宏观经济学之经济增长理论

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5．厂商
设生产函数为：
^
^
Yt F(Kt, AtLt) F(Kt, L t) (其中A(t) et ，L t AtLt )…………………2-21
写成人均的形式为：
^^
^^
^
Yt Lt yt Lt f (k t) (其中f (k t) F(Kt / AtLt,1) )……………………………2-22
这意味着，在长期，一个家庭的平均债务的增长速度不能大于rt n ，因此总债
务的增长速度不能超过rt
。我们定义rt 1 t
t
0 rvdv ，因此 2－4 又可被写为
lim[a(tபைடு நூலகம்et(rtn) ] 0 ………………………2-4’ t
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3．汉密尔顿函数与一阶条件
家庭的最优化行为可以看作是，在跨期预算约束条件下最大化U0 。这个问题可以用动态
跨期替代弹性实际上反映了跨期消费安排对边际效用变化的反应，因为简单的跨期消费
问题中存在 u '(ct) 1 r ， 是贴现率，r 取决于资本存量，即这一期储蓄的影响。 u '(ct 1) 1
当考虑不变跨期替代弹性的效用函数，这可以写为
ct

1

[
(1
r)
1
]
，

1/
。因此
ct (1 )
跨期替代弹性越大，对利率的反应也越大。
16
考虑一个不变跨期替代弹性的效用函数（CIES）
u(c)

c1 1 1
，(

0
)；……………………………….………2-13
u(c) log c ， ( 1)
显然 是边际效用弹性值，因此跨期替代弹性 1/ 。式 2－12 变为
注：本讲义参考了Blanchard和Fischer（1989），Barro和Sala-I-Martin
（1995），Zilibotti的讲义
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1．效用函数
拉姆齐问题解决的是一个国家应该储蓄多少，即资源的跨期最佳分配。
1. 假定劳动力Lt 增长率为n ，初始数正规化为 1，因而有：Lt ent …………….…2-1 2. 假定 Ct 是t 期的总消费，因此人均消费为c(t) C(t) / L(t) 。
图 1－3 表示了当储蓄率（ 2 ）大于和小于（ 1 ）黄金率（ gold ）的情况，以及大于黄金
率的储蓄率下降后，增加均衡时的消费，以及过度路径上的消费，资本逐渐减少。
s sgold
当
，称经济动态无效（Dynamic Efficiency，DE），因为人均消费一直低于可以
达到的路径。
8
5．过渡动态
.
必然有 k 0 ，因此
.
k 0 sf (k*) ( n)k* …………………1-8
6
4．资本积累的黄金律与动态无效
c* cgold
s gold
s
图 1.2 资本积累的黄金律
从 sf (k ) ( n)k ，可以将消费 C 写为 c* (s) f [k * (s)] (n )k * (s) ，
0
0
0
a e(rtn)T T

T cte(rtn)tdt
0
T 0
wte
( rt n
)
t
dt

a
(0)
…………………...2-17
当T ，由 2－16，可得
cte(rtn)tdt 0
0
wte ( rt n ) t dt

a(0)

~
w(0)
为了维持零利润，将 2－25 代入 2－24，有
^
^
^
[f (k t) k tf '(k t)]et wt ………………………………2-26
家庭效用函数为： U0 u(ct)e(n)tdt ………………………….………….2-2 0
(其中 为主观贴现率，u '(0) ，u '() 0 。并根据横截条件假定 n ，以保证当c 为
常数时，U0 是有界的。因此每一代的权重决定于人口数和贴现率。)
3. 假定存在两种资产，资本和债权，在没有风险、资本市场完全竞争情况下收益率都rt为 。
即无限期生命在最后的终端，资产的现值不为正。或者用有限期生命来说，在死后留下
任何正的资产都是非理性的。当at 0 （负债），一个无限期的家庭希望通过不停的借债
但不偿还，来违反 2－16，因此 2－4 就是为了确保这种链式融资的不发生。在均衡状态，
根据横截条件 2－16，一个家庭不愿持有超过或等于rt n 的资产增长，否则横截条件就 违反了，也就是说没有人愿意接受增长速度超过rt n 的债权，也就意味着没有人可以发
wt
同时存在竞争的劳动力市场，工资为
。假定总资产为At
，平均净资产为at At / Lt ，
资产收益为 rtat
.
。因此家庭的预算约束为：a
t

wt

rat

ct

nat
………….2-3
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2．非蓬齐对策条件（意义）
t
lim[ate0 (rvn)dv ] 0 ……………………….2-4 t
最优化的方法来解决，先写成现值汉米尔顿函数形式：
H u(x)e(n) [w (r n)a c] …………..……………..2-5 其中 是资产的影子价格。一阶条件为：
H 0 u '(c)e(n)t c
……………………………………….2-6
.



a(0)

W
……………….2-18
由 2－14 可得
c c e(1/ )[rt]t t0
……………………………………………………………2-19
将 2－19 代入到 2－18 得；
c(0) W /(
0
e[
rt
(1)
/

/

n
]t
dt
)
………………………………………….2-20
行增长速度超过rt n 的债务。因此 2－4 是信贷市场均衡的结果。
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4．消费
.
.
由 d[ae(rn)t ] / dt a e(rn)t a(r n)e(rn)t ，将 a t (r n)at wt ct 两边同乘
e(rn)t 得： T (d[ate(rtn)t ] / dt)dt T wte(rtn)tdt T cte(rtn)tdt ，也即：
.
c c

r

………………………………………………………2-14
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对 2－7 积分得：
(t) (0)et(rtn) ，(0) 0 …………………………………..2-15
因此 2－8 变为
lim[ate
t
t
(
rt
n
)
]

0
…………………………………………………2-16
( n)k f (k) sf (k)
k*
图 1－1 Solow-Swan 模型
5
3．稳态
.
在稳态中， k 0
.
这是由于在稳态中有 常 数 k/ k sf (k )／ k ( n) ，因此有
.
d [ f ( k )／ k ] / d t 0 { [ f ( k ) kf '( k )] / k } ( k / k ) 0
Y / K f '(k ) Y / L f (k) kf '(k)
,
3. Inada 条件
FK(0, L) FL(K,0) ， FK(,L) FL(K,) 0
f '(0) ， f '() 0 ……………………………………1-4
3
2．资本积累条件


[
u
cs / ct '(cs) / u
'(ct)
d[u '(cs) d(cs
/ /
u '(ct)] ct)
]1
…………………….2-11
跨期替代弹性是cs / ct 比例变动造成无差异曲线斜率的相对变动比例的倒数。当s t
时， u '(c) ，因此边际效用弹性是跨期替代弹性的负倒数。 cu ''(c)

H

.


(r

n)
a
………………………………………..2-7
lim[tat] 0 ……………………………………………………………2-8
t
其中 2－7 是欧拉方程，或拉姆齐－凯恩斯最优储蓄规则。2－8 是横截条件
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现在我们来求出最优的消费变化。
2－6 两边对时间求导得：
.
.
u ''(c) c e(n) ( n)u '(c)e(n)t ……………………..2-9
具有下列关系(固定L ，Y 对K 求导；固定K ，Y 对L 求导)：
Yt

f
^
'(k ) ，
Yt
^
^
[f (k t) k tf
^
'(k t)]et
………………………2-23
Kt
Lt
并满足 Inada 条件：
f (0) 0 ，f '(0) ，f '() 0 .
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厂商的利润函数为：
的资本积累。
或者由
.
k

sf
(k )

(

n)k

(d
.
k)
/
dk

sf
'(k )

(

n)
来进行判别（袁志刚和宋铮，2001）
9
6．相对收敛、绝对收敛
定义，对稳态的依赖（不同的储蓄率）。由 1－8 得
s (n )k * / f (k * ) ………………………….1-10
将 1－10 代入到 1－9 得：
^
^
^
t L t[F(Kt, L t) Rt k t wtet ] ………………………2-24
^
其中Rt 是厂商向居民租赁资本的租金，Rt rt 。给定L t ，由利润最大化的一阶条件
得到：
^
f '(kt) rt ………………………………………………2-25
资本增长率为：
k sf (k ) / k (n ) ………………………………1-9
lim[sf (k ) / k ] ， lim [ sf (k ) / k ] 0 ，且s f ( k ) / k 单调，因此与n 曲线有唯一的交
k0
k
点。图 1－4 反映了资本增长速度与稳态点的距离成正比。一个较大的储蓄带来更多
第十章
经济增长理论
1
一、新古典增长理论（简介）
新古典增长（资本劳动替代性），假定 储蓄率给定。
拉姆齐－卡斯－库普曼斯增长模型，家 庭最优化行为、内生储蓄。
2
1．生产函数
满足：
Y F(K, L) ………………...…………………1-1
1. 边际收益递减
2. 一次齐次
Y F (K , L) LF (K / L,1) Lf (k ) ……………………………1-2 y Y / L f (k) …………………………………………………….1-3
.
K I K sF (K, L) K ………….1-5
或者写为人均的形式
.
K / L sf (k) k ………………………...1-6
我们有：
.
.
k d (K / L) K / L nk sf (k) ( n)k ….…………..1-7
4
c
Gross Investment
由 2－6，知e(n)t / u '(c) ，代入到 2－9 并将 2－7 代入 2－9，得：
.
r


[
u ''(c)c](c) u '(c) c
…………………………….……………….2-10
其中 u ''(c)c 为边际效用弹性的值。 u '(c)
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一个相关的概念是跨期替代弹性：

k

(n


)[
f (k) / f (k*) /
k k*
1]
……………………1-11
因此依赖于目前的资本平均产品与稳态中的情况，当k k * ， k 0
图 1－4， 条件收敛（不同的稳态，来自于不同的储蓄率）
10
二、拉姆齐模型与最优经济增长
新古典经济增长模型的一个缺点就是储蓄是外 生的。在这一部分我们考虑消费和储蓄是由家 庭最优化行为决定的。我们考虑一个无限期的 家庭，在跨期预算约束下，选择消费和储蓄以 最大化他以及后代的效用函数。这归功于 Ramsey (1928) ， Cass （ 1965 ） 和 Koopmas （1965）。拉姆齐模型的最优条件消除了索罗 －斯旺模型中的无效的过度储蓄问题。
使消费最大化的储蓄率为黄金律，因此
f '[ k * ( s gold ) ] ( n )
7
c cgold
c* 2
斜率为
n
( n)k f (k)
s2 f (k) sgoldf (k)
DI
k* 1
kgold
k* 2
储蓄率下降，s1 f (k)
消费的增加
k
s s s 图 1－3 黄金率与动态无效