米子是一类自旋为半整数的粒子，如电子和质子。
根据费米-狄拉克统计，费米子不允许多个粒子占据同一个量子态，即费米子的排斥性原理。
这一原理是由保守性原理和泡利不相容原理推导出来的。
费米子的排斥性使得物质具有稳定的结构，如原子和分子。
此外，费米子还表现出一种奇特的现象，即超导现象。
在超导体中，费米子形成库珀对，以零电阻的方式流动。
玻尔兹曼分布是描述粒子在热平衡状态下的分布规律。
根据玻尔兹曼分布，粒子在不同能级上的分布概率与能级的指数函数成正比。
这一分布规律与粒子的量子统计有关。
对于玻色子来说，由于它们可以占据同一个量子态，因此在低温下会出现玻色-爱因斯坦凝聚现象，即大部分玻色子聚集在能级最低的态上。
而对于费米子来说，由于它们的排斥性原理，无法占据同一个量子态，因此在低温下会出现费米-狄拉克分布，即费米子填满能级直到费米能级。
玻尔兹曼分布在统计物理学中具有广泛的应用。
通过研究粒子在不同能级上的分布，可以推导出物质的热力学性质，如熵和内能。
同时，玻尔兹曼分布也为我们理解物质的相变提供了重要的依据。
在相变点附近，粒子的分布会发生剧烈的变化，从而导致物质的性质发生巨大的变化。
总之，粒子的量子统计与玻尔兹曼分布是研究粒子行为的重要学科。
玻色子和费米子的量子统计规律决定了粒子的集体性质和排斥性质。
第七章节-玻尔兹曼统计
在准静态过程中,系统从外界所吸收的热量等于 粒子在各能级重新分布所增加的内能. 根据热力学第二定律
dQ不是全微分，与过程有关，有一积分因子， 除以T后得全微分dS,dS是全微分
BEIJING NORMAL UNIVERSITY
BEIJING NORMAL UNIVERSITY
积分因子
熵的统计表达式
3 U = NkT 2
BEIJING NORMAL UNIVERSITY
麦克斯韦速度分布律
讨论气体分子作无规热运动时，气体分子质心的平移 运动速度所表现出来的统计分布规律。 一、麦克斯韦速度分布律 1859年，麦克斯韦在研究分子相互碰撞作无规则运 动时，得到了气体分子按其质心速度分布的统计规律 麦克斯韦速度分布律
物态方程
∂ ln Z 注：也可直接利用公式 p = NkT 计算 ∂V
⎛ ∂F ⎞ S = −⎜ ⎟ ⎝ ∂T ⎠V
2πmk 3 3 3 = Nk ln V + Nk ln 2 + Nk ln T + Nk 2 h 2 2
3 = Nk ln V + Nk ln T + S 0 2
BEIJING NORMAL UNIVERSITY
熵的统计表达式，Boltzmann 关系
BEIJING NORMAL UNIVERSITY
由于
特性函数，自由能
量子情况下，粒子不可分辨性带来的差别
BEIJING NORMAL UNIVERSITY
计算单原子分子理想气体的熵：
3 3 2πmkT S = Nk + Nk ln V + Nk ln( ) 2 2 2 h
(ⅰ)系统在热力学过程中的规律 (ⅱ)系统的基本热力学函数
玻耳兹曼统计内容及应用
玻耳兹曼统计内容及应用玻耳兹曼统计是物理学中的一种统计力学方法，用于描述大量粒子的行为和性质。
它是由奥地利物理学家路德维希·玻耳兹曼提出的，为了解释气体的热力学性质和熵的概念。
玻耳兹曼统计在理论物理、材料科学、化学等领域都有着广泛的应用，对于研究和理解物质的微观结构和宏观性质有着重要的意义。
玻耳兹曼统计是统计物理学的一个重要分支，在其基础上建立了统计力学的一般原理，并与热力学结合，使其能够应用于复杂系统的研究。
玻耳兹曼统计是基于微观粒子的运动状态和能量分布来描述宏观系统的性质的一种方法，在理想气体或者近似理想气体的情况下特别适用。
在这样的系统中，粒子之间的相互作用可以忽略，且粒子的能级分布服从玻耳兹曼分布，即服从玻耳兹曼分布的系统的分布函数为：\[f(E) = Ce^{-E/kT}\]其中，\(f(E)\)为能级为E的粒子的分布函数，C为一个常数，\(k\)为玻尔兹曼常数，\(T\)为系统的温度。
这个分布函数描述了系统中不同能级上的粒子数目与能级之间的关系，以此来描述系统的宏观性质。
玻耳兹曼统计的主要内容包括以下几个方面：1. 系统的分布函数：上述玻耳兹曼分布即描述了系统中粒子的能级分布，由此可以计算出系统的内能、熵等热力学性质。
2. 系统的热力学性质：玻耳兹曼统计可以通过能级分布函数计算系统的内能、熵、自由能等各种热力学性质，从而可以有效地描述系统的热力学行为。
3. 统计力学的基本原理：玻耳兹曼统计建立了统计力学的基本原理，即将微观粒子的行为统计平均后得到宏观系统的性质，为理解和描述复杂系统提供了基础。
4. 热力学中的熵：玻耳兹曼统计的提出对于熵的概念有着重要的影响，将熵与微观粒子的排列方式联系在了一起，从而深化了对熵的理解。
玻耳兹曼统计的应用非常广泛，以下是几个典型的例子：1. 理想气体的性质：理想气体是玻耳兹曼统计的典型应用对象，可以通过玻耳兹曼分布计算气体的内能、熵等性质，并且可以解释气体的热力学行为。
量子力学中的统计描述和玻尔兹曼熵
量子力学中的统计描述和玻尔兹曼熵量子力学是描述微观世界的理论，它提供了一种统计描述微观粒子行为的方法。
在量子力学中，我们可以使用统计力学的概念来描述粒子的状态和性质。
其中，玻尔兹曼熵是一个重要的概念，用于描述系统的混乱程度和不确定性。
本文将介绍量子力学中的统计描述和玻尔兹曼熵，并探讨其在物理学中的应用。
在经典力学中，我们可以通过粒子的位置和动量来完全描述系统的状态。
然而，在量子力学中，由于测不准原理的存在，我们无法同时准确地确定粒子的位置和动量。
相反，我们只能通过概率分布来描述粒子的状态。
这就引入了统计描述的概念。
在量子力学中，我们使用密度矩阵来描述系统的状态。
密度矩阵是一个描述系统混合态的矩阵，它包含了系统的所有可能状态和对应的概率。
通过对密度矩阵的分析，我们可以得到系统的各种性质，如能量、熵等。
在统计描述中，玻尔兹曼熵是一个衡量系统混乱程度和不确定性的指标。
它定义为系统的熵减去系统的平均能量乘以温度的倒数。
玻尔兹曼熵可以用来描述系统的有序程度和热力学性质。
当系统趋于有序时，玻尔兹曼熵趋于零；当系统趋于混乱时，玻尔兹曼熵趋于最大值。
玻尔兹曼熵在物理学中有广泛的应用。
首先，它可以用来描述系统的热力学性质。
根据热力学第二定律，系统的熵在一个孤立系统中总是增加的。
通过计算系统的玻尔兹曼熵，我们可以确定系统的热力学性质和演化趋势。
其次，玻尔兹曼熵还可以用来描述系统的量子纠缠性质。
量子纠缠是量子力学中的一种特殊现象，它描述了两个或多个粒子之间的非局域关联。
通过计算系统的玻尔兹曼熵，我们可以确定系统中的量子纠缠程度和纠缠的稳定性。
此外，玻尔兹曼熵还可以用来描述系统的信息性质。
根据信息论的原理，信息熵是描述信息的不确定性和随机性的指标。
通过计算系统的玻尔兹曼熵，我们可以确定系统的信息熵和信息的传输效率。
总之，量子力学中的统计描述和玻尔兹曼熵是描述微观粒子行为的重要工具。
通过统计描述，我们可以了解系统的状态和性质；通过玻尔兹曼熵，我们可以描述系统的混乱程度和不确定性。
第七章玻耳兹曼统计教学内容1、玻尔兹曼统计中粒子配分
第七章 玻耳兹曼统计教学内容：1、玻尔兹曼统计中粒子配分函数的量子和经典表达式、热力学量的统计表达式；2、由玻尔兹曼统计求理想气体的物态方程；3、由玻尔兹曼分布推求麦克斯韦速度、速率分布律，碰壁数；4、爱因斯坦固体热容量理论的假设和结论。
教学目的：1、理解玻耳兹曼分布是近独立粒子孤立系统在统计平衡态下处于热力学几率最大的宏观分布时粒子数按能量分布的规律。
粒子的配分函数是由和外参量等决定的状态函数。
理解玻耳兹曼关系式。
理解经典的能量均分定理应用于固体和双原子分子理想气体系统求热容量严重偏离实验结果的原因，并由能量的量子化定性解释实验结果。
2、简单应用：由玻耳兹曼分布律求其它分布律，由配分函数求理想气体（单原子分子）系统的热力学函数。
3、综合运用：应用压强的微观实质思想计算分子的碰壁数，用量子玻耳兹曼分布律求理想固体（爱因斯坦模型）的热容量。
玻耳兹曼统计：假设系统由大量定域的全同近独立粒子组成，具有确定的粒子数N ，能量E ，体积V 。
N 个粒子的在各能级的分布可以描述如下： 能 级 12,,,,l εεε … 简 并 度 12,,,,l ωωω … 粒 子 数 12,,,,l a a a … 约束条件：l la N =∑，l l la E ε=∑定域系统和满足经典极限条件的玻色和费米系统都遵从玻耳兹曼分布：l l l a e αβεω--=。
其中系数α与β由l la N =∑与l l la E ε=∑确定。
总能量是系统在某平衡态下的全部能量，包括系统作整体运动时的宏观动 能，在重力场中的势能，以及与系统整体运动和重力场存在无关的内能，是系统内部分子无规则热运动的全部能量。
因此在这里我们所说的总能量E 即总的内能U 。
§7.1 热力学量的统计表达式在§6.8说过，定域系统以及满足经典极限条件的玻色系统和费米系统都遵从玻耳兹曼分布。
本章根据玻耳兹曼分布讨论这两类系统的热力学性质。
本节首先推导热力学量的统计表达式。
玻尔兹曼统计
al
e l l
ln l
al
l
ln M .B. N ln N al ( l )
l
N (ln N ) all l
又
e
N Z1
f1
ln Z1
ln N
l
al l
U
N
f1
ln
M .B.
Nf1
N
f1
N (
f1
f1 )
所以 S k ln M .B.
S k ln M .B.
率（未归一化）
Z1 wlel ：未归一化的概率之和，或者说归一化常数
l
pl
el Z1
：粒子处于能级 l 的一个量子态的概率
粒子的平均能量为
1
l
l wl pl
1 Z1
l
l wlel
1.2.2 U 与配分函数 Z1 的关系
N
U Z1
l
l wl el
N Z1
l
wl el
N Z1
Z1
N ln Z1
第七章 玻尔兹曼统计
对于可分辨的近独立系统，我们推导了：
一个粒子数分布 {al } 对应的微观状态数为
M .B.
N! al !l来自 al ll最可几分布 {al }m. p.
al
e l l
式中 , 为待定参数，其值由孤立系统粒子数及能量
约束 N al
l
E= lal 求解得到。
l
本章将从玻尔兹曼统计的这几个方程出发，求解宏观热力 学量的统计表达式，讲参数 α 及 β 的物理意义，以及玻 尔兹曼统计的几个重要应用。
U
N
f1
1.3 广义力的统计表达
粒子的能量是外参量的函数。外参量的改变导致能级 的改变：
第七章_玻尔兹曼统计
曼分布一样，但系统的微观状态数为 ΩB(F )
=
ΩM ⋅B N!
，所以直接由分布函数导出的内能和广义
力的表达式与玻尔兹曼系统一样。（∵ 它由分布函数直接导出）
而由系统的微观状态数决定的熵
SB( F )
=
k
ln
ΩB(F )
=
k
ln
⎛ ⎜⎝
ΩM ⋅B N!
⎞ ⎟⎠
=
k
ln
ΩM ⋅B
−k
ln
N!=
SM ⋅B
玻尔兹曼系统的一样。
不同的 h0 的值对经典统计结果的影响。
经典玻尔兹曼分布
al
= e−α −βεl
Δωl h0r
由 e−α = N 得： Z1
al
=
N e−βεl Z1
Δωl h0r
式中的 h0r 与配分函数 Z1 所含的 h0r 相互抵消，与 h0 无关。
一个粒子的运动状态处于 Δωl 的概率：
n
n
n
∴ S = k ln Ω = k ln ∏ Ωi = ∑ k ln Ωi = ∑ Si 。
i =1
i =1
i =1
（2）非平衡态的熵： S = k ln Ω 可推广到非平衡态只不过在平衡态时， Ω 是系统最多的微观 状态数，而在非平衡态时， Ω 也是系统的微观状态数，但不是最多的，所以系统在由非平衡
k = 1.381×10−23 J ⋅ K −1 玻尔兹曼常数
玻尔兹曼常数 k 在统计物理学中所起的作用相当于普朗克常数 在量子力学中所起的作用。
dS
=
dQ T
= kβ dQ
=
Nkd
⎛ ⎜ ⎝
ln
Z1
玻尔兹曼统计与量子统计
玻尔兹曼统计与量子统计在物理学中，统计力学是一门研究大量粒子的行为和性质的科学。
其中，玻尔兹曼统计和量子统计是两种常用的统计方法。
本文将深入探讨这两种统计方法的原理和应用。
一、玻尔兹曼统计玻尔兹曼统计是基于经典力学的统计方法，适用于粒子间相互作用较弱、粒子间无明显量子效应的系统。
它的核心思想是将系统的微观状态与宏观观测量之间建立联系，通过统计分析来研究系统的宏观行为。
1. 玻尔兹曼分布玻尔兹曼分布是玻尔兹曼统计的核心概念之一。
它描述了一个经典粒子在不同能级上的分布情况。
根据玻尔兹曼分布，粒子在某个能级上的分布概率与该能级的能量成指数关系，即e^(-E/kT)，其中E为能级的能量，k为玻尔兹曼常数，T为系统的温度。
2. 熵和热力学量在玻尔兹曼统计中，熵是一个重要的概念。
熵可以理解为系统的无序程度，是一个衡量系统状态的物理量。
根据玻尔兹曼统计，系统的熵可以通过统计粒子在不同能级上的分布来计算。
此外，玻尔兹曼统计还可以用来计算其他热力学量，如内能、压强等。
二、量子统计与玻尔兹曼统计不同，量子统计是基于量子力学的统计方法，适用于粒子间存在较强相互作用、粒子间存在明显量子效应的系统。
量子统计考虑了粒子的波动性和不可区分性，对粒子分布的描述更加精确。
1. 波尔分布波尔分布是量子统计的核心概念之一。
它描述了一个玻色子（如光子、声子）在不同能级上的分布情况。
根据波尔分布，玻色子在某个能级上的分布概率与该能级的能量成反比，即1/(e^(E/kT)-1)。
与玻尔兹曼分布不同的是，波尔分布中的分母多出了一个1，这是由于玻色子可以存在于同一能级上的不同量子态。
2. 费米分布费米分布是量子统计的另一种分布形式，用于描述费米子（如电子、中子）在不同能级上的分布情况。
根据费米分布，费米子在某个能级上的分布概率与该能级的能量成指数关系，即1/(e^(E/kT)+1)。
与波尔分布不同的是，费米分布中的分母多出了一个1，这是由于费米子不能存在于同一能级上的相同量子态。
量子力学中的量子力学统计方法
量子力学中的量子力学统计方法量子力学统计方法是应用于研究亚原子尺度粒子行为的一种数学工具。
在量子力学统计方法中，我们可以通过统计物理学的原理和方法来描述和预测微观系统的行为。
1. 玻尔兹曼统计玻尔兹曼统计是量子力学统计方法的一种常见形式，适用于考虑粒子可分辨性的情况。
玻尔兹曼统计基于亥姆霍兹自由能和粒子间相互作用的平均值来计算系统中粒子的分布。
该统计方法常用于气体动力学和固体物理学中，并可以解释物质的宏观性质。
2. 波色-爱因斯坦统计波色-爱因斯坦统计是用于描述玻色子（具有整数自旋的粒子）行为的统计方法。
根据波色-爱因斯坦统计，处于低能量态的波色子可以进入相同的量子状态，形成一个集体行为。
这一统计方法常应用于凝聚态物理学中，研究低温下液体和固体的性质。
3. 费米-狄拉克统计费米-狄拉克统计是用于描述费米子（具有半整数自旋的粒子）行为的统计方法。
根据费米-狄拉克统计，处于低能量态的费米子不能占据相同的量子状态，这称为泡利不相容原理。
费米-狄拉克统计方法在研究电子结构和金属导电性等方面起着重要的作用。
4. 统计算子在量子力学统计方法中，统计算子是一种表示系统状态的数学工具。
统计算子可以用于描述粒子的数量、动量和能量等信息。
通过计算统计算子的期望值，我们可以获取关于粒子分布和性质的信息。
5. 熵和统计力学熵是描述系统无序程度的物理量，统计力学运用熵的概念来研究系统的热力学性质。
根据统计力学的原理，我们可以通过计算系统的熵来预测和解释宏观系统的行为。
量子力学统计方法通常与统计力学相结合，为研究微观和宏观系统提供了一种统一的框架。
总结起来，量子力学中的量子力学统计方法是研究微观粒子行为的重要工具。
通过玻尔兹曼统计、波色-爱因斯坦统计和费米-狄拉克统计等方法，我们可以描述和预测系统的粒子分布和性质。
统计算子和统计力学的概念则为量子力学统计方法提供了数学和理论基础。
通过应用量子力学统计方法，我们可以更深入地理解和解释量子力学系统的行为。
第七章玻尔兹曼统计
分子光谱学：通过玻尔兹曼分布解释光谱线强度和偏振现象
化学反应动力学：通过玻尔兹曼分布描述反应速率常数和活化能
在生物学中的应用
分子动力学模拟
蛋白质折叠研究
生物膜与跨膜运输
基因表达调控
在其他领域的应用
物理学：描述气体分子在平衡态时的分布情况
化学：研究反应速率和化学平衡
工程学：热传导、热力学等领域
信息科学：数据压缩、信息编码等方面
1896年：玻尔兹曼提出了熵的概念，为热力学第二定律提供了微观解释
1900年：玻尔兹曼提出了玻尔兹曼统计，用于描述气体分子的分布状态
重要人物和事件
背景：对气体分子运动的研究
影响：奠定了统计力学的理论基础
人物：路德维希·玻尔兹曼
事件：1877年提出玻尔兹曼统计
理论的意义和影响
玻尔兹曼统计的方法和思想对其他学科领域的发展也产生了积极的影响，如化学反应动力学、材料科学等。
玻尔兹曼统计在复杂系统中的应用
玻尔兹曼统计与机器学习算法的结合
对未来发展的展望和预测
新的理论框架的建立
跨学科研究的融合
人工智能和大数据的应用
实验验证和观测技术的发展
汇报人：XX
感谢观看
05
玻尔兹曼统计的局限性和发展
理论局限性和不足之处
玻尔兹曼统计不适用于描述具有高度非线性的复杂系统
玻尔兹曼统计无法准确描述微观粒子的量子行为
玻尔兹曼统计无法解释某些特殊系统的相变现象
玻尔兹曼统计在处理多体问题时存在困难
理论的发展和改进方向
统计力学的其他理论：如微正则分布、巨正则分布等，可作为玻尔兹曼统计的补充或替代。
玻尔兹曼统计的提出为现代科学和技术的发展奠定了重要的基础。
经典统计与量子统计的区别与联系
经典统计与量子统计是两种不同的统计方法，它们在描述物理系统时存在显著的区别和联系。
区别：
经典统计：经典统计是基于经典物理学的统计方法，适用于大量粒子组成的系统。
在经典统计中，粒子之间是相互独立的，其运动状态可以通过牛顿运动定律来描述。
量子统计：量子统计是基于量子力学的统计方法，适用于微观粒子组成的系统。
在量子统计中，由于量子力学的不确定性原理，粒子之间并非相互独立，其运动状态需要用波函数来描述。
联系：
统计规律性：无论是经典统计还是量子统计，都依据一定的统计规律性，通过对物理系统中的粒子进行统计来描述整个系统的性质。
统计物理量：经典统计与量子统计都涉及到统计物理量，如温度、压强、能量等，这些物理量可以帮助我们更好地理解物理系统的性质。
状态密度：经典统计与量子统计都使用了状态密度概念，即单位能量范围内状态数目。
在经典统计中，状态密度可以看作是粒子在不同能级上的分布密度；在量子统计中，状态密度可以看作是量子态在能量空间内的分布密度。
总之，经典统计与量子统计在描述物理系统时存在显著的区别，但它们都有其适用范围和研究意义。
通过深入了解这两种统计方法的区别和联系，我们可以更好地理解物理学中的统计规律性和基本概念。
第七章 波尔兹曼统计
所以, 动量在dpxdpydpz
范围内的分子数
为: e N
(1
2mπkT
)3/−2 1
2 mkT
(
px2
+
py2
+
pz2
)
dp x dp
y dp z
dvx dv y dvz
这样, 速度在
范围内的分子
e 数为N
(
m
2πkT
)3/ 2
−
m 2 kT
(
vx
2
+
v
y
2
+
v
z
2
)
dv x dv y dv z
举例:
试根据公式 为p= 1U .
p
=
−∑ al l
∂El ∂V
证明光子气体的压力
因为
3V
El =
ηω
=
ηck
=
ηc
2π
L
(nx2
+
ny2
+
nz2)1/
2
=
A L
=A V 1/3
,所
以
∂El ∂V
=
−
1 3
El V
,
∑ ∑ p = − l
al
∂El ∂V
=1 3V
l
El al
=
U 3V
,
2.试 根据公式p 子 p = 2 U ,因为
N!
(5)
β= 1
kT
(6) F = NkT ln Z1 ,(定域系统) F = −NkT ln Z1 + kT ln N！
(非定域系统)
证明如下
热统(应用)_第七章_玻耳兹曼统计
e
N Z1
6
2、
N l al l e Z1
玻耳兹 曼因子
粒子总是优先占据较低能级；温度升高，占 据该能级的几率增大。
热统 西华大学 理化学院
7
f s e l
能量为εl的一个量子态s上的平均粒子数
p
l
3.粒子配分函数的经典表达式 处于能层 l 内，运动状态处于相体积
孤立系统的熵增原理：系统总是朝着微观状态数目增加的 方向过渡，那样的状态有更大的几率出现。 熵是一种统计性质，对少数几个粒子组成的系统谈不到熵。 因此，热力学第二定律适用于粒子数非常多的系统。
16
17
对于遵从玻尔兹曼分 U＝－N lnZ 布的定域系统、满足 经典极限条件的玻色、 费米系统，从玻尔兹 N Y － lnZ 曼分布得到系统的内 y 能和广义力的统计表 达式： 可分辨粒子系统：
l 0 l 0
能级 l 的值，是力学方程 在指定的边界条件下的解。 力学系统不变，方程不变， 能级变，只有边界条件变。 改变边界，即做功。 每个粒子受力： f l
l y
能级变 分布不变
外界对系 统的力
能级不变 分布变
Y
l
l a l l l e l y y l
2m 3 / 2 Z1 V ( 2 ) h
范围内，所占据的相体积：
l Vdpx dp y dpz
al
V
dxdydzdp x dp y dpz h
3
e
l
N 2m 3 / 2 V( 2 ) h
2 2 ( p2 1 x p y pz ) 3/ 2 2 mkT N( ) e dpx dpy dpz 热统 西华大学 理化学院 2mkT
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
由玻耳兹曼量子分布： a l le
及系统的总粒子数： N 可得：N
l
a
l
l
a e
l l l l
l
e le
l
l
Z1：系统的量子配分函数
1
从而有：N eαZ
2，系 统 的 内 能
由系统的内能： U
第七章
玻耳兹曼经典统计和量子统计的应用 [本 章 讨 论 对 象]
1，(纯)经典系统 2，第一类半经典半量子系统
3，第二类半经典半量子系统
4，(纯)量子系统中的 非简并系统(非简并"费米系统"和"玻色系统") 定域系统(定域"费米系统"和"玻色系统")
“三种系统”与“三种(六种)统计”
三种(六种)统计 三种系统
N 将 U N lnZ1 Y lnZ1 代入： β y β
N d Q N d n Z l nd Z l 1 1y β β y
两边同时乘上 β ，则有：
β d Q N β d n Z N l n Z d y l 1 1 β y
×
×
即：因子 β 也 使 d Q
变成了“完整微分” ！
[ 分析二 结束 ]
比较“分析一”和“分析二”，可知：
β
即：因子
1 k T
1 T
和 β 只能相差“常数 k”倍！！
根据本章后面的分析可知：
k 正是玻耳兹曼常数， k＝1.381×10－23 J·K－1 。
6，系统的熵，熵的统计意义(玻耳兹曼关系)，绝对熵
√
√
√
√ √ √ √
(纯)量子系统 简并 非定域
√
[名词、术语、概念]
配分函数 能量均分定理 绝对熵 负温度状态
有以下四种情况的“配分函数”： 1，二种“半经典半量子的配分函数”，
自然就是以下二种“玻耳兹曼配分函数”：
玻耳兹曼经典配分函数(本章称"经典配分函数" )
玻耳兹曼量子配分函数(本章称"量子配分函数" )
7，非简并系统和定域系统的自由能
由 F＝U－ TS 可知：
对“非简并系统”： N kl Z β l n Z k l n N ! U N lnZ1 S n 1 1 β β
∴
F N k T l n Z k T l n N ! 1
对“定域系统”：
一、 玻耳兹曼量子统计中，
二、 玻耳兹曼经典统计中，
四、理想气体的经典配分函数及热力学量的计算，
一般实际气体对“经典极限条件”的偏离 五、气体分子的麦克斯韦 速度分布律与速率分布律， 气体分子的最概然速率、平均速率、方均根速率， 气体分子碰壁数的计算 —— 玻耳兹曼经典统计对(纯)经典系统的处理
六、理想气体的量子配分函数及热力学量的计算 七、固体热容量的爱因斯坦理论
U N lnZ1 β
∴
SN k n Z β l n Z l 1 1 β
F N k T l n Z 1
二、 玻耳兹曼经典统计中，
经典配分函数与热力学量的统计表达式
讨论对象：“第一类半经典半量子系统”
1，系统的经典配分函数及其积分形式
将玻耳兹曼量子统计中的量子配分函数 Z1， 推广至第一类半经典半量子系统：
—— 用“玻耳兹曼量子统计”处理“定域系统”， 固体热容量的“量子统计修正”
八、顺磁性固体的玻耳兹曼量子统计理论 九、核自旋系统的“负温度状态”
一、 玻耳兹曼量子统计中，
量子配分函数与热力学量的统计表达式 讨论对象：
“第二类半经典半量子系统” “(纯)量子系统中的非简并系统和定域系统”
1，宏观系统的量子配分函数与总粒子数
Δω l βε l Z ω e 即为“经典配分函数”。 1 rl h0 l 其中，Δωl＝(△q1△q2….△qr)l ×(△p1△p2…..△pr)l
如果 Δωl 取得足够小，就有：
β ε l
d q d q . . . . . . d q d p d p . . . . . . d p 1 2 r 1 2 r Z . . . . . . e 1 r h 0
Ω M .B S k l n k ln N! N k l n Z β l n Z k l n N ! 1 1 β
对定域系统，Ω ＝ Ω
M.B
∴ 定域系统的熵为：
ln Ω S k l n k kln Z ln Z M .B N 1β 1 β
a l dε l
l
a ε
l
l l
a d ε ε da
l l l l l l
dW
d Q
从外界吸热， 外界做功， 使粒子能级变化 使能级上粒子数变化
由第一定律：
d U d Q d W
d W ad l ε l
l
及广义力的功：
5，拉格朗日乘子 β 的分析及求解
由热力学可知：d
（ 1） 系 统 的 熵
1 由： β d Q N d n Z β l n Z l 1 1 β β kT
1 dS dQ T
得到： d S N k d n Z β l n Z l 1 1 β
∴ 系统的熵为： SN k n Z β l n Z l 1 1 β
为“经典配分函数的积分形式”。
2，热力学量的统计表达式
与玻耳兹曼量子统计一样，由 经典配分函数 Z1 ， 可求出第一类半经典半量子系统所有热力学量的统计表达式 。 将“一”中的“量子配分函数Z1”， 用此处的“经典配分函数 Z1”代替， 即可得到第一类半经典半量子系统所有热力学量 的统计表达式。
三、能量均分定理及其应用，几种宏观系统的内能和热容量， 热辐射的经典统计理论(紫外灾难) —— 玻耳兹曼经典统计的应用
由：Z1＝Z1(β，y) 得：dl Z n Z d β l n Z d y n l 1 1 1 β y l n Z d y dl Z －l nd Z 即： n 1 1 1β y β
所以： β d Q N d n Z β l n Z l 1 1 β
aε
l
l
及玻耳兹曼量子分布：a l le 可得：U
l
l
βε l α l a e e ε ω e l l l l l l l l
l
N βε α l e ω e Z1 le β Z 1 β l
1，能量均分定理
温度为 T 的热平衡宏观系统， 其微观粒子能量(动能和势能)中每一个平方项的
1 统计平均值，都等于 kT 。 2
证明： 设：系统中粒子的自由度为 r ， 那么，粒子的能量为：
ε l
2 ap b V q ε εpl ai p Vqi jq j i Tl i 1 j i1
Q 是过程量，不是完整微分
分析一：热力学分析 由第一定律： d U d Q d
可得：
1 T
1 d Q T
d Ud W ＝dS
其中，dS 是完整微分，
即：因子
1 T
使
d Q 变成了“完整微分”。
[ 分析一 结束 ]
分析二：统计物理分析 由第一定律： d U d Q d W 可得： d Q d U d Wd U Y d y
r 2 i
r 2 i i
那么，其中任一平方项的统计平均值为：
ai p
2 i
d q . . . . d q d p . . . . . d p 1 α β ε 2 1 r 1 r l . . . a p e r i i N h 0
2 2 d q . . . . d q d p . . d p d p . . . d p β ε a p 1 l ii β a p 2 1 r 1 i 1 i 1 r ii . . .e a p ed p ii i r Z h 1 0
l
εl 1 αβ εl 可得：Y e ω e le y ω l y l l
N N β ε l ω lnZ1 le Z β y 1 y l
β d Q N β d n Z N l n Z d y l 1 1 β y
由： d β l n Z β d n Z l n Z d β l 1 1 1 β β β
得： β d n Z d β l n Z － l n Z d β l 1 1 1 β β β
(纯)经 典 系 统 半经典 半量子 系 统 第一类半经典半量系统 麦克斯韦统计 玻耳兹曼统计 速度 统计 速率 统计 经典 统计 量子 统计 量子统计 费米 玻色 统计 统计
见第七章
√
第二类半经典半量系统
非简并 定域 费米系统 玻色系统
√
√ √ √ √
费米系统
玻色系统 费米系统 玻色系统 费米系统 玻色系统
α
N lnZ1 β
3，系统的广义力及压强
设：粒子的能量为 εl ，所受外界的广义力为 Yl，广义坐标为 y， εl 则有关系：Y l y ε l ∴ 系统所受外界的广义力(合力)为：Y aY a l l l y l l
再由玻耳兹曼量子分布：a l le