常见数列求和教案(重点)

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教学过程

一.课程导入：

在这之前我们知道一般等差数列和等比数列的求和,但是有时候题目中给我们的数列并不是一定就是等比数列和等差数列,有可能就是等差数列和等比数列相结合的形式出现在我们面前,对于这样形式的数列我们该怎么解决,又该用什么方法?

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二、复习预习

通过学习我们掌握了是不是等差等比数列的判断,同时我们也掌握也一般等差或者等比数列的一些性质和定义,那么对于题中给我们的数列既不是等差也不是等比的数列怎么求和呢,带着这样的问题来学习今天的内容

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三、知识讲解

考点1、公式法

如果一个数列是等差、等比数列或者是可以转化为等差、等比数列的数列，我们可以运用等差、等比数列的前n项和的公式来求.

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类似于等差数列的前n项和的公式的推导方法。如果一个数列{a n}，与首末两项等距的两项之和等于首末两项之和，可采用正序写和与倒序写和的两个和式相加，就得到一个常数列的和。

这一种求和的方法称为倒序相加法.

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类似于等比数列的前n项和的公式的推导方法。若数列各项是由一个等差数列和一个等比数列对应相乘得到，即数列是一个“差·比”数列，则采用错位相减法.

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把数列的通项拆成两项之差，即数列的每一项都可按此法拆成两项之差，在求和时一些正负项相互抵消，于是前n 项的和变成首尾若干少数项之和，这一求和方法称为裂项相消法。适用于类似

（其中{a n}是各项不为零的等差数列，c为常数）的数列、部分无理数列等。用裂项相消法求和，需要掌握一些常见的裂项方法：

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考点5、分组求和法

有一类数列，它既不是等差数列，也不是等比数列.若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比数列或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可.

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四、例题精析

【例题1】

【题干】数列{1＋2n－1}的前n项和为( )．A．1＋2n B．2＋2n

C．n＋2n－1 D．n＋2＋2n

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【答案】C

【解析】S n ＝n ＋1－2n

1－2

＝n ＋2n －1.

【例题2】

【题干】若数列{a n}的通项公式是a n＝(－1)n(3n－2)，则a1＋a2＋…＋a10＝

( )．

A．15 B．12 C．－12 D．－15

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【答案】A

【解析】设b n＝3n－2，则数列{b n}是以1为首项，3为公差的等差数列，所以a1＋a2＋…＋a9＋a10＝(－b1)＋b2＋…＋(－b9)＋b10＝(b2－b1)＋(b4－b3)＋…＋(b10－b9)＝5×3＝15.

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【例题3】

【题干】数列112，314，518，7116

，…的前n 项和S n 为( )． A ．n 2＋1－1

2n －1

B ．n 2＋2－12n

C ．n 2＋1－1

2n

D ．n 2＋2－12n －1

【答案】C

【解析】由题意知已知数列的通项为a n＝2n－1＋1

2n ，则S n＝

n1＋2n－1

2

＋

1

2⎝

⎛

⎭

⎪

⎫

1－

1

2n

1－

1

2

＝n2＋1－

1

2n

.

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【例题4】

【题干】已知数列{a n}的通项公式是a n＝

1

n＋n＋1

，若前n项和为10，则项数n为( )．

A．11 B．99 C．120 D．121

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【答案】C

【解析】∵a n＝

1

n＋n＋1

＝n＋1－n，∴S n＝a1＋a2＋…＋a n＝(2－1)＋(3－2)＋…＋

(n＋1－n)＝n＋1－1.令n＋1－1＝10，得n＝120.

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五、课堂运用

【基础】

1.数列{a n}，{b n}都是等差数列，a1＝5，b1＝7，且a20＋b20＝60.则{a n＋b n}的前20项的和为( )．A．700 B．710 C．720 D．730

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【答案】C

【解析】由题意知{a n ＋b n }也为等差数列，所以{a n ＋b n }的前20项和为：

S 20＝20a 1＋b 1＋a 20＋b 202＝20×5＋7＋602＝720.

2.在等差数列{a n}中，S n表示前n项和，a2＋a8＝18－a5，则S9＝________.

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【答案】54

【解析】由等差数列的性质，a2＋a8＝18－a5，即2a5＝18－a5，∴a5＝6，

S9＝a1＋a 9×9

2

＝9a5＝54.

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3.等比数列{a n}的前n项和S n＝2n－1，则a21＋a22＋…＋a2n＝________.

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【答案】见解析

【解析】当n＝1时，a1＝S1＝1，

当n≥2时，a n＝S n－S n－1＝2n－1－(2n－1－1)＝2n－1，又∵a1＝1适合上式．∴a n＝2n－1，∴a2n＝4n－1.

∴数列{a2n}是以a21＝1为首项，以4为公比的等比数列．

∴a21＋a22＋…＋a2n＝1·1－4n

1－4

＝

1

3

(4n－1)．

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